ZASTOSOWANIE PIEZOELEKTRYKÓW DO GENEROWANIA SIŁ WEWNĘTRZNYCH W UKŁADACH NIELINIOWYCH
JACEK PRZYBYLSKI, GRZEGORZ GĄSIORSKI
Instytut Mechaniki i Podstaw Konstrukcji Maszyn, Politechnika Częstochowska e-mail: jacek.pr@imipkm.pcz.czest.pl
Streszczenie. Praca dotyczy zastosowania elementów piezoceramicznych do generowania sił wzdłużnych w belkach z zamocowaniem końców uniemożliwia- jących przemieszczenia wzdłużne. Badany układ składał się z obustronnie utwierdzonej duraluminiowej belki o przekroju prostokątnym i dwóch piezoaktu- atorów umocowanych symetrycznie po obu stronach tej belki. Zbadano wpływ si- ły generowanej przez piezaktuatory na siłę rezydualną występującą w belce. Wy- niki badań eksperymentalnych przeprowadzonych na specjalnie skonstruowanym stanowisku posłużyły do weryfikacji wyników badań numerycznych z rozwiąza- nia zadania na podstawie opracowanego modelu matematycznego. Dalsze bada- nia numeryczne dotyczyły wpływu długości piezoceramików i ilorazu sztywności na ściskanie piezosegmentu do sztywności belki nośnej na generowaną siłę rezy- dualną. Wyznaczono także napięcie krytyczne, przy jakim belka może utracić sta- teczność bez udziału obciążenia zewnętrznego.
1. WSTĘP
Powszechne stosowanie elementów piezoelektrycznych w konstrukcjach inżynierskich jest możliwe dzięki wszechstronnym badaniom podstawowym prowadzonym w ośrodkach uni- wersyteckich i centrach rozwojowych. W wielu przypadkach zastosowań inżynierskich belki, pręty i kolumny podporowe wchodzą w skład układów złożonych z wielu elementów połą- czonych ze sobą szeregowo lub równolegle. Przykładem zastosowań takich układów są ser- womotory napędzające urządzenia wymagające dużej precyzji, systemy otwarcia drzwi w statkach kosmicznych czy też układy podłogowe, w ramach których instalowane są belki piezoelektryczne generujące elektryczność. Są one także stosowane do pozycjonowania anten stacji kosmicznych, w konstrukcjach inteligentnych domów niwelujące lekkie trzęsienia ziemi poprzez ułożenie ich na belkach piezoelektrycznych itp. Duża część badań dotyczy aktywne- go tłumienia drgań i kontroli kształtu podstawowych elementów konstrukcyjnych, natomiast relatywnie mniej prac zostało poświęconych zagadnieniom drgań nieliniowych układów z piezoelementami oraz wzmocnienia nośności sprężystej kolumn przy obciążeniach zacho- wawczych i niezachowawczych. Jak wykazał Faria [1], jednym ze sposobów poprawy nośno- ści wyboczeniowej kolumn jest integrowanie w układzie piezoaktywatorów generujących siłę rozciągającą kompensującą obciążenie zewnętrzne. Zastosowanie tego typu elementów było przedmiotem pracy Thompsona i Loughlana [2], którzy badali eksperymentalnie wyboczenie kompozytowej kolumny wspornikowej z naklejonymi po obu stronach jej środkowej części piezoaktywatorami ceramicznymi.
W pracy [3] na podstawie zasady wariacyjnej, w odniesieniu do funkcjonału energii poten- cjalnej przy uwzględnieniu równań konstytutywnych materiału piezoelektrycznego, wypro- wadzone zostały zależności podające związki między siłą generowaną przez piezoaktuatory a powstającą w belce siłą wzdłużną. Otrzymane zależności pozwalają następnie na wykonanie obliczeń numerycznych wpływu długości piezoaktuatorów i relacji sztywności piezosegmentu do sztywności belki na siłę rezydualną. Zasadniczym celem niniejszej pracy było skonstru- owanie stanowiska badawczego i przeprowadzenie badań eksperymentalnych relacji przykła- dane napięcie-siła rezydualna w belce z unieruchomionymi końcami oraz porównanie otrzy- manych wyników z wynikami na podstawie opracowanego modelu teoretycznego układu.
