Wyznaczanie fundamentalnego zbioru rozwiązań równań różniczkowych liniowych jednorodnych o stałych współczynnikach rzędu wyższego niż dwa

Wyznaczanie

fundamentalnego zbioru

rozwiązań równań

różniczkowych liniowych

jednorodnych o ...

Autorzy:

Julian Janus

2019

(1)

(2)

Wyznaczanie fundamentalnego zbioru rozwiązań równań różniczkowych liniowych jednorodnych o stałych

Wyznaczanie fundamentalnego zbioru rozwiązań równań różniczkowych liniowych jednorodnych o stałych

współczynnikach rzędu wyższego niż dwa

współczynnikach rzędu wyższego niż dwa

Autor: Julian Janus

DEFINICJA

Definicja 1:

Definicja 1:

Równaniem różniczkowym liniowym jednorodnym rzędu

Równaniem różniczkowym liniowym jednorodnym rzędu o stałych współczynikach o stałych współczynikach nazywamy równanie postaci

gdzie są stałymi i .

Chcąc wyznaczyć rozwiązanie ogólne równania ( 1 ) musimy wyznaczyć układ fundamentalny rozwiązań równania ( 1 ). Tak jak w przypadku dla szukamy rozwiązania równania ( 1 ) w postaci funkcji .

Równanie charakterystyczne odpowiadające równaniu ( 1 ) ma postać

Analogicznie jak w przypadku rozpatrzymy trzy przypadki. Przpadek I.

Przpadek I. Jeżeli są rzeczywistymi jednokrotnymi pierwiastki równania ( 2 ) wtedy z przykładu 7 z modułu "Liniowa zależność i niezależność funkcji" wynika, że funkcje

stanowią liniowo niezależny zbiór rozwiązań równania ( 1 ). Przpadek II.

Przpadek II. Jeżeli jest - krotnym pierwiatkiem równania ( 2 ) wtedy funkcje

są liniowo niezależnymi rozwiązaniami równania ( 1 ).

Istotnie, dla dowolnej liczby naturalnej prawdziwa jest następująca zależność:

Ponieważ jest - krotnym pierwiatkiem równania ( 2 ) więc

Zatem funkcja jest rozwiązaniem równania ( 1 ).

Liniowa niezależność rozwiązań równania ( 1 ) wynika z wniosku 2. Przpadek III.

Przpadek III. Niech będzie jednokrotnym zespolonym pierwiastkiem równania ( 2 ). Wtedy liczba sprzężona też jest pierwiatkiem jednokrotnym równania ( 2 ) gdyż współczynniki równania ( 2 ) są rzeczywiste. Analogicznie jak dla równań rzędu drugiego pokazuje się, że pierwiastkom tym odpowiadają następujące linowo niezależne rozwiązania równania ( 1 ):

Przpadek IV.

Przpadek IV.Niech będzie pierwiastkiem zespolonym równania ( 2 ) o krotności Wtedy liczba sprzężona też jest pierwiatkiem równania ( 2 ) o krotności gdyż współczynniki równania ( 2 ) są rzeczywiste. Analogicznie jak w "Przypadku II" dowodzi się, że następujące funkcje

są liniowo niezależnymi rozwiązaniami równania ( 1 ).

Postępując tak samo jak dla równań rzędu drugiego można wykazać, że rozwiązaniom

równania ( 1 ) odpowiadają nastepujące funkcje

n

L(y(t)) :=

a

n

y

(n)

(t) +

a

n−1

y

(n−1)

(t) + ⋯ +

a

1

y

′

(t) + y(t) = 0, t ∈ R

a

0

, …,

a

0

a

n

a

n

≠ 0

n = 2,

y(t) = e

λt

ϕ(λ) :=

a

n

λ

n

+

a

n−1

λ

n−1

⋯ + λ + = 0.

a

1

a

0

n = 2,

, …,

λ

1

λ

k

(t) =

, …, (t) =

y

1

e

λ1t

y

k

e

λkt

λ

0

k

(t) =

, (t) = t

, …, (t) =

,

y

1

e

λ0t

y

2

e

λ0t

y

k

t

k−1

e

λ0t

i, 1 ≤ i ≤ k − 1

L(

y

i+1

(t)) =

ϕ

(i)

( )

λ

0

e

λ0t

+

ϕ

(i−1)

( )t

λ

₀

e

λ0t

+ ⋯ + ( )

ϕ

′

λ

₀

t

i−1

e

λ0t

+ ϕ( )

λ

₀

t

i

e

λ0t

.

