Golfsystemen veroorzaakt door een bron met sinusoidaal veranderde sterkte en een konstante voorwaartse snelheid

(1)

GOLFSYSTEMEN VEPOORZAAKT DOO1 EEN BRON MET SINUSOThAAL VERANDERENDE STERKTE EN EEN CONSTANTE VOO1WJAARTSE SNELTIEID.

Rapport Nr,

11?.

Door G

van Leeuwen

Laboratorium voor Scheeyabouwkunde,

Technische Hogeechool - Delft1

(2)

aterkta an eon constante voorwaartse sneTheid.

Door G. van Leouwen.

1. Inleidin,g,

In verband met de vraag onder wolke omstandigheden wandeffect op zal troden bij oscillatie proeven met scheepamodellen in eau sleeptank tengevolge van tegen de tankwand reflecterende goiven en voor hot model uitlopende golven, zal nagegaan worden welke golfsya-temen worden opgewekt door eon oecilleronde brou.

Hoewel men eon oBcillerend modal in eon aleeptank moeilijk kan vereenzelvigen met ¿én enkele oscillerende brou kan, voornamelijk wat betreft de begreuzingen van het go]foyateem, eon rodelijke over-aenkomat verwacht worden. Voor eon beachrijving van hat golfbeeld,

zoalB dat bij eon osci].]orend model optreedt, zal ala eerste

benade-ring eon aautal brormen verdeeld over de model langte en geplaatat

in hot eyntmetrievlak gebruikt kunnen worden.

2 Berekaning der be;renzingen van de verachilleride golfaystemen,

*

Vitgangapunt voor ditouderzoek vorrit da door Brard afgeleide theorie, waarbij vaatgelegd wordt uit wolke richtingen veratoringen gelijktijdig aankomon op eau vaatgestelde plaata M in hot waterop-perviak (zia fig. 1).

M

.<- Vt A1,

AA2

A

TIG. I

Op het moment dat da veratoringen, uitgezonden toen de brou zich in A beyond, het punt M bereiken, bevindt de brbn dich in _At.

De tijd die daarbij 'verlopen is, is

ge].ijk man

_{t- t.}

R. Brard: "Introduction l'étude theorique du tangage en iaroie.

(3)

-2

Hot verband dat tuesen de in deze figuur aangegevan hoeken W

en

₉

bestaat je:

CoSCO 2)4 (1 +2167 )

waarin:

2tV

sin(o

+'f)

* _gT

V de voorwaartse eneiheid en P de oscillatie-perioda ia. De

parame-ter 14 atelt blijkbaar de verhouding: A1M

A.A

voor. Nagegaan wordt nu wat de meetkundige plaate is van de punten

M waar juist nog eon veretoring waargonouien wordt.

_{In ie1ex'}

geval

sal voor daze meetkundige plaat gelden O. De betrekkig (i) is oak te

sobri

jven ale:

(co830 - 2coa +)tg2

- 2uintgCy

+

aincoa

u Q (3) waaruit voigt dat:

ala

(2- 3cos)tgç-6ainøcowtgq+(2 - 3sin)

= O

wolke vergelijking teherleiden

i

tot:

cos (ø'q)

_t'[?

₍₅₎

hetgeen betekent dat M op ¿n der bogen van de in fig. 2 getekende cirkel ugt, waarbij iiteraard oak

de

epiegelpuntan van M voidoen.

-3 s

(i)

(4)

If

Vergelijkjng

(5)

kan herleid worden tot eon betrekking tussen

K

en coec.,

door de

aubotitutje

De _{aetkundige plaata Van de punten M wordt op dit assenotelsel duo}

gevormd door eon dee? van de door (7) voorgeetelde ellips, waarvan

de rechte )4 = cosø dus een middeIliJn is. Enkele _{bijzondere punten}

van doze ellips zijn die punten waarvoor

4 en cos=1: (zie fig. 3).

