View of Isomorphism of the characteristic semi- group of the direct sum and direct product of the asynchronous automatons of the strongly connected and determined analogs of their extensions

I

_{eksploatacja i testy}

312

AUTOBUSY 12/2018

Stanisław Bocian

Izomorfizm półgrupy charakterystycznej sumy prostej i iloczynu

prostego „G” i A

G

automatów asynchronicznych silnie spójnych

i ustalonych analogów ich rozszerzeń związanych

z izomorfizmami DFASC

2

JEL: L62 DOI: 10.24136/atest.2018.406

Data zgłoszenia:19.11.2018 Data akceptacji:15.12.2018

W artykule W artykule przedstawiono, że półgrupa charakterystycz-na sumy prostej i iloczynu prostego automatów

"G

"

i _" G"

A

asynchronicznych silnie spójnych i ustalone analogi ich rozszerzeń są izomorficzne. Wziąwszy pod uwagę iż półgrupa charaktery-styczna określa zdolność do przetwarzania informacji, to sumę prosta iloczyn prosty można uważać za realizację – odpowiednio sekwencyjnych i równoległych obliczeń. Uzyskane rezultaty ozna-czają iż owa zdolność nie zależy od realizacji sekwencyjnej lub równoległej (taka sama liczba klas abstrakcji odpowiednich półgrup charakterystycznych).

Słowa kluczowe automat, półgrupa charakterystyczna, izomorfizm

Wstęp

Rozwój teorii automatów był stymulowany przez dwie uzupeł-niające się tendencje:

a) konstruowanie modeli bliżej związanych ze współczesnym sprzętem i oprogramowaniem,

b) znajdowanie poprawnych narzędzi matematycznych (języka matematycznego), w którym można wyrazić procesy oblicze-niowe o dużej różnorodności.

Od wielu lat jesteśmy świadkami intensywnego rozwoju teorii automatów, szczególnie algebraicznej teorii automatów rozwijanej na gruncie teorii półgrup. Definicja relacji równoważności Myhilla na zbiorze stanów automatu oraz półgrup charakterystycznych automa-tu pozwoliły wydobyć zeń możliwości obliczeniowe.

W ogólnym przypadku półgrupa charakterystyczna posiada

n

n

elementów dlatego interesujące jest pokazanie klasy automa-tów, które posiadają wielomianową zależność liczby elementów półgrupy charakterystycznej od liczby stanów [1,2 ].

W pracy będą rozważane automat asynchroniczne determini-styczne skończone silnie spójne

DFASC

₂ (deterministic finite asynchronous strongly conected) oraz ich poszerzenia związane z izomorfizmami

EXT

DFSC

₂

1. Rozważania wprowadzające

Relację

R



X



Y

nazywamy funkcją, gdy dla każdego

X

a 

istnieje dokładnie jeden element

b 

Y

taki, że

b

R

a

. Zbiór X jest nazywany zbiorem określoności, a zbiór Y zbiorem wartości funkcji. Funkcja

f

jest

1 

1

(różnowarto-ściowa, jednoznaczna), gdy

a 

₁

a

₂ implikuje, że

f

 

a

₁



f

 

a

₂ . Funkcja jest „na ”, gdy

 



b

b

f

a

a

X



Y



:



,



.

Grupoidem nazywamy parę uporządkowaną

 

S

,



gdzie:

S

– niepusty zbiór,

 



– operacja binarna na zbiorze stanów

S

. Operacją binarną na zbiorze S nazywamy przekształcenie niepu-stego podzbioru zbioru



S 

S



w zbiór

S

. Binarną operację

 



na zbiorze S nazywamy łączną (asocjatywną), jeśli



b

c

 

a

b

c



a











dla wszystkich

a

,

b

,

c



S

.

Półgrupą, nazywamy taki grupoid

 

S

,



, w którym operacja

 



jest asocjatywna. Niech



będzie dowolnym zbiorem niepu-stym. Zbiór



będziemy nazywali alfabetem, a jego elementy literami. Słowem

x

w alfabecie



nazywamy dowolny ciąg liter alfabetu napisanych obok siebie, a długością słowa (oznaczoną przez

x

) nazywamy liczbę tych liter



.

