Berekening van plaatselijke dempingscoëfficiënten en de plaatselijke toegevoegde massa volgens Grim voor zuiver dompen

BEREKENING VAN PLAATZEL.TJKE DEMPIN0SC0FFICIENTEN EN DE

PLAATSELIJKE TOEGEVOEGDE MASSA VOLGENS GRIM VOOR ZUIVER DOMPEN.

Rapport nrt 89.

Labtra

toriwn vqor Sehe

_{ep4boUwkunde.}

J.H

Vugte.

iun. 162.

1. Inleiding.

Op het"3e Sympoiinn on Naval Hydrodynamioe! in september 1960

te Scheveningen gehouden, heeft O. Grim eeri methode gepubliceerd orn de .plaatselijke dempingscofficienten en de plaatselijke

toege-voegde maúa te berekenert; zie "Manuscripts and Abstracta of the Third ympoeium on Naval Hydrodynamics", biz 271-326. Hiermede

wordt voortgebouwd op eau publicatie van dezelfde schrijver uit

1957,

tjjdena het Symposium "On the Behaviour of Ships in a Seaway"

te Vageningen.

De methode is gebaseerd op een combinatie van aen atripth.ori. en eau methode die gabruik maakt van

a3.ngulariteiten. Grim

gut uit

van de veronderstelling dat de vloeistof ideaalis (geen visceuze effecten) an dat de problemen volkomen galineariseerd kunnen worden. De methode

±8 voor3.opig

nag alleen beschreven voor eau eneiheid

V = O.

Er worden 3 problemen behandeld, waarvan numerieke resultaten, vaetgelegd in da diagrammen die in de publicatie gegevon zijn, tot dat ogenblik bekend waren. Dit zijn

1). De periodieke dompbeweging van eau licheam in stil water.

2) De verticale krachten,

die

door oen dwara inkomende opperv1akt golf op eau vaatgehouden lichaam worden uitgeoefend.

3). De krachten die op een vastgehouden1twee-dimenaionaal lichaa worden uitgeoefend door regelmatige langasoheepse golven.

Dit is eau hypothetisch gavai, dat niaatgevend beschouwd

kan

2a

Hiervan io alleen bet eereto gavai toegapast op

n der

model-len uit de Todd 60 Series, n.l. die met ₆ 0,70. De berekeningen dienen in boofdzaaI als voorboreiding voor de met bet zeveuelige model uit te voeren excitatieproeven

2 De er4iodieke dompbewei,zg in etil water.

In da ?iguren

13.18, b].z 308..313worden

de gegevens veretrekt

voor de toegevoegde tnaaoa en de dempingeooffioientvan eon bepaal..

de dooreneda.

D grootheden zin uitgezet op baala van de

frequen-tie, afbankelijk van 2 pax'ameterB die de vorm van de dogrsnede karak

tensaren.

Doze vorm-parametare ziju:

H 400renede.oterv]kte

hierin jar

B de breedte van de betreffende

doorenede,

emeten ter hoog-te van d waterlijn.

de diapgang van de betreffende

doorenede.

-¡3=

plaateelijka volbeidecoffioient van de doorsnede.

De grenzen voor zijn 0,5 en 1,0 en voor H0,2 en 2,2. De

groot-beden B, T, Ren ziju

aile funottea vn eon

longte-ooôrdinaat xi

Als baaia-i niet de frequentie zeifb maar de

dimencielozeparame-ter:

T

₂

gebruikt.

Hierin is V

_, due bet golfgetal. In meer gebruikelij ko notatie.wordt bet golfgetal voorgeeteld door k:

air

zodat te ber].eiden jo:,tot

2cB

= iC,

De basis voor de figuren ía due &n faite devex'houding tussen

de

breedte van de

doorenede e de:.lengte van de opgewekte golvan.

Voor de dempiàg is dit eon zeerplauaibele basis0, omdat de demping

bij de vez'onderBtellinj van een ideale vloeietof uiteiuitend golf..

demping io.

De toegevoegde masea wordt in dimensieloze vorm gegeven door

do grootbeid:

,

*

in de hier meer gebruikelijke notatie:

Ç = due

f*B2

Waarin:

*

toagevoegda masea por eenheid van lengte in bet

ge-val Van zuiverdompen.

¡O diobtbeid van (zoot) water.

B . breedte van de doorenede.

