Porównania wielokrotne Andersona w analizie ocen sensorycznych dokonanych na skali porządkowej

Pełen tekst

(1)Zesz yty Naukowe nr. 685. 2005. Akademii Ekonomicznej w Krakowie. Tadeusz J´dryka Katedra Towaroznawstwa Przemys∏owego. Porównania wielokrotne Andersona w analizie ocen sensorycznych dokonanych na skali porzàdkowej 1. Wprowadzenie R.L. Anderson w 1959 r. zaproponowa∏ umieszczenie wyników pomiaru k obiektów dokonanego na skali porzàdkowej w tablicach kontyngencyjnych k × k (tabela 1) [1]. JeÊli oceniajàcy nie rozró˝niajà obiektów i przypisujà im rangi w sposób losowy, wówczas prawdopodobieƒstwo pij, ˝e i-temu obiektowi zostanie nadana j-ta ranga, jest równe 1/k. Wobec tego hipoteza zerowa zosta∏a sformu∏owana nast´pujàco: H0: pij = 1/k. Oznacza to, ˝e wszystkie oceniane obiekty sà jednakowo preferowane w badanej populacji. W celu weryfikacji H0 R.L. Anderson skonstruowa∏ nast´pujàcà statystyk´ χ2 [1, 2]: χ = 2. A. [. k–1 n. k. k. i=1. j=1. ]∑ ∑(. n nij – k. 2. ),. (1). która w warunkach H0 ma asymptotyczny rozk∏ad χ2 z v = (k – 1)2 stopniami swobody. JeÊli χ2 ≥ χ2[α; (k – 1)2], to hipotez´ H0 o niezale˝noÊci n uporzàdkowaƒ naA le˝y odrzuciç; ma to takie same konsekwencje jak w wypadku statystyki χ2 Friedmana, ˝e co najmniej dwa z porównywanych obiektów ró˝nià si´ istotnie. Skonstruowanie statystyki χ2 stanowi krok pierwszy, nast´pnym krokiem A jest wprowadzenie miary zgodnoÊci n uporzàdkowaƒ k obiektów, tj. wspó∏czynnika konkordancji Andersona [2, 4]:.

(2) Tadeusz J´dryka. 98. k. k. ∑ ∑ ρ = A. i=1. j=1. [. rA (j) – i. n k. ]. 2. (2). . n2(k – 1). Tabela 1. Wyniki uporzàdkowaƒ k obiektów przez n oceniajàcych Rangi 2. 3. …. k. A1. n11. n12. n13. A2 A3. n21 n31. n22 n32. n23 n33. … … …. n2k n3k. …. …. …. n n n. …. n1k. Suma. …. …. 1. …. Obiekty. Ak. nk1. nk2. nk3. …. nkk. n. Suma. n. n. n. …. n. nk. èród∏o: opracowanie w∏asne.. Rangi nadane poszczególnym obiektom zestawione w tablicach kontyngencyjnych (tabela 1) mo˝na potraktowaç jako zbiory z powtórzeniami, a dalej – i jest to krok trzeci – wprowadziç porównania wielokrotne zbiorów z powtórzeniami s∏u˝àce do okreÊlenia, które z badanych obiektów ró˝nià si´ istotnie. Metoda – nazwana metodà Andersona – jest konkurencyjna w stosunku do metody porównaƒ wielokrotnych opartych na sumach grupowych rang, zamieszczonej w normie ISO 8587 [1, 2, 3].. 2. Metoda porównaƒ wielokrotnych Andersona Ka˝dy zbiór z powtórzeniami A o elementach ze zbioru X = {1, 2, ..., k} mo˝e byç reprezentowany przez funkcj´ rA, która ka˝demu elementowi x ∈ X przyporzàdkowuje liczb´ rA (x), zwanà wspó∏czynnikiem repetycji elementu x w zbiorze z powtórzeniami A. Wyra˝enie rA (x) = a oznacza, ˝e element x w zbiorze z powtórzeniami A wyst´puje a razy. Zbiór z powtórzeniami definiujemy nast´pujàco: A = {(a1, x1), (a2, x2), ..., (ak, xk)}.. (3). Jego licznoÊç oznaczamy przez A i definiujemy jako: k. A =. ∑ i=1. ai.. (4).

(3) Porównania wielokrotne Andersona.... 99. Dzia∏anie Ai ∩ Aj (i ≠ j) na zbiorach z powtórzeniami jest zdefiniowane nast´pujàco: rA ∩ Aj (x) = min [rA (x), rA (x)], i. i. (5). j. a rezultatem jest inny zbiór z powtórzeniami: Bij = {(b1, x1), (b2, x2), ..., (bk, xk)},. (6). o licznoÊci k. Bij =. ∑. bh.. (7). h=1. Podane powy˝ej definicje i symbole dzia∏aƒ zaczerpni´to z pracy W. Lipskiego i W. Marka [6]. Wyniki n-krotnych uporzàdkowaƒ k obiektów tworzà macierz, w której wierszach znajdujà si´ rangi nadane obiektom Ai (i = 1, 2, ..., k): A1 A2 A3 . .. Ak. x11 x21 x31 . .. xk1. x12 x22 x32 . .. xk2. x13 x23 x33 . .. xk3. x1n x2n x3n . .. xkn. ... ... ... . .. .... Ka˝dy wiersz tej macierzy tworzy zbiór z powtórzeniami Ai (i = 1, ..., k) o elementach ze zbioru X = {1, 2, ..., k}, mamy wić: A1 = {(a11, 1), (a12, 2), ..., (a1k, k)} A2 = {(a21, 1), (a22, 2), ..., (a2k, k)} A3 = {(a31, 1), (a32, 2), ..., (a3k, k)} ............................................................. Ak = {(ak1, 1), (ak2, 2), ..., (akk, k)} Wykonujàc dla wszystkich m = [k(k – 1)]/2 par zbiorów z powtórzeniami dzia∏anie: Ai ∩ Aj (i = 1, 2, ..., k – 1; j = i + 1, ..., k),. (8). otrzymamy m innych zbiorów z powtórzeniami Bij o licznoÊciach: k. Bij =. ∑ h=1. k. rA. i ∩ Aj. (x) =. ∑ h=1. rB (x), ij. (9). które tworzà zbiory Cu = {|Bij|}, u = 1, 2, ..., (k)n – 1. WartoÊcià charakterystycznà ka˝dego zbioru Cu b´dzie jedna spoÊród wartoÊci |Bij|, oznaczona jako z i zdefiniowana nast´pujàco:.

