dr inż. Hanna Weber P =15kN1 P=12kN P=24kN2 M =16kNm M =10kNm1 q =12kN/m 4 1 3 4 1,5 3 3 EJ EJ EJ EJ EJ EJ EJ EJ P =15kN1 P=12kN P=24kN2 M =16kNm M =10kNm1 q =12kN/m 4 1 3 4 3 3 EJ EJ EJ EJ EJ EJ EJ M =18kNmp 3 1 2
METODA PRZEMIESZCZE
Ń
- RAMA PRZESUWNA Z OBCI
ĄŻ
ENIEM STATYCZNYM
Zadanie: Narysuj wykresy sił wewnętrznych N, T, M dla poniższej ramy. Zadanie rozwiąż metodą przemieszczeń.
W celu ułatwienia obliczeń dokonujemy redukcji obciążenia ze wspornika:
Schemat podstawowy geometrycznie wyznaczalny: Stopień geometrycznej niewyznaczalności
)
(
3
1+
2+
∆
3=
ϕ
ϕ
gn
dr inż. Hanna Weber
4EJ
4
= EJ
2EJ
4
= 0,5EJ
4EJ
3
2EJ
3
3EJ
4
= 0,75EJ
3EJ
3
= EJ
4EJ
4
= EJ
2EJ
4
= 0,5EJ
4EJ
3
2EJ
3
3EJ
4
= 0,75EJ
1
6EJ
9
=
2EJ
3
6EJ
9
=
2EJ
3
6EJ
9
=
2EJ
3
6EJ
9
=
2EJ
3
3EJ
9
=
EJ
3
3EJ
9
=
EJ
3
Stan φ1=1 Stan φ2=1 Stan ∆3=1dr inż. Hanna Weber
P =15kN
1M =10kNm
19
18
8
16
13,5
4,5
12 3 8 = 2 13,5 12 3 12 = 2 9 9k
31 4EJ 3 2EJ 3 2EJ 3 2EJ 3 2EJ 3 EJ EJ 3 EJ 3 EJ 3 Obciążenie zewnętrzne:Układ równań metody przemieszczeń:
Współczynnik k1i - suma momentów w węźle pierwszym na i-tym wykresie
EJ EJ EJ EJ EJ k 12 49 4 3 3 4 11= + + + = EJ k12=0,5 3 3 3 2 13 EJ EJ EJ k = − = 19 5 , 13 10 5 , 13 9 10=− + − − =− k
Współczynnik k2i - suma momentów w węźle drugim na i-tym wykresie
12 21 0,5EJ k k = = EJ EJ EJ EJ k 12 37 3 4 4 3 22= + + = 3 2 23 EJ k =− 5 , 13 5 , 4 9 20= + = k
Współczynnik k3i - wartość reakcji na trzeciej podporze na i-tym wykresie
31 k 3 3 3 2 0 3 3 2 31 31 EJ EJ EJ k k EJ EJ Rx=− + + = → = − =
∑
0
0
0
30 3 33 2 32 1 31 20 3 23 2 22 1 21 10 3 13 2 12 1 11=
+
∆
⋅
+
⋅
+
⋅
=
+
∆
⋅
+
⋅
+
⋅
=
+
∆
⋅
+
⋅
+
⋅
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
dr inż. Hanna Weber
k
32 2EJ 3 2EJ 3 2EJ 3 4EJ 3 2EJ 3 3 2 0 3 2 32 32 EJ k k EJ Rx= + = → =−∑
k
33 2EJ 3 2EJ 3 4EJ9 4EJ 9 4EJ 9 EJ 9 EJ 9 EJ 9 EJ 3 EJ 9 EJ 9 EJ 3 EJ 9 2EJ 3 2EJ 3 4EJ 9 4EJ 9 4EJ 9 0 9 4 9 9 9 4 33= + − − − − =∑
Rx EJ EJ EJ EJ k↓
k
30 9 18 22,5 9 18 18 P =15kN1 13,5 22,5 13,5 8 16 8 8 8 q =12kN/m q =12kN/m 0 8 5 , 22 18 15+ + + + 30= =∑
Rx k↓