Skończonym automatem zdeterminowanym bez wyjść nazy-wamy uporządkowaną trójkę



S

,

,

M



, gdzie:

S

– skończony, niepusty zbiór stanów



– skończony, niepusty zbiór wejść

S

S

M

:







: jest funkcją przejść.

Symbolem



 oznaczać będziemy przeliczalny nieskończony zbiór ciągów o skończonej długości, utworzony z elementów zbioru



. Zbiór



 razem z operacją konkatenacji (operacja połączenia dwóch słów, polegającą na napisaniu ich obok siebie w celu otrzy-mania nowego słowa), tworzy półgrupę wolną zwaną półgrupą wejściową. Symbolem



 oznaczać będziemy monoid wejściowy, czyli















gdzie



, jest ciągiem pustym.

Funkcję

M

rozszerzamy do obszaru określoności

S







w podany poniżej sposób. niech:

M ,

 

s

x

będzie zdefiniowane, wtedy:

M



s

,

x







M



M

 

s

,

x

,

,





dla każdego

s 

S

,







x

,







Na zbiorze



 zdefiniujemy relację:

xRy

wtedy i tylko wtedy, gdy



_sS

M

 

s

,

x



M

 

s

,

y

.

R

jest relacją równoważności (relacja Myhilla). Klasę równoważ-ności zawierającą element

x





 oznaczać będziemy

x

, a zbiór wszystkich klas równoważności oznaczać będziemy

I

. Zbiór

I

łącznie z operacją

 



gdzie

x



y



xy

, tworzy półgrupę (odpo-wiednio monoid), zwaną półgrupą charakterystyczną (odpo(odpo-wiednio

I

_{eksploatacja i testy}

AUTOBUSY 12/2018

₃₁₃

monoidem charakterystycznym). Półgrupę charakterystyczną auto-matu

A

oznaczać będziemy

I

(A

)

.

Składnikiem autonomicznym automatu

A



(

S

,



,

M

)

na-zywamy automat

A 

_x

(

S

,

 

x

,

M

_x

)

gdzie

x





 i

M

_x jest ograniczeniem

M

.do

S 

 

x

.

Dla każdego

x





 definiujemy przekształcenie

f

_x zbioru

S

w siebie, gdzie :

f

_x

 

s



M

 

s

,

x

, dla każdego

s 

S

. Przekształcenie

f

_x jest implikowane przez

x

. Zbiór przekształ-ceń zbioru

S

w siebie mplikowanych przez wszystkie elementy z



, będziemy oznaczać symbolem

J.

J

ze względu na operację superpozycji, jest zbiorem generatorów pewnej półgrupy

F

. Półgrupa

F

jest antyizomorficzna z

I

ponieważ:

 

,

,

:

I



F



x



f

_x



gdzie

x 

I

,

x 

I

przy czym:

 

i





x



y

  





xy



f

_xy



f

_y

 

f

_x





   

y



x

(brak zachowania operacji)

 

   

 

 

y

x

xRy

y

s

M

x

s

M

f

f

y

x

ii

_{x y s S}





















_

,

,



a zatem



jest 1 ÷ 1

 

iii



 

x



f

_x





1



 

x





1

 

f

_x



x





1

f

_x a zatem



jest na

Automat

A





S

,

,

M



jest silnie spójny wtedy i tylko wtedy, jeśli dla każdej pary



s

₁

, s

₂



stanów automatu

A

istnieje element

x

z półgrupy wejściowej taki, że:

M

 

s

₁

,

x



s

₂.

Automat

A





S

,

,

M



będziemy nazywać asynchronicz-nym wtedy i tylko wtedy gdy, dla każdego

s 

S

i







zachodzi

M

 

s

,





M



s

,





.

Automat

A





S

,

,

M



jest zupełny, jeśli jego funkcja przej-ścia jest zupełna.

Automat

A





S

,

,

M



jest w pełni określony, jeśli jego funkcja przejść jest w pełni określona.