(4) Tadeusz J´dryka. 100. ∀ Bw ∈ Cu ∃ z: z ≥Bw.. (10). Dla danych k obiektów i n oceniajàcych liczba wszystkich mo˝liwych uk∏adów permutacji wynosi (k!)n, wić liczba wszystkich mo˝liwych wartoÊci z jest równ na (k!) ; obliczajàc jednak prawdopodobieƒstwa pojawienia si´ okreÊlonych wartoÊci z mo˝emy, nie tracàc informacji, zredukowaç przestrzeƒ zdarzeƒ do liczby (k!)n – 1. Przy pe∏nej zgodnoÊci uporzàdkowaƒ k obiektów przez n oceniajàcych, zgodnie z wyra˝eniem (10) wartoÊç z jest równa 0, bowiem C1 = {|Bij| = 0}. JeÊli dla l-tego uk∏adu permutacji wspó∏czynniki repetycji dla d spoÊród k obiektów b´dà równe n/d, zaÊ wspó∏czynniki repetycji pozosta∏ych rang b´dà równe 0, to dla jakiejkolwiek pary spoÊród d porównywanych obiektów {Ai, Aj} dla Ai ∩ Aj (i ≠ j) b´dzie zawsze |Bij| = n, a dla pozosta∏ych k – d obiektów b´dzie |Bij| < n. Stàd C1 = {|Bij| < n, |Bij| = n} i na mocy wyra˝enia (10) z b´dzie równe n. Przyk∏ad obliczeƒ. Obliczenia dla przypadku k = 3 i n = 2. Przestrzeƒ zdarzeƒ jest równa (3!)1. Uk∏ady permutacji Obiekty A1 A2 A3. I. II. III. IV. V. VI. 11 22 33. 11 23 32. 12 21 33. 12 23 31. 13 21 32. 13 22 31. Zbiory z powtórzeniami dla poszczególnych uk∏adów permutacji sà nast´pujàce: Uk∏ady permutacji I. II. III. IV. V. VI. 123. 123. 123. 101 110 011. 101 020 101. Rangi. Obiekty 123. 123. 123. Wspó∏czynniki repetycji A1 A2 A3. 200 020 002. 200 011 011. 110 110 002. 110 011 101. Dla poszczególnych uk∏adów permutacji obliczono iloczyny zbiorów z powtórzeniami A, które utworzy∏y zbiory z powtórzeniami B:.

(5) Porównania wielokrotne Andersona.... 101. Uk∏ady permutacji I. II. III. IV. V. VI. 123. 123. 123. 100 001 010. 000 101 000. Rangi. Zbiory 123. 123. 123. Wspó∏czynniki repetycji A1 ∩ A2 = B12 A1 ∩ A3 = B13 A2 ∩ A3 = B23. 000 000 000. 000 000 011. 110 000 000. 010 100 001. LicznoÊci |Bij| zbiorów z powtórzeniami Bij (i = 1, 2; j = 2, 3) tworzà dla poszczególnych uk∏adów permutacji zbiory Cu (u = 1, 2, ..., 6): Uk∏ady permutacji LicznoÊci. |B12| |B13| |B23|. I. II. III. IV. V. VI. C1. C2. C3. C4. C5. C6. 0 0 0. 0 0 2. 2 0 0. 1 1 1. 1 1 1. 0 2 0. WartoÊci z dla poszczególnych zbiorów Ci wynoszà odpowiednio: Zbiory. C1. C2. C3. C4. C5. C6. z. 0. 2. 2. 1. 1. 2. OtrzymaliÊmy rozk∏ad zmiennej losowej Z {(z, pz), z = 0, 1, 2} oraz rozk∏ad skumulowany: z. LicznoÊç. P(Z = z). P(Z ≤ z). 0 1 2. 1 2 3. 0,167 0,333 0,500. 0,167 0,500 1,000. Po uporzàdkowaniu k obiektów przez n oceniajàcych wykonujemy m = k(k – 1)/2 dzia∏aƒ Ai ∩ Aj (i = 1, 2, ..., k – 1; j = i + 1, ..., k), otrzymujàc m zbiorów z powtórzeniami Bij odpowiednio o licznoÊciach |Bij|. Hipotez´ zerowà formu∏ujemy nast´pujàco: H0: |Bij| = n, przeciw hipotezie H1: |Bij| ≠ n. Z prawdopodobieƒstwem podjćia b∏´dnej decyzji równym α przyjmujemy, ˝e |Bij| ≠ n, jeÊli |Bij| ≤ z(α, k, n), przy czym z(α, k, n) spe∏nia nast´pujàcà zale˝-.