Ic =0; coa&)=O;

=O;9=9O0;

?O0 A

flG.3

-.

eos(4)

-4+-sf?t P

i r'

= sin(&u)+f) = zodat: coo0 ofwel:

co5)+

2)Ç2_LiMcoecj_

i = o

(5)

A: cos'_jY?;

B;

COOC O _;

cocuy6

coaø:jV';

O; coec=1

Opgemerkt wordt nog dat de in Zig. 3 getekende ellipa de meet..

kundige plaats is van de raakpunten der krosimen

constant en

= constant. Doorloopt men de ellipo in de richting ACEG dan

neemt 'p.9 toe van O tot 12,0, 15's 52", waarbij

_{afneemt vana0 naar}

Evenzo wanneer de e].lipa in de z'ichting BFDG doorlopen

wordt

neemt

₉

toe van O tot

,40,

_{44', 8", terwiji}

_{van B naar F}

van

tot

_{, van F naar D vorder afneemt tot O en van D naar Q weer}

I

_i

toeneemt tot

Wat betreft de waarde

_'=

moot opgemerkt worden

dat

11m

_{'4 "}

=

_{5Lf0 ,44' 8"}

₍₈₎

41

maz

11m (f "

125°,15'5?"

(9)

1j,1 max

Iy

terwiji beide toestanden Labiel zijn; dit is ook al

voigt in te

zien: de krominen

_'f

constant voor 5I+°,kk181tW < 900 raken

al-le in hot punt M

1, 0050

1 aan de kroiinne

eveneeno de

krommen 125,I5',52"

f'

i8o°.

(De kronune

900 raakt aleohte

aan de kroinme

?

\f')

f ₍ _,

)4=O

;

Co

=

)(=0

;

9'=O

I

K4

I

4T'

('f=35°,' ,52")

I

(f19°28 ',i6")

q

₉₀₀ _; ₆

)4=jCV71);

tg=jV

;

('t5o,1#' !36")

i(=1

_I _I

(Ç=125°,15' ,52")

('?= 51iO,44, 8")

(6)

/

Voor de berekening van

_f

_{ale funotie van} _{' (fig. 13) gaan} Max

we uit van de formulee:

Voor hot eerete oteleel geldt voor e].ke

ir'

cos(C+)

=

Dit geldt ook voor bet tweede _{etelee]. ale} _I/oar geldt echter:

co8(()+q)

Zodat voor hot eerate ayeteem

cos

- 211

000c)

Vein

q

O

ein(19°,28',16" _(9'

)

max

en voor bet tweede voo

t,

2Y-coe.

I =

en voor bet tweede or

iy_iiein(tI;i19°28ti16tI) niax geldt:

r =

tin(19°,28*,i61I

f

IP " max

3m2

i

(io )

(i

Oa) (i Ob)

De formulae 10, lOa en lOb rtell.n one in otaat fig. 13 indi-rect te barekenen, d.w.z. bij bekende _kan _{berekend worden.} De vraag im nu, en dat im voor hot hierna volgendo van practioch belang, of hot niet mogelijk ie een.xpilol,t. uitdrukking voor

te gayen, zodat bij bekended1.x.eotfb.rekend _{kan worden,.}

4

cosCi) tL

,,

ßin(+4q) waarjn nu:

(7)

/

Dit blijkt echter niet aenvoudig te zijn daar in. dat

geval

(eigenlijk tg ale wortel van een vierdegraadavergelijking waarvan de coefficienten funotie van zijn, opg.loet moet worden.

We vinden d.ttn bijv. voor iet tweede syateem

en

.> '

de vergelijkingi

tgk

LIj'tg3 2kftg2tf_

_1V

_{tg(f.. I}

_O

_(li)

Waaruit voor de gezochte wortel. voigt:

tg

_+Y2Wt2

+

Lf(ni_k)}

₍₁₂₎

warin k een wortel i _{win de derdegraadevergelijking:}

k3 -

12k2

+

9k -

_12'?

o

(13)

waarvoor voor elk. gonomen kan word.n

k1[k+[\y'+1'

+\I?]

(1k)

terwjj]. i en ni berekend kunnen worden uit2

Vooz' de

andere gevnllen kunnen soortgelik. uitdrukkingen afgeleid

Worden.

3.

Berekeninj van de plaata der golfbergen,

Voor de pleats der goLftoppen geldt volgena Erard

27tt

711),

krr

-

T

oo$(é- 2}Ç(1 2)4k')

De serete dezer vergelijktngen is ock te shrijven ale:

(,v

p

I

t-T

(8)

Er mosten dus weer twee gevallen onderechaiden worden, rial.:

CO8t2Y,(1

+ 2$(X)

coeô=2%«1

-21(46)

en: Uit:

coa(i)= 2k(1

Voigt: ! _(i -

V

4c),

coew

2k(1-2(y)

en

Nu is

r=

t -(t-T, Dus als we stellen

tT

=A(

. O) dan wordt

bet aerate stelsel

coe()= 2I'c(1+2c)

en bet tweede:

coei

2K(1-2lÇ)

p..