2. BUDOWA STANOWISKA BADAWCZEGO
Na rys. 1 przedstawiono model belki duraluminiowej z utwierdzonymi końcami o przekro- ju prostokątnym z zamocowanymi symetrycznie względem poziomej osi symetrii układu dwoma aktuatorami piezoelektrycznymi typu PZT. Po przyłożeniu dodatniego pola elektrycz- nego (dołączeniu dodatniego bieguna źródła stałego napięcia) na zewnętrzną stronę okładek każdego piezosegmentu, płytki piezoceramiczne wydłużają się i generują w belce podłużną siłę ściskającą. Gdy pole elektryczne zostanie przyłożone w przeciwnym kierunku (to znaczy gdy na zewnętrzne strony płytek piezoelektrycznych przyłożony zostanie ujemny biegun źró- dła napięcia), to piezosegmenty zaczynają się skracać i generować podłużną siłę rozciągającą.
Do zespolenia piezoelementów z belką na całej ich długości użyto dwuskładnikowego kleju epoksydowego o deklarowanej przez producenta wytrzymałości na rozciąganie 5 MPa, stąd w trakcie prób nie stwierdzono delaminacji aktuatorów od belki.
l
3l
2l
1Rys. 1. Schemat belki z zamocowanymi dwoma płytkami piezoelektrycznymi.
Na rys. 2 pokazano stanowisko do badań eksperymentalnych, do którego budowy wyko- rzystano ceownik C100 o długości 30 cm, płaskownik stalowy o długości 30 cm, szerokości 10 cm i grubości 3 cm, za podpory posłużyły hartowane kostki stalowe o grubości ścianki nośnej 1 cm, wysokości 2 cm i szerokości 5.5 cm.
Wykonanie stanowiska badawczego wymagało precyzyjnego wykonania jego części me- chanicznej, gdyż każda niedokładność powodowała uzyskiwanie na zbudowanym próbnym stanowisku badawczym wyników obarczonych dużym błędem powodowanym np. nieosiowo- ścią podpór, bądź ich skręceniem. Całe stanowisko badawcze zostało wykonane i zestawione z dokładnością nie mniejszą niż 0.001 mm. W celu zapewnienia wystarczającej sztywności całego układu badawczego ceownik został dodatkowo skręcony z płaskownikiem śrubami M8 o klasie twardości 22 HRC i minimalnej wytrzymałości na rozciąganie 800 [N/mm2], co, jak wykazały pomiary, przy otrzymywanych tu wartościach sił wzdłużnych przestało wpływać na dokładność pomiaru, a cały układ był wystarczająco usztywniony.
Rys. 2. Układ do pomiaru sił wewnętrznych w belkach.
Zastosowano piezoceramiki z elektrodami wywiniętymi na zewnętrzną stronę płytki (rys.
3), do których doprowadza się napięcie stałe o różnym potencjale umożliwiające dokładne sterowanie siłą wewnętrzną belki.
3mm
2mm
90mm Pierwsza elektroda
Druga elektroda
20mm
Rys. 3. Schemat wyprowadzenia obu elektrod na piezosegmencie górnym.
Wywinięcie elektrod na zewnątrz piezosegmentu pozwoliło uniknąć montowania dodat- kowej elektrody wyprowadzającej, zagwarantowało idealne warunki klejenia piezoceramika do belki i możliwości bezpiecznego doprowadzenia wysokiego napięcia źródła do piezoele- mentów.
Przemieszczenie wzdłużne osiowe belki z piezoaktuatorami jest rzędu od kilku do kilkuna- stu mikrometrów, dlatego do pomiaru tak małych przemieszczeń (wydłużeń lub skróceń) nie- zbędny był sprzęt pomiarowy odpowiedniej klasy. Do pomiaru przemieszczeń belki wykorzy- stano czujniki tensometryczne oporowe kratowe model TF-30/350 o wymiarach bazy 10 mm x 15 mm, rezystancji właściwej 350 W i dokładności ±0,2% (Tenmex), które zostały podłą- czone do mikroprocesorowego systemu pomiarowego typ CL 363 pełniącego jednocześnie rolę dokładnego mostka tensometrycznego z automatyczną kompensacją temperatury. Ze względu na to, że do piezosegmentów przykładano wysokie napięcie stałe przekraczające 700 V, to w celu uniknięcia przebicia elektrycznego napięcia zasilającego piezoelektryki na tensometry nałożono kilka warstw ochronnych lakieru elektroizolującego. Lakier ten izolował
tensometry także od pola elektrycznego i magnetycznego zakłócającego wyniki pomiarów samych tensometrów. Dużą uwagę zwrócono na dokładne dopasowanie temperaturowe ten- sometrów kompensacyjnych, umieszczając każdy z nich na powierzchni znajdującej się w tych samych warunkach termicznych i przy tym samym ciśnieniu atmosferycznym co badana belka. Należy dodać, że na wyniki pomiarów otrzymywanych ze sprzętu pomiarowego o wy- sokiej czułości mogą mieć wpływ zaburzenia elekrodynamiczne wywoływane przez włączone w pobliżu komputery lub działający w tym samym pomieszczeniu telefon komórkowy. Jak wykazały badania wstępne, jest to wynikiem sprzęgania się pola elektromagnetycznego wy- twarzanego przez takie urządzenia, jeśli znajdują się one w pobliżu obiektu badanego z prze- wodami doprowadzającymi do mostka pomiarowego. Po zastosowaniu ekranowania elek- trycznego całego okablowania problem ten nie wpływał na wynik pomiaru w stopniu mniej- szym niż dopuszczalny.
