ZESTAW 60.
1. Niech A = [−3; 5), B = (−∞; 7], C = (−2; 2]. Wyzna- czyć A ∩ B, A \ C, B \ A, A ∪ B ∪ C.
2. Niech a1 = 4, an+1 =p5(an)2+ 2. Wspomagając się kalkulatorem oblicz z dokładnością dwóch miejsc po przecinku a4.
3. Obliczyć granicę ciągu:
a) an= 6n2− 7n + 2 (2n + 7)(2n − 280); b) cn=cos (7n + 3)
n6 .
4. Znaleźć taką liczbę naturalną n, że rozwiązanie rów- nania
f(x) = 0 leży w przedziale [n; n + 1), jeśli:
a) f (x) = 5x+ x3− 373000;, b) f (x) = 533 ln x + 7x − 35200.
5. W jakich przedziałach funkcja f (x) = 5e6x− 4700x jest rosnąca, a w jakich malejąca?
6. Wyznaczyć najmniejszą i największą wartość funkcji f(x) =21x +x62 w przedziale [601; 20].
7. Mamy zbudować zbiornik o objętości 35m3w kształcie walca. Dno walca ma być zrobione z cementu, ściana bocz- na z blachy o grubości 1cm, a pokrywa górna z blachy o grubości 0.5cm. Koszt wylania 1m2cementu wynosi 2 zł, koszt 1m2blachy o grubości 1cm 22zł., a koszt 1m2bla- chy o grubości 0.5cm 16zł. Przy jakich wymiarach koszt całkowity zbiornika będzie najmniejszy?
8. Zbadać, czy w punkcie x = 3 funkcja f (x) = 7x4x+4−7: a) rośnie coraz szybciej, b) rośnie coraz wolniej, c) maleje coraz szybciej, d) maleje coraz wolniej.
9. Niech A = 4 4 3 2
, B = 5 0 −7
1 −2 2
, C =
1 −4 0 −5
4 3
, D =
7 0 4
2 −2 0
0 2 7
. Określ które spośród dzia-
łań a) 4D − 7A, b) 2DC, c) ATBT, d) ABC, e) BTC, f) CTB+ 4A, g) BTCT− 4D, są wykonalne i wykonaj je.
10.Oblicz wyznacznik macierzy A =
−3 −4 −1 −4
0 6 7 3
0 0 1 7
3 10 8 7
.
11. Stosując wzory Cramera (wystarczy zastosować wzór Cramera do obliczenia jednej niewiadomej - pozostałe można policzyć metodą dowolną) rozwiąż układ równań 70x + 2y + 3z = 6
7x + 4y + 7z = 0 7x + 2y − 3z = 6.
12. Oblicz macierz odwrotną do macierzy a)
2 7
−2 3
,
b)
−2 7 6 1 7 −1
2 1 3
.
60
1
ROZWIĄZANIA ZADAŃ 1-4 z zestawu 60
Zadanie 2.
a1 = 4, an+1=p5(an)2+ 2.
Ja posłużyłem się arkuszem kalkulacyjnym jako kalkulatorem. W komórce a1 wpisałem 4.
W komórce a2 wpisałem:
=pierwiastek(5*a1*a1+2)
Ukazał się wynik 9,06. Jest to wartość a2. W komórce a3 wpisałem:
=pierwiastek(5*a2*a2+2)
Ukazał się wynik 20,30. Jest to wartość a3. W komórce a4 wpisałem:
=pierwiastek(5*a3*a3+2)
Ukazał się wynik 45,41. Jest to wartość a4.
UWAGA.Można było zrobić to szybciej kopiując a2 do a3 i do a4. Ale wtedy użycie arkusza przekracza użycie ”zwykłego kalkulatora”.
Zadanie 3.
a)
an= 6n2− 7n + 2 (2n + 7)(2n − 280) =
n26 −n7 + n22 n2 +n7n2 −280n
=
n26 −7n+n22 n22 +7n 2 −280n .