A +(+-k)

Eerst wordt nu ond.rzooht wet de configuratie van de goiftop-peu is ale + n (n geheal),

due

periodi voordat de bron op maximale eterkte is. (Is S de bronsterkta dan is S

Sco

t). Steilen we n-k = c da _{zijn de beide steleela te schrijven in de}

vorm:

coa)

21(1 2K.)

i

(9)

-8-/

en uit

voigt:

Àc

i

.

_{i -'4KV'.}

o Verdor voigt oVenZo uit bet

_{oerUtestolee],:}

(1+'JT

ko)

v,

=

(-1-V+

400s)

(voldoet niet aan

_{%» O)°en uit;}

i

Voigt:

o

Stellen we

V:a+)co=zen \fi

+kcos

_=L

dn zijn thw de volgende drie combinaties

_moge].ijk:

JA

= e,

(i

Voor de eyetemen lien III moot

_{n en voor I}

_{n genomen}

wor-dene

9 z

(22)

+

1)

z)

(23)

(24)

I)

(10)

In bet volgende wordt o I go3teld;vóor o = 2, ₃ .

,

. moat

de verkregen figuur vanult O met 2, 3 . verntenigvuldigd worden.

I

I % I +

z

t"

½

(l.+ z)"

D&ar z

V

4

ooe

en

I geldt dus ,CO8

_$

Voor die

waarde van sô is z = O dus

_{=00 ofwel de !'1.P. van de punten (x,y)}

nadert aayptotiech' tot een rechte die de

-ae 8nijdt'ln en punt

waarvoor geidt; (aie fig.

4).

z1.O - (1 + I - ( I + z)

waarin:

Co.)

='

14

(25)

FIG. A

m.aew. dez

asyniptoot snijdt de

aasopeenat6tand 'IT '88r de

momen-tane plants Vafl de bxon (ale fig. 5).

(11)

-1'Ieemt4) toe tot dan neenit z toe tot 1, due:

2 en

f

a V

Wordt coscènagatief dan nadert z tot:

en

V+

44

m.a.w. voor =twordt eon punt P op de as gevonden,

_zodat

_t(x,y) eon keerpunt moat vertonen. Dit keerpunt kan gevonden worden door

gebruikmakirig van fig 3; de bij bet keerpunt behorende waarde van

KW01t

gevonden uit:.

C.) +(4)

arccoo(..L\jÇ)IE

_{12°.15'.52",}

k max 3

waaruit blijkt dat:

4'

₄

ara

einIT=

_35°,15',52'

i max

ofwel als:

I

VO,7O7.

De plaats van hot punt P wordt gevonden uit:

(i

=

1

X e s

P (26)

De grootete waarde van wordt gevonden voor due:

3 +

2V,,83,

terwiji Xy+.O ale , waarbij dan tevena

'f

maz'

O, odat de gahele figuur samengedrongen la in di ooreprong.

i

Nadering van

tot de waarde : Volgona hit

voorgaande

nadert

daarbij tot aro

ooa(-î waarbij de

_waarde

((y"

aeerd wordt bij

e

(zu

fig. 6a),,

(12)

dus:

..1 terwiji. hot punt

_K"

_{het snijpunt is van deze asymptoot en de}

rechte bepaald door arc ooe (zie fig. 6b).

De asymptotische tak I.e verdwenen ofwel eamengedrongen in bet punt

_K

. Voor bet punt , ale snijpunt Van de y-as wordt gevonden:

X

_-

Ç) _ooet3 _O

(27)

overgaat in: -(i + )(i -+ z - i) O, + z I = O (z).0) O -+

.V

0,61805,

(28)

zodat *

= Ç)

ein'

_3,33

-

12-wat voor I (i (z +

(13)

A:

z0

r

Vi

I

o

VI-4V

(A0

Hieruit volgt dat voor hot punt

K

de

(xK < -i). Dit

punt vertoont

_du _{een tcontinuteit bij de}

over-gang Verdor

blijftX2'en

ir

z

> k. (zie fig. 7).

