Zasady zachowania (pdf),

Elektrodynamika

Część 7

Zasady zachowania

Ryszard Tanaś

Zakład Optyki Nieliniowej, UAM

Spis treści

8 Zasady zachowania 3

8.1 Ładunek i energia . . . 3

8 Zasady zachowania 8.1 Ładunek i energia 8.1.1 Równanie ciągłości Q(t) = Z V ρ(r, t) dτ ładunek w obszarze V

8 Zasady zachowania 8.1 Ładunek i energia 8.1.1 Równanie ciągłości Q(t) = Z V ρ(r, t) dτ ładunek w obszarze V dQ dt = − Z S

8 Zasady zachowania 8.1 Ładunek i energia 8.1.1 Równanie ciągłości Q(t) = Z V ρ(r, t) dτ ładunek w obszarze V dQ dt = − Z S

J · da zasada zachowania ładunku

Z V ∂ρ ∂t dτ = − Z V ∇ · J dτ

8 Zasady zachowania 8.1 Ładunek i energia 8.1.1 Równanie ciągłości Q(t) = Z V ρ(r, t) dτ ładunek w obszarze V dQ dt = − Z S

J · da zasada zachowania ładunku

Z V ∂ρ ∂t dτ = − Z V ∇ · J dτ ∂ρ ∂t = −∇ · J równanie ciągłości

8.1.2 Twierdzenie Poyntinga

W_e = 0 2

Z

8.1.2 Twierdzenie Poyntinga W_e = 0 2 Z E2 dτ W_m = 1 2µ₀ Z B2 dτ

8.1.2 Twierdzenie Poyntinga W_e = 0 2 Z E2 dτ W_m = 1 2µ₀ Z B2 dτ U_em = 1 2 Z ₀E2 + 1 µ₀ B 2 !

dτ całkowita energia zmagazynowana w polu elektromagnetycznym

8.1.2 Twierdzenie Poyntinga W_e = 0 2 Z E2 dτ W_m = 1 2µ₀ Z B2 dτ U_em = 1 2 Z ₀E2 + 1 µ₀ B 2 !

dτ całkowita energia zmagazynowana w polu elektromagnetycznym

Ogólniejsze wyprowadzenie:

8.1.2 Twierdzenie Poyntinga W_e = 0 2 Z E2 dτ W_m = 1 2µ₀ Z B2 dτ U_em = 1 2 Z ₀E2 + 1 µ₀ B 2 !

dτ całkowita energia zmagazynowana w polu elektromagnetycznym

Ogólniejsze wyprowadzenie:

F · dl = q(E + v × B) · v dt = qE · v dt

dW

dt =

Z

V

dW dt = Z V (E · J ) dτ E · J = 1 µ₀ E · (∇ × B) − 0E · ∂E ∂t z prawa Ampère’a-Maxwella

dW dt = Z V (E · J ) dτ E · J = 1 µ₀ E · (∇ × B) − 0E · ∂E ∂t z prawa Ampère’a-Maxwella ∇ · (E × B) = B · (∇ × E) − E · (∇ × B) pochodne iloczynów

dW dt = Z V (E · J ) dτ E · J = 1 µ₀ E · (∇ × B) − 0E · ∂E ∂t z prawa Ampère’a-Maxwella ∇ · (E × B) = B · (∇ × E) − E · (∇ × B) pochodne iloczynów ∇ × E = −∂B ∂t prawo Faradaya

dW dt = Z V (E · J ) dτ E · J = 1 µ₀ E · (∇ × B) − 0E · ∂E ∂t z prawa Ampère’a-Maxwella ∇ · (E × B) = B · (∇ × E) − E · (∇ × B) pochodne iloczynów ∇ × E = −∂B ∂t prawo Faradaya E · (∇ × B) = −B · ∂B ∂t − ∇ · (E × B)

dW dt = Z V (E · J ) dτ E · J = 1 µ₀ E · (∇ × B) − 0E · ∂E ∂t z prawa Ampère’a-Maxwella ∇ · (E × B) = B · (∇ × E) − E · (∇ × B) pochodne iloczynów ∇ × E = −∂B ∂t prawo Faradaya E · (∇ × B) = −B · ∂B ∂t − ∇ · (E × B) B · ∂B ∂t = 1 2 ∂ ∂t(B 2 ), E · ∂E ∂t = 1 2 ∂ ∂t(E 2 )

E · J = −1 2 ∂ ∂t 0E 2 + 1 µ₀ B 2 ! − 1 µ₀ ∇ · (E × B)

E · J = −1 2 ∂ ∂t 0E 2 + 1 µ₀ B 2 ! − 1 µ₀ ∇ · (E × B) dW dt = − d dt Z V 1 2 0E 2 + 1 µ₀ B 2 ! dτ − 1 µ₀ I S (E × B) · da

