Skineffect en temperatuurverdeeling in electrische geleiders

VERDEELING IN ELECTRISCHE

GELEIDERS.

P R O E F S C H R I F T

T E R VERKRIJGING VAN DEN G R A A D VAN DOCTOR IN D E T E C H N I S C H E W E T E N S C H A P AAN DE T E C H N I S C H E HOOGESCHOOL T E D E L F T , OP GEZAG VAN DEN R E C T O R MAGNIFICUS, IR. W. H. L. JANSSEN VAN R A A Y , H O O G L E E R A A R IN DE A F D E E L I N G D E R A L G E M E E N E W E T E N S C H A P P E N , VOOR E E N E COMMISSIE U I T D E N S E N A A T T E V E R D E D I G E N OP DINSDAG 28 JUNI 1927,

D E S NAMIDDAGS T E D R I E UUR,

DOOR

MAXIMILIAN JULIUS OTTO STRÜTT,

GEBOREN TE POERWOSARI.

GEDEUKT BIJ DE TECHNISCHE BOEKHANDEL EN DKUKKERIJ J. WALTMAN JK. TE DELFT — 1927.

dank te brengen aan allen, die bijgedragen hebben tot mijn aca-demische vorming.

Hooggeleerde FELDMANN, U W lessen hebben bij mij de belang-stelling levendig gehouden en vermeerderd, die ik van elders medebracht voor de theorie en constructie der electrische machines. Ook op deze plaats wensch ik U hiervoor te danken.

Hooggeleerde F O K K E R , de korte tijd, dat ik bij U assistent mocht zijn, heeft er in de eerste plaats toe bijgedragen, dat ik mij nu zoo tot de natuurkunde aangetrokken gevoel. Uw wel-willende wenken en het geduld, dat Gij vaak met mij betoonde, zullen dezen tijd steeds in mijn herinnering levendig houden.

Hooggeleerde BREMEKAMP, wanneer dit proefschrift thans op eenige mathematische strengheid mag bogen, dan is dit geheel toe te schrijven aan de belangrijke wenken, die Gij mij in deze lichting hebt willen geven. Het is mij een behoefte, U ook hier voor Uwe welwillendheid en voor Uw geduld te danken.

Hooggeleerde E L I A S , hooggeachte Promotor, Uwe heldere, en in zoo hooge mate tot eigen onderzoek opwekkende lessen, hebben bij mij de belangstelling en liefde wakker geroepen, die ik thans koester voor de theorie der electriciteit. Een aanzienlijk deel van dit proefschrift is een voortvloeisel van gesprekken, waarin Gij mij met veel geduld over veelsoortige problemen hebt onderricht. Hiervoor en voor de welwillende wenken, die Gij mij hebt willen geven bij het schrijven van dit proefschrift, betuig ik U mijn hartelijken dank.

I. SKINEFFECT.

Bladz.

1. Skineffect als variatieprobleem I 2. Opstellen der differentiaalvergelijking met randvoorwaarden 6

3. Overeenkomst tusschen de stroomverdeeling bij het skin-effect en de gedaante van een hydrostatisch belaste

membraan 10 4. Bekende gevallen van skineffect 15

5. Skineffect in een rechthoekigen geleider 27 6. Impedantie van rechthoekige geleiders 35

7. Fundamenteele tijdconstanten 44

II. TEMPERATUURVERDEELING.

1. Opstellen der differentiaalvergelijking met randvoorwaarden 49 2. Temperatuurverdeeling in een plaatvormigen geleider . . 51 3. Temperatuurverdeeling in een geleider met cirkelvormige

doorsnede 59 4. Temperatuurverdeeling in een rechthoekigen geleider . . 63

I. 1. SkinefFect als variatieprobleem.

J. C. M A X W E L L heeft aangetoond,') dat een gelijkstroom, die zich over een aantal geleiders verdeelt volgens de wet van OHM, in deze geleiders samen een warmte ontwikkelt, die geringer is dan bij welke andere wet van stroomverdeeling dan ook, mits er geen inwendige electromotorische krachten in het systeem van geleiders aanwezig zijn. Noemt men de stroomen door de circuits van het geleiderssysteem ^^, t.,, i-^, /„, waarbij het aantal dezer stroomen zoodanig gekozen moet zijn, dat het juist voldoende is, om den stroom in lederen geleider te definieeren, dan kan men een functie Q van i^ «'„ vinden, die de in het systeem van geleiders gedissipeerde warmte aangeeft (MAXWELL'S „dissipation function"). De stroomen ?j 4 zijn dan bepaald door het systeem van vergelijkingen : ^)

dQ

-ir- =

°

0 2,

" ^ 2

Lord R A Y L E I G H heeft op grond van mechanische voorstellingen algemeen aangetoond, hoe een wisselstroom zich over een systeem van geleiders zal verdeden. '^) Essentieel voor deze ontwikkeling is de voorstelling, dat er in het electromagnetische veld kinetische

1) MAXWELL, Treatise on Electricity and Magnetism, Vol. I, § 284. 2) J. J. THOMSON, Recent Researches § 418.

3) Reaction on a driving point of a system executing forced harmonic oscillations, with application to electricity, Scient. Papers, Vol. II, p. 475, 1886.

energie aanwezig is. ') Deze kinetische energie T bepaalt te zamen met de gedissipeerde energie Q en de potentiëele energie U van het electrische veld door een aantal differentiaalvergelijkingen analoog aan die van LAGRANGE voor de beweging van een

mecha-nisch systeem, de verdeeling van een wisselstroom over een sy.steem van geleiders. Ziet men af van de magnetische verzadiging en van de hysteresis, dan hebben deze vergelijkingen den vorm: ^)

O

_3_ /3_T\ dQ dU _

Hierbij zijn ^ , , ^.^ g„ de ladingen, die in het systeem van geleiders, b.v. in condensatoren aanwezig zijn. De vroeger voor gelijkstroom opgeschreven vergelijkingen vormen slechts een bizonder geval van de vergelijkingen i.