5 , 63 8 5 , 22 18 15 30=− − − − =− k EJ EJ EJ 42745 , 63 611603 , 9 70162 , 1 3 2 1 = ∆ = − = ϕ ϕ 32 k 33 k 30 kWstawiamy współczynniki do układu równań i wyznaczamy niewiadome:
9 10 9 4 9 9 9 4 33 EJ EJ EJ EJ EJ k = + + + = 0 5 , 63 9 10 3 2 3 0 5 , 13 3 2 12 37 5 , 0 0 19 3 5 , 0 12 49 3 2 1 3 2 1 3 2 1 = − ∆ ⋅ + ⋅ − ⋅ = + ∆ ⋅ − ⋅ + ⋅ = − ∆ ⋅ + ⋅ + ⋅ EJ EJ EJ EJ EJ EJ EJ EJ EJ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ
→
dr inż. Hanna Weber 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Zaznaczamy punkty charakterystyczne, w których chcemy znać wartość momentów i wyznaczamy momenty na podstawie wzoru: . . 3 1 2 1 1 1 2 3 1
M
M
M
obczewnM
M
=
ϕ =⋅
ϕ
+
ϕ =⋅
ϕ
+
∆ =⋅
∆
+
Następnie rozbijamy układ na beleczki i węzły, zaczepiamy wyliczone wyżej wartości momentów i równań równowagi wyznaczamy wartości sił tnących i normalnych.
kNm EJ EJ M 1,70162 1,27 4 3 1 =− − ⋅ = kNm EJ EJ EJ EJ M 63,42745 13,5 9,34 3 70162 , 1 2 − ⋅ + =− − ⋅ = kNm EJ EJ EJ EJ M 9,611603 13,5 10,4 2 70162 , 1 3 + ⋅ − =− − ⋅ = kNm EJ EJ EJ EJ M 63,42745 9 31,02 3 2 70162 , 1 3 4 4 + ⋅ − = − ⋅ = kNm EJ EJ EJ EJ M 63,42745 9 50,15 3 2 70162 , 1 3 2 5 + ⋅ + = − ⋅ = kNm EJ EJ M 63,42745 8 13,14 3 6= ⋅ − = kNm EJ EJ EJ EJ M 1,70162 9,611603 4,5 13,26 2 7 + ⋅ + = − ⋅ = kNm EJ EJ M 9,611603 9 16,21 4 3 8= ⋅ + = kNm EJ EJ EJ EJ M 63,42745 29,47 3 2 611603 , 9 3 4 9= ⋅ − ⋅ =− kNm EJ EJ EJ EJ M 63,42745 35,88 3 2 611603 , 9 3 2 10= ⋅ − ⋅ =− 31,02 45,06 50,15 9,06 P =15kN1 9,34 14,89 21,11 13,14 16 0,95 0,95 0,95 q =12kN/m q =12kN/m 1,27 14,89 9,34 1,27 31,02 9,06 0,32 0,32 15 15 0,32 13,26 10,40 10,40 P=24kN2 17,29 6,71 0 0 17,29 29,47 35,88 0 0 21,78 21,78 21,78 29,47 P=12kN 16,21 8,55 20,55 6,71 13,26 16,21 0 0 8,55 20,83 20,83 16,97 16,97 16,97 1,84 1,84 1,84 10
dr inż. Hanna Weber
+
-14,89
21,11
-45,06
9,06+
-17,29
6,71
0,32
0,32
+
+
21,78
0,95
-8,55
12
+
T
[kN]
1,27 9,34
10,4
13,26
6,89
31,02
50,15
13,14
16
18
29,47
16,21
35,88
18,57
M
[kNm]
1,84
1,84
-15
-20,83
16,97
N
[kN]
Na podstawie wyliczonych wartości sił rysujemy wykresy N, T, M. Do wykresu dorysowujemy zredukowany wcześniej wspornik.