Automat G

A

będziemy nazywać zbiór dowolnej liczby

automa-tów G



_g



A

A

A

A



₁

,

₂

,...,

Niech

A



A1

S

_,

_,

A1

M



1





,

A



S

M



A A_{2 2}

,

,

2





, będą

automatami deterministycznymi. Funkcja

f

:

A

₁



A

₂ jest rozumiana jako funkcja przekształcająca A1

S

w A2

_S

.

Funk-cję

f

:

A

₁



A

₂ nazywamy homomorfizmem (zachowuje opera-cje), jeżeli:

_f



A1

_M

 

_s

,







A2

_M



_f

 

_s

,





.dla każdego

S

s 

i







.

Jeżeli

f

:

A

₁



A

₂ jest 1 ÷ 1 i „na” oraz zachowuje operacje, to

f

nazywamy izomorfizmem.

Niech 0



0 0



,

,

2

i

A

S

M

q







będzie automatem oraz niech,

A

1





S

1

,



,

M

1



,...,

A

q1





S

q1

,



,

M

q1

)

będą obrazami izomorficznymi związanymi z izomorfizmami stano-wymi

g

1



Iz

(

A

0



A

1

),...,

g

q1



Iz

(

A

q2



A

q1

)

. Rozszerzeniem

q

automatu 0

A

związanym z izomorfizmami stanowymi 0 1 1

,...,

,

g

g

q

g

nazywamy trójkę uporządkowaną

 



   



M

S

A

ext

q ext A ext A

q q

,

, 



gdzie:  





 



,0 ,1 , 1



1 1 0

,...,

,

;

,...,

,

 





q q q q q A ext q A ext

M

M

M

M

S

S

S

S

q q

1

,...,

1

,

0

;

:

S



S

i



q



g

i i ,



s

₀

,

s

₁

,...,

s

_n1



;

S

i



s

₀i

,

s

₁i

,...,

s

_ni ₁



.

S



_



_ natomiast

 

_j

;

i i j

g

s

s 

j =0,1,...,,

Ustalonym analogiem rozszerzeń

ext

q

A



(

S

,



,

M

)

automatu



S

M



A



, 

,

związanego z izomorfizmami 1 1 0

,...,

,

g

g

q

g

jest trójka uporządkowana

 







_



  

_

  



M

S

A

ext

_q extq A extq A

,

,

gdzie:            

_

_

_

_

S

S

M

a

S

S

qi i ext A ext ext A A ext_{q q q q}

:

;

1 0



jest funkcją przejść zdefiniowaną dla dowolnych i

S

s 

, jak na-stępuje extq A

M



 

s

,





M

q,i

(

s

,



)

_.

Suma prosta automatów



1

,

,

1



,

1

S

M

A



A



A

A



A2

S

_,

_,

A2

M



2





,...,



S

M



A

Ag Ag

g



, 

,

jest trójka uporządkowaną:



S

M



A

A

A

A A Ag A A Ag g      











,..., ,..., 2 1 2 1 2 1

,

,

,...,

gdzieA A Ag

S

A

S

A

S

Ag

S

,...,

2 1 2 1 ,...,







i dla każdego A1A2,...,Ag

S

_i







_zachodzi







     

S

M

g g A A A A A A1 2 ,..., 1 2 ,...,

:

A1A2,...,Ag

S

Iloczyn prosty automatów



S

M



A

A1

_,

_,

A1 1





,

A



S

M



A A2

_,

_,

21 2





,...,

A



S

M



g g A A g



,

,

jest trójką uporządkowaną:



S

M



A

A

A

A A Ag A A Ag g      

_









,... ,... 2 1 2 1 2 1

,

,

,...,

gdzie :A A Ag

S

A

S

A

S

Ag

S

,...,

2 1 2,...,







 i







    

S

M

g g A A A A A A1 2 ,...,, 1 2 ,...,

:

A1A2,...,Ag

S

_,

a funkcja przejść jest zdefiniowana jak następuje





 







 



















,

,..,

,

,

,

,

,...,

,

2 2 1 1 2 1 2 1 2 1 ,...,

s

M

s

M

s

M

s

s

s

M

g g g g A A A A A A A A A A A A



 