De verdeeling van wisselstroom over een systeem van geleiders zal, zooals uit de aangegeven vergelijkingen blijkt, een andere zijn, dan de verdeeling van gelijkstroom over hetzelfde systeem van geleiders. Dit feit kan men skineffect in den meest algemecnen zin noemen.

Elke geleider van eindige dikte kan men beschouwen als een groot aantal onderling parallel geschakelde geleiders. Ook over de doorsnede van eiken geleider zal zich dus wisselstroom anders verdeelen dan gelijkstroom.

In dit proefschrift zal het skineffect slechts behandeld worden voor het geval, dat een wisselstroom vloeit door één enkelen ge-leider, waarbij de teruggeleider en andere het electromagnetische veld storende lichamen zich zóó ver van den geleider bevinden, dat hun invloed op de verdeeling van een wisselstroom over de doorsnede van den geleider verwaarloosd kan worden.

Men kan de verdeeling van een wisselstroom over de doorsnede van zulk een geleider bij benadering vinden, door deze in een groot aantal parallele geleiders te splitsen, waarbij de verdeeling van een

1) MAXWELL, Treatise, Vol. I I , § 568 en § 634. PoiNCARÉ, Electricité et Optique, § 122, § 204. 2) J. J. THOMSON, Recent Researches, § 418.

wisselstroom over dit systeem van geleiders wordt bepaald door de vergelijkingen i. Door de onderverdeeling steeds fijner te maken, ') kan men de werkelijke stroomverdeeling steeds beter benaderen. Om deze echter exact te vinden, moet men overgaan tot oneindig ^) veel veranderlijken i„. Het systeem van differentiaalvergelijkingen

I gaat dan over in de partiëele differentiaalvergelijkingen van het electromagnetische veld.

Uit de vergelijkingen i kan men gemakkelijk zien, hoe de stroom-verdeeling over de doorsnede van een geleider over het algemeen zal zijn. Tot dit doel nemen we aan, dat de wisselstroom zuiver harmonisch is met een cirkelfrequentie w. Stellen we dan alle electromagnetische vectoren evenredig met e'"' en behalve door dezen factor onafhankelijk van den tijd, dan kunnen we

5 "97 vervangen door den factor

i UI. Hierdoor worden de verg. i :

. 3T , d Q d U 3 ïj 9 j , d q^

I ' ) • ^ T d Q _d U _

' di„ d in 9 q„

Wordt de cirkelfrequentie w zeer groot, dan mag men hiervoor schrijven: 2 T _ di„ ~ I") 9_7" _ di„

De vergelijkingen l" bezitten denzelfden vorm als de vroeger voor gelijkstroom opgeschreven vergelijkingen. Deze laatstgenoemde vergelijkingen bepaalden de stroomen ^^,. .. . 4 zóó, dat de functie Q een minimum had t. o. v. andere functies Q, ontstaan door kleine

1) M. WiEN, Ann. d. Physik, 14, p. i, 1904.

2) R. v. MJSES, Die Idee der 00 vielen Veranderlichen, Diff. u. Inte-gralgl., p. 405, 1925.

variatie van de stroomen z,, 4 . Op geheel dezelfde wijze maken de verg. i" de functie T tot een minimum. Bij één geleider zal de stroom zich aan het geleideroppervlak samendringen, daar dan de gemiddelde geometrische afstand tusschen de elementaire stroompjes een maximum en dus de kinetische energie «Z een minimum is. ')

We toonen thans aan, dat de verdeeling van een wisselstroom over de doorsnede van een geleider voert tot een variatieprobleem, af te leiden uit het variatiebeginsel van HAMILTON voor de mechanica. Is weer T de kinetische, U de potentiëele energie van het electro-magnetische veld, terwijl Q de per tijdseenheid gedissipeerde Joulsche warmte aangeeft, alles gerekend per volume-eenheid, dan geldt het beginsel van HAMILTON in den vorm:

^\\\\ j ^ (^— ^) — ö! • ^i". '^•*^- '^J'. '^3 = 0. . 2)

' ' 'o

De ruimte-integraal moet over de heele ruimte worden genomen, waarin we het electromagnetische veld beschouwen, de tijdintegraal bij periodieke verschijnselen over den trillingstijd der grondperiode. De vergelijking 2 kan herleid worden met behulp van de door

MAXWELL aangegeven uitdrukkingen voor T, U en Q. We

be-schouwen alleen het electromagnetische veld in den geleider, die we recht en zeer lang t. o. v. de afmetingen der doorsnede aan-nemen. Hierdoor verwaarloozen we dus den verschuivingsstroom t. o. v. den geleidingsstroom. Door deze verwaarloozing verdwijnt de term U onder de integraal in 2.

Verder stellen we nog : 3

3-^ = °'

waarbij de ^-as met de as van den geleider samenvalt, waardoor we dus aannemen, dat het beschouwde geleiderstuk kort is t. o. v. de golflengte van de electromagnetische trilling in den ether.

Noemt men s de electrische geleidingsstroomdichtheid, p de specifieke electrische weerstand, dan is:

ö = /^ . ^^ 3) 1) J. J. THOMSON, Recent Researches, § 419.

Bij verwaarloozing van verzadiging en hysteresis volgt T uit:

waarbij

fjt. = permeabiliteit,

H == magnetische veldsterkte.

We maken verder nog gebruik van de inductiewet van FARADAY : curl p.s = . —— ,

waarbij

c = lichtsnelheid. We gebruiken de eenheden van GAUSS.

Wegens het vroeger opgemerkte vereenvoudigt zich de inductie-wet t o t :

^ . = - ^ . ^ ; / / , = ^ . 3 ^ ^ / / . = o . . s) Hierbij is aangenomen dat j alléén een ^'-componente bezit. Voor de magnetische energie T kan men wegens 4 en 5 schrijven:

De tijdintegratie in 2 geeft bij enkelvoudig harmonische tril-lingen met de cirkelfrequentie u slechts een factor, die men weg kan laten wegerls het nulteeken op de rechterzijde. Daar s alleen van X en j/ afhangt beschouwen we in de ^-richting de éénheid van lengte en integreeren over dx en dy. De vergelijking 2 ver-krijgt zoodoende den vorm:

De oplossing s van dit variatieprobleem is nog aan bepaalde randvoorwaarden onderworpen, die we als volgt vinden.