De dempingscofficient ie af te leiden uit;

r

A =

o

waarin:

r

= amplitude van de oppervlalcte..go].veu, die van bet liobaam

wegloperi.

Z0

amplitude van de dompbewegin.

Vit de theorie van de acheepebewegingòn voigt vooi da

dempings-oofftoient per ].engte-eenbetd, voor uiteiuitend go].tdemping in bet gava]. van zuiver dompen:

N.

waarutt

en N'

Zijn

furtotiee van 4e ].engte.m'øoordinaat z:

em

(x)

-k-GO

3.

De c.fficiet in de differerntiaalver:eli kin:en voor d.m.en en

etampan.

Ret dompen en hat etapen worden in do lineaire theorie

be-ochreven door de differentiaa].vergelijkingen:

+ b

+ cz + d+

4+

_gp

F oca (cut

+ Ç)

Mcoe(wt +1)

Met de bereitende en zijn nu de cofficienteA a, b, d en e te berekenen, terwijl o e g bekenden zijn, Inmers

a

pV

pV

+ (x) dx b N

f

N _Cx) dx L (X).X dx ¿

e= N

(N'

(x),x dx

J

za

i-c=pgO

g = pglO

De integratie kan zich uitetrekken over de gehele lengte van

bet ecl4.p of over ean bepaald gedeelte. ?4et hat eerate kan men da

cofficinten in de differentlaalvorgelijiting bepalen, met hat

tweede kan men ean indruk krijgert van de verdeling van de boegevoeg de lfla6ea Over de langte Van hat achip en de mate waaiin de veaohil

lande delen van hat sohip bijdragon Ln de demping

Eon amenvattirig van de çofficjenten van de diUerentiaal vergeuijkingen, bun grootte en dimenate wordt gegeven in hat vol* gende overzioht.

Coff.

Grootte a b d e

pV +

N f) 8 N i °WL kraoht/vøren. maasa kracht/uneih. masca/tijd

kracht/lengte =

maesa/tijd kracht x tijd = maeea x lengte kracht x tijd e maaaa z aneib krae1it =maaea X varan

kg sec2 kg eec

kg kg eec

4,

tl4itvoerin;vaxide bezekeninen.

De berekeningen zijn gemaakt voor het kleine model. uit de

?odd 60-e.n.e met

é

O,70

Gegevene tan hot model (nummer 41):

L11 m

B

0322 a

= O129O m

¿1

6,748 kg (da')

c(

54

(t.o.v, eon lengte van kOØ)

Door W. Beukelnian zijn al oerder (jan. 1961) aoortgolijke

be-z'ekeningen gemaakt, echter voor het grote model met

0,70 (L21

8'

a,138LI. m;

o= 50).

VooZi

dez. bl.euwe berolceninSen

is

van een

gedeelte van zijn re8uitaten gebruik gemaakt, met nanie van de a

fie-zing van de grootheden C en

I

nit da door Grim gegeven diagrammen. Osarom wae hat nodig de frequenti. van d dompbeweging te corrigeren

voor het ehaalveraohi1 in de modellen. Do vor-paamètere H en (3

zijn ongevoelig voor de sohaal; de frequentieparazneter

-is dat ook,mita W

aahaal..athank.lijk gemaakt wordt.

B io nu

x zo klein, zodat w sen

factor

= 1,039a x zo

groot moet zijn.

De afiezingen van G on r zijn nu due geidig voor

rote !0d. (Beukelman).

W

_{= 3,30}

= 4,00

5,30

=7,50

8,50

kl,tne rno%e1

CL

3,637

* 4,157

716

6,755

7,794

Coff.

-

grootte.

Dimansie

A B C D E G +

g(I1+0

i2

p

i

moment z tijd2 = maosatraagh.mom. moment z tijd maseatraagh.nìom/tijd

moment = _moment

kracht z tijd

massa z lengte

kracht z tijd - maasa x sne].).;

kracht = masea z veren.

ltg a

kg a seo

k8

'kg sec

kg eec

kg

e

-Zie vorder de tabellen met berekeningen

van

en

(zio de

ap-pendix).

ka.

en andere manier van omx'ekenen vafl de eaultaten van bet

gre-te model naar bet kleine i die met eon bepaalde echasifactor. Alle gebruikte parainetera zijn dimenaieloos. Zolang we blij-.

ven werken mat geometrisch gelijkvormige modellen en ao we veron

derstellen dat er geen schaaleftect optreedt, cioet er tuesen de

resultaten cen eenvoudig verband beataan, dat door een sohaalfactor wordt vaetgelegd. De veronderetelling dat or goon sohaaletfect op treodt io voor dompen en etampen wel gerechtvaardigd ale we de Wet van Froude aanhouden. Da visceuze effeoten zijn klein, odat

eynolds wel verwaarlooed mag worden. Daar Grim bovendien uitging van een ideale, due wrijvingaloze vloeistof, kan bij zijn bereke-ningen alleen Froude maatgevend ziju.

