Drgania samolotu w ustalonym ruchu spiralnym

I STOSOWANA 3, 24 (1986)

m

DRGANIA SAMOLOTU  W USTALONYM RU CH U  SPIRALN YM*

JERZY MARYNIAK ITLiMS Politechnika W arszawska JĘ D RZEJ TR AJER IMRiL Akademia Rolnicza W arszawa 1. Wstę p W przedstawionej pracy zaprezentowano metodę  badań małych drgań samolotu okoł o poł oż enia równowagi w spirali ustalonej [1,2,4].

Analiza zagadnienia jest utrudniona ze wzglę du na niepeł ne dane doś wiadczalne oraz rozbudowany aparat matematyczny. D o rozwią zania wykorzystano metody numeryczne, które pozwoliły na szybkie wyznaczenie wartoś ci liczbowych.

Uzyskano wynikiu moż liwiają ce ocenę  wł asnoś ci lotnych projektowanego samolotu w warunkach lotu przestrzennego i bardziej racjonalną  jego konstrukcję .

2. Model fizyczny zjawiska

Przyję to nastę pują ce zał oż enia modelu fizycznego zjawiska [1, 5]:

1. Samolot traktowany jest jako ukł ad mechaniczny sztywny o sześ ciu stopniach swobody, rys. 1.

Rys. 1. Parametry kinematyczne lotu samolotu *ł

 F ragmenty pracy został y przedstawione na IX Sympozjum „ D rgania w ukJadach fizycznych", maj 1984, Biaż ejewko k. Poznania.

378 J. MARYN IAK, J. TRAJER

2. Samolot charakteryzuje się  konwencjonalną , symetryczną  i zwartą  budową .

3. Ś rednie ką ty natarcia na pł

acie podczas wykonywania spirali ustalonej nie prze-kraczają  wartoś ci krytycznych.

4. Wychylenie powierzchni sterowych: lotek, steru kierunku i steru wysokoś ci mają tylko wpł yw parametryczny na wartoś ci sił  i m ^ e n t ó w sił  aerodynamicznych. 5. Ruch okrę ż ny samolotu ze zmniejszeniem wysokoś ci po trajektorii ś rubowej przyję to

jako ruch w spirali, rys. 2.

6. Oś spirali ustalonej i wektor cał kowitej prę dkoś ci ką towej leży w osi grawita-cyjnej.

Rys. 2. Spirala ustalona

Przy budowie modelu fizycznego szczególne znaczenie ma prawidł owa interpretacja oraz wł aś ciwe wprowadzenie do modelu dział ają cych i mogą cych wystą pić sił  zewnę trznych. Wyróż niono nastę pują ce grupy sił  [1,4]:

— sił y pochodzenia aerodynamicznego (wyznaczono metodą  numeryczną , uwzglę dniono oddział ywania wynikają ce z wychyleń powierzchni sterowych),

— sił y od urzą dzeń napę dowych (uwzglę dniono oddział ywania zespoł u napę dowego w tym efekt giroskopowy elementów wirują cych),

— sił y bezwł adnoś ci, — sił y grawitacyjne.

3. Model matematyczny

D o opisu dynamiki samolotu w spirali ustalonej przyję to nastę pują ce ukł ady współ-rzę dnych, rys. 3, [4, 5]:

— nieruchomy ukł ad grawitacyjny zwią zany z Ziemią  Ox_ty±z_t,

— ukł ad grawitacyjny Ox_gy_gz_g zwią zany z poruszają cym się  samolotem i równoległ y

do ukł adu nieruchomego Oxiy_xz\ .,

— ukł ad prę dkoś ci Ox_ay_az_a zwią zany z kierunkiem przepł ywu oś rodka omywają cego

obiekt,

Rys. 3. Przyję te ukł ady odniesienia

— ukł ad Ox,yszs obrazują cy konfigurację  samolotu wzglę dem toru lotu zwany ukł adem

spiralnym.

