Graficzne przedstawienie pojęć matematycznych i ich rola w kształceniu matematycznym na szczeblu początkowym

Pelagia Morejko

Graficzne przedstawienie pojęć

matematycznych i ich rola w

kształceniu matematycznym na

szczeblu początkowym

Nauczyciel i Szkoła 1 (8), 97-103

Pelagia Morejko

Graficzne przedstawienie pojęć matematycznych

i ich rola w kształceniu matematycznym

na szczeblu początkowym

W prow adzenie

Przysw ajanie pojęć m atem atycznych m oże sią odbyw ać na jednej z dwóch dróg. Pierwsza z nich jest wyznaczona przez charakter matematyki jako dyscypliny w iedzy aksjom atyczno-dedukcyjnej i abstrakcyjnej1. Proces przysw ajania pojęć zaczyna się od definicji i prowadzi ku identyfikacji desygnatów pojęcia, a następnie wyznaczania kolejno jeg o cech (innych niż zawarte w definicji). Pójście więc przez dziecko siedm ioletnie drogą ja k ą w skazuje m atem atyka jak o gotow a dyscyplina w iedzy je s t niem ożliwe. S zansą dla edukacji je s t przyjęcie drogi nazywanej „od konkretu do abstrakcji” . M imo że pojęcia m atematyczne są wyraźnie zhierarchizo­ w ane, to jednak istnieje możliwość w yboru takich, które dadzą się wyabstrahować z otaczającej rzeczyw istości, a ściślej z czynności w ykonyw anych na obiektach materialnych. Pojęcia te zaliczane są do tzw. pojęć elem entarnych (Z. K rygowska, 1977).

Badanie rzeczywistości, jej opisywanie i przekształcanie w zakresie dostępnym w edukacji wczcsnoszkolnej, to początek długiej drogi prowadzącej do abstrakcyj­ nych pojęć m atem atycznych. Na drodze tej istotną rolę odgryw ają przedstaw ienia graficzne. J. B runer (1978) w swojej teorii reprezentacji zwróci! uw agę na przed­ stawienia graficzne w yróżniające w śród reprezentacji je d n ą z nich, tzw. ikoniczną. W śród różnych pojęć m atem atycznych szczebla początkow ego w ęzłow ą rolę odgryw a pojęcie liczby naturalnej i działań na liczbach naturalnych oraz związane z nimi pojęcia zbioru i funkcji, mające charakter zarówno w spierający jak i prope- deutyczny na różnych etapach procesu dydaktycznego.

1 K ażde pojęcie je st z natury swej abstrakcyjne. Ze w zglądu jed n ak na to, czy desygnaty p o ­ ję c ia w y stęp u ją w realnej rzeczyw istości, czy nic, w ygodnie je s t używ ać term inów : pojęcia kon­ kretne, pojęcia abstrakcyjne.

9 8 N a u c z y c ie l i S z k o ła 1 (8 ) 2 0 0 0

Rysunek a schem at graficzny

Nie ma zadowalającej definicji rysunku. W „Małym słowniku języka polskiego” (1969) czytamy, że rysunek to jest „to, co jest narysowane” i dalej, ż c je st to „um ie­ jętność przedstawiania na płaszczyźnie bryłowatości ciał oraz ich położenia w prze­ strzeni” . Ta ostatnia część jest istotna z tego w zględu, że otaczająca nas rzeczyw i­ stość je st trójwymiarowa, a rysunekjest płaski. Istnieją natom iast konwencje, które pozw alają na taką transform ację rzeczyw istości, zgodnie z którym i m ożna rozpo­ znać dany obiekt. Konwencje, dostosow ując się do potrzeb, zm ieniają się, stają się coraz bardziej w yrafinowane, a w raz z nimi ew oluuje rysunek od „w iernego”, po­ zwalającego rozróżnić np. dwie konkretne lalki, przez rysunek przestaw iający lalkę w ogóle (a nie jak ąś konkretną), do rysunku-schem atu, który może przedstaw iać bardzo różne obiekty (przedmioty, związki, sytuacje, działania itp.) w zależności od przyjętych umów. „Schem at to przedstaw ienie czego w ogólnych zarysach, szkic, struktura, plan czego” . I analogicznie, „schem atyczny to przestaw iający co szkico­ wo, w ogólnych zarysach, z grubsza szkicowy, ogólnikowy, niedokładny”2. Schemat przedstaw ia więc rzeczyw istość uproszczoną; stanowi etap pośredni m iędzy skom ­ p likow aną rzeczyw istością a abstrakcją.

Rysunek je st pojęciem ogólniejszym od schem atu. Schem at je s t w ięc także rysunkiem. W odniesieniu zaś do czynności wygodnie (i zgodnie z językiem natural­ nym ) będziem y nazyw ać rysow aniem każdą czynność polegającą na zaznaczeniu na kartce papieru ołów kiem (kredką itp.) obiektu (przedm iotu, zw iązku, sytuacji itp.), bez w zględu na to, ja k dalece ów rysunek będzie odbiegał od rzeczyw istości. Natom iast przez schem atyzowanie będziemy rozum ieć proces polegający na w ybo­ rze z otaczającej rzeczyw istości pew nych jej cech i dołączeniu takich konw encji, aby łącznic odzw ierciedlały rzeczywistość.