Samenvatt.nd: bij geometrieob gelijkvormige

modellen en

trane-tormatie van alle grootheden overeenkometig de Wet van fronde be.

atsat er volkomen mechanische ge].ijkvormigbeid bij bet dompen en bet eteapen.

We krijgen dan due de voigende tranetormatie*verboudingeni

kleine ano4el rotemode] traneform.verha*n

root'nath klein. w

w 09259

0,9623

(O()

w

_0,8910

o,8573.

Langte Sneihaid Verenelling Kracht N' k'aoh L V a k N' zz L, zz L8 V g ag kg N'

=

,1 2.

1

XI

Yi.

-

ç( zz oneib. x langte ç kracht mm varen. x lengte

De reeu3taten van do ber'ekening van

en m

voar bet kleine

model zijn uitgezet op baaiB van do langte van hot model met

para-meter w. Daarbij zijn 4e krommen aebter ord. 2 gextrapoleerd tot

de langte in de

waterlijn.

Hiertuaaen kunnen geen punten worden

ver-kregen omdat de vormparameter

j

dan kleiner dan 0,3 wordt en Gz'im

daarvoor geen diagrammen aeer geeft.

Vervolgene zijn dearin do eectiea van de zeven.delige

boot gø

tekend. Daze zijn ontetaan door de Lengte tueeen de loodlijnen in

zeven

gelijke dolori te vordelen (zio figuur 1)..

5eck

5ecie

2

6ec*Ie

5

5ec

4

, 032 LS

3ctt

5ec/e

7

432zc

Z29c( hi

Simpsonrieren per

eactie geeft dan

de dompingacoefficienten

per'

eec-tie N(1), N(2),

. *

.

.

.

,

N(7) en de toogevoegde meaea

voor elke aectie m(l). m(2)1 .

.

.

. .

,

m(7).

De tabellen

waarin de berekeningen zijn uitgevoerd geven

de gang van zaken duide.

Ìijlt genoeg woor. Door d

boverienoom4e extrapolatie zi

zeer dubieue. Er' kan waini

waarde aan worden toegekend.

Tenslotte zijn de dempingeooUicienten en

de toegevoegde ma0

ea voor elke eectie gratiech uitgoz3t op baaieW, zio de

_bi$govoa..

de figuren.

5,

Vergelijking van de berekende

en m

met metingen.

jn N(1) en

Da totale

dempingscoftioient N en de totale toegovoegde mae.

ea m

volgen uit de bex'ekeningen. door optelling van de waarden per

aectior

N N

(1) + N

(2) +

_. .

+ N(7)

zz

zz

zz

Hierin zijn N(i) en m(l) v.rkregen door extrapolatie, due

onbetrouwbaar. A3.e we de mogslijke fout op 30% stellen betekent dit

tooh sleobte 2 3%

in

N en m. D. totals berekende ooffioienten

motifl du.s goeds overeenstemming verton.n met m.tingen.

a].thane

bin-nen d.

grinsen van de gemaakte

verondsratel.ltngsnl

idsals vloeietof

en sen linuir

probleem.

Len *o.ilijkhaid bij sen dir.cte v.rg.lijking is dat de methods van Grim siechte geldig is voor y a 0, due Fr - 0, terwij]. er geen

me-Ungen zijn bij een getal van Froude lager dan 0,15. De invloed van de eneiheid op de

dexnpingscoeffioiertt I.e

klein, maar op do toegevoeg-de mases toch vrij groot voorC4.J(7. (zio bijv. fguur k, bis. 7'in An Experimental Analysis of Shipmotione in Longitudinal Regular Vayas,