D o analizy zagadnienia wykorzystano wyprowadzone równania ruchu samolotu [4, 5] w zmiennych a — ką t natarcia, /? — ką t ś lizgu, Vc — prę dkość lotu, P — ką towa

prę dkość przechylenia, Q — ką towa prę dkość pochylania, R — ką towa prę dkość odchy-lania. Równania te rozszerzono o dodatkowe zwią zki kinematyczne dla 0 — ką ta prze-chylenia i 0 — ką ta odchylenia [4]:

dt

I x •

\ mVc

(1)

sin/ 3+ jRlcosa+ —^r- cos/ J— I—=^~ sin/ 3—P) sin a, (2)

si ——-  =  —COSOCCOS/ SH  sin/ 3 H  ^ in a c o s/ J , dt m tn •  m (3) (4) dt (5)

380 J. MARYN IAK, J. TRAJER dR dt JXJZ dt =  P + Qsin0tg6 + Rcos&tgO, d& dt (6) (7) (8) gdzie: m — masa samolotu,

Jx, Jy, Jz — moment bezwł adnoś ci samolotu odpowiednio wzglę dem osi Oxs

Oy, Oz,

Jxy, Jxz, Jyz — momenty dewiacyjne samolotu,

F =  col [X, Y, Z, L, M, N] — wektor sił  zewnę trznych, Fa =  col [A'", Y", Z", L", M°, N

a

] — wektor sił  i momentów sił  aerodynamicznych,

przy czym Fa =  Fa(z, Q,6S), oraz F = (9) X~ rXa- - mgsm@ + Tcoś 5 Z Z"+mg cos @cos&- Tsind L = LI M M"+T- e+JTa>TR

gdzie: J_T—moment bezwł adnoś ci wirnika wzglę dem osi obrotu wł asnego,

d — ką t odchylenia wektora cią gu T od osi Ox w pł aszczyź nie Oxyz,

e — mimoś ród mię dzy linią  dział ania wektora cią gu a poł oż eniem ś rodka masy samolotu,

(iiT — prę dkość ką towa czę ś ci wirują cych silnika (prawoobrotowy).

W oparciu o powyż sze równania opracowano program numeryczny wyznaczają cy parametry lotu ustalonego tzn. punkt równowagi spirali ustalonej [2, 4, 5], a nastę pnie badano zaburzenia tego ruchu.

Ukł ad równań ruchu w postaci normalnej ma nastę pują cy zapis macierzowy

ż =f(z), •  (10)

gd zie:

z — c o l[ a , / ?, Vc, P, Q, R, <t>,6].

U kł ad (10) zlinearyzowano w punkcie równowagi z* i badano zaburzenia ruchu w blis-kim otoczeniu tego punktu metodą  Lapunowa [2, 3, 5]. Metoda ta nie wymaga znajomoś ci rozwią zania ogólnego wyraż oneg o przez funkcje elementarne i w przypadku zlinearyzo-wanego równania róż niczkowego pierwszego rzę du .

Sprowadza się  do wyzn aczan ia wartoś ci wł asnych Xj i m acierzy stan u A i odpowiadają cym im wektorem wł asnym [2, 3].

Linearyzują c ukł ad równ ań ruch u w punkcie równ owagi z* i pomijają c m ał e wyż szego rzę du otrzym am y: da da da da •  dP R  = 0 = da dii da ~da~ da.

