12. 7. ODCHYLENIE STANDARDOWE
Wariancja i odchylenie standardowe
a) Wariancją nazywamy średnią arytmetyczną kwadratów odchyleń od średniej arytmetycznej.
Wariancję liczb x1,x2,x3,...,xn liczymy ze wzoru
(
) (
) (
)
(
)
n x x x x x x x x1 2 2 2 3 2 n 2 2 = − + − + − +...+ −δ
b) Odchyleniem standardowym nazywamy średnią kwadratową odchyleń od średniej arytmetycznej.
Odchylenie standardowe liczb x1,x2,x3,...,xn liczymy ze wzoru
(
) (
) (
)
(
)
n x x x x x x x x1− 2 + 2 − 2 + 3 − 2 +...+ n − 2 =δ
Przykład 12.7.1. Oblicz wariancję i odchylenie standardowe poniŜszych danych
( odchylenie standardowe podaj z dokładnością do drugiego miejsca po przecinku) : a) 1,2,3,4 Rozwiązanie Komentarz 5 , 2 4 10 4 4 3 2 1+ + + = = =
x Obliczamy średnią arytmetyczną danych
(
) (
) (
) (
)
(
) (
) ( ) ( )
25 , 1 4 5 4 25 , 2 25 , 0 25 , 0 25 , 2 4 5 , 1 5 , 0 5 , 0 5 , 1 4 5 , 2 4 5 , 2 3 5 , 2 2 5 , 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 = = + + + = = + + − + − = = − + − + − + − =δ
Obliczamy wariancję danych12 , 1 25 , 1 ≈ =
δ
Obliczamy odchylenia standardoweb) 2,2,2,3,3,4,5,5,6,6,6 Rozwiązanie Komentarz 4 11 44 11 6 3 5 2 4 1 3 2 2 3 11 6 6 6 5 5 4 3 3 2 2 2 = = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ = = + + + + + + + + + + =
x Obliczamy średnią arytmetyczną danych
(
)
(
) (
)
(
)
(
)
( )
54 , 2 11 28 11 4 3 1 2 0 1 2 4 3 11 4 6 3 4 5 2 4 4 4 3 2 4 2 3 2 2 2 2 2 2 = = ⋅ + ⋅ + + ⋅ + ⋅ = = − ⋅ + − ⋅ + − + − ⋅ + − ⋅ =δ Obliczamy wariancję danych
60 , 1 11 28 ≈ =
δ
Obliczamy odchylenia standardowe danych.Przykład 12.7.2. W tabeli przedstawiono zestawienie ocen semestralnych z matematyki klasy I a.
a) Oblicz odchylenie standardowe tych ocen.
b) Ilu uczniów otrzymało ocenę róŜniącą się od średniej ocen o mniej niŜ odchylenie standardowe ? Ocena 1 2 3 4 5 6 Liczba ocen 2 5 8 8 5 2 Rozwiązanie Komentarz 5 , 3 30 105 2 5 8 8 5 2 6 2 5 5 4 8 3 8 2 5 1 2 = = + + + + + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ =
x Obliczamy średnią arytmetyczną ocen
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
31 , 1 30 5 , 51 30 5 , 12 25 , 11 2 2 25 , 11 5 , 12 30 25 , 6 2 25 , 2 5 25 , 0 8 25 , 0 8 25 , 2 5 25 , 6 2 30 5 , 3 6 2 5 , 3 5 5 5 , 3 4 8 5 , 3 3 8 5 , 3 2 5 5 , 3 1 2 2 2 2 2 2 2 ≈ = + + + + + = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ = = − + − + − + − + − + − =δ
Obliczamy odchylenia standardowe ocen . 31 , 1 5 , 2 5 , 3 1− = > 31 , 1 5 , 1 5 , 3 2− = > 31 , 1 5 , 0 5 , 3 3− = < - ośmiu uczniów 31 , 1 5 , 0 5 , 3 4− = < - ośmiu uczniów 31 , 1 5 , 1 5 , 3 5− = > 31 , 1 5 , 2 5 , 3 6− = >Odp.: Ocenę róŜniącą się od średniej arytmetycznej o mniej niŜ odchylenie
standardowe uzyskało 16 uczniów.
Obliczany ilu uczniów otrzymało ocenę róŜniącą się od średniej ocen o mniej niŜ odchylenie standardowe
Przykład 12.7.3. Na diagramie przedstawiono wyniki sprawdzianu z matematyki w pewnej klasie. Oblicz średnią arytmetyczną i odchylenie standardowe uzyskanych ocen.
Rozwiązanie Komentarz 5 , 3 30 105 2 5 10 6 3 4 6 2 5 5 4 10 3 6 2 3 1 4 = = = + + + + + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ = x Obliczamy średnią arytmetyczną ocen
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
41 , 1 30 5 , 59 30 5 , 12 25 , 11 5 , 2 5 , 1 75 , 6 25 30 25 , 6 2 25 , 2 5 25 , 0 10 25 , 0 6 25 , 2 3 25 , 6 4 30 5 , 3 6 2 5 , 3 5 5 5 , 3 4 10 5 , 3 3 6 5 , 3 2 3 5 , 3 1 4 2 2 2 2 2 2 ≈ = + + + + + = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ = = − + − + − + − + − + − =δ
Obliczamy odchylenia standardowe ocen . ĆWICZENIAĆwiczenie 12.7.1. (2pkt.) Oblicz odchylenie standardowe danych: 5,4,5,7,4,6,4
schemat oceniania Numer
odpowiedzi
Odpowiedź
Liczba punktów
1 Podanie średniej arytmetycznej danych 1
2 Podanie odchylenia standardowego z przybliŜenie do
Ćwiczenie 12.7.2. (2pkt.) Wyniki testu podane są w tabeli:
Ocena 1 2 3 4 5 6
Liczba
uczniów 2 4 7 9 5 1
Oblicz średnią ocen z testu i ich odchylenie standardowe.
schemat oceniania Numer
odpowiedzi
Odpowiedź
Liczba punktów
1 Podanie średniej arytmetycznej danych 1
2 Podanie odchylenia standardowego danych z dokładnością
do trzech miejsc po przecinku. 1
Ćwiczenie 12.7.3. (3pkt.) W pewnej firmie pracownicy zostali zaszeregowani do trzech grup uposaŜeń. Liczbę pracowników i płace ( w euro) w poszczególnych grupach przedstawia diagram słupkowy:
a) Wyznacz średnią płacę miesięczną w tej firmie.
b) Oblicz wariację i odchylenie standardowe miesięcznej płacy w tej firnie. Odchylenie standardowe podaj z dokładnością do 0,1.
schemat oceniania Numer
odpowiedzi
Odpowiedź
Liczba punktów
1 Podanie średniej arytmetycznej płac w firmie. 1
2 Podanie wariacji płac w firmie.
3 Podanie odchylenia standardowego płac firmy z
dokładnością do 0,1. 1 0 2 4 6 8 10 12 14 400 480 540
Placa miesięczna (w euro)
L ic z b a p ra c o w n ik ó w