-1 vonden ale: 1im I)

iii,

i

_f

z-p O

CbS() r,

oz

T1i*

1-z

-i

z-0

i+z

-F)G.7

12

-Daar Lf _{1 kanc) alle waardon tueen O on (aannornen. Voor} eindige waarden van is z en d.aarmee )i en w eveneens

ein4ig. De

klein8te z-waarde wordt gevonden voor s4

z O:

dan geldt dus

M

!i. liet

De doorgang y max

W

_{f. Voor}

(4) r

golfeysteem nadert due weer tot

an de iaymptoot wordt weer ge..

-

z).

(29)

nogatieve x-aa Ugt.

(30) 13 -Is OO8C min is z O due _A de rechte Coet)

(14)

BiJ e=

isz

i

due

en h

Odus het go1fsyateen gaat door

-de ooreprong en

raakt aan de

_{xaa (zie fig. 8)}

ç-flG. 8

- Jj 'naderin Vafl wijzigt fig. 8 zioh via fig. 8a tot fig.

8b.

Een soortgelijk

versohijnse]. 1s bi

systeem X

treedt op:

voor + _{wordt 9onbeerkt groter bij nadering vane.) tot}

voor

4

nadert tot de ilinietwaarde

= aro cos (+

).

(15)

P

B

Hierbij kan 4 afnemen van tot

o,

terwiji A daarbij niet

on-aindig groot behoeft te worden, zodat hot asymptotisch

karakter

ver-loren gaat en weer sen keerpunt

K"

opreedt. (zio fig.

9).

F)G.9OE

i

1

1 -t1

z 14

-FiG. 9

Fig. 9a en ig. 9b laten ziei hoe de overgang 1h

plaatsvindt,

/

f

/

/ 1.

+ 4'øoa

/

flierbij is noodzakelijk

3.1 du

o terwiji A i $ verdor

heeft de waarde bier goon bijzondere betekenie, zodat voor el

elke eon golfayeteem verwacht kan worden zoale _{yeteem IT voor}

.( ; Vooz- i.) = io

X=

_)Ç

=0,

zodat

hot

_{golfayateoni door de}

ooreprong gaat en aan

de

x-es

raakt.

_Voor

t.) = O blijven X en

due ook sindig, zodat eon keerpunt voor c _{optz-eedt (zio fig.}

io).

(16)

-r

15 -HG. 10

Voor het vo.tpunt P (w. O) veLdt nu

=

X0

-

(i

-

;1;)

i

z

_o

-1

XpL+1

_1z0.p1

waarin;

z0 =

Opg.merkt wordt, dat i.t.t. bet golfeyete.m II

voor

_{de bij P}

bebor.nde

A

-waarde kleiner la dan I

_{terwij]. deze voor golfeyetee}

II en

juist groter le dan i en tot oneindig nad.rt.

(17)

-5. ynami8che verschi.jaelen.

In hat voorgaande le voor' de tijd-afhankelijke parameter' _{o =}

I

+ g - k de wearde i genoman. Daarmee la due hat golfpatroon

be-rekend voor de toeetand waarbij de

phase van, hat oacill.r.nde achip

(de brou) gelijk te ¿tan ... Voor da toeetand op eau later tijdatip moot due voor o een waarde I +p genomen worden.

Door variatie van

k worden dan de 8olven

gevonden die

_{"zich verdor achter het achip"} bevinde. Maar tevene kan nu k zo gekozen worden dat o de waard./'

kr'ijgt, m.aw. er' bevindt zieh aen golfbergkromme viak bij hat sohip

die/Lmaal zo klein is ala die welke berekend was voor

Osi

(fig. I1h

16

-nGijq

FIG.

11b

F)G. i

(18)

-De voor o = I berekende golf

_IB

op dat moment I maal zo

groot geworden. Ee _{cerote conc1uie die hieruit getrokken kan} wor-den io, dat ieri (bjv. door _{) bepaaldyunt van hot ;olfeyote.m}

etand gehouden wordt" door verotorjnori _{die niet} _{p ¿n bepsald} moment ujtgezondsn ziin. Dit wordt in fig. 11 g.Ï]]u.tr..rd:

A(A') io hit punt waar de brou eón verotoring uitzond di. op hit moment dat hit echip in 0(0') ii, in P(P') eon golfberg teng.volge heeft. De richting waarin eon ('oor _{) bepaald punt L van do}