"Iff*

"W

"W

'W

1L

ił

~M

dk

W

'W

r+

"W

dś

de

Linearyzacja t a jest przeprowadzon a w oparciu o teorie m ał ych zaburzeń [ 1, 2, 3] . -Przyjmują c

z = z* + x, (12)

gdzie

x — wektor m ał ego zaburzen ia,

x — c o l [ a , p, vc,p, q, r, <p, • &],

otrzymamy ukł ad quasi- liniowy opisują cy ruch drgają cy

i =  R x+ 0|( *) |, (13) gdzie: O[(JC)| — reszta z rozwinię cia Taylora, R =  / («*) — macierz Jacobiego, R = da da 8'a 8'a Ba- da da da da dVc dP 8Q '8R 80 d0 dp d'p dp Bp B'p Bp Bp Ba BP dVc dP dQ 8R 80 d0 dVc dVc dVc dVc dVc 8VC 8VC BVC Ba Bp 8VC BP 8Q 8R 80 80

382 J. MARYN IAK, J. TRAJER 8P 8a 8a 8R da SQ ~8a~ BP

sp

sp

sp

sp

sv

sv

sv

sp

D la przykł adu pierwszy wyraz jest nastę pują cy:

~80 8Ś _ BR 80 ~80~ (14) / • (I, 1) = 8<x Bet 1 cos Xa - mgsin0 mV_c +Rsinp cosa + Z"+mg cos 0 cos 0 mK 8X" . 8Z" - sina s—c o sa - Psin/ ?)sin<x+ Ba Ba mVc

P ostać analityczną  poszczególnych elementów r_ti macierzy Jacobiego R wyznaczono

w oparciu o wyprowadzone równania ruchu. Elementy r^ zawierają

 pochodne aerody-8F_a

namiczne _Bz w nastę pują cej postaci:

Bz 8X" da dY" da

dz°

BY"-sp

Bp

sv

sv

~W

~W

Wartoś ci liczbowe powyż szych wielkoś ci obliczano numerycznie metodą  róż nic

skoń czonych.

4. Przykł ad obliczeniowy

Opracowano program numeryczny, który na podstawie wstę pnych danych dotyczą -cych warunków lotu i parametrów samolotu wyznacza punkt równowagi spirali ustalonej

«a sr *- <   o o o o o o o c j o o o x d o d o o o d c J o o

* „  „>   3 S S S S 8 S S S S 8 ° g s 8  S o  8 8 S S S

Mr  r i  o o o o o o o  o d o o °  d o d o  d o d o o d I I I  I I  I t 1

 t 1 i 1 1 1 1 I

t~  I T !   r H O O  N .  O >- < < J\   _ r H _ . - l* ^ , - ! _ < , _, O C 3 0 0 © 0 0

s-  I-H  o o d o o d d d o d d ^ o o d d d o d d d d

i  , ! i i i i  I I I i

c-<  f i H H N ^ T f i O N N i o m m o n ^ o o co >n h oo « r.  t j-   e S O O O O O O O O O O O O C S o S ^ - S o o S S S i i i i i i i  I I I i i i i i i i i i "3  S i g ^ O o o o r A r - l ^ ' o i - M i n t S i r t M O m o v O Q Q O 2 » m  » - " ! - i < ' i N > n > - H O \ m * - ! ' n * - ! » - i > - i T - ( _ i v > r 4 « » » m i<- i v - i V i c >-H  o o o o o o c 5 d o c i e > d d o d c ) ' d d c > c > o c ) '•3 s i. i  I I i i i i (_H ^ ' ' ' '  — — ^ — 1 ' ————————— • g. » f S  ( S O r n O t S O O T - ł O ^ - i O O O t S O n O m c S r - i r - ł i - i ™  * ^  r i  d o d o d o d d o d o ' d d d d d d d d d d d '$•  1 1 1 1 1 1 1 1 1 o S  ^ • " t O f ^ f N w - i ' o o o r - i m O ^ o o o o • 0  « I I - H  t — m  n »  > n  > n  r i  o > n n  t o  i n m  i n B" >-H  ó o ó o ó i - i o ó ó d c i r A c i ó ó c i ó c S ó o ó i Z i .| s  I I 1 1 1 1 1 1 1 I 1 1 S  • « * c s a s "< * " 0 ' r - < o c s a \ r ^ O o sv o ^ - i O ^ ( S i o o \ ^ c < i c n 3 wi O H H t n ^ M  t n- os  t - i o o i - H i — i i ^ - o o o i r i < S t n c n r ^ ł - ł r - i r - ł a J4J. i- <   d ^ o o o » - i o o o o * - H O o o ^ o o o d o o o - g 1 ! + 1 1 1 1 1 1 ! 1 >i  — , , —  . ^ — , — ~ — _ 3  i n v o CTV  O O O M Bo  • »C T \r ~ l n  0 ^  r - i - i o  i s H R"   d c - i o o o » - i d d d d < s - r - ł o " o d o r ó d o o o d

