Przedziały ufności dla wartości oczekiwanej a na poziomie ufności 1 − α dla rozkładu normalnego N (a, σ2) gdy: (a) parametr σ2 jest znany: [a, ¯a

Estymacja przedziałowa wartości oczekiwanej – teoria Niech X₁, . . . , X_n będzie próbą losową prostą z rozkładu P_θ, θ ∈ Θ, oraz α ∈ (0, 1).

Definicja Estymatorem przedziałowym parametru θ ∈ Θ na poziomie ufności 1 − α nazywamy parę θ = θ(X₁, . . . , X_n), ¯θ = ¯θ(X₁, . . . , X_n)
, gdzie θ, ¯θ : Xⁿ → R są funkcjami mierzalnymi oraz

∀_θ∈Θ P (θ ∈ [θ, ¯θ]) ≥ 1 − α.

Przedział losowy [θ, ¯θ] nazywamy przedziałem ufności. Liczbę 1 − α nazywamy także współ- czynnikiem ufności.

1. Przedziały ufności dla wartości oczekiwanej a na poziomie ufności 1 − α dla rozkładu normalnego N (a, σ²) gdy:

(a) parametr σ² jest znany:

[a, ¯a] =



¯

x − Φ⁻¹ 1 − α

2

 σ

√n, ¯x + Φ⁻¹ 1 − α

2

 σ

√n

 , (b) parametr σ² jest nieznany:

[a, ¯a] =



¯

x − F_t⁻¹_n−1 1 − α

2

 s

√n, ¯x + F_t⁻¹_n−1 1 −α

2

 s

√n

 ,

Uwaga. Jeżeli n > 30, to Φ ≈ Ftn i w powyższym wzorze na przedział ufności F_t⁻¹_n−1 1 − ^α₂
można zastąpić przez Φ⁻¹ 1 −^α₂
.

2. Asymptotyczne przedziały ufności dla wartości oczekiwanej a na poziomie ufności 1 − α dla dowolnego rozkładu o niezerowej wariancji:

[a, ¯a] =



¯

x − Φ⁻¹ 1 −α

2

 sˆ

√n, ¯x + Φ⁻¹ 1 −α

2

 sˆ

√n

 oraz

[a, ¯a] =



¯ x − Φ⁻¹

 1 −α

2

 s

√n, ¯x + Φ⁻¹

 1 −α

2

 s

√n

 .

Oznaczenia:

s = r

1 n−1

n

P

i=1

(xi− ¯x)², n ≥ 2,

ˆ s =

r

1 n

n

P

i=1

(x_i − ¯x)²,

Φ⁻¹ 1 −^α₂

jest kwantylem rozkładu normalnego N (0, 1) rzędu 1 − ^α₂, F_t⁻¹_n−1 1 −^α₂

jest kwantylem rozkładu t-Studenta z n − 1 stopniami swobody rzędu 1 − ^α₂.