• Nie Znaleziono Wyników

 12.7. Odchylenie standardowe.pdf 

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share " 12.7. Odchylenie standardowe.pdf "

Copied!
4
0
0

Pełen tekst

(1)

12. 7. ODCHYLENIE STANDARDOWE

Wariancja i odchylenie standardowe

a) Wariancją nazywamy średnią arytmetyczną kwadratów odchyleń od średniej arytmetycznej.

Wariancję liczb x1,x2,x3,...,xn liczymy ze wzoru

(

) (

) (

)

(

)

n x x x x x x x x1 2 2 2 3 2 n 2 2 = − + − + − +...+ −

δ

b) Odchyleniem standardowym nazywamy średnią kwadratową odchyleń od średniej arytmetycznej.

Odchylenie standardowe liczb x1,x2,x3,...,xn liczymy ze wzoru

(

) (

) (

)

(

)

n x x x x x x x x1− 2 + 2 − 2 + 3 − 2 +...+ n − 2 =

δ

Przykład 12.7.1. Oblicz wariancję i odchylenie standardowe poniŜszych danych

( odchylenie standardowe podaj z dokładnością do drugiego miejsca po przecinku) : a) 1,2,3,4 Rozwiązanie Komentarz 5 , 2 4 10 4 4 3 2 1+ + + = = =

x Obliczamy średnią arytmetyczną danych

(

) (

) (

) (

)

(

) (

) ( ) ( )

25 , 1 4 5 4 25 , 2 25 , 0 25 , 0 25 , 2 4 5 , 1 5 , 0 5 , 0 5 , 1 4 5 , 2 4 5 , 2 3 5 , 2 2 5 , 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 = = + + + = = + + − + − = = − + − + − + − =

δ

Obliczamy wariancję danych

12 , 1 25 , 1 ≈ =

δ

Obliczamy odchylenia standardowe

(2)

b) 2,2,2,3,3,4,5,5,6,6,6 Rozwiązanie Komentarz 4 11 44 11 6 3 5 2 4 1 3 2 2 3 11 6 6 6 5 5 4 3 3 2 2 2 = = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ = = + + + + + + + + + + =

x Obliczamy średnią arytmetyczną danych

(

)

(

) (

)

(

)

(

)

( )

54 , 2 11 28 11 4 3 1 2 0 1 2 4 3 11 4 6 3 4 5 2 4 4 4 3 2 4 2 3 2 2 2 2 2 2 = = ⋅ + ⋅ + + ⋅ + ⋅ = = − ⋅ + − ⋅ + − + − ⋅ + − ⋅ =

δ Obliczamy wariancję danych

60 , 1 11 28 ≈ =

δ

Obliczamy odchylenia standardowe danych.

Przykład 12.7.2. W tabeli przedstawiono zestawienie ocen semestralnych z matematyki klasy I a.

a) Oblicz odchylenie standardowe tych ocen.

b) Ilu uczniów otrzymało ocenę róŜniącą się od średniej ocen o mniej niŜ odchylenie standardowe ? Ocena 1 2 3 4 5 6 Liczba ocen 2 5 8 8 5 2 Rozwiązanie Komentarz 5 , 3 30 105 2 5 8 8 5 2 6 2 5 5 4 8 3 8 2 5 1 2 = = + + + + + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ =

x Obliczamy średnią arytmetyczną ocen

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

31 , 1 30 5 , 51 30 5 , 12 25 , 11 2 2 25 , 11 5 , 12 30 25 , 6 2 25 , 2 5 25 , 0 8 25 , 0 8 25 , 2 5 25 , 6 2 30 5 , 3 6 2 5 , 3 5 5 5 , 3 4 8 5 , 3 3 8 5 , 3 2 5 5 , 3 1 2 2 2 2 2 2 2 ≈ = + + + + + = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ = = − + − + − + − + − + − =

δ

Obliczamy odchylenia standardowe ocen . 31 , 1 5 , 2 5 , 3 1− = > 31 , 1 5 , 1 5 , 3 2− = > 31 , 1 5 , 0 5 , 3 3− = < - ośmiu uczniów 31 , 1 5 , 0 5 , 3 4− = < - ośmiu uczniów 31 , 1 5 , 1 5 , 3 5− = > 31 , 1 5 , 2 5 , 3 6− = >

Odp.: Ocenę róŜniącą się od średniej arytmetycznej o mniej niŜ odchylenie

standardowe uzyskało 16 uczniów.