Dla wszystkich przedstawionych rozważań









₀

,



₁



, wpro-wadzamy

x

0





0



1

i

x

1





1



0, dla których

I

_{eksploatacja i testy}

314

AUTOBUSY 12/2018

 

_{0 1 0}

 

₁ 1 0

f



f



,

f

f



f



f

_x



_x



. Dla dowolnego

x







definiujemy przekształcenie

f

_x

:

S





w

S

określone jak następuje:



_sS

f

_x

(

s

)



M

(

s

,

x

)

, gdzie: dla

x 

x

'



mamy



_sS

f

_x

(

s

)



f

_x'

(

s

)



f

_

(

f

_x'

(

s

,



))

.

2. Izomorfizm półgrupy charakterystycznej sumy prostej i iloczynu prostego “G” i “AG” _{automatów asynchronicznych}

silnie spójnych i ustalonych analogów ich rozszerzeń związanych z izomorfizmami DFASC2.

Twierdzenie 1 Niech

A



A1

S

_,

_,

A1

M



1





,

A



S

M



A A2

_,

_,

21 2





,...,

A



S

M



g g A A g



,

,

będą "

"

G

automatami z klasy

DASC

2 takimi, że

 

1

_S



2

card

A ,

card

 

A2

S

,...,

_card

 

Ag

_S



₂

_oraz





0

,



1







wtedy półgrupa charakterystyczna



A

A

A

g



I



₁



₂

,...,



sumy prostej automatów

g

A

A

A

1

,

2

,...,

jest izomorficzna z półgrupą

charakterystycz-ną

I



A

₁



A

₂



A

_g



iloczynu prostego automa-tów

A

₁

,

A

₂

,...,

A

_g gdzie:

x

₀





₀



₁,

x

₁





₁



₀

Dowód.1

Wiadomo z [1,2] jak również z rozważań wprowadzających niniej-szej pracy że na zbiorze



 zdefiniujemy relację:

xRy

wtedy i tylko wtedy, gdy



_sS

M

 

s

,

x



M

 

s

,

y

Relacja

R

jest relacją równoważności (relacja Myhilla). Klasę równoważności zawierającą element

x





 oznaczać będzie-my

x

, a zbiór wszystkich klas równoważności oznaczać będzie-my

I

. Zbiór

I

łącznie z operacją

 



, gdzie

x



y



xy

two-rzy półgrupę (odpowiednio monoid), zwaną półgrupa charaktery-styczną (odpowiednio monoidem charakterystycznym). Półgrupę charakterystyczną automatu

A

oznaczać będziemy

I

(A

)

.

W pracy

 

5

,

6

wykazano równoliczność rozważanych pół-grup charakterystycznych(taka dla sumy prostej i iloczynu prostego automatów)

Teraz dowodzimy własność izomorfizmów Niech::



:

I



A

₁



A

₂



,...,



A

_g







I



A

₁



A

₂



,...,



A

_g



niech



 

x 

x

def

.

1

Z rozważań wprowadzających i pracy

 

1

wynika, że

 

x



f

_x

def

.

2



 

s

x

M

f

_x S s



,



_ , gdzie

x

jest dowolnym reprezentantem klasy

x

def

.

3

Aby wykazać że



jest izomorfizmem półgrupy charaktery-stycznej, należy:

 

i



  

   

x

x

zachowana

operacja

x

x

x

x

x

x

x

x

2 1 2 1 2 1 2 1 2 1























 

   









_





_





_







             2 2 1 2 1 2 2 1 1 2 ,..., ,..., ,..., ,..., 2 1

.

2

x A A A x A A A x A A A x A A A

f

f

f

f

def

z

x

x

ii

g g g g













2 1 2 1 2 1

,

,

3

.

1 2,..., 1 2,...,

x

x

x

x

x

s

M

x

s

M

def

z

S s S s A A Ag A A Ag













     _, a zatem



jest „

1

1

”

 

iii



 

x



x

jest oczywiście „na”.