Rys. 4. Stanowisko do badania sił wzdłużnych w belce pobudzanej piezoaktuatorami.
Na rys. 4 pokazane zostało kompletne stanowisko badawcze, na którego wyposażenie składa się mikroprocesorowy mostek pomiarowy, multimetr cyfrowy oraz mikrometryczny miernik przemieszczeń. Dodatkowo zastosowano czujniki przemieszczeń podpór belki, któ- rych wartości powinny być minimalnie małe w porównaniu z wartościami przemieszczeń samej belki, wskazując tym samym na właściwą sztywność całego układu.
Na rys. 5 pokazano ideowy schemat elektryczny stanowiska badawczego bez przewodów doprowadzających tensometry kompensacji temperatury.
900V DC
+ ¾
Woltomierz cyfrowy
Piezoaktuatory PZT PCM55
Czujniki tensometryczne
R1
R2 R3
R4 Zasilacz napięcia
stałego
Mostek pomiarowy
Rys. 5. Ideowy schemat elektryczny stanowiska badawczego.
3. SFORMUŁOWANIE PROBLEMU
Energię potencjalną belki trójsegmentowej o prostoliniowej postaci można zapisać w na- stępujący sposób:
å
=( )
-ò
= 3
1 2 2
2 2
1 2
1
i A
z z i
i i
xie x dA D E dA
s
P (1)
gdzie naprężenia normalne w danym segmencie są określone zależnościami:
( )
jj j
xj Ye x
s =
(
j =1,3)
(2)( )
x e Ez Y2 2 2 312 = e -
s (3)
Odkształcenie segmentów przy założeniu prostoliniowości belki jest pochodną przemieszczeń osiowych:
( ) ( )
i i i i
i dx
x x = dU
e (4)
Przemieszczenie elektryczne w drugim segmencie wywołane przyłożeniem pola elektryczne- go do piezoaktuatorów wyraża się w następujący sposób:
( )
k zk
z e x E
D2 = 31e +x33 (5)
gdzie: e31 - efektywna stała dielektryczna o jednostce [C/m2], ξ33 - efektywny współczynnik przenikalności elektrycznej ośrodka [C/Vm], [F/m], Ez - pole elektryczne definiowane jako iloraz przykładanego napięcia V przez grubość piezoceramika hp [V/m], [N/C].
W przypadku rozważanej belki trójsegmentowej o szerokości b z zamocowaniem końców uniemożliwiającym ich przemieszczenia wzdłużne i jedną parą pasm piezoceramicznych o wysokości hp, do których przyłożone zostało pole elektryczne o stałej wartości Ez, energia potencjalna będzie równa:
( ) ( )
2 2 33 2
0 2
2 2 2
0 3 1
1 2
1 2
l V h b dx dx
x F dU dx dx
x A dU
Y
p l
i l
i i i i
i
i
x - ú +
û ê ù
ë
= é
P
å ò ò
(6)gdzie F jest piezoelektryczną siłą rozciągającą (F =-2be31V) generowaną przez parę piezo- ceramików, li jest długością i-tego segmentu, b jest wspólną szerokością belki i aktuatorów.