Den geleider kunnen we gelegen denken tusschen twee platen van geleidend materiaal, waarop een wisselspanning werkt. Langs den geleider ontstaat zoodoende een longitudinaal electrisch wissel-veld, dat we in de directe omgeving van den geleider homogeen mogen aannemen. Daar de tangentiëele component van de electrische kracht continu door de grenslaag tus.schen twee media heen gaat,

is de electrische kracht en dus ook de er mede evenredige stroom-dichtheid s even groot langs den heelen omtrek der geleider-doorsnede. Voor deze randvoorwaarde moet een oplossing van het variatieprobleem 6 worden gezocht.

We kunnen om vergelijking 6 op te lossen twee wegen inslaan. De eerste weg leidt tot een directe beschouwing van de vergelij-king 6. Men kan functies j , , s.^ J„ van x en y vinden, die aan de gestelde randvoorwaarde voldoen. Door elk dezer coördi-natenfuncties met een constante te vermenigvuldigen en de som van de zoo ontstane functies te vormen, kan men dan de con-stanten zóó bepalen, dat de integraal in vergelijking 6 een zoo klein mogelijke waarde verkrijgt t. o. v. andere waarden, die men voor de integraal vindt, door de constanten weinig te veranderen. Door steeds een grooter aantal coördinatenfuncties s^, s,^, . . . . s„ te beschouwen, kan men de oplossing s van het variatieprobleem 6 willekeurig benaderen. De hier geschetste methode is aangegeven door RiTZ. *) Men heeft ook nog andere directe methoden aange-geven voor het oplossen van variatieproblemen.

De tweede weg om het probleem 6 met de gestelde randvoor-waarde op te lossen leidt tot het oplossen van een partiëele differen-tiaalvergelijking met randvoorvvaarden. Hiertoe schrijven we de Eulersche differentiaalvergelijking van 6 op. ^) Deze luidt:

S'^S 3^S 4 . TT . pt,. u . i .

3 ^ + ay ^ • -^ 7)

Met het oplossen van deze differentiaalvergelijking zullen we ons in het eerste deel van dit proefschrift bezig houden.

Alvorens tot het oplossen er van over te gaan zullen we haar nog langs een anderen weg dan de hier gevolgde afleiden.

I. 2. Opstellen der differentiaalvergelijking m e t randvoorwaarden.

Om de verdeeling van een wisselstroom over de doorsnede van een geleider te vinden gaan we uit van de hoofdvergelijkingen

van M A X W E L L :

t) COURANT-HILBERT, Methoden der math. Physik, I, p. 157.

curl U = ^ (S-\-ii), curl F = ^ . B , c B = ,ot . H , D = ~ . F , 4 ^ waarbij H = magnetische veldsterkte, B = magnetische inductie, F = electrische veldsterkte, D = diëlectrische verplaatsing, 8 = geleidingsstroomdichtheid, IX = per.meabiliteit, e = diëlectrische constante, c = lichtsnelheid.

De punt boven een letter duidt de differentiatie naar den tijd aan. Vet gedrukte letters hebben de beteekenis van een vector.

In een geleider geldt nog de vergelijking: F = ^ . S, waarbij

p ^= specifieke weerstand.

Indien niets anders wordt aangegeven, zijn steeds de eenheden

van GAUSS ') gebruikt.

Door op de tweede vergelijking den operator curl toe te passen en vervolgens uit de 5 vergelijkingen H, D, B, F te elimineeren vindt men:

curl curl S = — -,— , /^ • S 5- . S . . . . i) p

c'-Men kan voor elk der ingevoerde 5 electromagnetische vectoren eenzelfde vergelijking als i opschrijven. Het is de „golfvergelijking" voor een willekeurig medium.

We beschouwen een gesloten deel van de driedimensionale ruimte. In deze gesloten ruimte moet de stroomdichtheid in de eerste plaats voldoen aan de vergelijking i. Voorts moet 6" in deze ruimte zóó worden bepaald, dat de tangentiëele componenten van F en H

8

continu door het grensvlak tusschen twee media heengaan. Tenslotte moeten de electrische en magnetische veldsterkten op de begrenzing van de beschouwde ruimte een gegeven physische toelaatbare waarde bezitten. Door deze gegevens is het electromagnetische veld en dus ook de stroomdichtheid 5 in de beschouwde ruimte geheel bepaald. Men zal echter, om tot een oplossing te geraken het boven ge-formuleerde probleem zoowel wat de differentiaalvergelijking als de randvoorwaarden betreft nog belangrijk moeten vereenvoudigen. Het is zaak, zich van lederen stap bij deze vereenvoudiging reken-schap te geven, daar hieruit later de eischen volgen, welke men aan de oplossing, wat strengheid betreft, mag stellen.

We stellen alle vectoren evenredig met e''^', waarbij o; = cirkelfrequentie,

UI T

T " ^ T '

A = golflengte in de vrije ruimte.

Behalve door den exponent van e zijn de vectoren onafhankelijk van den tijd. Dan kan men de enkele en dubbele differentiatie naar den tijd vervangen resp. door de factoren i a en — w-.

De vergelijking i verkrijgt hierdoor den vorm

V ^ z V S — A S = — ^ . / x . ï . w . S - l - ' - ^ , — . S . 2) C'' . p c'' Wij stellen div s = o.

Hierdoor verwaarloozen we den verschuivingsstroom t. o. v. den geleidingsstroom. Daar de tweede term in het rechter lid van 2 den verschuivingsstroom aangeeft, is deze dan te verwaarloozen t. o. V. de eerste term in het rechter lid van 2, die den geleidings-stroom aangeeft. De verwaarloozing van den verschuivingsgeleidings-stroom t. o. v. den geleidingsstroom is toelaatbaar, wanneer de golflengte A groot is t. o. V. alle geleiderafmetingen, gelijk men uit de be-schouwing van het rechter lid van 2 kan afleiden.