(6) Tadeusz J´dryka. 102. noÊç: P{|Bij| > z(α, k, n)} = 1 – α. Oznacza to, ˝e z prawdopodobieƒstwem równym 1 – α we wszystkich (k!)n – 1 uk∏adach permutacji, jednoczeÊnie dla m = k(k – 1)/2 licznoÊci |Bij|, spe∏niona jest nierównoÊç |Bij| > z(α, k, n). Przybli˝one prawdopodobieƒstwa realizacji zmiennej losowej obliczono stosujàc program generujàcy permutacje losowe, opracowany na podstawie algorytmów zamieszczonych w pracach [5, 7, 8]. Obliczenie wartoÊci dok∏adnych ze wzgl´du na szybko rosnàcà przestrzeƒ zdarzeƒ by∏o mo˝liwe tylko w nielicznych przypadkach; dok∏adne obliczenia wykonano dla k = 3 i n = 2(1)20 oraz dla k = 4 i n = 2(1)7. Pozosta∏e obliczenia, dla k = 4 i n = 8(1)20 oraz k = 5(1)20 i n = 3(1)20, wykonano na próbach losowych.. 3. Przyk∏ady zastosowaƒ Przyk∏ad zastosowania w analizie wyników ocen konsumenckich. Miód jest produktem ch´tnie spo˝ywanym nie tylko ze wzgl´du na swoje walory sensoryczne, s∏odki smak i przyjemny kwiatowy zapach, ale tak˝e ze wzgl´du na wartoÊç od˝ywczà zwiàzanà z zawartoÊcià ∏atwo przyswajalnych cukrów prostych, soli mineralnych i kwasów organicznych oraz enzymów i zwiàzków wykazujàcych w∏aÊciwoÊci zdrowotne. Bioràc pod uwag´ pochodzenie, miody ró˝nià si´ barwà, smakiem, zapachem oraz w∏aÊciwoÊciami leczniczymi. Zbadano preferencje konsumentów dla wymienionych cech. Badania przeprowadzono na zró˝nicowanej wiekowo grupie studentów studiów zaocznych Wydzia∏u Towaroznawstwa Akademii Ekonomicznej w Krakowie. Wyniki (tylko dla grupy wiekowej 28–39 lat) zawiera tabela 2. Tabela 2. Wyniki badania preferencji konsumentów (28–39 lat) przedstawione jako zbiory z powtórzeniami Ai Rangi Cechy. Barwa Zapach Smak W∏aÊciwoÊci zdrowotne Suma abc. Zbiory Ai. 1. A1 A2 A3 A4. a11 = 2 a21 = 0 a31 = 31 a41 = 75. a12 = 3 a22 = 18 a32 = 76 a42 = 11. 108. 108. 2. 4. Sumy grupowe rang R. a13 = 14 a23 = 75 a33 = 1 a43 = 18. a14 = 89 a24 = 15 a34 = 0 a44 = 4. 406a 321b 186c 167c. 108. 108. |Ri – Rj | ≥ 48,9. 3. wspó∏czynnik repetycji aij. – sumy grupowe rang oznaczone ró˝nymi literami ró˝nià si´ istotnie przy α = 0,01. èród∏o: badania w∏asne..