λ

0

k

( ) = 0

dla

0 ≤ l ≤ k − 1.

ϕ

(l)

_λ

₀

(t)

y

i+1

(t), …, (t)

y

1

y

k

λ = α + βi

= α − βi

λ¯

(t) =

sin(βt),

(t) =

cos(βt).

y

1

e

αt

y

2

e

αt

λ = α + βi

k,

= α − βi

λ¯

k,

(t) =

, (t) = t , …, (t) =

,

(t) =

,

(t) = t , …,

(t) =

,

y

1

e

λt

y

2

e

λt

y

k

t

k−1

e

λt

y

k+1

e

λ¯t

y

k+2

e

λ¯t

y

2k

t

k−1

e

λ¯t

(t) =

,

(t) =

dla 1 ≤ l ≤ k,

y

l

t

l−1

e

λt

y

k+l

t

l−1

e

λ¯t

(t) =

sin(βt), (t) =

t sin(βt), …,

(t) =

sin(βt),

y

1

e

αt

y

2

e

αt

y

k

e

αt

t

k−1

(t) =

cos(βt),

(t) =

t cos(βt), …,

(t) =

cos(βt)

będące rozwiązaniami równania ( 1 ). Na podstawie wniosku 3 wynika, że powyższe rozwiązania równania ( 1 ) są liniowo niezależne.

PRZYKŁAD

Przykład 1:

Przykład 1:

Wyznaczyć rozwiązanie ogólne równania

Równanie charakterystyczne odpowiadające temu równaniu jest następujące

Pierwiastkami równania charakterystycznego są liczby Stąd na podstawie przykładu 7 funkcje stanowią układ fundamentalny dla naszego równania różniczkowego i rozwiązanie ogólne ma postać gdzie i są dowolnymi liczbami rzeczywistymi.

− 2 − + 2y = 0.

y

′′′

_y

′′

_y

′

− 2 − λ + 2 = 0.

λ

3

_λ

2

−1, 1, 2.

(t) =

, (t) = , (t) =

y

1

e

−t

y

2

e

t

y

3

e

2t

y(t) =

c

1

e

−t

+

c

2

e

t

+

c

3

e

2t

,

c

1

c

2

c

3

PRZYKŁAD

Przykład 2:

Przykład 2:

Znaleźć rozwiązanie problemu początkowego

Równanie charakterystyczne odpowiadające temu równaniu ma postać

Ponieważ

więc równanie charakterystyczne ma dwa pierwiastki rzeczywiste: (pierwiastek jednokrotny) i (pierwiastek dwukrotny). Zatem następujące funkcje

są rozwiązaniami rozpatrywanego równania różniczkowego.

Pokażemy, że stanowią układ fundamentalny rozwiązań rozpatrywanego równania.

Musimy zatem wykazać, że wyżej wymienione funkcje są liniowo niezależne. Wystarczy sprawdzić czy ich wrońskian jest różny od zera

Zatem rozwiązanie ogólne ma postać

Ponieważ

więc z pierwszego warunku początkowego dostajemy

zaś z drugiego warunku początkowego mamy

Z trzeciego warunku początkowego otrzymujemy

Wówczas rozwiązaniem układu równań

jest i

Zatem rozwiązaniem problemu początkowego jest funkcja

− 5 + 3 + 9y = 0, y(0) = 3,

(0) = 4,

(0) = 13.

y

′′′

_y

′′

_y

′

_y

′

_y

′′

− 5 + 3λ + 9 = 0.