Czynności schem atyzow ania zalicza Z. K rygow ska do w ażnych składników aktywności matematycznej (1977, cz. 2, 1986, t VI), wyznaczając tej ostatniej w io­ d ącą funkcję w kształceniu m atem atycznym .

W nauczaniu matematyki różne przedstaw ienia graficzne (rysunki) w ystępują jako:

— schem at rysunkow y — w geom etrii płaskiej;

— grafy, drzew a, tabele, pętle (schem aty Venna), koła Eulera; — schem aty czynności (sposobów postępow ania).

Ewoluowanie rysunku od „wiernego” do odległego od rzeczywistości odpowia­ da różnym odmianom reprezentacji ikonicznej. M ożna tu mówić zarówno o je j stop- niow alności, jak i użyć sform ułowania reprezentacji mieszanej. Przetwarzanie zda­ rzeń zachodzących w otoczeniu je st dość długim procesem , w trakcie którego je d ­

P e la g ia M o r e jk o — G r a fic z n e p rz e d s ta w ie n ie p o ję ć m a te m a ty c z n y c h . 99 nostka utrwala zdarzenia poprzez rysowanie, schem atyzowanic, w ychodzenie poza dostarczone informacje, by w końcowej fazie tego procesu uzyskać dość daleki, czy w ręcz w żaden sposób nie w skazujący na pierwowzór, układ odniesienia w formie symbolicznej. Stopniowalność reprezentacji można tu rozumieć jako proces zuboża­ nia rysunku o elem enty bezpośrednio w skazujące na rzeczyw istość. N atom iast rep rezentacje ikoniczne m ieszane są szczególnie subtelne (Z. Sem adeni 1982, s. 167), łączą bowiem elementy enaktywne z ikonicznymi. Źródłem rysunku jest re­ alna rzeczywistość (przedmioty, związki, czynności itp.), a także symbolika (mowa o konwencjach wyrażonych słownie lub symbolami). Kierunek przedstawienia gra­ ficznego m oże iść także od sym bolu do rysunku, choć je st to droga dydaktycznie trudniejsza.

Rola ja k ą odgrywają reprezentacje ikoniczne w przejściu między skomplikowa­ n ą rzeczyw istością a abstrakcją je st nie do przecenienia. W działalności edukacyj­ nej ucznia pojaw iają się one jak o elem ent celowej organizacji jego pracy, ale pod­ kreślmy, że ich doniosłość w ynika rów nież z faktu, że graficzne przedstaw ienia są na porządku dziennym efektem spontanicznej aktyw ności podm iotu uczącego się.

G raficzne przestaw ienia pojęć teorii zbiorów

Pojęcia zw iązane z teorią zbiorów reprezentow ane są za pom ocą schem atów Venna, kół Eulera, diagram ów Carolla, dendrytów („drogi” , „drzew a”).

Schemat Venna dla przedstawienia zbioru wykorzystuje pętlę, w ewnątrz której znajdujące się punkty oznaczają elem enty zbioru (rys. 1).

Stosowanie tego schem atu je st jednak dziś kontrow ersyjne. W edług H. Freu- denthala (za: Z. K rygowska 1977, cz. 2, s. 57-58) nie nadaje się do reprezentow a­ nia określonych zbiorów, nie może rów nież reprezentować zbioru nieskończonego. Schemat przedstaw iony na rysunku 1 nie odbija więc żadnego określonego zbioru. Zaś w edług K rygow skiej schem at ten je st sym bolem zbioru trójelem entow ego. Schem at Venna w postaci dwóch przecinających się pętli przedstaw ia dwa zbiory

TOO N a u c z y c ie l i S z k o ła 1 (8 ) 2 0 0 0 (odpowiednio 3 pętle — 3 zbiory, itd.) i dobrze nadaje się do interpretacji działań na zbiorach (rys. 2), rów nież zaw ierania się zbiorów.

R ys.2

W przypadku gdy któryś ze zbiorów czy podzbiorów je st zbiorem pustym , to umieszcza się wewnątrz odpowiedniego konturu symbol zbioru pustego (rys. За), b)).

a) b)

Kys.3

Schem atem Venna m ożna posługiw ać się rów nież w ten sposób, że tę część, w której znajdują się jakieś elementy, zamalowujemy.

Do ilustrowania pojęć teorii zbiorów wykorzystuje się również ilustrację rysun­ kow ą stosunków zakresów pojęć za pom ocą kół Eulera. Dwa zachodzące na siebie koła oznaczają dwa zakresy (zbiory), które nie są rozłączne; natom iast zbiory roz­ łączne przedstaw ia się za pom ocą kół w zajem nie zew nętrznych. M im o że te dwie konwencje (schematy Venna i koła Eulera) różnią się i nie pow inno się ich mieszać, to je d n a k d o św ia d c z e n ie szk o ln e p o k azu je , że re z y g n a c ja ze z b y tn ieg o w tym zakresie rygoryzm u je s t pożyteczna. O bok schem atów Venna w nauczaniu w y korzystuje się tzw. diagram y C arolla, zw ane też schem atam i okienkow ym i (rys.4 a), b)), gdzie А, В oznaczają dwa podzbiory pewnego ustalonego zbioru (uni- w ersum ), A’, B ’ — odpow iednio ich dopełnienia.