(7) Porównania wielokrotne Andersona.... 103. W tabeli 2 wspó∏czynnik repetycji a11 równy jest 2, poniewa˝ jedynie dwie badane osoby (spoÊród 108) nada∏y barwie rang´ 1 (tzn. okreÊli∏y t´ cechà jako najwa˝niejszà dla konsumentów); wspó∏czynnik repetycji a12 jest równy 3, poniewa˝ trzy spoÊród badanych osób nada∏y barwie rang´ 2; wspó∏czynnik repetycji a13 jest równy 14, poniewa˝ czternaÊcie spoÊród badanych osób nada∏o barwie rang´ 3; wspó∏czynnik repetycji a14 jest równy 89, poniewa˝ osiemdziesiàt dziewi´ç spoÊród badanych osób nada∏o barwie rang´ 4 (tj. okreÊli∏y jà jako najmniej istotnà w ocenie miodów) itd. W pierwszym etapie badania postanowiono sprawdziç, czy wszystkie oceniane obiekty sà jednakowo preferowane. Hipoteza zerowa zosta∏a sformu∏owana nast´pujàco: H0: pij = 1/k, wobec H1: pij ≠ 1/k. Poniewa˝ χ2Aobl. = 429,6 > χ2(0,01; 9) = 21,7, hipotez´ zerowà odrzucono, i – co za tym idzie – stwierdzono ró˝nice w preferencji badanych obiektów. W celu zbadania, które z badanych obiektów ró˝nià si´ istotnie, wykonano dzia∏ania Ai ∩ Aj (i =1, 2, 3; j = 2, 3, 4) i otrzymano 6 zbiorów z powtórzeniami Bij odpowiednio o licznoÊciach |Bij| (tabela 2). Hipotez´ zerowà sformu∏owano nast´pujàco: H0: |Bij| = n, przeciw hipotezie H1: |Bij| < n. WartoÊci krytyczne dla k = 4 i n = 108 sà równe 97,3 i 95,3, odpowiednio dla α = 0,05 i α = 0,01 (wartoÊci krytyczne podane w tabeli A zamieszczonej w za∏àczniku obejmujà tylko przypadki k = 3(1)20 i n = 3(1)20). Poniewa˝ dla wszystkich porównaƒ wielokrotnych zachodzi |Bij|obl. ≤ z(0,01; 4; 108), wobec tego hipotez´ zerowà odrzucono, stwierdzajàc istotne ró˝nice mi´dzy wszystkimi porównywanymi obiektami (tabela 3). Ostatecznie obiekty uporzàdkowano wed∏ug najwi´kszej dla poszczególnych zbiorów Ai wartoÊci wspó∏czynników repetycji. Cecha „barwa” zajmuje 4 miejsce, poniewa˝ ró˝ni si´ istotnie od pozosta∏ych oraz otrzyma∏a 89 rang 4 (wspó∏czynnik repetycji dla rangi 4 zbioru A1 równy jest 89 – tabela 2). Cecha „zapach” zajmuje 3 miejsce, poniewa˝ ró˝ni si´ istotnie od pozosta∏ych oraz otrzyma∏a 75 rang 3 (wspó∏czynnik repetycji dla rangi 3 zbioru A2 równy jest 75 – tabela 2). Cecha „smak” zajmuje 2 miejsce, poniewa˝ ró˝ni si´ istotnie od pozosta∏ych oraz otrzyma∏a 76 rang 2 (wspó∏czynnik repetycji dla rangi 2 zbioru A3 równy jest 76 – tabela 2). „W∏aÊciwoÊci zdrowotne” miodów zosta∏y w tej grupie konsumentów ocenione najwy˝ej. Cecha ta otrzyma∏a 75 rang 1 (wspó∏czynnik repetycji dla rangi 1 zbioru A4 równy jest 75 – tabela 2). W porównaniu z wynikami analizy danych przeprowadzonej metodà ISO 8587, analiza wykonana metodà Andersona pozwoli∏a stwierdziç istotne ró˝nice mi´dzy cechami „smak” i „w∏aÊciwoÊci zdrowotne”. Ró˝nica krytyczna dla sum grupowych dla k = 4 oraz n = 108 wynosi 48,9 (tabela 2), zaÊ ró˝nica mi´dzy sumami grupowymi rang nadanych tym cechom wynosi 19 (tabela 3). Zatem interpretacja danych przeprowadzona za pomocà metody ISO 8587 prowadzi do wniosku, ˝e konsumenci uwa˝ajà „smak” i „w∏aÊciwoÊci zdrowotne” za tak samo wa˝ne, zaÊ interpretacja danych za pomocà metody porównaƒ wielokrotnych Andersona nie pozostawia wàtpliwoÊci, ˝e dla wi´kszoÊci konsumentów „w∏aÊciwoÊci zdrowotne” sà cechà najwa˝niejszà. Wyraênie widaç to w ta-.

(8) Tadeusz J´dryka. 104. beli 2: 69% badanych uzna∏o „w∏aÊciwoÊci zdrowotne” za cech´ najwa˝niejszà, 70% – „smak” za drugà pod wzgl´dem wa˝noÊci, 69% – „zapach” jako trzecià. „Barwa” a˝ dla 82% konsumentów jest cechà najmniej istotnà. Tabela 3. Zbiory z powtórzeniami Bij, licznoÊci |Bij| oraz ró˝nice sum grupowych Rangi Porównanie cech. B–Z B–S B – WZ Z–S Z – WZ S – WZ. Zbiory Bij. 1. B12 B13 B14 B23 B24 B34. 0 2 2 0 0 31. 2. 3. 4. wspó∏czynnik repetycji aij 3 3 3 18 11 11. 14 1 14 1 18 1. 15 0 4 0 4 0. LicznoÊci |Bij |. Ró˝nice sum. |B12 | = 32 |B13 | = 60 |B14 | = 19. 85 220 239 135 154 19. |B23 | = 19 |B24| = 33 |B34 | = 43. èród∏o: obliczenia w∏asne.. Tabela 4. Wyniki badania oceny g´stoÊci okrywy w∏osowej 5 skór nutrii przedstawione jako zbiory z powtórzeniami Ai Rangi. a14 = 0. a15 = 0. 31a. a24 = 1. a25 = 0. 35a. a33 = 9. a34 = 8. a35 = 0. 64b. a43 = 7. a44 = 11. a45 = 1. 72b. a52 = 0. a53 = 1. a54 = 0. a55 = 19. 98c. 20. 20. 20. 20. |Ri – Rj | ≥ 25,8. 1. A1. a11 = 11. a12 = 7. a13 = 2. B. A2. a21 = 8. a22 = 10. a23 = 1. C. A3. a31 = 1. a32 = 2. D. A4. a41 = 0. a42 = 1. E. A5. a51 = 0 20. Obiekty. A. 2. 3. 4. wspó∏czynnik repetycji aij. Suma abc. 5. Sumy grupowe rang R. Zbiory Ai. – sumy grupowe rang oznaczone ró˝nymi literami ró˝nià si´ istotnie przy α = 0,01. èród∏o: obliczenia w∏asne.. Przyk∏ad zastosowania w analizie wyników ocen laboratoryjnych. Zespó∏ z∏o˝ony z 5 sorterów skór futerkowych, stosujàc metod´ wielokrotnych uporzàdkowaƒ, dokona∏ na skali porzàdkowej oceny g´stoÊci okrywy w∏osowej 5 skór nutrii (tabela 4). Ocen´ powtórzono czterokrotnie, zachowujàc odst´p miesiàca mi´dzy poszczególnymi sesjami. Osoby uczestniczàce nie wiedzia∏y,.