Door deze vereenvoudiging verkrijgt de vergelijking 2 de gedaante:

A s = a;2 s, 3) . . . , ^.Tï.i.U.I^

waarbij cc = ^ • c . p

de dimensie [cm^'] bezit. Gebruikt men voor p de practische eenheid [il.cm], dan verkrijgt m e n :

„ 4 . TT . W . pc

Ct^ = -^ — . 1 0 - 9 . ? 4 )

P

Daar de golflengte ook groot is t. o. v. de geleiderlengte mag men stellen:

3

9-7

= °'

wanneer men de ^^-as tot as van den rechten geleider neemt. Hierdoor luidt de vergelijking 3 :

Wanneer men bedenkt, dat buiten den geleider s = o is, vindt men uit de eerste vier hoofdvergelijkingen van MAXWELL door op de tweede den operator curl toe te passen, de eerste naar / te differentiëeren en vervolgens D, B, H te elimineeren:

Daar is, heeft waarbij curl curl F = in het diëlectricum: men: weer div F = 3 2 ^ 32/ï- f 3^2 1 3 y — 3 2z spt ^2 • = 0 / . . 4 . = T 2 A2 0 g F. f tsU

6)

Denken we den geleider in al zijn afmetingen klein t. o. v. de golflengte A, dan mag men voor 6 schrijven:

3 2 / r 3 2 / ?

+

-5-X

= o 7)

3 ,i;2 31/2

De geleider is, zooals reeds vroeger werd opgemerkt, gespannen tusschen twee geleidende platen, waartusschen het veld zoodanig is, dat de lijnintegraal van de electrische veldsterkte van de eene plaat naar de andere genomen een bepaalde waarde bezit. Men zegt dan, dat aan de platen een electrische spanning is aangelegd.

Men kan dan de vergelijking 7 in de omgeving van den geleider oplossen door:

F = constant.

Daar F continu door het grensvlak tusschen twee media heen gaat, wanneer ze in het raakvlak van deze begrenzing ligt, is F en dus ook 6' constant langs den heelen omtrek der geleider-doorsnede.

Het vereenvoudigde probleem, zooals dat in dit proefschrift zal worden behandeld luidt dus, een oplossing voor de differentiaal-vergelijking 5 te vinden met de randvoorwaarde, dat de stroom-dichtheid langs den omtrek der geleiderdoorsnede een constante waarde bezit.

I. 3. Overeenkomst tusschen de stroomverdeeling bij het skineffect en de gedaante van een hydrostatisch belaste

membraan.

We beschouwen een hydrostatisch belaste membraan. ') Uit fig. I blijkt de opstelling van de membraan en de ligging der

coördinatenassen. De vertikale

a

lu

_r

={«

Fig.

doorbuiging van de membraan zij klein t. o. v. de afmetingen van het membraanoppervlak. Dan blijft de spanning in de membraan bij belasting nagenoeg constant. Deze spanning zij in alle richtin-gen dezelfde en wel / [kg.cm~'-]. Verder zij ^ de dikte van de membraan in cm. Snijden we uit de membraan een oppervlakte-element met de zijden ^ ; r en dy, dan werkt op de zijde dy van dit element een kracht:

p .'S! .dy.

Deze kracht bezit in de rich-ting van de doorbuiging u een component, waarvoor we, daar

u zeer klein is, mogen schrijven: f.B.dy . r— .

d X

In de .r-richting een stukje dx verder gaande vindt men een krachtcomponent in de richting van ti, werkende op de zijde dy, van:

o , 3 M , r~ , 9* M ,

^•^•'^^ • Yx + -^ • " • '^^ • 3^2 • '^^•

De krachten, werkende op de zijden dy leveren dus in de richting van u een resultante van:

p .'b .dy .dx . —-„.

Evenzoo vindt men door beschouwing der op de zijden dx werkende krachten een resultante van

p .^ . dx .dy . -—i ó y''

in de richting van u. Deze twee resultanten maken evenwicht met de aan het element dx. dy hangende vloeistofkolom

/ 3 2 « , 32 « \

o^p.'i! .dx.dy . {—^ -f- —2) + P-r .dx.dy.{c — u), waarbij

p = soortelijk gewicht van de vloeistof in [gr . cm~ ^ ] , y = maatsysteemconstante, in ons geval lO" ^.

We stellen

c — u = Z,

waardoor de differentiaalvergelijking den vorm verkrijgt: 32Z y-z

3-^2 + 3-7 = ^^-^' O

met

/3^ = A . - ^ 2)

De stroomdichtheid van een wisselstroom, die in de i!f-richting van een rechten geleider vloeit, voldoet zooals in het vorige hoofd-stuk afgeleid is aan de differentiaalvergelijking:

325 , 3 2 5 , . „

met m^ == -^-—~ 4) Men overtuigt er zich gemakkelijk van, dat de

differentiaalver-gelijking I door de transformatie:

. ^ I /3 1

? = - - ^ , T T ^ - - . "^-y• nt,-^^i- • • • 5) over gaat in de differentiaalvergelijking 3.

De randkromme van de membraan zij van den vorm:

f{x,y)=^o 6) Deze functie bevat behalve de veranderlijken ook nog constanten,

waarvan enkele de dimensie van een lengte kunnen hebben. Als voorbeeld noemen we de ellips

j : 2 j>'2

^ + 32 ~ ^'

waarbij de constanten a en 3 de dimensie van een lengte bezitten. Past men nu op de veranderlijken van de functie ƒ (jr, j;/) de trans-formatie 5 toe en transformeert men de in de functie ƒ (jr, jj/) voor komende constanten met de dimensie van een lengte op dezelfde wijze als de coördinaten, dan kan men aantoonen, dat enkele functies na transformatie hun vorm behouden.

Als voorbeeld noemen we weer de ellips, die na de transformatie

(3 I ntf I + « weer in een ellips overgaat:

| 2 , 2 p' ^ q' m^ m, = I .

I + r

I * I - ( - »

Men kan aantoonen, dat alle krommen van den tweeden graad en alle polygonen zich op dezelfde wijze gedragen.

De bij de differentiaalvergelijking i behoorende randvoorwaarde luidt, dat de rand van de membraan een constante hoogte heeft:

z =^ c .

dat s langs den omtrek van de geleiderdoorsnede een constante waarde bezit.