1 = ' + '

> , J  I I  I I I  I I  I I  I I

O S  l O O O C A t ^ m O O ' ^ t ^ ^ O O V ' O ' n O O I ^ O O O V O f n m T j C X S t J -S m vn  m T f r n t — m - ł O c S f S r ^ ^ ^ t s n f S m p ^ c - i D f S c S N S **» d d d d d d d d d d © d d o o* d o o o d o d ^ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 i 1 1 1 1 1 1 1 «t  o o m T ł - t - o o r N i m o o o o t n o o o o ^ w m ^ - i ^ f S f O c * 0  m ^ ( ^ N * l l ! l n h 1 ^ » H » ^ n » ^ ^ i l n ^ • f ^ ! ? N S M  «o  t - O N H « H ( » f -   r - t ^ > n N r - o o \ O r H - < j - t ~ - r ~ o o r - - o v *> B"  N m m N m r Ó N N N N m m N N N m m N N N N N *  i l l II 11 II 1 *O ox

•H  " !  _^ rt f f ił ^a mM Uit inoomif ioinif iniKi^* *

>•  "MJI  d d d d d d d d d d o o d o o o o o o o o o ^ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 O O m H m B  . . . . ' 0 . . . . . x i : S"  o m O O O O O O O O e n O O O O O r n O O O O O 1 1 * ^  o o f n m ^ ^ o w - i o o ^ > o o o o o o ° o o o .  ^ t ^ r - tin O f ^ oo r ^ \ D ^  > n t —  o o ^ ^ l o O C ^ ł - H O O T H l ^ - t ^ ^ n i ^ O N ^ r t ^ - r - i t — t ł — ( T — i 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 I 1 1 1 1 1 1 1 .si, p '. > H [383]

384 J. MARYN IAK, J. TRAJER

a nastę pnie wartoś ci wł asne Xj macierzy Jacobiego R ukł adu zlinearyzowanego równań ruchu.

N a podstawie otrzymanych wyników przeprowadzono analizę zaburzeń ruchu samo-lotu w spirali ustalonej.

Samolotem testują cym był  poddź wię kowy samolot odrzutowy TS- 11 „ Iskra". Analizę przedstawiono dla róż nych zmian:

— parametrów lotu (wersja Stand, ...,F),

— cią gu silnika (z uwzglę dnieniem i bez uwzglę dnieni a zjawiska giroskopowego) i wyso-koś ci lotu (wersja G, ..., M),

— czynników konstrukcyjnych, (wersja N, ..., Z) TABELA 1, patrz: „Analiza nume-ryczna parametrów lotu i sterowania samolotu w ustalonym ruchu spiralnym". Przy ocenie zaburzeń ruchu zwracano szczególną uwagę na wartość wł asną Xx

 (od-powiadają cą zmianom ką ta natarcia a), gdyż wartość ką ta a ma decydują cy wpł yw na wartość sił  i momentów aerodynamicznych.