W pracach

 

5

,

6

wykazano równoliczność (taki sam zbiór przekształceń) odpowiednich półgrup charakterystycznych dla sumy prostej i iloczynu prostego

G

iautomatów

DFASC

₂

Twierdzenie 2. Niech



A

A

A





S

M



ext

A A Ag A A Ag g q 1 1 2 1 ,..., ,..., 2 1

,...,

,

,

   











będą rozszerzeniami związanymi z izomorfizmami

1 1 0

,...,

,

g

g

q

g

A

G sumy prostej











S

M



A

A

A

A A Ag A A Ag g      

_





,..., ,..., 2 1 2 1 2 1

,

,

,...,

i iloczynu prostego











S

M



A

A

A

A A Ag A A Ag g      

_







,..., ,..., 2 2 1 2 1

,

,

,...,

au-tomatów

A



A1

S

_,

_,

A1

M



1





,

A



S

M



A A_{2 2}

,

,

2





,..,



S

M



A

Ag Ag

g



, 

,

z klasy DFSC2 takimi, że

 

1

_S



2

card

A

_card

 

A2

_S



2

,...,

_card

 

Ag

_S



₂

_oraz





0

,



1







; wtedy półgrupa charakterystyczna











_

_

_





g q

A

A

A

ext

I

_{1 2}

,...,

ustalonego analogu

rozsze-rzenia sumy prostej automatów

A

₁

,

A

₂

,...,

A

_g jest izomorficzna z półgrupą charakterystyczną ustalonego analogu rozszerzenia iloczynu prostego automatów

I





ext

_q



A

₁



A

₂



,...,

A

_g









automatów

A

₁

,

A

₂

,...,

A

_g

I

_{eksploatacja i testy}

AUTOBUSY 12/2018

₃₁₅

Dowód. 2

W pracach

 

7

,

8

i wykazano równoliczność odpowiednich półgrup charakterystycznych ustalonych analogów rozszerzenia dla sumy prostej i iloczynu prostego G

A

automatów asynchronicznych silnie spójnych

EXT

DFASC

₂. Niech

















 













G q g q

A

A

A

ext

I

A

A

A

ext

I

,...,

,...,

,

:

2 1 2 1



Niech



 

x 

x

def

.

1

Z rozważań wprowadzających [1] wynika że

 

 

2

.

def

f

x



extq A _x



 





_{ }

x

s

M

f

_x A ext S s q

,

  





 



def

.

3



gdzie

x

jest dowolnym reprezentantem z klasy

x

, a

 





  x A ext

f

q _{przekształceniem ustalonego analogu rozszerzenia}

stanowego automatu A związanego z izomorfizmami stanowymi

1 1 0

,...,

,

g

g

q

g

.

Aby wykazać że



jest izomorfizmem półgrup charakterystycz-nych, należy udowodnić że:

 

i





x

1



x

2

  





x

1

x

2



x

1

x

2



x

1



x

2





   

x

1





x

2 (zachowana operacja)

 

   













_





_









           2 2 1 1 2 1 1 2 2 1 1 2 1 ,..., ,..., ,..., ,..., 2 1

2

.

x A A A ext x A A A ext x A A A ext x A A A ext

f

f

f

f

def

z

x

x

ii

f q g q g q g q





















 





 





2 1 2 1 2 1 ,..., ,...,

,

,

3

.

,..., 2 1 ,..., 2 1 2 2 1 2 1

x

x

x

x

x

s

M

x

s

M

f

f

def

z

S S s x A A A ext x A A A ext g A A A q ext g A A A q ext g q g q



















                    a zatem



jest „

1

1

”

 

iii



 

x



x

jest oczywiście „na”.

W pracach

 

7

,

8

wykazano równoliczność (taki sam zbiór przekształceń) odpowiednich półgrup charakterystycznych dla sumy

prostej i iloczynu prostego automatów z klasy.