We beschouwen nu een membraan met een randkromme 6, die door de transformatie 5 overgaat in de randkromme

/ U ^ >ï) = o, 7)

die behoort bij de doorsnede van den geleider, waarin we de stroomverdeeling willen vinden. De differentiaalvergelijking I gaat door de transformatie 5 over in de differentiaalvergelijking 3. Daar ook de randvoorwaarde van de differentiaalvergelijking I door deze transformatie overgaat in de eensluidende randvoorwaarde voor de stroomdichtheid, is de oplossing, die door transformatie van de oplossing van i ontstaat identiek met de oplossing van 3, tot op een constante factor, die zijn oorsprong vindt in het homo-gene karakter dezer vergelijkingen.

Nu kan men de oplossing van i voor willekeurige randkrommen door het experiment bepalen. GRIFFITH heeft hiertoe een methode uitgewerkt, ') die toelaat, de doorbuiging van een membraan puntsgewijs door aftasten te vinden.

Een membraan, waarvan het oppervlak aan alle eischen voldoet wordt geleverd door een capillair oppervlak, waarvan men den rand op een experimenteel gemakkelijk te realiseeren wijze op een constante hoogte houdt. -) Dat een capillair oppervlak zich onder deze omstandigheden als een hydrostatisch belaste membraan ge-draagt, kan men als volgt inzien.

De vergelijking van een vrij capillair oppervlak luidt: ^)

—-V'(i+^;) »)

waarbij £ en B constanten zijn, x, y en z rechthoekige

coördi-naten voorstellen, terwijl R^ en 7?^ de twee hoofdkromtestralen van het capillaire oppervlak aangeven.

Men heeft:

I I f ^^ j _ ^^^\ \

^i -^2 \d X d y /'

1) Proc. Mech. Congres, Delft, 1924.

2) Deze opmerking heb ik aan Prof. Dr. A. D. FOKKER te danken. 3) H. PoiNCARÉ, Capillarité, p. 41.

waarbij:

^ e 3 z

2 X d y

l = = = , m —

_3^Y

_/3.\2

_ \ 3 X / \3 y /

mmh

_1y

en dus / en »« de richtingscosinus van de normaal van het beschouwde element met de x- en de y-as aangegeven. Is z klein van de eerste orde t. o. v. de afmetingen van het membraan-oppervlak, dan mag men bij benadering schrijven:

Hieruit volgt in z 3 X m = verbinding met 8 en B.TT ^ • 8 • \ 3 ^ 2 3 ^ dy 9-dy

Deze vergelijking is tot op een constante identiek met i en gaat door de transformatie:

^ = x . ^ ^ — . — — - . ; ) i = / . ^ ^ ^ . — j — , I I )

over in de differentiaalvergelijking 3. Men kan als capillair opper-vlak b.v. een kwikmeniscus nemen, waarvan de randkromme met de geleiderdoorsnede overeenkomt. Door aftasten of op andere wijze bepaalt men de doorbuiging z in ieder punt. Men vindt dus een grafische functie der coördinaten x en y. Deze kan men met behulp van een orthogonaalsysteèm van functies in een analytischen vorm brengen, b.v. met een reeks van FOURIER:

«f = Z A,„^„ sin m x sin ny -\- 'S. B,„^„ cos mx cos ny -f-+ E Cm,n COS mx sin ny -\- Y. D,„^n sin mx cos ny.

? « , M tit. It

Op de hierdoor ontstane functie past men de transformatie 11 toe met inachtneming van de voor de transformatie der constanten gegeven regel.

Men vindt hierdoor de stroomdichtheid s in ieder punt der geleiderdoorsnede als een complexe functie der coördinaten

S==g{^,^) + i.A (?,-^) 12) Terwijl de absolute waarde van 12 de amplitudo der

stroom-dichtheid in elk punt bepaalt, wordt de phase gegeven door:

,^ ^ = ^i|^)

,2')

^ ^ ( f . l ) '

Tengevolge van het homogene karakter van de differentiaalver-gelijking 3 kan de oplossing 12 nog met een willekeurige (complexe) constante worden vermenigvuldigd. Deze constante is bepaald door de totale stroomsterkte / in den geleider:

II

A.S.d^.dvi = / 13)

Met behulp van de aangegeven werkwijze is het mogelijk de stroomdichtheid in elk punt van de geleiderdoorsnede zoowel in grootte als in phase te bepalen. Ook de impedantie van een elec-trischen geleider kan men zoodoende vinden zonder één enkele electrische meting uit te voeren.

I. 4. Bekende gevallen van skineffect.

In enkele gevallen zijn de oplossingen van de differentiaalver-gelijking :

32,~ 3 2 j ,

+ 1772 ^= '^ -^ I) 3;r2 _{j y'}

met de randvoorwaarde, dat s langs de geleiderbegrenzing constant is, reeds bekend.

Ter vergelijking met latere resultaten geven we hier een kort overzicht van deze gevallen.

Is de doorsnede van een geleider een volle cirkel of een cirkel-ring, dan transformeert men de differentiaalvergelijking i op

3

cilindercoördinaten, waarbij ~— wegens de cirkelsymmetrie ver-dwijnt. Men heeft dan:

Voor het geval, dat de doorsnede van den beschouwden geleider een volle cirkel is, luidt de oplossing van 2 : ')

S ^ A . /^{m . r . V— i) = A (ber mr -\- i bei in r).

Hierbij is /„ een Besselsche functie van de eerste soort en van de nulde orde met het complexe argument M r V— i. De functies ber m r en bei m r zijn gedefinieerd als het reëele en het imaginaire deel van /^ (;« . r . ] / — i). Men kan ze berekenen uit de reeksen:

(m .r)'', (m. rf ber mr = i — ^5—y +

-22.42 ' -

22.42.62.8bet mr = — ^ . „ ^„ J^ ^ '

-22.42.62 ^ -22.42.62.32. io2 • •• De constante A, die over het algemeen complex is, volgt uit de voorwaarde, dat de amplitudo van den totalen stroom door den geleider een gegeven waarde / bezit, dus uit:

ƒ

2 . T: . r . dr . A . {ber m r -\- i bei m r) ^== I, waarbij 2 a de doorsnede van den geleider is.