T.N.0. Report 308;

de icroinmen in doze figuur mogen lcwantitati.f niet

a1 vergelijkbaeie dienen cindat zij golden voor bet Todd model inst

6

0,60)4 Vorder blijft bet

de vraag of er bij de seer lage

endue-den goon grote verauderingen optrad.n. V.rgeleksn zijn b

li

en uit metingen met

convier

(Zio Shipmotions in Longitudinal Waves, T .14 0. Report

35

3), de suive

re lineaire component van

de cerate metingen met de excitator en de b.rek.ning.n van Grim (Zio figuur 2). Daaruit blijkt dat de

,v.re.n-stemming bee3. redelijk is. Het karaktor

von de kiomman is g.heel

bet-selfd. en de

voreobi.11on zijn

niet groot Boyen W 9 sijnge.n ber.

keningen volgene Grim te verkz'ijgen omdat de waarden van zijn fretuon

tie-parameter daarvoor niet hoog genoeg zijn.

D. cotfici.nt o, die eon rol epeelt bij de bepaling van

uit hat mietresultaat, is in gering. mate variabel met de eneiheid. Zie daarvoor figuur 3, blm. 8 in Shipsotione in Longitudinal Waves.

Bij Fr 0,20 en

yoGi 6 -

0,70 ii de

afwijking van de itatiiohe

wairde

0

echter so

kein dat dit goon inv]oed op.m bseft.

IN'

__

2

*

101 _{kg maeo (coat water')}

=

gg a 1000 X 9,81 a 9810

a. (3

f

Hierin is B de breedte van elke sactie. De factor (

f ja

ean constant.; de uit de diagrammen afgelezen groothei.d C ta schaa1onaf}anke).ijk gemaakt (zia blm. 5) zodat door de

factor a2 kwadratieah met 4e schaa2. varandart

(iroor kleine model bU overeenkometige )

a

e (veer grete model bij tata lager. CA.i),

of a

APPNDX.

Bereicening van N(x) en

m(klein) a 0,8573 x zn(groot).

Een eenvoudige controle hierop voor n waarde is rnogelijk

door m volgene de formule m = ,'D

f

_{B2.0 te berekenen voor} hat grootepant (ord. IO). Daar ta B galijk aan 4e modeibreedte di. 32,25 cm. De factor

(

f

B2 ta dan voora]Xa frequeities

sen constante:

I'f

B2 = 101 ,91 x 10 x

f

z 32,25 = 0,1633 ? ßeo

am2

Due voor ord. 10 moat ook gelden:

.2

-31 'J=3,637 I

N(x)

4r

¡2

203,912

¡2

_1r°

= 20,3912

¡2

s(x)

0,8573 z (m

vooz' grote niodel bijc

Af1ezugen.

¡'2

N(x)

Ord

gr

eec/c2

gr

eec2/crn2 b a

I

2

O196

12O3

0,03842

0,783'.

0,1889

k

0,283

1,011.1

0,08123

1,6361. 0,348.7 6

0,299

1,060

0,08940

1,8230

0,433'.

8

_0,299

₁₀₇₉

0,08940

1,8230

0,4492

10

_0,299

i,o8a

0,08940

1,8230

0,4505

12

_0,299

1,082

0,0891.0

1,8230

0,4503

1k

_0,292

i,o8i

0,08526

1,7386

0,1.367 16 0,21.6

1,055

0,06052

1,2341

0,3004

18

0,146

1,035

0,02132

0,1.311.7

0,0796

19

0,075

0,877

0,00563

0,1148

0p013?.

20

1.3

P

¡2

¡2

136,562

¡2 LSe_!

N(x)

_7?555'

=

13,6562 ¡

r5eO

cm2

a(x) = 0,8573 x (m

'oor grate model bU Q

kOo).

AflezUng.fl.

_'z,

_,

Ord.

--A C

_gr

eeo2/cm2

b

a

o 2 0,21ê9

1,03k

0,0620

o,8k67

0,1623

2f

0,351

0,935

0,1232

i,68a

0,3132

6

_0,362

_0,95k

0,1310

_1,7890

_0,3901

8

_0,361

0,991

0,1305

1779

0,k126

10

_0,361

_0,995

0,1303

1,779k

0,kIka

12

o,6i

_0,995

0,1303

1,779k

0,klk2

1k

0,j6

_0,976

_0,132

1,8190

_0,3943

16

0,311

09k8

0,0967

1,3206

0,2700

18

_0,185

_0,925

_0,03k2

_O,ê7O

0,0712

20 pi

-4-¡2 1Vø.q

_5,2528

¡2 ¡.t...ta

N(x)

52,528

a 0,8573 z('5yoor rote

ode1 bij

a

_5,50)

Ord.