(9) Porównania wielokrotne Andersona.... 105. ˝e oceniajà zawsze ten sam zestaw skór. W odniesieniu do sorterów bioràcych udzia∏ w ocenie, formalnie wed∏ug terminologii ISO powinno si´ u˝ywaç okreÊlenia „wyspecjalizowany oceniajàcy ekspert”. WartoÊç krytyczna w metodzie Andersona dla k = 5 i n = 20 wynosi 14 przy α = 0,003 (tabela A w za∏àczniku). Wykonujàc dzia∏ania na zbiorach z powtórzeniami (tak jak poprzednio dla oceny cech miodów), otrzymujemy w wypadku obiektów A i B oraz C i D licznoÊci |B12| = |B34| = 16. Poniewa˝ dla porównaƒ zbiorów z powtórzeniami A1 i A2 oraz A3 i A4 wartoÊci obliczone sà wi´ksze od wartoÊci krytycznej, stwierdzamy brak ró˝nic mi´dzy obiektami A i B oraz – odr´bnie – mi´dzy C i D. Wynik jest identyczny jak w wypadku analizy prowadzonej metodà ISO 8587 (tabela 4).. 3. Podsumowanie Zupe∏nie ró˝ne oceny oparte na sumach rang cz´sto dajà zbli˝one lub takie same sumy grupowe, co uniemo˝liwia wykrycie ró˝nic mi´dzy badanymi obiektami. Metoda Andersona (MA) wielokrotnych porównaƒ zbiorów z powtórzeniami stwarza nowe mo˝liwoÊci analizy danych w porównaniu z metodà porównaƒ wielokrotnych, opartà na grupowych sumach rang i zalecanà przez ISO 8587. Rachunki sà równie proste jak w metodzie ISO 8587, zaÊ korzyÊcià wynikajàcà z umieszczenia wyników oceny w tablicy kontyngencyjnej jest ukazanie rozk∏adu rang przypisanych ocenianym obiektom. Wspó∏czynniki repetycji wskazujà na rang´ najcz´Êciej wyst´pujàcà w danym zbiorze z powtórzeniami, stàd po zastosowaniu MA ∏atwo uszeregowaç badane obiekty pod wzgl´dem wyró˝nionej w∏aÊciwoÊci (cechy). MA zosta∏a skonstruowana przez R.L. Andersona w celu interpretacji wyników ocen konsumenckich i wyraênie widaç mo˝liwoÊci skuteczniejszego rozdzia∏u badanych obiektów za pomocà tej metody. Zastosowanie metody w odniesieniu do wyników ocen laboratoryjnych daje podobne rezultaty jak analiza prowadzona metodà wielokrotnych porównaƒ ISO 8587. Wi´kszy rozrzut ocen konsumenckich – co jest zjawiskiem naturalnym, oczekiwanym i zrozumia∏ym – stwarza te˝ wi´kszà mo˝liwoÊç pojawienia si´ sum grupowych o identycznych lub – co cz´Êciej ma miejsce – zbli˝onych wartoÊciach. Metoda ISO 8587 wykazuje w takich sytuacjach brak ró˝nic mi´dzy ocenianymi obiektami, choç obiekty wyraênie si´ ró˝nià. Zastosowanie MA w odniesieniu do wyników badaƒ laboratoryjnych mo˝e powodowaç identyczne skutki. W wypadku ma∏ej liczby ocen, wskutek du˝ej wra˝liwoÊci MA na rozrzut wyników, nawet nieznaczny rozrzut mo˝e spowodowaç stwierdzenie braku ró˝nicy mi´dzy obiektami o ró˝nych sumach grupowych, które wed∏ug metody ISO 8587 mogà byç uznane za istotnie ró˝ne. W zwiàzku z tym bezpieczniej jest prowadziç analiz´ wyników ocen laboratoryjnych metodà ISO 8587, natomiast do analizy wyników ocen konsumenckich stosowaç metod´ Andersona..

(10) Tadeusz J´dryka. 106. Za∏àcznik Tabela A. Przybli˝one wartoÊci krytyczne r(α, k, n) dla porownaƒ wielokrotnych Andersona opartych na zbiorach z powtórzeniami k=3. k=3. n. r(α, k, n). α. 3. 0 1. 0,028 0,194. 4. 0 1 2. 0,005 0,042 0,292. 0 1 2 3. 0,001 0,008 0,082 0,306. 1 2 3 4. 0,002 0,019 0,064 0,468. 2 3 4. 0,004 0,017 0,135. 3 4 5. 0,004 0,037 0,163. 5. 6. 7. 8. r(α, k, n). α. 7 8. 0,074 0,259. 5 6 7 8. 0,001 0,005 0,024 0,100. 6 7 8 9. 0,001 0,007 0,031 0,103. 14. 7 8 9 10. 0,002 0,010 0,036 0,123. 15. 7 8 9 10 11. 0,001 0,003 0,012 0,047 0,154. 8 9 10 11 12. 0,001 0,004 0,016 0,055 0,157. 9 10 11 12 13. 0,001 0,005 0,020 0,062 0,175. 10 11. 0,002 0,007. n. 12. 13. 16 9. 10. 11. 3 4 5 6. 0,001 0,010 0,050 0,179. 4 5 6 7. 0,003 0,014 0,054 0,230. 4 5 6. 0,001 0,004 0,016. k=3. 17. 18. r(α, k, n). α. 12 13 14. 0,023 0,075 0,207. 19. 11 12 13 14 15. 0,02 0,008 0,028 0,083 0,209. 20. 11 12 13 14 15 16. 0,001 0,003 0,010 0,036 0,093 0,224. n. k=4 n. r(α, k, n). α. 3. 0 1. 0,002 0,116. 4. 1 2. 0,004 0,222. 5. 2 3. 0,020 0,271. 6. 2 3 4. 0,001 0,035 0,409. 7. 3 4 5. 0,003 0,065 0,467. 8. 4. 0,07.