De integraal is gemakkelijk te vinden, wanneer men let op 2. Hieruit toch volgt, dat:

ƒ

i .m"^. S. r .dr = r . -j-^= r . A .m . [ber' m r -\- i bei' m r), ds waarbij geldt: ber' m r = -r- ber m r, d [m r) bei' m r = —- r bei m r. d {in r)

Men vindt dus;

^ 2 .Ti .a . , , ., • !_ I \

1 = . A . {bei ma — t ber ma),

bei' ma — i ber' ma '

Noemt men Z de impedantie, X de reactantie, L de zelfinductie 1) Lord KELVIN, Math, and phys. Papers, Vol. Ill, p. 493.

en R de resistantie van den geleider per lengte-eenheid, terwijl

RQ de gelijkstroom weerstand per lengte-eenheid is, dan geldt:

Z = R + iX,

X = O). Z,

T:

a'-Een mantellijn van den cilinder wordt niet omvat door de inwendige magnetische flux van den geleider. Deze flux veroorzaakt dus aan het geleideroppervlak geen spanningsval meer. Men heeft daarom voor de spanningsval per lengte-eenheid van den geleider:

e = I . Z = p . Sr = a.

Hieruit volgt voor de impedantie per lengte-eenheid: „ _ p .Sr=a I ' Z 9 R, ƒ • - . Z i ma ber ma -\- i bei ma — = . 1 3) RQ 2 ber' ma -\- ibei' ma ' ' '

Het boven behandelde probleem werd het eerst beschouwd door

M A X W E L L ') en later door Lord R A Y L E I G H 2) uitvoerig behandeld. Krommen voor —- en - 5 - = - ^ - zijn geteekend door ZENNECK. ^)

R^ KQ RQ

Door beschouwing van deze krommen vindt men gemakkelijk de Wet van R A Y L E I G H , '') welke zegt, dat de wisselstroomweerstand van een geleider met toenemende frequentie stijgt, terwijl de coëfficiënt van zelfinductie afneemt met toenemende frequentie. Deze wet geldt voor alle geleiders.

Zooals uit de algemeene oplossing blijkt, is de phasehoek in ieder punt gegeven door:

bei' ma . bei mr -\- ber' ma . ber mr tg (p _{bei' ma . ber mr — ber' ma . bei mr '} 1) Treatise, Vol. II, § 689.

2) Sc. Papers, Voll II, p. 490, 1886.

3) JAHNKE U. EMDE, Funktionentafeln, p. 146. 4) Sc. Papers, Vol. II, p. 492.

terwijl de amplitude volgt uit:

C^ = {bei' ma . ber mr — ber' ma . bei mrf-

-f-•4" (bei' ma . bei mr -\- ber' ma . ber mr}^. Voor de stroomdichtheid mag men schrijven:

S = C. cos {ut -{- cp).

In alle bovenstaande formules komt de wisselstroomconstante m, die, zooals we vroeger zagen, de dimensie [cm~^] bezit, voor in verbinding met een lengte, zoodat het argument van de functie steeds dimensieloos is. Het is nuttig, te weten, dat de grootheid m voor koper (p = 1,7. i o ~ * [D. .cm]) en voor 50 perioden per secunde ongeveer gelijk is aan de éénheid.

In figuur 2 zijn momentbeelden geteekend voor de stroom-dichtheid voor 7 = 2 TT, m = i, a = ï en voor de tijden ut = — , — , '— , TT, . Men ziet duidelijk, dat deze krommen

4 2 4 2 ••

geenszins, zooals men zonder nadere beschouwing zou kunnen denken, onderling gelijkvormig zijn. De stroomdichtheid is niet steeds aan het geleideroppervlak het grootst.

W e beschouwen nu een buisvormigen geleider, waarvan de doorsnede een cirkelring is.

De algemeene oplossing der differentiaalvergelijking 2 luidt in dit geval:

S= A.I^,{m.r. V^^i) + B. Yo{m.r. V^^i), S = A . (ber mr -\- i bei mr) -\- B . (ker mr •\- i kei mr). Hierbij is FQ een Besselsche functie van de tweede soort volgens de definitie van C. NEUMANN, van de orde nul, met het complexe argument m .r .V — i. Deze functie is dan weer gesplitst in een reëel en een imaginair deel.

De twee, over het algemeen complexe integratieconstanten A en B worden bepaald door de twee voorwaarden, ten eerste, dat aan de binnenoppervlakte van den geleider de magnetische inductie nul is en ten tweede, dat de totale stroomsterkte door den ge-leider gelijk is aan / .

Noemt men b den binnenradius, a den buitenradius van den buisvormigen geleider, dan luiden deze voorwaarden resp.:

en a J2 .TT.r.dr .S = I.

3 ?

3 ^ l.

n

V Fig. . . Men vindt:

0 = A . (ber' mb -\- i bei' mb) -f B. (ker' mb -\- ikei' mb), 2 . TT

Uit deze twee vergelijkingen vindt men A en B. Voor de be-rekening van de impedantie is echter slechts de verhouding — noodig.

Evenals vroeger redeneerende vindt men voor den totalen span-ningsval per lengte-eenheid van den geleider:

e = I. Z == p . S, =a-De gelijkstroomweerstand bedraagt:

P

^0 — -^ (^2 _ 32) '

zoodat men heeft:

„ . , ,, ber ma 4- ibei ma A—:r(ker ma 4- ikei ma) Z i .m .a a'- — b'- A ^

"* ber' ma -\- ibet ma -}- -j-{ker' ma -f- ikei'ma) 4) met A B ber' mb -\- i bei' mb

5)

A ker' mb -\- ikei' mb '

Het geval van een buisvormigen geleider werd reeds beschouwd door J. J. THOMSON. ') Verder behandelt H. B. DwiGHT 2) dit geval in twee artikelen, in het eerste waarvan hij een zeer aan-schouwelijke en elementaire, door MAXWELL •*) aangegeven

reken-methode toepast, zonder gebruik te maken van Besselsche functies. Bij het tweede artikel is een uitstekende tafel gevoegd der 8 functies:

ber X ker x bei X kei x ber' X ker' x bei' X kei' x ,

in negen decimalen, voor argumenten opklimmende met O, l van O tot lO. Over de weerstandstoename, zelfinductieafname en stroom-verdeeling kan men hetzelfde zeggen als bij cilindrische geleiders, waarvan de doorsnede een volle cirkel is.