Af1eingefl

N' (z)

'

(X)

r

k

_gruo/om

2

_graeo/ca

2 2 b a

o

2

0,29

O,i814O

0,9665

0,1133

1+

0,569

0,679

0,3238

1,7009

0,227k

6

_0,563

_0,776

₀₃₁₇₀

i,66i

0,3173

8

O537

0,853

0288k

1,511+9

0,3552

10

0,53k

o,862

o,28a

1,1+981

0,3589

0,53k

o,86a

0,2852

1,4981

0,3589

1k

_0,539

o,818

0,2905

1,5259

0,5301+ 16 o,'+88

0,736

0,2381

1,2507

0,2096

18

0,289

0,715

0,0835

0,1+386

0,0530

20

6

c.

6,755

N(x)

_5o07

¡2

31,827

¡2

_kmf

0

3,1827

¡2

m(x)

0,8573 x(m

voor grote model bij

= 6,50)

N' Cx)

& (z)

Ord.

C

¡2

gr

_sec/cm2

gr

b

a

o

2

0561

0,596

0,311+7

1,0016

o0935

1+

0,690

0,620

0,4761

15153

12077

6

_0,651

0,769

0,1+238

1,3488

0,3145

8

0,605

0,869

0,3660

1,1649

0,3618

10

_0,399

0,880

0,3588

1,11+20 _0,3661+

12

0,399

o,88o

0,3388

1,11+20

0,3664

11+

0,619

0,788

0,3832

1,2196

0,3183

16

_0,581

0,727

0,3376

1,0745

0,2070

18

_0,343

o,6e3

0,1176

037k3

0,01+95

20

7.

-

6-(a.)

7794

¡2

_20,720

¡2

_2,0720

¡2

cm2

m(x) = 0,8573 x(m. voor grote model bij 4)

y,50)

Lfleziigen

Ord.

N'(z)

gr

eec/ca2

gr

ee02/Cm2 d

c

o,i16

b

0,270

a

0,376

1

0,512

14.

0,742

2

_0,689

9530

0,4747

0,9836

o,o832

3

0,781

0542

0,6100

1,2639

o,ikoi

0,792

0,604

0,6273

1,2998

0,2025

3

0,765

0,701

0,5853

1,2127

0,2695

6

0,708

0,787

0,5013

1,0387

0,3217

7

0,655

0,860

0,4290

0,8889

0,3580

8

0,628

0,893

Q3914k

0,8172

0,3726

9

0,618

0,907

0,3819

0,7913

0,3776

io

0,618

0,907

0,3819

0,7913

0,3776

11

o,6i8

_0,907

0,3819

0,7913

0,3776

12

0,618

0,907

0,3819

0,7913

0,3776

13

0,637

0,883

o,ko8

o,84o8

0,3676

14

0,661

0,863

0,4369,

0,9053

o,486

15

0,672

0,805

o,ki6

0,9357

0,2930

16

0,649

0,738

0,4212

0,8727

0,2101 1?

0,548

0,679

0,3003

0,6222

0,1213

18

_0,389

0,629

0,151

0,3135

0,0484

18*

0,291

0,619

0,0847

0.1155

o,oak8

19

ø,181

0,608

0,0328

o,o68o

0,0095

193.

0014

20

-7-8. 8,833

N(x)

¡2

¡2

2.

1,4235

¡2

±c

6S9,167 14,235

a(x)

0,8573 x(m

voor grate model bij

c.

8,50)

Ord.

Aflezingeu

N' (z)

zz

m' (z)

zz

-A C

2

A

_{gr sao/orn}

2

_{gr seo /crn}

2 2 b a o 2 0,799 0,482 0,6384 _0,9088 0,0756 k

0,874

_{0,623 0,7639 1,0874 0,208?} 6 _{0,712 0,853 0,5069 0,7216 0,3487} 8 _0,605 0,987 0,3660

o521O

0,4109 10 _0,593

1,002

0,3516 _{0,5005 0,4172} 12

₀₅₉₃

1002

0,3516 0,5005 0,4172 1k 0,651

_0,925

_0,4238

_0,6033 0,3737 16 0,672 _0,783 0,4516 _{0,6429 0,2230} 18 0,408 0,667 0,1665 _0,2370

₀₀₅₁₄

20