Obliczany ilu uczniów otrzymało ocenę róŜniącą się od średniej ocen o mniej niŜ odchylenie standardowe

(3)

Przykład 12.7.3. Na diagramie przedstawiono wyniki sprawdzianu z matematyki w pewnej klasie. Oblicz średnią arytmetyczną i odchylenie standardowe uzyskanych ocen.

Rozwiązanie Komentarz 5 , 3 30 105 2 5 10 6 3 4 6 2 5 5 4 10 3 6 2 3 1 4 = = = + + + + + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ = x Obliczamy średnią arytmetyczną ocen

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

41 , 1 30 5 , 59 30 5 , 12 25 , 11 5 , 2 5 , 1 75 , 6 25 30 25 , 6 2 25 , 2 5 25 , 0 10 25 , 0 6 25 , 2 3 25 , 6 4 30 5 , 3 6 2 5 , 3 5 5 5 , 3 4 10 5 , 3 3 6 5 , 3 2 3 5 , 3 1 4 2 2 2 2 2 2 ≈ = + + + + + = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ = = − + − + − + − + − + − =

δ

Obliczamy odchylenia standardowe ocen . ĆWICZENIA

Ćwiczenie 12.7.1. (2pkt.) Oblicz odchylenie standardowe danych: 5,4,5,7,4,6,4

schemat oceniania Numer

odpowiedzi

Odpowiedź

Liczba punktów

1 Podanie średniej arytmetycznej danych 1

2 Podanie odchylenia standardowego z przybliŜenie do

(4)

Ćwiczenie 12.7.2. (2pkt.) Wyniki testu podane są w tabeli:

Ocena 1 2 3 4 5 6

Liczba

uczniów 2 4 7 9 5 1

Oblicz średnią ocen z testu i ich odchylenie standardowe.

schemat oceniania Numer

odpowiedzi

Odpowiedź

Liczba punktów

1 Podanie średniej arytmetycznej danych 1

2 Podanie odchylenia standardowego danych z dokładnością

do trzech miejsc po przecinku. 1

Ćwiczenie 12.7.3. (3pkt.) W pewnej firmie pracownicy zostali zaszeregowani do trzech grup uposaŜeń. Liczbę pracowników i płace ( w euro) w poszczególnych grupach przedstawia diagram słupkowy:

a) Wyznacz średnią płacę miesięczną w tej firmie.

b) Oblicz wariację i odchylenie standardowe miesięcznej płacy w tej firnie. Odchylenie standardowe podaj z dokładnością do 0,1.

schemat oceniania Numer

odpowiedzi

Odpowiedź

Liczba punktów

1 Podanie średniej arytmetycznej płac w firmie. 1

2 Podanie wariacji płac w firmie.

3 Podanie odchylenia standardowego płac firmy z

dokładnością do 0,1. 1 0 2 4 6 8 10 12 14 400 480 540

Placa miesięczna (w euro)

L ic z b a p ra c o w n ik ó w

Cytaty

Powiązane dokumenty

Wszystkie liczby powinny być drukowane z dokładnością do 6 cyfr znaczących, a kolumny powinny mieć jednakową szerokość taką, aby między dwiema kolejnymi liczbami w tym

Najlepszy jest typ regresji sześciennej, bo przez 4 punkty przechodzi dokładnie jedna linia, będąca wykresem wielomianu 3 stopnia (podobnie jak przez 3 niewspółliniowe

Dyskretne i ciągłe rozkłady prawdopodobieństwa 14 listopada

Oblicz warto´s˙c oczekiwan¸a i odchylenie standardowe wygranej w t-tym rzucie monet¸a.. Wyniki zinterpetuj

Trzy klasy A, B, C brały udział w sprawdzianie z matematyki. Klasa A liczy 30 uczniów i średnia liczba punktów uzyskanych ze sprawdzianu wynosi 40. Klasa B liczy 36 uczniów i

poznasz postać krzywej Gaussa i jej podstawowe własności, dowiesz się, jakie jest znaczenie parametrów krzywej,.. zrozumiesz, dlaczego odchylenie standardowe jest tak

Objawy i dolegliwości wynikające z zaburzeń w płaszczyźnie czołowej występują pod postacią przechyleniowej reakcji gałek ocznych (ocular tilt reaction −

4) osoby fizyczne, które prawomocnie skazano za przestępstwo popełnione w związku z postępowaniem o udzielenie zamówienia, przestępstwo przeciwko prawom osób wykonujących