Wielkości zielone się skracają, a wszystkie czerwone są zbieżne do zera. Zatem
an→ 6 + 0 + 0
(2 + 0) · (2 + 0) = 6 4 = 3
2. b)
2
Skorzystamy z twierdzenia o 3 ciągach.
Wiemy, że
−1 ¬ cos x ¬ 1.
Zatem
−1
n2 ¬ cos(7n + 2)
n2 ¬ 1
n2, czyli
−1
n2 ¬ bn¬ 1 n2,
Oba ciągi ”czerwone” są zbieżne do 0. Zatem i ciąg bn jest zbieżny do 0.
Zadanie 4.
Skorzystamy z następującej własności funkcji ciągłych (tzw. własnośc Darboux). Jeśli funkcja f jest ciągła oraz f (a) < 0 i f (b) >, to istnieje punkt x pomiędzy a i b taki, że f (x) = 0.
Wspomożemy sie arkuszem kalkulacyjnem
a) W komórce a1 wpisujemy 0. W komórce a2 wpisujemy
=5^a1+a1^3-373000
Ukazuje się wynik −372999. Następnie w a1 wpisujemy np. 10. W a2 ukazuje się 9393625. wiemy, że f (0) < 0 a f (10) > 0. Stąd x ∈ (0; 10). W a1 wpisujemy 5. W a2 ukazuje się −369720, czyli f (5) < 0.
Stąd x ∈ (5; 10). W a1 wstawiamy 7. W a2 ukazuje się −294532, czyli f (7) < 0. Stąd x ∈ (7; 10). W a1 wstawiamy 8. W a2 ukazuje się 18137, czyli f (8) > 0. Stąd x ∈ (7; 8).
Mamy odpowiedź: n = 7.
b)
W a1 wstawiamy 1. W a2 wpisujemy 533*ln(a1)+7*a1-35200.
Ukazuje się wynik -35193, czyli f (1) < 0.
W a1 wpisujemy np. 10000 (Gdyby f (10000) okazało się < 0, to trzeba wpisać w a1 więcej, tak aby liczba w a2 była > 0). Ukazuje się w a2 37709,11, czyli f (10000) > 0. Zatem x ∈ (1; 10000).
W a1 wpisujemy mniej więcej wartość z połowy odcinka ) czyli 5000. W a2 ukazuje się 4339,66 czyli f (5000) > 0. Zatem x ∈ (1; 5000).
DYGRESJA: Nie zawsze najlepiej jest wpisywać coś z połowy; czasami wartości na końcach odcinka sugerują czy miejsce zerowe leży bliżej prawego czy lewego końca odcinka.
W a1 wpisujemy 3000. W a2 ukazuje się −9932, 61, czyli f (3000) < 0. Zatem x ∈ (3000; 5000).
W a1 wpisujemy 4000. W a2 ukazuje się −2779, 27, czyli f (4000) < 0. Zatem x ∈ (4000; 5000).
W a1 wpisujemy 4500. W a2 ukazuje się 783, 51, czyli f (4500) > 0. Zatem x ∈ (4000; 4500).
W a1 wpisujemy 4300. W a2 ukazuje się −640, 72, czyli f (4300) < 0. Zatem x ∈ (4300; 4500).
W a1 wpisujemy 4400. W a2 ukazuje się 71, 53, czyli f (4400) > 0. Zatem x ∈ (4300; 4400).
W a1 wpisujemy 4350. W a2 ukazuje się −284, 56, czyli f (4350) < 0. Zatem x ∈ (4350; 4400).
W a1 wpisujemy 4380. W a2 ukazuje się −70, 90, czyli f (4380) < 0. Zatem x ∈ (4380; 4400).
W a1 wpisujemy 4390. W a2 ukazuje się 0, 32 (to jest bardzo bliskie zeru co sugeruje, że jesteśmy już blisko), czyli f (4390) > 0. Zatem x ∈ (4380; 4390).
W a1 wpisujemy 4389. W a2 ukazuje się −6, 81, czyli f (4389) < 0. Zatem x ∈ (4389; 4390).
Odpowiedź: n = 4389.
3
