PODSTAWY
MECHANIKI PŁYNÓW
Wykład Nr 4
Napory na ściany proste
1. Napór na ścianę płaską
1. Napór na ścianę płaską
Wektor naporu:
- moduł (długość)
wektora naporu N
N
- kierunek i zwrot naporu wypadkowego: od strony płynu zawsze prostopadle do
ściany,
- środek naporu (punkt przyłożenia siły naporu)
C,
C,
C
C x y z
(4)
(5)
1.1. Moduł wektora naporu
Wyznaczamy ze wzoru (5) po podstawieniu i obliczeniu całki po powierzchni
A:
p
gz
gdzie: A jest polem powierzchni zwilżonej części ściany, a głębokością zanurzenia jej
środka geometrycznego.
z
s(6)
,
A
s
s
A
zdA
z
zdA z A
A
ponieważ
stąd
N
Jeśli uwzględni się ciśnienie absolutne (np. barometryczne) na powierzchni cieczy
wówczas napór przedstawia się następująco
b
A
N
p
gz dA
Najczęściej po drugiej stronie ściany poddanej działaniu naporu cieczy panuje ciśnienie
barometryczne równoważące ciśnienie działające na swobodną powierzchnię cieczy – stąd
człon związany z ciśnieniem barometrycznym jest pomijany.
1.2. Paradoks hydrostatyczny Stevina
Simon Stevin (1548-1620) – flamandzki inżynier,
matematyk
h
A
A
A
A
(7)
Moduł wektora naporu hydrostatycznego na ścianę płaską o dowolnym konturze i dowolnym
nachyleniu jest równy ciężarowi słupa cieczy, którego podstawą jest zanurzona część ściany
a wysokością głębokość zanurzenia środka ciężkości. Z tego spostrzeżenia wynika
paradoks
1.3. Środek naporu – punkt przyłożenia wektora naporu
Z równości momentu naporu N oraz sumy momentów naporów elementarnych względem
osi x wynika
C
A
N y
gzdA y
(8)
po podstawieniu do definicji naporu
z
y
sin ,
(9)
N
sin
s
s
N
gz A
g y
A
otrzymamy
oraz po przekształceniu wzoru (8)
2
sin
sin
sin
sin
A A A C s sgzdA y
g y
dA y
g
y dA
y
N
g y
A
g y
A
Ostatecznie otrzymamy współrzędną środka naporu w postaci
y
C 2 x A C s xy dA
I
y
y A
M
(10)
gdzie:
I
x– moment bezwładności pola A względem osi x
M
x– moment statyczny pola A względem osi x
Ponieważ ściana A może być dowolnie położona względem osi x, dlatego momenty
przyjmują różne wartości w zależności od usytuowania ściany.
Dlatego stosuje się transformację równoległą momentu bezwładności do momentu względem
osi przechodzącej ZAWSZE przez środek ciężkości ściany S.
I
x0– moment bezwładności pola A względem osi x
0przechodzącej przez środek ciężkości
i równoległej do osi x
otrzymamy
Z twierdzenia Steinera(11)
stąd
2 0 x s C sI
Ay
y
y A
(12)
Po podstawieniu
(13)
0,
/ sin
sin
sin
sin
C S x sz
z
I
z
A
(14)
Po obustronnym pomnożeniu równania (14) przez otrzymamy
sin
(15)
Z zależności wynika, że środek naporu na ścianę pochyłą lub pionową leży ZAWSZE
poniżej środka ciężkości ściany.
W przypadku ściany poziomej (=0) położenie środka naporu pokrywa się z położeniem
środka ciężkości
Momenty bezwładności I
x0figur płaskich
4 4
4 4
1 2 1 2 064
4
xD
D
R
R
I
2 2 3 06
6
36 2
xb
ab a
I
h
b a
Przykład 1: Obliczyć wartość siły naporu oraz współrzędne środka naporu dla pionowej
ściany prostokątnej o szerokości b=2 i wysokości h=1 m w przypadku, gdy górna krawędź
ściany 1) pokrywa się z powierzchnią cieczy 2) jest zanurzona głębokości H=2 m. Gęstość
cieczy przyjąć 1000 kg/m
3.
Ad. 1
sN
gz A
2 0 x AI
z dA
0 x C s sI
z
z
z A
Ad. 2
sN
gz A
2 0 x AI
z dA
0 x C s sI
z
z
z A
1.4. Wyznaczanie naporu metodą graficzną
Rozkład ciśnienia panującego na ścianie płaskiej można przedstawić graficznie w postaci wykresu ciśnienia, które zmienia się liniowo od 0 na powierzchni swobodnej cieczy do p=gz na głębokości z.
Napór hydrostatyczny N na ścianę płaską jest co do wartości równy ciężarowi objętości V wykresu rozkładu ciśnień zbudowanego na powierzchni A.
Wektor naporu wypadkowego przechodzi przez środek ciężkości bryły wykresu rozkładu ciśnień, którego rzut na powierzchnię A wyznacza środek naporu.
Przykład 2: obliczyć metodą graficzną wartość siły naporu na ścianę prostokątną z przykładu nr 1
Ad. 1
Przykład 3: obliczyć wartość siły naporu działania dwóch różnych cieczy na ścianę
prostokątną o szerokości b=5 m metodą analityczną i graficzną. Przyjąć następujące dane 1=1000 kg/m3, 2=13 600 kg/m3, h1=h2=1 m. 1 1 s1 1
N
gz A
2 2 s2 2N
gz A
Metoda graficzna:Przykład 4 (redukcja objętości): obliczyć napór wypadkowy działający dwustronnie na ścianę prostokątną o szerokości b=5 m. Przyjąć następujące dane =1000 kg/m3, z
1=2 m, z2=3 m. Obliczenia wykonać metodą analityczną oraz graficzną.
Napór wypadkowy
Przykład 5 (redukcja objętości): obliczyć napór wypadkowy z przykładu nr 4 uwzględniając ciśnienie barometryczne 1013,25 hPa na powierzchni cieczy. Obliczenia wykonać metodą analityczną oraz graficzną. 1 1 1 1 2 2 2 2 b s b s
N
p A
gz A
N
p A
gz A
Napór wypadkowy Metoda graficznaW przypadku ściany zakrzywionej wyznaczamy 2 składowe poziome i 1 składową pionową naporu.
Składowe poziome wyznaczamy jako napory na ściany płaskie powstałe w wyniku rzutowania ściany zakrzywionej na płaszczyzny prostopadłe do osi poziomych.
Składowa pionowa naporu jest równa ciężarowi cieczy zawartej pomiędzy zakrzywioną powierzchnią, zwierciadłem cieczy i płaszczyznami pionowymi ograniczającymi powierzchnię zakrzywioną.
2. Napór na ścianę zakrzywioną
2. Napór na ścianę zakrzywioną
2.1. Składowe wektora naporu
Składowe poziome Nx , Ny oraz składowa pionowa Nz są równe
Napór wypadkowy obliczamy poprzez sumowanie składowych wektorów
Kierunki działania wektorów naporu Nxy i N obliczamy zgodnie z
Przykład 6: obliczyć napór wypadkowy na ścianę zakrzywioną będącą ćwiartką walca o promieniu D=500 mm i długości L=2000 mm. Wysokość napełnienia H=5000 mm. Przyjąć gęstość wody.
Przykład 7: obliczyć napór wypadkowy na ścianę zakrzywioną będącą ćwiartką walca o promieniu R=500 mm i długości L=2000 mm. Wysokość napełnienia H=5000 mm. Przyjąć gęstość wody.