Po przyrównaniu pierwszej wariacji energii potencjalnej do zera i przeprowadzeniu nie- zbędnych operacji całkowania i obliczania wariacji, przy założeniu stałej wartości potencjału elektrycznego otrzymuje się
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
02
0 2 2 0
2 2 0 3
1
= ú+
ú û ù êê
ë
é -
=
P
å ò
=
l i
i i l
i i i i
i i
i i
i i i U x dx F U x
dx x U x d
dx U x A dU Y
i li
d d
d
d (7)
Analizując powyższe równanie przy uwzględnieniu, że przemieszczenie wirtualne dUi
( )
xi jest w przedziale 0áx iáli dowolne i niezależne, otrzymuje się trzy równania różniczkowe drugiego rzędu na przemieszczenia wzdłużne. Po podstawieniu geometrycznych przemiesz- czeniowych warunków brzegowych w granicach poszczególnych segmentów do równania na wariację energii potencjalnej, uzyskuje się uzupełniający zagadnienie brzegowe zbiór dwóch warunków naturalnych. Rozwiązanie zadania oraz analiza stanu naprężenia w poszczególnych segmentach prowadzi do wzoru na wzdłużną siłę rezydualną R, która zależy od siły piezo- elektrycznej F (przyłożonego napięcia V), jak również relacji między długościami segmentu z piezoceramikami i segmentów belki oraz relacji między sztywnościami na ściskanie tych segmentów:2 1
1 1 2 2
2 31 2
-
= - ÷
ø ç ö
è æ +
±
=
å
i
l i
l l V be
R a , (8)
gdzie współczynnik sztywności na ściskanie będący ilorazem sztywności piezosegmentu do sztywności belki jest równy
YA
A Y A Y A Y
A
Y + p p
=
=
1 1
2
a 2 , (9)
a Yp, Y to moduły Younga materiału piezoceramików i belki, Ap, A to pola powierzchni prze- kroju piezoceramików i belki.
3. WYNIKI BADAŃ EKSPERYMENTALNYCH I OBLICZEŃ NUMERYCZNYCH Podstawowe obliczenia przeprowadzono przy następujących danych odpowiadających własnościom mechanicznym i elektrycznym materiałów oraz wymiarach belki i piezocerami- ków wykorzystanych w eksperymencie:
· moduł Younga belki Y = 71.4286 [GPa],
· moduł Younga piezoceramików (PZT PCM55) Yp = 60.6061 [GPa],
· efektywny współczynnik przenikalności elektrycznej ośrodka ξ33 =8.86 • 10-12 [F/m],
· efektywna stała dielektryczna e31=-15.7576 [C/m2]
· długość całkowita belki l = 0.23 [m],
· długość piezosegmentu l2 = 0.09 [m],
· szerokość piezoceramików i belki b = 0.02 [m],
· grubość belki h = 0.002 [m],
· grubość piezoceramików hp = 0.002 [m].
Na rys. 6 pokazano wykres ilustrujący wpływ napięcia V przykładanego do piezoelektry- ków i zmienianego w zakresie ± 900 [V] na siłę rezydualną R generowaną w belce. Linia cią-
gła jest obrazem zależności otrzymanej z obliczeń, natomiast punkty będące wynikiem po- miaru połączono linią przerywaną. Uzyskano bardzo dobrą zbieżność wyników przy wyż- szych wartościach napięcia zasilania - najmniejsza różnica względna między średnią warto- ścią zmierzoną a obliczoną wynosiła 0.065%. Przy niskim napięciu (rzędu 100 [V]) różnica ta była największa i sięgała 29.4%, czego powodem może być występowanie luzów połącze- nia belka-zamocowanie oraz bezwładność mechaniczna układów generującego i mierzącego siłę w belce.
-500.0 500.0
-100.0 100.0
Rys. 6. Wpływ napięcia na siłę krytyczną w belce duraluminiowej (pozostałe da- ne: l2 = 9 cm, a = 2.8).
0.10 0.2 0.30 0.4 0.50 0.6 0.70 0.8
0.0 50.0 100.0 150.0 200.0 250.0
d 2
Rys. 7. Wpływ długości segmentu d na siłę 2 rezydualną (przy napięciu 500V).
Zbieżność wyników zweryfikowała poprawność przyjętego modelu matematycznego i prawidłowość wykonanych obliczeń numerycznych. Pozwoliło to na przeprowadzenie do- datkowych badań numerycznych uwzględniających także wpływ długości i położenia piezo- ceramików na względne napięcie krytyczne. Na rys. 7 zaprezentowano wyniki obliczeń poka- zujące wpływ zmiany długości bezwymiarowej piezosegmentu d2 = l2/l na wartość siły rezydualnej przy ustalonym napięciu stałym równym 500 [V] i dwóch wartościach współczynnika sztywności na ściskanie: jednej odpowiadającej układowi podstawowemu
69 .