^) Recent Researches, § 260.

2) Proc. Am. Inst. El. Eng., 1918, II, p. 977. Journ. Am. Inst. El. Eng., 1923, p. 830. 3) Treatise, Vol. II, § 689.

D e verdeeling van een wisselstroom is v e r d e r nog gemakkelijk aan t e geven aan de p l a t t e g r e n s van een oneindig u i t g e s t r e k t e n geleider en over de d o o r s n e d e van een p l a a t v o r m i g e n geleider. Dit laatste geval is van belang, d a a r het toepassing k a n vinden op smalle, h o o g e geleiders, b.v. rails in electrische centrales. D a a r de beide l a a t s t g e n o e m d e gevallen veel o v e r e e n k o m s t vertoonen, b e h a n -delen we slechts k o r t den p l a a t v o r m i g e n geleider.

W e kiezen d e ;i:as loodrecht op den geleider, m e t de b e g r e n -zingsvlakken bij 4^ a. D e differentiaalvergelijking i v e r e e n v o u d i g t zich t o t

d^s ,

rf^2--^- = °-D e oplossing luidt wegens de s y m m e t r i e :

S =^ A . cosh X X.

D e c o n s t a n t e w o r d t b e p a a l d d o o r de v o o r w a a r d e :

ƒ

S. d X •=^ I = A . — . sink oc a, oc

waarbij / d e s t r o o m s t e r k t e p e r lengte-eenheid g e m e t e n indej/-richting voorstelt.

D e gelijkstroomweerstand van een geleider s t u k m e t de d i k t e 2 a, d e b r e e d t e i en de lengte i b e d r a a g t :

^ 0 = '

2 . a

D e m a x i m a l e spanningsval t r e e d t op voor x = ± a. Men heeft d u s :

e = Z.I^p.S.,^a,

—- = X a . coth X a 6)

H e t l a a t s t e p r o b l e e m werd r e e d s b e h a n d e l d d o o r J. J. THOMSON.') D o o r K E N N E L L Y , ''•) L A W S en P I E R C E zijn m e t i n g e n u i t g e v o e r d over d e n wisselstroomweerstand van p l a a t v o r m i g e geleiders. D e e x p e r i -m e n t e e l e w a a r d e n v e r t o o n e n s t e r k e afwijkingen van de w a a r d e n ,

t) Electrician, 1892, p. 599.

welke uit formule 6 volgen. K E N N E L L Y geeft als vermoedelijke oorzaak op, dat het magnetisch veld een ander verloop heeft, dan bij de afleiding van verg. 6 werd aangenomen. H. B. DwiGHT') heeft deze opmerking in een mathematische theorie trachten om te zetten, doch zijn theoretische resultaten kunnen de experimenteelc uitkomsten slechts voor zeer zwakke stroomverdringing verklaren, terwijl ze voor sterk skineffect niet met de meetresulatcn in over-eenstemming zijn.

In het laatste geval werd reeds een rechthoekige geleider beschouwd, doch met in één richting sterk overwegende afmetingen. Door D E B Y E 2) zijn formules aangegeven, die betrekking hebben op skineffect in een geleider van rechthoekige doorsnede met eindige verhouding der rechthoekszijden.

Hoewel DEBYE zijn oplossing opstelt voor een geval van skin-effect, waarbij zich een rechthoekige geleider bevindt in een longitudinaal magnetisch wisselveld, kan men toch uit zijn oplos-sing zonder moeite formules afleiden voor de impedantie van een rechthoekigen geleider geplaatst in een longitudinaal electrisch wisselveld.

W e zullen de oplossing van DEBYE aan een nader onderzoek onderwerpen.

Het probleem, dat DEBYE stelt, luidt, een oplossing te vinden van de differentiaalvergelijking:

d'^S , diS_ , „

die geldt in een rechthoekig gebied: — a ^ X ^ -|- a ,

— b ^ y ^ + b,

en die op den rand van het gebied een constante waarde H aanneemt.

Hij splitst de functie, die aan deze eischen moet voldoen in tweeën:

o = Oj -(- O2 , 1) Proc. Am. Inst. El. Eng., 1918, II, p. 977.

waarbij 5", voldoet aan de differentiaalvergelijking: !!_^14. ^ _ _ ^ 2 ^ . ^ 2 _ _ , 2 3 ^2 + a .,2 ~ K o^, K — a ,

dx^ dy^ 6)

verder in de jv-richting de periode 4b bezit, en ten slotte voor jr = + a het in fig 3 geteekende verloop heeft, terwijl de functie S2 voldoet aan analoge voorwaarden t. o. v. de ;t:-as.

.

L_

-si -4 y

Fig.

3-Voor jr = + a gaat 5", over in de functie: P{y) = ^ - { <^o^ — • 'T cos ^-- . ^

-\-^ ' TT \ 2 b 3 2 b ' ) • die voorgesteld wordt door de in fig. 3 geteekende kromme.

Dan wordt .S, gegeven door:

„ 4 / / " " , , , , , ( 2 « - | - l ) . 7 r y

TT o 2 0

^1

waarbij ƒ , „ + , bepaald is door de differentiaalvergelijking:

d^/,n + . , / , , T 2 ( 2 « _ } _ I ) 2 \ _{' " + ' \ (hl}

dx^ ' V" A^^ j-f'-^^ - o .

en de voorwaarde, dat fan + i = i wordt voor x = -V^ a.

Stelt men:

+7y2

A=+]/^2.32_^Mi^

dan wordt: cos p„ y 2» + I — cos pn

Hierbij moet men er op letten, dat de / „ complexe getallen zijn, wier argument tot — nadert, wanneer n onbegrensd toeneemt.