Twierdzenie Poyntinga: praca wykonana nad ładunkami przez siły elektromagnetyczne jest równa ubytkowi enegii zmagazynowanej w

polach, pomniejszonemu o energię, która wypłynęła przez powierzchnię ograniczającą obszar

E · J = −1 2 ∂ ∂t 0E 2 + 1 µ₀ B 2 ! − 1 µ₀ ∇ · (E × B) dW dt = − d dt Z V 1 2 0E 2 + 1 µ₀ B 2 ! dτ − 1 µ₀ I S (E × B) · da

Twierdzenie Poyntinga: praca wykonana nad ładunkami przez siły elektromagnetyczne jest równa ubytkowi enegii zmagazynowanej w

polach, pomniejszonemu o energię, która wypłynęła przez powierzchnię ograniczającą obszar

S ≡ 1

dW dt = − dU_em dt − I S S · da

dW dt = − dU_em dt − I S S · da dW dt = d dt Z V

u_mech dτ praca wykonana nad ładunkami zwiększa ich energię mechaniczną

dW dt = − dU_em dt − I S S · da dW dt = d dt Z V

u_mech dτ praca wykonana nad ładunkami zwiększa ich energię mechaniczną

u_em = 1 2 0E 2 + 1 µ₀ B 2 !

dW dt = − dU_em dt − I S S · da dW dt = d dt Z V

u_mech dτ praca wykonana nad ładunkami zwiększa ich energię mechaniczną

u_em = 1 2 0E 2 + 1 µ₀ B 2 !

gęstość energii pola

d dt Z V (u_mech + u_em) dτ = − I S S · da = − Z V (∇ · S) dτ

dW dt = − dU_em dt − I S S · da dW dt = d dt Z V

u_mech dτ praca wykonana nad ładunkami zwiększa ich energię mechaniczną

u_em = 1 2 0E 2 + 1 µ₀ B 2 !

gęstość energii pola

d dt Z V (u_mech + u_em) dτ = − I S S · da = − Z V (∇ · S) dτ ∂ ∂t(umech + uem) = −∇ · S

8.2 Pęd

8.2.2 Tensor napięć Maxwella

F = Z V (E + v × B)ρ dτ = Z V (ρE + J × B) dτ

8.2 Pęd

8.2.2 Tensor napięć Maxwella

F = Z V (E + v × B)ρ dτ = Z V (ρE + J × B) dτ

8.2 Pęd

8.2.2 Tensor napięć Maxwella

F = Z V (E + v × B)ρ dτ = Z V (ρE + J × B) dτ

f = ρE + J × B gęstość siły

f = ₀(∇ · E)E + 1 µ₀ ∇ × B − 0 ∂E ∂t ! × B

8.2 Pęd

8.2.2 Tensor napięć Maxwella

F = Z V (E + v × B)ρ dτ = Z V (ρE + J × B) dτ

f = ρE + J × B gęstość siły

f = ₀(∇ · E)E + 1 µ₀ ∇ × B − 0 ∂E ∂t ! × B ∂ ∂t(E × B) = ∂E ∂t × B ! + E × ∂B ∂t ! tożsamość

∂B

∂B ∂t = −∇ × E prawo Faradaya ∂E ∂t × B = ∂ ∂t(E × B) + E × (∇ × E)

∂B ∂t = −∇ × E prawo Faradaya ∂E ∂t × B = ∂ ∂t(E × B) + E × (∇ × E) f = ₀[(∇ · E)E − E × (∇ × E)] − 1 µ₀ [B × (∇ × B)] − 0 ∂ ∂t(E × B) + 1 µ₀ (∇ · B)_{| {z }} =0 B

∂B ∂t = −∇ × E prawo Faradaya ∂E ∂t × B = ∂ ∂t(E × B) + E × (∇ × E) f = ₀[(∇ · E)E − E × (∇ × E)] − 1 µ₀ [B × (∇ × B)] − 0 ∂ ∂t(E × B) + 1 µ₀ (∇ · B)_{| {z }} =0 B ∇(A · B) = A × (∇ × B) + B × (∇ × A)

∂B ∂t = −∇ × E prawo Faradaya ∂E ∂t × B = ∂ ∂t(E × B) + E × (∇ × E) f = ₀[(∇ · E)E − E × (∇ × E)] − 1 µ₀ [B × (∇ × B)] − 0 ∂ ∂t(E × B) + 1 µ₀ (∇ · B)_{| {z }} =0 B ∇(A · B) = A × (∇ × B) + B × (∇ × A)

+ (A · ∇)B + (B · ∇)A pochodne iloczynów

E × (∇ × E) = 1 2∇(E 2 ) − (E · ∇)E B × (∇ × B) = 1 2∇(B 2 ) − (B · ∇)B

E × (∇ × E) = 1 2∇(E 2 ) − (E · ∇)E B × (∇ × B) = 1 2∇(B 2 ) − (B · ∇)B f = ₀[(∇ · E)E + (E · ∇)E] + 1 µ₀ [(∇ · B)B + (B · ∇)B] − 1 2∇ 0E 2 + 1 µ₀ B 2 ! − ₀ ∂ ∂t(E × B)