=2
a i drugiej a =1.5. Zwiększenie długości piezoelektryków prowadzi do wzrostu wartości siły generowanej w belce niezależnie od wartości współczynnika sztywności.
Krzywe z rys. 8 ilustrują zmianę siły rezydualnej w belce w funkcji współczynnika sztyw- ności na ściskanie przy stałym napięciu i dwóch wartościach długości piezosegmentu. Siła wzdłużna maleje wraz ze wzrostem wartości współczynnika sztywności. Należy jednak stwierdzić, że istotnym parametrem określającym przydatność piezoelektryka jest wartość maksymalnego pola elektrycznego, jakie może być przyłożone do aktuatora. Wielkość ta wy- raża maksymalne napięcie w voltach na milimetr [V/mm] grubości elementu, przy którym nie wystąpi depolaryzacja. Warto zauważyć, że w licznej grupie piezoelektryków napięcie depo- laryzujące dipole domen elektrycznych jest dużo mniejsze przy ściskaniu niż rozciąganiu, co trzeba brać pod uwagę przy wyborze odpowiednich piezoceramików. Natomiast im większa jest grubość piezoelektryka, przy tych samych własnościach elektromechanicznych, tym większe napięcie można zastosować do jego pobudzenia i tym samym wygenerować siłę wzdłużną o większej wartości.
Naklejenie piezoceramików na belkę zwiększa lokalnie jej przekrój poprzeczny i sztywność. Położenie piezosegmentu musi więc wpływać na wyboczeniową siłę krytyczną układu, co zilustrowano na rys. 9, przy czym jako przyczynę utraty stateczności podano względne napięcie krytyczne. Za napięcie krytyczne należy uważać takie napięcie stałe, przy
R [N]
V [V]
R [N]
69 .
=2 a
5 .
=1 a
którym wygenerowana przez piezoceramiki siła rezydualna wywołuje trwałe wyboczenie układu.
1.6 2.0 2.4 2.8
60.0 80.0 100.0 120.0
Rys. 8. Wpływ współczynnika sztywności na ściskanie na siłę rezydualną (przy napięciu 500V)
0.00 0.20 0.40 0.60
300.00 400.00 500.00
Rys. 9. Wpływ położenia piezosegmentu na napięcie krytyczne (pozostałe dane: d2
= 0.39) 5. WNIOSKI
Skonstruowany układ badawczy wraz z zestawioną aparaturą pomiarową umożliwiają po- miar siły wzdłużnej w belce z unieruchomionymi końcami, wywołanej oddziaływaniem wzdłużnym piezoktuatorów i powstałym w wyniku przyłożenia do segmentu z elementami piezoceramicznymi wysokiego napięcia stałego.
Zależności siły i napięcia otrzymane z pomiarów i obliczeń numerycznych należy uznać za zbieżne, mimo tego, że w przyjętym modelu matematycznym nie uwzględniono zjawiska hi- sterezy ferroelektrycznej piezoceramika.
Siła rezydualna generowana przez piezoceramiki zależy nie tylko od przykładanego pola elektrycznego, ale także od długości piezoceramików i ilorazu sztywności na ściskanie pie- zosegmentu do sztywności belki.
Praca została wykonana w ramach projektu badawczego Ministerstwa Nauki i Szkolnictwa Wyższego N N501 117236, oraz badań własnych BW 1-101/204/07/P
LITERATURA:
1. Faria A. R. On buckling enhancement of laminated beams with piezoelectric actuators via stress stiffening.
“Composite Structures” 2004, 65, 2, p. 187-192.
2. Thompson S., Loughan J. The active buckling control of some composite column strips using piezoceramic actuators. “Composite Structures” 1995, 32, p. 59-67.
3. Przybylski J. Stability of an articulated column with two collocated piezoelectric actuators. “Engineering Structures” 2008, 30, 12, p. 3739-3750.
APPLICATION OF PIEZOCERAMIC ELEMENTS FOR THE AXIAL FORCE GENERATION IN A BEAM WITH AXIALLY RESTRAINED ENDS
Summary. In this work the influence of the voltage applied to two ceramic piezoactua- tors collocally bonded to a duralumin beam of the rectangular cross section with both clamped ends, on the axial force generated along this beam have been studied. Performed numerical investigation on the basis of prepared mathematical model have been verified with those obtained from the experimental analysis done on a specially designed stand.
a 39 .
2 =0 d
5 .
2 =0 d
R [N] vkr
d1