P e la g ia M o r e jk o — G ra fic z n e p rz e d s ta w ie n ie p o ję ć m a te m a ty c z n y c h . 101

Rys.4

Te reprezentacje ikoniczne (choć użycie sym boli odbiera im trochę „obrazo­ w ości”) nazyw a Z. Scm adeni o b s z a r o w y m i .

Sytuacje przedstaw ione za pom ocą reprezentacji ikonicznych obszarow ych m ożna przedstaw ić za pom ocą reprezentacji ikonicznych dendrytow ych („drogi” , „drzew a” ). N azw a pochodzi od skojarzenia z kształtem drzewa.

R eprezentacje tego typu są używ ane od daw na, np. jak o drzew a genealogicz­ ne. Rysunek 5 pokazuje przejście od schem atu Carolla (rys.4a) do schem atu-drogi (rys.5).

102 N a u c z y c ie l i S z k o ła 1 (8 ) 2 0 0 0

G raficzne przedstaw ienia pojęcia funkcji

Sposoby przestaw iania funkcji są zależne od przyjętej definicji.

W nauczaniu szkolnym m nogościow e rozum ienie funkcji decyduje o tym , że funkcja jest zbiorem, bądź układem pew nych zbiorów, z dołączonym tzw. przepisem funkcyjnym.

W zakresie reprezentacji ikonicznej dydaktyka dysponuje bardzo różnorodnymi przedstaw ieniam i. Najczęściej m am y do czynienia z przedstaw ieniam i rysunkow y­ mi z dołączonymi elem entami symbolicznymi. Reprezentować w ten sposób można tylko te funkcje, w których zb ió r X je s t sk ończony i na d o d atek m ało liczny. W nauczaniu początkowym mamy właśnie do czynienia tylko z takimi przypadkami. F u n k cję będ ziem y p rzed staw iać w postaci grafu lub tabelki (typow e w ykresy w układzie w spółrzędnych na tym szczeblu nauczania nie m ają zastosowania). Ry­ sunek 6 a), b) przedstaw ia pew ną funkcję w postaci grafu i tabelki. Jest to funkcja у = 2x, x є X = {1, 2, 3, 4}.

a)

Rys. 6

Graficzne przedstaw ienie liczb y naturalnej i działań na liczbach

naturalnych

W nauczaniu szkolnym pojęcie liczby naturalnej i działań na liczbach natural­ nych w ystępuje dość w cześnie w reprezentacji sym bolicznej. Z reprezentacji iko­ nicznej uczniowie korzystają w formie gotow ych rysunków przedmiotów. U stalają rów noliczność m iędzy dw om a zbioram i narysow anych przedm iotów , przedm ioty zbiorów podlegają przeliczaniu, dodaw aniu, odejm owaniu, dzieleniu itp. Bardziej zaaw ansow ane w tym zakresie czynności ucznia polegają na w ydzieleniu z danego zbioru liczb podzbioru, którego elem enty spełniają określony w arunek (rys. 7).

P e la g io M o r e jk o ^ G r a f i c z n e p rz e d s ta w ie n ie p o ję ć m a te m a ty c z n y c h ... 1 0 3

W przedstaw ianiu działań na liczbach naturalnych w ykorzystuje się tabele funkcyjne. W idoczny je st tu wyraźnie związek pojęcia liczby naturalnej z pojęciem funkcji i zbioru.

Zakończenie

W ybór pojęcia zbioru, funkcji i liczby naturalnej wraz z pojęciami im towarzy­ szącym i nie je s t przypadkow y. W Podstawach Program ow ych (M EN , 1999) w io­ dąca rola przypadła liczbie naturalnej i działaniom na liczbach naturalnych. Zasada integracji treści, aczkolwiek niejawna, je st mocno osad2ona w wymienionych wyżej pojęciach, a używ ane w nauczaniu szkolnym graficzne przedstaw ienia są w ystar­ czającym dla niej potwierdzeniem.

Literatura

Z. K rygow ska: Zarys dyd a ktyki m atem atyki, cz. I. W arszaw a 1977. Z. K rygow ska: Zarys dydaktyki m atem atyki, cz. II. W arszaw a 1977.

Z. K rygow ska: E lem en ty aktyw n o ści m a tem a tyczn ej, które p o w in n y odgryw ać znaczącą rolę w m atem atyce dla wszystkich. „D ydaktyka M atem atyki” t.6, 1986. P o d sta w a P rogram ow a, I eta p edukacyjny, N a u cza n ie zin teg ro w a n e. MF.N 1999.

Z. Sem adeni: R eprezentacje enaktyw ne i reprezentacje ikoniczne w sensie B n i- nera na p rzykła d zie p o ję ć m nogościowych. „D ydaktyka M atem atyki” t. 1, 1981.