E × (∇ × E) = 1 2∇(E 2 ) − (E · ∇)E B × (∇ × B) = 1 2∇(B 2 ) − (B · ∇)B f = ₀[(∇ · E)E + (E · ∇)E] + 1 µ₀ [(∇ · B)B + (B · ∇)B] − 1 2∇ 0E 2 + 1 µ₀ B 2 ! − ₀ ∂ ∂t(E × B) T_ij ≡ ₀  E_iE_j − 1 2δijE 2  + 1 µ₀  B_iB_j − 1 2δijB 2  tensor napięć Maxwella

E × (∇ × E) = 1 2∇(E 2 ) − (E · ∇)E B × (∇ × B) = 1 2∇(B 2 ) − (B · ∇)B f = ₀[(∇ · E)E + (E · ∇)E] + 1 µ₀ [(∇ · B)B + (B · ∇)B] − 1 2∇ 0E 2 + 1 µ₀ B 2 ! − ₀ ∂ ∂t(E × B) T_ij ≡ ₀  E_iE_j − 1 2δijE 2  + 1 µ₀  B_iB_j − 1 2δijB 2  tensor napięć Maxwella δ_ij =      1 dla i = j 0 dla i 6= j delta Kroneckera

T_xx = 1 20(E 2 x − Ey2 − Ez2) + 1 2µ₀ (B 2 x − By2 − Bz2) T_xy = ₀(E_xE_y) + 1 µ₀ (BxBy) itd.

T_xx = 1 20(E 2 x − Ey2 − Ez2) + 1 2µ₀ (B 2 x − By2 − Bz2) T_xy = ₀(E_xE_y) + 1 µ₀ (BxBy) itd. (a · ←T )→ _j = X i=x,y,z

T_xx = 1 20(E 2 x − Ey2 − Ez2) + 1 2µ₀ (B 2 x − By2 − Bz2) T_xy = ₀(E_xE_y) + 1 µ₀ (BxBy) itd. (a · ←T )→ _j = X i=x,y,z

a_iT_ij iloczyn wektora a z tensorem ←T→

(∇ · ←T )→ _j = ₀  (∇ · E)E_j + (E · ∇)E_j − 1 2∇jE 2  + 1 2µ₀  (∇ · B)B_j + (B · ∇)B_j − 1 2∇jB 2 

T_xx = 1 20(E 2 x − Ey2 − Ez2) + 1 2µ₀ (B 2 x − By2 − Bz2) T_xy = ₀(E_xE_y) + 1 µ₀ (BxBy) itd. (a · ←T )→ _j = X i=x,y,z

a_iT_ij iloczyn wektora a z tensorem ←T→

(∇ · ←T )→ _j = ₀  (∇ · E)E_j + (E · ∇)E_j − 1 2∇jE 2  + 1 2µ₀  (∇ · B)B_j + (B · ∇)B_j − 1 2∇jB 2  f = ∇ · ←T − → ₀µ₀ ∂S ∂t

F = I S ←→ T · da − ₀µ₀ d dt Z V S dτ

F = I S ←→ T · da − ₀µ₀ d dt Z V S dτ

8.2.3 Zasada zachowania pędu

F = dpmech dt

F = I S ←→ T · da − ₀µ₀ d dt Z V S dτ

8.2.3 Zasada zachowania pędu

F = dpmech dt dp_mech dt = −0µ0 d dt Z V S dτ + I S ←→

F = I S ←→ T · da − ₀µ₀ d dt Z V S dτ

8.2.3 Zasada zachowania pędu

F = dpmech dt dp_mech dt = −0µ0 d dt Z V S dτ + I S ←→

T · da zasada zachowania pędu

p_em = ₀µ₀

Z

V

℘_em = ₀µ₀S gęstość pędu pola

∂

∂t(℘mech + ℘em) = ∇ ·

←→

℘_em = ₀µ₀S gęstość pędu pola ∂ ∂t(℘mech + ℘em) = ∇ · ←→ T ←→

8.2.4 Moment pędu u_em = 1 2 0E 2 + 1 µ₀ B 2 ! gęstość energii

8.2.4 Moment pędu u_em = 1 2 0E 2 + 1 µ₀ B 2 ! gęstość energii ℘_em = ₀µ₀S = ₀(E × B) gęstość pędu

8.2.4 Moment pędu u_em = 1 2 0E 2 + 1 µ₀ B 2 ! gęstość energii ℘_em = ₀µ₀S = ₀(E × B) gęstość pędu

8.2.4 Moment pędu u_em = 1 2 0E 2 + 1 µ₀ B 2 ! gęstość energii ℘_em = ₀µ₀S = ₀(E × B) gęstość pędu

`_em = r × ℘_em = ₀[r × (E × B)] gęstość momentu pędu