(11) Porównania wielokrotne Andersona.... 107. cd. tabeli A k=4. k=4. k=5. r(α, k, n). α. n. r(α, k, n). α. 5. 0,100. 20. 4 5 6. 0,001 0,012 0,136. 14 15 16. 0,003 0,032 0,193. 5 6 7. 0,001 0,020 0,178. 11. 6 7 8. 0,001 0,034 0,204. 12. 7 8 9. 0,002 0,039 0,250. 8 9 10. n. 9. 10. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. k=5. r(α, k, n). α. 10 11. 0,066 0,372. 15. 10 11 12. 0,006 0,086 0,416. n. n. r(α, k, n). α. 3. 0 1. 0,073 0,861. 16. 11 12. 0,011 0,108. 4. 1 2. 0,001 0,204. 17. 11 12 13. 0,001 0,016 0,132. 5. 2 3. 0,006 0,292. 18. 6. 3 4. 0,023 0,422. 12 13 14. 0,002 0,022 0,156. 0,004 0,057 0,283. 19 7. 3 4 5. 0,001 0,052 0,517. 13 14 15. 0,002 0,029 0,181. 9 10 11. 0,007 0,072 0,332. 20 8. 4 5 6. 0,002 0,089 0,591. 14 15 16. 0,003 0,038 0,207. 9 10 11 12. 0,001 0,012 0,086 0,352. 9. 5 6. 0,005 0,134. 10. 6 7. 0,012 0,184. 11. 7 8. 0,021 0,234. 7 8 9. 0,001 0,033 0,282. 11 12. 0,014 0,108. 11 12 13. 0,002 0,015 0,123. 12 13 14. 0,002 0,023 0,148. 13. 13 14 15. 0,002 0,028 0,169. 8 9 10. 0,002 0,048 0,328. 14. 9. 0,004. 12. k=6 n. r(α, k, n). α. 3. 1 2. 0,042 0,873. 4. 2. 0,201. 5. 2 3. 0,002 0,332. 6. 3 4. 0,017 0,475. 7. 4 5. 0,052 0,589. 8. 4 5. 0,001 0,100.

(12) Tadeusz J´dryka. 108. cd. tabeli A k=7. k=6. r(α, k, n). α. 2. 0,885. 4. 2. 0,197. 5. 2 3. 0,001 0,337. 0,020 0,282. 6. 3 4. 0,015 0,537. 8 9. 0,035 0,343. 7. 4 5. 0,056 0,656. 8 9 10. 0,001 0,054 0,402. n. r(α, k, n). α. 8. 5. 0,121. 3. 1 2. 0,017 0,904. 9 9 10 11. 0,003 0,076 0,457. 5 6. 0,003 0,197. 4. 2. 0,201. 10. 6 7. 0,011 0,277. 5. 2 3. 0,001 0,423. 10 11. 0,006 0,103. 11. 7 8. 0,024 0,355. 6. 3 4. 0,019 0,600. 11 12. 0,010 0,132. 12. 8 9. 0,045 0,426. 7. 4 5. 0,065 0,723. 12 13. 0,015 0,162. 13. 4 5. 0,001 0,150. 0,001 0,023 0,196. 0,001 0,070 0,494. 8. 12 13 14. 8 9 10. 9 14. 9 10. 0,003 0,103. 5 6. 0,003 0,263. 13 14 15. 0,001 0,032 0,229. 10 15. 10 11. 0,007 0,139. 6 7. 0,016 0,358. 11 14 15 16. 0,002 0,042 0,263. 16. 11 12. 0,012 0,180. 7 8. 0,034 0,450. 12 17. 12 13. 0,021 0,221. 8 9. 0,065 0,531. 13 18. 12 13. 0,001 0,030. 8 9 10. 0,001 0,097 0,600. n. r(α, k, n). α. 9. 5 6. 0,003 0,158. 10. 6 7. 0,009 0,220. 7 8. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. k=7 n 3. k=7. r(α, k, n) 1. α 0,028. n. r(α, k, n). α. 14. 0,265. 19. 13 14 15. 0,001 0,043 0,308. 20. 14 15 16. 0,003 0,058 0,350. n. k=8.

(13) Porównania wielokrotne Andersona.... 109. cd. tabeli A. n. r(α, k, n). α. 14. 9 10. 0,001 0,136. 15. 10 11. 0,009 0,193. 16. 11 12. 0,013 0,240. 17. 12 13. 0,028 0,296. 12 13 14. 0,001 0,040 0,350. 13 14 15. 0,002 0,065 0,403. 14 15 16. 0,004 0,083 0,448. 18. r(α, k, n). α. n. r(α, k, n). α. 6. 0,314. 4. 2. 0,230. 10. 6 7. 0,019 0,431. 5. 2 3. 0,001 0,508. 11. 7 8. 0,047 0,537. 6. 3 4. 0,025 0,706. 12. 7 8 9. 0,001 0,088 0,620. 7. 4. 0,110. 8. 4 5. 0,001 0,245. 8 9. 0,003 0,143. 9. 5 6. 0,007 0,386. 9 10. 0,007 0,206. 10. 6 7. 0,028 0,514. 10 11. 0,016 0,270. 11. 7 8. 0,068 0,620. 11 12. 0,027 0,337. 12. 7 8. 0,001 0,128. 11 12 13. 0,001 0,047 0,403. 13. 8 9. 0,004 0,199. 18. 12 13 14. 0,001 0,070 0,462. 14. 9 10. 0,011 0,282. 15 19. 13 14 15. 0,003 0,100 0,519. 10 11. 0,024 0,363. 16. 11 12. 0,045 0,436. 14 15. 0,006 0,132. 17. 11 12 13. 0,001 0,075 0,506. n. 13. 14 19. 20. k=9. 15. 16. 17. n. r(α, k, n). α. 3. 1 2. 0,016 0,906. 4. 2. 0,216. 5. 2 3. 0,001 0,468. 6. 3 4. 0,020 0,656. 4 5. 0,086 0,778. 8. 4 5. 0,001 0,193. 9. 5. 0,005. 7. k = 10. k=9. k=8. 20. k = 10 n. r(α, k, n). α. 18. 12 13. 0,003 0,110. 3. 1 2. 0,015 0,915. 19. 13. 0,006.

