De…nicja: Rodzin ¾e F podzbiorów zbioru X nazywamy cia÷em zbiorów (lub algebr ¾a zbiorów) je´sli spe÷nia nast ¾epuj ¾ace warunki:
1. ? 2 F, X 2 F 2. A 2 F =) A0 2 F 3. A; B 2 F =)A \ B 2 F
W÷asno´sci:
Je´sli A1; :::; An 2 F, to A1\ ::: \ An2 F Je´sli A1; :::; An 2 F, to A1[ ::: [ An2 F Rodzina f?; Xg jest cia÷em zbiorów Rodzina 2X jest cia÷em zbiorów
Przekrój dowolnej ilo´sci cia÷zbiorów jest cia÷em zbiorów
Dla dowolnej rodziny A 2X istnieje najmniejsze cia÷o zbiorów zawiera- j ¾ace A
Przyk÷ady: Niech X = R. Opisa´c najmniejsze cia÷o zbiorów zawieraj ¾ace rodzin ¾e
A = f(0; 1)g
wszystkich zbiorów jednopunktowych
Zadanie. Ustalmy dowoln ¾a rodzin ¾e A podzbiorów zbioru X. Niech A1 b ¾edzie rodzina z÷o·zon ¾a ze wszystkich przekrojów dowolnych dwóch zbiorów rodziny A oraz dope÷nie´n zbiorów rodziny A
An+1b ¾edzie rodzina z÷o·zon ¾a z przekrojów dowolnych dwóch zbiorów rodziny An oraz z dope÷nie´n zbiorów rodziny An
F = 1S
n=1An Pokaza´c, ·ze
ci ¾ag (An) jest wst ¾epuj ¾acy
rodzina F jest cia÷em podzbiorów X.
1
Problem: Niech X = R. Opisa´c najmniejsze cia÷o zbiorów zawieraj ¾ace rodzin ¾e
wszystkich przedzia÷ów otwartych o d÷ugo´sci jeden wszystkich zbiorów otwartych
De…nicja: Rodzin ¾e F podzbiorów zbioru X nazywamy -cia÷em zbiorów (lub -algebr ¾a zbiorów) je´sli spe÷nia nast ¾epuj ¾ace warunki:
1. ? 2 F, X 2 F 2. A 2 F =) A0 2 F 3. 8i2NAi2 F =) 1T
i=1
Ai2 F
W÷asno´s´c:
Je´sli Ai2 F dla i 2 N, to 1S
i=1
Ai2 F Rodzina f?; Xg jest -cia÷em zbiorów Rodzina 2X jest -cia÷em zbiorów
Przekrój dowolnej ilo´sci -cia÷zbiorów jest -cia÷em zbiorów
Dla dowolnej rodziny A 2X istnieje najmniejsze -cia÷o zbiorów (A) zawieraj ¾ace A
Przyk÷ady: Niech X = R. Opisa´c (A) je´sli A = f(0; 1)g
A jest rodzin ¾a wszystkich zbiorów jednopunktowych
De…nicja: Najmniejsze -cia÷o zbiorów zawieraj ¾ace wszystkie zbiory ot- warte nazywamy -cia÷em zbiorów borelowskich.
2
