J. Szantyr - Wykład 4 – Napór hydrostatyczny

J. Szantyr - Wykład 4 – Napór hydrostatyczny

Napór hydrostatyczny na ściany płaskie

Napór hydrostatyczny na ścianę płaską przedstawia układ

elementarnych sił równoległych prostopadłych do ściany. Daje się on sprowadzić do siły

wypadkowej równej ich sumie i przyłożonej w środku sił

przyłożonej w środku sił równoległych.

Napór elementarny:

^{d P = n} ( ^{p − p}

) ^{dS = n ρ gzdS}

Napór całkowity:

⁼ ∫ ⁼ ∫ ⁼

S S

C

S z n g zdS

n g zdS

n g

P ρ ρ ρ

gdzie:

z

Napór hydrostatyczny na ścianę płaską o dowolnym konturze i dowolnie nachyloną do poziomu jest równy (co do modułu) ciężarowi słupa cieczy o podstawie równej polu S i wysokości równej zanurzeniu jej środka geometrycznego pod swobodną powierzchnią.

Rzuty siły naporu na osie układu Oxyz:

( )

∫

∫

=

S S

C

x g z n i dS g zdS gz S

P ρ cos , ρ sinα ρ sinα

( )

∫

= g z n j dS

P ⁼ ρ

∫

(

)

S

y g z n j dS

P ρ cos , 0

( )

∫

∫

=

S S

C

Z g z n k dS g zdS gz S

P ρ cos , ρ cosα ρ cosα

czyli moduł siły naporu: _{P P P gz S}

C z

x + = ρ

= ^{2 2}

Wyznaczenie punktu przyłożenia wypadkowej siły naporu Moment naporu:

∫

∫

∫

=

×

=

S S S

D D

D r P g r nzdS i g y zdS j g x zdS

M ρ ₁ρ _{1 1}ρ ₁

Rzuty głównego wektora momentu:

∫

=

S

DP g x zdS

x₁ ρ ₁ ⁼

∫

S

DP g y zdS

y₁ ρ ₁

Współrzędne środka naporu:

Współrzędne środka naporu:

S x

I S

x dS x dS

x dS x zdS

zdS x

x

C y C

S

S S

S S D

1 1

2 1

1 2 1 1

1

= 1

=

=

=

∫

∫

∫

∫

∫

S x

D S

x

dS y x dS

x dS y x zdS

zdS y

y

C z C

S

S S

S S D

1 1

1 1

1 1 1 1

1

= 1

=

=

=

∫

∫

∫

∫

∫

gdzie wykonano podstawienie:

z = x

cos α

Wyznaczenie środka naporu wymaga obliczenia momentu bezwładności ściany S oraz wyznaczenia jej środka ciężkości.

Wnioski

Położenie środka naporu w układzie związanym ze ścianą nie zależy od kąta nachylenia ściany.

Na ścianach pionowych i nachylonych środek naporu leży niżej od środka geometrycznego ściany.

Wielkość naporu nie zależy od kształtu naczynia.

Wielkość naporu nie zależy od kształtu naczynia.

We wszystkich naczyniach powyżej napór na dno jest taki sam.

Przykład 1: wyznaczyć napór hydrostatyczny oraz określić

położenie środka naporu C dla ścian pionowych pokazanych na rysunku.

Moment bezwładności ściany

względem osi przechodzącej przez

12

3 0

I

= bH

Zanurzenie środka geometrycznego ściany:

Pole powierzchni ściany:

2 z

= H

bH S =

względem osi przechodzącej przez

jej środek geometryczny:

12

Moment bezwładności ściany

względem osi x (tw. Steinera):

bH H bH

S z I

I

4 12

2 3

2

0

+ = +

=

Położenie środka naporu: ^{H H} _H

S z z I

S x

C 3

2 6

2 + =

=

=

Moduł siły naporu hydrostatycznego:

2 2

gbH2

H bH g

S gz

P _S ρ

ρ

ρ = =

=

Moment bezwładności ściany

względem osi przechodzącej przez

12

4 0

I

= a

Zanurzenie środka geometrycznego ściany:

Pole powierzchni ściany:

H z

=

a

S =

względem osi przechodzącej przez

jej środek geometryczny:

12

Moment bezwładności ściany względem osi x (tw. Steinera):

2 2 4

2

0

12 a H a

S z I

I

=

+

= +

H H a

H a H a

S z z I

S x

C 12 12

2 2

4

+

= +

=

=

Moduł siły naporu hydrostatycznego: ^P = ρ^gzS^S = ρ^gHa2

Moment bezwładności ściany

względem osi przechodzącej przez

64

4 0

I

π D

=

Zanurzenie środka geometrycznego ściany:

Pole powierzchni ściany:

D z

=

4 D

S π

=

względem osi przechodzącej przez

jej środek geometryczny:

64

Moment bezwładności ściany

względem osi x (tw. Steinera):

64 4

2 2

4 2

0

D D S D

z I

I

π π

+

= +

=

Położenie środka naporu: _D ^D _D

S z z I

S x

C 16

17 16 = +

=

=

Moduł siły naporu hydrostatycznego:

4 4

3

2 gD

gD D S

gz

P _S π πρ

ρ

ρ = =

=

Moment bezwładności ściany

względem osi przechodzącej przez

( )

64

4 4

0

d I

D −

= π

Rozwiązanie dla ściany d Zanurzenie środka geometrycznego ściany:

Pole powierzchni ściany:

D z

=

( )

4

2

2

d

S D −

= π

względem osi przechodzącej przez

jej środek geometryczny:

64

Moment

bezwładności ściany względem osi x :

( ) ( )

2 2

4 4

2

0

D 64 d D 4 d D

S z I

I

−

− +

= +

= π π

Położenie środka naporu:

D d D D

S z z I

S x

C 16

2 2 + +

=

=

Moduł siły naporu hydrostatycznego:

( )

d D g D

S gz

P _S

4

2 2 −

=

= π

ρ ρ

Przykład 2: Wyznaczyć moment względem podstawy działający na pionową ścianę jazu o szerokości L, dzielącą kanał o

przekroju prostokątnym. Po lewej stronie zwierciadło cieczy znajduje się na wysokości 2H, a po prawej – na wysokości H.

Rozwiązanie

Siły naporu po lewej i prawej stronie wynoszą odpowiednio:

SL L

L

gA z

P = ρ ^P

= ρ ^gA

^z

Przyjmując szerokość L oraz wiedząc, że:

H z

=

2 z

= H

Otrzymujemy:

Otrzymujemy:

2 gLH

P

= ρ

2

1 gLH P

= ρ

Punkty przyłożenia sił naporu można wyznaczyć w oparciu o poprzedni przykład (a) dla ściany prostokątnej:

H z

3

= 4 z

H

3

= 2

Moment działający na ścianę jazu wynosi:

M = P

z

− P

z

Gdzie:

z

H z

H H H

3 2 3

2 4

2 − = − =

=

H H

H z

H

z

3 1 3

2 =

−

=

−

=

Po podstawieniu otrzymujemy ostatecznie:

3 2

2

6 7 3

1 2

1 3

2 gLH 2 H gLH H gLH

M = ρ ⋅ − ρ ⋅ = ρ

Napór hydrostatyczny na ściany zakrzywione.

Wszystkie siły elementarne działające na ścianę S tworzą

przestrzenny układ sił, który można sprowadzić do głównego wektora siły i głównego wektora momentu.

Siła elementarna:

( ^{p p} ) ^{dS n gzdS}

n P

d = −

= ρ

Główny wektor siły:

⁼ ∫

S

zdS n

g P ρ

Główny wektor momentu:

⁼ ∫ ^×

S

zdS n

r g

M ρ

Rzuty głównych wektorów siły i momentu na osie układu:

( )

∫

∫

=

S S

x Cx x

x g z n i dS g zdS gz S

P

ρ

ρ ρ

( )

∫

∫

=

S S

y Cy y

y g z n j dS g zdS gz S

P

ρ

ρ ρ

( )

∫ ⁼ ∫ ⁼

=

S S

z

z

g z n k dS g zdS gV

P ρ cos , ρ ρ

( ) ( )

[ ] ( )

∫ ^{− =} ∫ ⁻

= g z y n k z n j dS g z ydS zdS M ⁼ ρ _∫ [ cos ( , ) ⁻ cos ( , ) ] ⁼ ρ _∫ ( ⁻ )

S S

y z

x

g z y n k z n j dS g z ydS zdS

M ρ cos , cos , ρ

( ) ( )

[ ] ^{( )}

∫ ^{− =} ∫ ⁻

=

S S

z x

y

g z z n i x n k dS g z zdS xdS

M ρ cos , cos , ρ

( ) ( )

[ ] ( )

∫ ^{− =} ∫ ⁻

=

S S

x y

z

g z x n j y n i dS g z zdS ydS

M ρ cos , cos , ρ

Wnioski

Rzut naporu na dowolny kierunek poziomy jest równy naporowi całkowitemu wywieranemu na ścianę płaską której pole jest

równe rzutowi pola ściany zakrzywionej na płaszczyznę pionową prostopadłą do danego kierunku.

Ponieważ pola rzutów poziomych nie zależą od kształtu ściany S a jedynie od kształtu konturu ograniczającego, podobnie rzuty

jedynie od kształtu konturu ograniczającego, podobnie rzuty poziome naporu zależą tylko od konturu ograniczającego.

Rzut naporu na kierunek pionowy jest równy ciężarowi słupa cieczy zawartego pomiędzy ścianą S a jej rzutem na swobodną powierzchnię.

Przykład 3: Zbiornik wodny zamknięto klapą obrotową w

kształcie ćwiartki walca o promieniu R i długości L. Wyznaczyć wielkość naporu hydrostatycznego wywieranego na klapę dla dwóch przypadków a) i b). Przyjąć gęstość wody równą ρ.

Rozwiązanie

Składowe poziome naporu są w obu przypadkach równe i wynoszą:

 

 



 −

=

= 2

H R gRL

P

P

ρ

Składowe pionowe wynoszą odpowiednio:

 

 



 −

=

−

= 4 4

2

R

H R gLR

gL gHRL

P

π

π ρ ρ

ρ 4  4 



 



 − +

 =







 −

−

= 4 4

2

2 R

R H

R gRL gL

gLR gHRL

P_Zb

π

π ρ ρ

ρ ρ

Napory wypadkowe wynoszą odpowiednio:

2 2

Za Xa

a

P P

P = +

Zb Xb

b

P P

P = +

Tworzą one z poziomem kąt:

Z X

P

arctg P

α =