λ

3

_λ

2

− 5 + 3λ + 9 = (λ + 1)(λ − 3 ,

λ

3

_λ

2

₎

2

= −1

λ

1

λ

2

= 3

(t) =

, (t) = , (t) = t

y

1

e

−t

y

2

e

3t

y

3

e

3t

W ( (t), (t), (t)) =

y

1

y

2

y

3

=

=

∣

∣

∣

∣

∣

e

−t

−e

−t

e

−t

e

3t

3e

3t

9e

3t

t

e

3t

(1 + 3t)

e

3t

(6 + 9t)

e

3t

∣

∣

∣

∣

∣

e

−t

e

3t

e

3t

∣

∣

∣

∣

1

−1

1

1

3

9

t

1 + 3t

6 + 9t

∣

∣

∣

∣

=

= [4(6 + 8t) − 8(1 + 4t)] = 16 ≠ 0.

e

5t

∣

∣

∣

∣

1

0

0

1

4

8

t

1 + 4t

6 + 8t

∣

∣

∣

∣ e

5t

∣

_∣∣

4

₈

1 + 4t

_{6 + 8t}

∣

_∣∣

e

5t

e

5t

y(t) =

c

1

e

−t

+ ( + t).

e

3t

c

2

c

3

(t) = −

+ 3 ( + t ) +

= −

+ (3 + + 3t )

y

′

_c

1

e

−t

e

3t

c

2

c

3

e

3t

c

3

c

1

e

−t

e

3t

c

2

c

3

c

3

(t) =

+ 3 (3 + + 3t ) + 3

=

+ (9 + 6 + 9t ),

y

′′

_c

1

e

−t

e

3t

c

2

c

3

c

3

e

3t

c

3

c

1

e

−t

e

3t

c

2

c

3

c

3

3 = y(0) = + ,

c

1

c

2

4 = (0) = − + 3 + .

y

′

_c

₁

_c

₂

_c

₃

13 = (0) = + 9 + 6 .

y

′′

_c

₁

_c

₂

_c

₃

⎧

⎩

⎨

c

− + 3 + = 4

1

c

+ = 3

1

c

2

c

2

c

3

+ 9 + 6 = 13

c

1

c

2

c

3

= 1,

= 2

c

1

c

2

c

3

= −1.

y(t) =

e

−t

+ (2 − t).

_e

3t

PRZYKŁAD

Przykład 3:

Przykład 3:

Wyznaczyć rozwiązanie ogólne równania

Równanie charakterystyczne odpowiadające temu równaniu jest następujące

Pierwiastkami dwukrotnymi tego równania charakterystycznego są

Pierwiastkom tym odpowiadają następujące funkcje

które są rozwiązaniami rozpatrywanego równania.

Z przykładu 6 wynika, że są liniowo niezależne i tym samym stanowią układ fundamentalny rozwiązań rozpatrywanego równania.

Zatem rozwiązanie ogólne równania jest postaci

gdzie są to dowolne stałe.

Publikacja udostępniona jest na licencji Creative Commons Uznanie autorstwa - Na tych samych warunkach 3.0 Polska. Pewne prawa zastrzeżone na rzecz autorów i Akademii Górniczo-Hutniczej. Zezwala się na dowolne wykorzystanie treści publikacji pod warunkiem wskazania autorów i Akademii Górniczo-Hutniczej jako autorów oraz podania informacji o licencji tak długo, jak tylko na utwory zależne będzie udzielana taka sama licencja. Pełny tekst licencji dostępny na stronie

http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/pl/.

Data generacji dokumentu: 2019-04-16 09:14:51

Oryginalny dokument dostępny pod adresem: https://epodreczniki.open.agh.edu.pl/openagh-permalink.php? link=af77a201db523c6a0f6dae8f67738ed4

Autor: Julian Janus

+ 8 + 16y = 0.

y

(4)

_y

′′

+ 8 + 16 = ( + 4 = 0.

λ

4

_λ

2

_λ

2

₎

2

= −2i,

= 2i.

λ

1

λ

2

(t) = cos(2t), (t) = tcos(2t), (t) = sin(2t), (t) = tsin(2t),

y

1

y

2

y

3

y

4

y(t) = cos(2t) + t cos(2t) + sin(2t) + t sin(2t),

c

1

c

2

c

3

c

4

, , ,