(14) Tadeusz J´dryka. 110. cd. tabeli A k = 11. k = 10 n. 20. k = 12. r(α, k, n). α. n. r(α, k, n). α. n. r(α, k, n). α. 14. 0,153. 16. 11 12. 0,076 0,539. 13. 8 9. 0,012 0,355. 14 15. 0,012 0,198. 17. 11 12. 0,002 0,118. 14. 9 10. 0,032 0,462. 18. 12 13. 0,006 0,169. 15. 10 11. 0,067 0,558. k = 11 n. r(α, k, n). α. 3. 1 2. 0,013 0,920. 19. 13 14. 0,011 0,225. 16. 10 11. 0,001 0,115. 4. 2. 0,248. 20. 14 15. 0,022 0,284. 17. 11 12. 0,004 0,176. 5. 2 3. 0,001 0,549. 18. 12 13. 0,010 0,244. 3 4. 0,031 0,747. 19. 13 14. 0,022 0,313. 20. 14 15. 0,040 0,384. 6. 7. 4. 0,138. 8. 4 5. 0,001 0,296. k = 12 n. r(α, k, n). α. 3. 1 2. 0,012 0,927. 4. 2. 0,268. 5. 2 3. 0,001 0,585. 6. 3 4. 9. 5 6. 0,011 0,458. 10. 6 7. 0,041 0,594 7. 11. 7 8. 0,100 0,699. 7 8. 12. 13. 14. 15. k = 13 n. r(α, k, n). α. 0,038 0,783. 3. 1 2. 0,012 0,931. 4. 0,171. 4. 2. 0,283. 8. 4 5. 0,002 0,356. 5. 2 3. 0,001 0,622. 0,001 0,179. 9. 5 6. 0,016 0,535. 6. 3 4. 0,048 0,816. 8 9. 0,006 0,273. 10. 6 7. 0,060 0,669. 7. 4. 0,210. 9 10. 0,020 0,367. 8 11. 7. 0,141. 4 5. 0,002 0,418. 10 11. 0,042 0,458. 12. 7 8. 0,003 0,243. 9. 5 6. 0,024 0,603.

(15) Porównania wielokrotne Andersona.... 111. cd. tabeli A k = 14. k = 13 n. r(α, k, n). α. 10. 6 7. 0,086 0,731. 11. 6 7. 0,001 0,192. 12. 7 8. 0,005 0,320. 8 9. 0,020 0,445. 9 10. 0,055 0,555. 9 10 11. 0,001 0,105 0,649. 16. 10 11. 0,002 0,171. 17. 11 12. 0,008 0,250. 18. 12 13. 0,020 0,332. 19. 13 14. 0,041 0,414. 20. 13 14 15. 0,001 0,069 0,490. r(α, k, n). α. n. r(α, k, n). α. 3. 0,654. 3. 1 2. 0,012 0,940. 3 4. 0,060 0,842. 4. 2. 0,321. 7. 4. 0,251. 5. 2 3. 0,002 0,683. 8. 4 5. 0,003 0,477. 6. 3 4. 0,073 0,863. 5 6. 0,035 0,660. 7. 4. 0,292. 10. 6. 0,118. 8. 4 5. 0,005 0,536. 11. 6 7. 0,001 0,250. 9. 5 6. 0,050 0,714. 7 8. 0,009 0,394. 10. 6. 0,159. 13. 8 9. 0,034 0,531. 11. 6 7. 0,002 0,314. 14. 9 10. 0,082 0,639. 12. 7 8. 0,016 0,470. 15. 9 10. 0,001 0,155. 13. 8 9. 0,054 0,605. 16. 10 11. 0,005 0,241. 14. 8 9. 0,001 0,122. 17. 11 12. 0,017 0,336. 15. 9 10. 0,002 0,217. n. 6. 13. 14. 15. k = 15. 9. 12. k = 14 n. r(α, k, n). α. 18. 12 13. 0,036 0,429. 16. 10 11. 0,011 0,325. 3. 1 2. 0,012 0,938. 19. 13 14. 0,067 0,514. 17. 11 12. 0,031 0,432. 4. 2. 0,303 20. 2. 0,002. 13 14. 0,002 0,110. 18. 5. 12 13. 0,064 0,527.