EXT

DFASC

₂

Podsumowanie

Z chwilą gdy nastąpił zdecydowany rozwój struktur mikrosyste-mów cyfrowych (2001r.), które wciąż ulegają modyfikacją, następuje proces eliminacji w niektórych zastosowaniach technicznych trady-cyjnych sterowników PLC. Struktury mikrosystemów cyfrowych są

wielokrotnie tańsze, mniejsze gabarytowo, zużywają mniej energii, zwiększają wydajność pracy poprzez zintegrowanie składowych systemu. Wykorzystują narzędzia programistyczne PsoC Expres mikrosystemu cyfrowego możemy realizować program w oparciu o sporządzony wcześniej graf automatu. Wykorzystując teorię auto-matów możemy oszacować złożoności programów i czasu wizuali-zacji stanów automatów.

Bibliografia:

1. Bocian S., Badania nad złożonością obliczeniową półgrupy charaktery-stycznej automatów ( praca doktorska Politechnika Poznańska 1986 r.).

2. Bocian S. Inteligentne podsystemy mechatroniczne w badaniach i sterowaniu pojazdów szynowych, Instytut Pojazdów Szynowych „TA-BOR” w Poznaniu,. 2012 r. (Monografia).

3. Bocian S. : A new method of calculating the smallest common multiple, (CONGRESO) w Computational Topology and Geometry and Compu-tation in Teaching Mathematics, pod red. Eladio Dominquez Murillo, Antonio Quintero Toscano, Jose Luis Vincente Cordoba, Universidad de Sevilla 1987 s. 25 – 40.

4. Bocian S. : Izomorfizm półgrupy charakterystycznej sumy prostej i iloczynu prostego SCIENCES, automatów asynchronicznych silnie spójnych i ustalonych analogów ich rozszerzeń Transcomp – XIV Inter-national Conference „ Computer Systems Aided Industry and Transport ” (Logistyka 6/2010), Zakopane 2010

5. Bocian S,: Złożoność półgrup charakterystycznych.„G” automatów asynchronicznych silnie spójnych. Transcomp – XX Międzynarodowa Konferencja Naukowa„ Komputerowe Systemy Wspomagania Nauki, Przemysu i Transportu” (Technika Transportu Szynowego 12/2016 ), Zakopane 2016 r.

6. Bocian S.; Złożoność półgrup charakterystycznych iloczynów prostych .„G” automatów asynchronicznych silnie spójnych. Logitrans – XIV Konferencja Naukowo – Techniczna „Logistyka, Systemy Transporto-we, Bezpieczeństwo W Transporcie” (Autobusy 6/2017), Szczyrk 2017 r.

7. Bocian S. Złożoność półgrup charakterystycznych sum prostych „G” automatów asynchronicznych silnie spójnych ustalonych analogów ich rozszerzeń związanych z izomorfizmami. Transcomp 2017 – XXI Mię-dzynarodowa Konferencja Naukowa „ Komputerowe Systemy Wspo-magania Nauki, Przemysłu i Transportu” (Autobusy 12/2017), Zakopa-ne 2017 r

8. Bocian S,: Złożoność półgrup charakterystycznych iloczynów prostych .„G” automatów asynchronicznych silnie spójnych ustalonych analo-gów ich rozszerzeń związanych z izomorfizmami . Logitrans – XV Kon-ferencja Naukowo – Techniczna „Logistyka, Systemy Transportowe, Bezpieczeństwo w Transporcie” (Autobusy 6/2018), Szczyrk 2018 r.

Isomorphism of the characteristic semi- group of the direct sum and direct product of the asynchronous automatons

of the strongly connected and determined analogs of their extensions

In this article it is presented that the characteristic semi – group of the direct sum and direct product

"G

"

and "

"

A

G of the asyn-chronous automatons of the strongly connected and determined analogs of their extensions are isomorphism. Taking into account that the characteristic semi – group determines the ability to process the information then the direct sum and direct product can be consi-der as realization – the sequence and parallel calculation accordin-gly. The obtained results mean that this ability doesn’t depend on the sequence and parallel realization (the same number of abstract class of the suitable characteristic semi- groups)

Keywords: automaton, semi-group, isomorphism

Autorzy:

dr inż. Stanisław Bocian – emerytowany adiunkt w Instytucie Pojaz-dów Szynowych „TABOR” W Poznaniu