Przy ocenie zaburzeń kierowano się nastę pują cymi kryteriami a) Zj = Sj dla £j > 0 aperiodyczny ruch rozbież ny,

dla ij < 0 „ „ tł umiony, b) Aj =  ij +  i- rjj ruchy okresowe sprzę ż one,

c) £j =  / Re Xjj iloś ciowe uję cie statecznoś ci lub niestatecznoś ci ruchu — współ czynnik tł umienia,

d) rjj m jlnxXjl wartość charakteryzują ca czę stotliwość drgań ruchu odpowiadają cego rozwią zaniu szczegół owemu — czę stość drgań,

e) Xj =  Rjt'- i' rozwią zanie szczegół owe, f) Tj — okres wahań,

g) T±j = r—czas stł umienia amplitudy do poł owy,

«7

h) d =  ——— dekrement ruchu, wyraż ają cy iloś ciową zmianę rozwią zania w cią gu sekundy.

5. Wnioski

1. Przedstawiona metoda badań zaburzeń ruchu ustalonego w spirali dostarczył a wiele

cennych informacji poznawczych o zjawisku, które mogą być wykorzystane w pro-jekcie wstę pnym samolotu.

2. Przedstawiona metoda analizy dostarcza wszelkich danych o zaburzeniu ruchu samo-lotu w przypadku jego peł nej trójwymiarowoś ci. Zastosowany model cyfrowy obliczeń umoż liwia ł atwą i szybką analizę.

3. Przedstawiony model matematyczny i cyfrowy ł atwo może być rozszerzony o do-datkowe stopnie swobody, jak odkształ calność konstrukcji i ukł adu sterowania. 4. Przedstawione wyniki wskazują duży wpł yw na wł asnoś ci dynamiczne samolotu zmiany

Literatura

1. W. FISZDON, Mechanika lotu, Czę ś ć I i II, PWN  Łódź, Warszawa 1961.

2. R. G UTOWSKI, Podstawy teorii statecznoś ci ruchu ukł adów dyskretnych i cią gł ych, WPW Warszawa 1981.

3. J. LA SALLE, S. LĘ FSCHETZ, Zarys teorii stabilnoś ci Lapunowa i jego metody bezpoś redniej, P WN  War-szawa 1966.

4. J. MARYNIAK, Dynamiczna teoria obiektów ruchomych, Prace N akowe Politechniki Warszawskiej, Mechanika N r 32 WPW Warszawa 1976.

5. J. TRAJER, Modelowanie i badanie wł asnoś ci dynamicznych poddź wię kowego samolotu odrzutowego w sterowanym ruchu spiralnym, Praca doktorska, Politechnika Warszawska Warszawa 1983.

P e 3 IO M e

KOJIEEAH H fl CAM OJlfiTA B yC TAH OBH BU IEM C JI CPH PAJIBH OM JJBHDKEHHH

B CTaThe npeflCTaBJieiio MeioH  TeopeinqecKHX HccnefloBainm Majitix KoJieSanuft caiviojieTa BOKpyr nOJIOJKeHHH paBHOBeCHJI B yCTaHOBHBIIieMCH CimpaJIBHOM flBH>KeHHH.

IIpHHHMaH TeopHIO MajIblX BO36y>KfleHHH JlHHeapH3HpoBaH0 ypaBHeHHH npodpaH CTBeH H Oro flBH-jKeHHH caMOJieTa. ^H C Jiern aie Bbi^H cueiniH CBefleno K pacne'TaM coGcTBeHHbix 3HaieHHH H coTBeTCTBy-iornHM HM coScTBeHHbiM BeKTopaM. npH Befleno pac^eTbi JIJIH caMOJieia KJiacca T S- 11  „ I s k r a " .

S u m m a r y

TH E VIBRATION S OF  AIRPLAN E I N  A STEAD Y SPIRAL M OTION

In the paper a method of analysis of airplane small wibrations about the equilibrium position in a steady spiral motion is presented. The motions disturbances near equilibrium point are diseussed according to Lapunow method. The ana-lysis is based on a full set of motion differential equations, linearised in accordance with the theory of small disturbances. A comparative analysis of results for selected parameters is presented.

Praca wpł ynę ł a do Redakcji dnia 26 wrześ nia 1985 roku