(16) Tadeusz J´dryka. 112. cd. tabeli A k = 15. k = 17. k = 16. n. r(α, k, n). α. 19. 12 13. 0,001 0,111. 20. 13 14. 0,004 0,174. r(α, k, n). α. n. r(α, k, n). α. 10. 0,291. 12. 7 8. 0,041 0,620. 10 11. 0,023 0,404. 13. 8. 0,120. 17. 11 12. 0,056 0,519. 14. 8 9. 0,002 0,237. n. 16. k = 16 n. r(α, k, n). α. 18. 12 13. 0,094 0,618. 15. 9 10. 0,011 0,369. 3. 1 2. 0,013 0,929. 19. 12 13. 0,001 0,161. 16. 10 11. 0,036 0,497. 4. 2. 0,342. 20. 2 3. 0,003 0,720. 13 14. 0,005 0,227. 17. 5. 11 12. 0,083 0,609. 18. 11 12. 0,001 0,154. k = 17 6. 3 4. 0,077 0,886. 7. 4. 0,353. 8. 4 5. 0,006 0,606. 9. 5 6. 0,067 0,770. 5 6. n. r(α, k, n). α. 19. 12 13. 0,006 0,243. 3. 1 2. 0,012 0,945. 20. 13 14. 0,018 0,335. 4. 2. 0,358. 5. 2 3. 0,002 0,730. 0,001 0,187. 6. 3 4. 0,101 0,897. 6 7. 0,005 0,405. 7. 4. 0,376. 12. 7 8. 0,032 0,551. 8. 4 5. 0,011 0,633. 13. 8 9. 0,086 0,684. 9. 5 6. 0,089 0,799. 14. 8 9. 0,001 0,176. 10. 6. 11 15. 9. 0,004. 6 7. 10. 11. k = 18 n. r(α, k, n). α. 3. 1 2. 0,012 0,948. 4. 2. 0,373. 5. 2 3. 0,003 0,751. 6. 3. 0,119. 7. 4. 0,418. 0,257. 8. 4 5. 0,017 0,679. 0,006 0,450. 9. 5. 0,118.

(17) Porównania wielokrotne Andersona.... 113. cd. tabeli A k = 18. k = 19. k = 20. n. r(α, k, n). α. n. r(α, k, n). α. 10. 5 6. 0,001 0,311. 7. 4. 0,458. 8 11. 6 7. 0,012 0,518. 4 5. 0,022 0,718. 9. 5. 0,150. 10. 5 6. 0,001 0,369. 11. 6 7. 0,019 0,579. 7 8. 0,090 0,732. 13. 7 8. 14. 12. 13. 7 8. 0,063 0,678. 8. 0,165. 14. 8 9. 0,004 0,305. 15. 9 10. 0,020 0,449. 16. 10 11. 0,059 0,579. 17. 10 11. 0,001 0,128. 18. 11 12. 0,003 0,220. r(α, k, n). α. 2. 0,953. 4. 2. 0,402. 5. 2 3. 0,004 0,785. 6. 3. 0,158. 7. 4. 0,494. 8. 4 5. 0,030 0,746. 9. 5. 0,184. 0,001 0,219. 10. 5 6. 0,002 0,424. 8 9. 0,007 0,376. 11. 6 7. 0,029 0,634. 15. 9 10. 0,034 0,528. 12. 7. 0,124. 13 16. 10 11. 0,091 0,654. 7 8. 0,001 0,280. 14 17. 10 11. 0,001 0,182. 8 9. 0,013 0,452. 15 18. 11 12. 0,008 0,293. 9 10. 0,053 0,603. 16. 10. 0,134. 19. 12 13. 0,024 0,408. 17. 10 11. 0,003 0,247. 13 14. 0,057 0,518. 18. 11 12. 0,014 0,373. 19. 12 13. 0,043 0,496. 20. 13 14. 0,094 0,602. 12. 19. 20. 12 13 13 14. 0,013 0,321 0,034 0,426. k = 19 n. r(α, k, n). α. 3. 1 2. 0,011 0,950. 4. 2. 0,390. 5. 2 3. 0,003 0,768. n. r(α, k, n). α. 6. 3. 0,139. 3. 1. 0,012. èród∏o: obliczenia w∏asne.. 20. n. k = 20.

(18) 114. Tadeusz J´dryka. Literatura [1] Anderson R.L., Use of Contingency Tables in the Analysis of Consumer Preference Studies, „Biometrics” 1969, nr 16. [2] Anderson R.L., The Noncentral Chi-square Distribution and Its Applications, „Quality Control and Statistical Methods” 1961, nr 6. [3] ISO 8587:1988. Sensory Analysis of Foods. Methodology. Ranking. [4] J´dryka T., Wspó∏czynnik konkordancji rA Andersona w analizie wyników ocen konsumenckich, Zeszyty Naukowe AE w Krakowie, Kraków 2004, nr 658. [5] Lipski W., Kombinatoryka dla programistów, WNT, Warszawa 1982. [6] Lipski W., Marek W., Analiza kombinatoryczna, PWN, Warszawa 1986. [7] Reingold E.M., Nievergelt J., Deo N., Algorytmy kombinatoryczne, PWN, Warszawa 1985. [8] Tennant-Smith J., Basic Statistics, Butterworths, London 1986.. Anderson’s Multiple Comparison in Sensory Analyses Using the Ordering Scale Quite different analyses based on sums of ranks often give similar or identical sums of groups, which makes it impossible to detect differences between the tested objects. Anderson’s method for multiple comparison of replication sets creates new possibilities for data analyses as compared with the multiple comparison method based on grouped sums of ranks, recommended in ISO 8587. The calculations are as simple as in the ISO 8587 method, and the advantage resulting from placing the results of the analysis in the contingency table is that we can see the distribution of ranks assigned to the analysed objects..

(19)