De functie 6"i wordt zoodoende:

X X

,., rcos p..-r cos po.-r ~\ 4H \ ^^ b TT y I ^^ b , ^ y ,

S. = ^— . .cos — . ^ . . f oj 3 . — . ^ + . . . ' ; r a 2 b % a ^ 2 b '

\_cospi.-r- cosp.^.-r J b

Op geheel analoge wijze verkrijgt men met:

6 , = de functie 4

,. = + K^-..•--'"" + •'•

y y a a 7) ,. Ycos q. . — cos q^. — T H \ ^^ a z X l ^^ a T^ x , I — . I r • cos — . . r • cos 3 . — . h • . • I , TT \ b 2 a 3 b ^ 2 a ' ' \_cos q^.— cosq^.— J en 6" = 6'j + 5 , .

Om te bewijzen, dat we op deze wijze inderdaad een oplossing van ons probleem verkregen hebben, moeten we in de eerste plaats aantoonen, dat de reeksen S^ en 5 , voor alle punten in het be-schouwde gebied convergeeren.

Verder blijkt uit het voorgaande, dat wij, om te bewijzen, dat de functie 6" aan de differentiaalvergelijking voldoet, slechts hebben aan te toonen, dat men haar tweede afgeleiden naar x en naar y kan vinden, door de reeksen 6", en S^ twee maal termsgewijs te differentiëeren.

Ten slotte moeten wij doen zien, dat S op den rand van het gebied de voorgeschreven waarden aanneemt.

Wat de convergentie betreft, is het onmiddellijk duidelijk, dat voor ;tr =: + fl de reeks S^ voor alle waarden van y, die voldoen aan:

— b -^ y ^ -\- b ,

convergeert. De reeks S., convergeert voor x = ±. a zeker, daar alle termen verdwijnen. Evenzoo ziet men, dat beide reeksen con-vergeeren voor y ^= -^ b. Voor:

en

IJI

< b,

zijn beide reeksen absoluut convergent. Wij toonen dit b.v. voor 5j aan, door op te merken, dat de verhouding van den modulus van de n" term van 3", tot de n" term der convergente reeks van positieve getallen:

OO T (» « + •) • (" - -f)

o

tot nul nadert. Op geheel gelijke wijze kan men de absolute con-vergentie van ^"2 aantoonen.

Om te bewijzen, dat voor punten binnen het gebied de tweede afgeleiden gevonden kunnen worden, door de reeksen tweemaal termsgewijs te differentiëeren, zullen we aantoonen, dat hierdoor reeksen ontstaan, die binnen het geheele gebied uniform conver-gent zijn. Op den rand geldt dit echter niet; men ziet onmiddellijk, dat de reeksen, die men dan verkrijgt, niet convergeeren.

Het bewijs der uniforme convergentie zullen we geven voor de reeks, die men verkrijgt door S^ tweemaal naar x te differentiëeren; de overige gevallen kunnen op dezelfde wijze worden behandeld.

Deze reeks is:

X

TT . •> cos pn . ~-r

-%.l{-.r.^t^.-^^L.cos(2n^.).^.\.

T . ^ 2 ^ v ' 2 « - f i a ^ ' ' TT b

cos p„ . -r

Is nu | j ; | < ^ « , dan kan men een getal a, bepalen tusschen \x\ en a, en dan is de modulus van den «'" term kleiner dan de «• term van de convergente reeks van constante (n.l. van x onaf-hankelijke) positieve getallen:

Z \pn

• —7 . (a « + l ) . (<I — «1) 3 Cf

waaruit de uniforme convergentie volgt.

Wat ten slotte de waarden op den rand betreft, is het onmid-dellijk duidelijk, dat de reeksen, die men verkrijgt door in 6", en 6*2 x door -\2_ a of y door -^ b te vervangen, voor S^-\- S.^= S overal de voorgeschreven waarde opleveren, behalve in de hoek-punten.

We moeten nu nog bewijzen, dat die uitkomst de limiet is, waartoe de functie, die in een punt binnen het beschouwde gebied

door .S wordt voorgesteld, nadert, als het punt tot den rand nadert. Daartoe zou het voldoende zijn, te bewijzen, dat de reeksen 6"j en .S^ in het heele gebied met inbegrip van den rand uniform convergeeren.

Het schijnt echter niet eenvoudig, dit bewijs te leveren, en we onthouden er ons dan ook van, een oordeel er over uit te spreken, of de stelling juist is.

In het volgende zal echter een oplossing van het vroeger ge-formuleerde probleem worden medegedeeld, waarvan de juistheid met alle gewenschte strengheid zal bewezen worden.

GiBBS ') heeft opgemerkt, dat de som, verkregen door een eindig aantal termen van een reeks van F O U R I E R te sommeeren, in de nabijheid van punten, waar de door de reeks voorgestelde functie een sprong maakt, sterk afwijkt van de waarde der functie zelve. Dit verschijnsel treedt bij de reeksen 7 en 8 op in de omgeving van y = -^ b en x = •+ a. Het maakt, dat de reeksen hier voor de practische berekening weinig geschikt zijn. Verder is ook de convergentie van de reeksen 8 en 9 op den rand van het gebied een zeer slechte.

Eén en ander maakt het wenschelijk, naar een oplossing van het boven gestelde probleem te zoeken, die beter voldoet dan die

van DEBYE.

Behalve de reeds behandelde gevallen van skineffect, die alle betrekking hebben op één enkelen geleider, zonder dat er terug-geleiders of andere, het electromagnetische veld binnen den be-schouwden geleider storende voorwerpen in de omgeving er van zijn, heeft men de verdeeling van een wisselstroom, deels streng, deels bij benadering, aangegeven voor een reeks van gevallen, waarvan de voornaamste kort genoemd mogen worden. Zooals reeds elders opgemerkt, ligt een behandeling van dergelijke gevallen buiten het kader van dit proefschrift.

In de geleiders, welke zich bevinden in de ankergleuven van electrische machines, treedt een bizondere, in hoofdzaak éénzijdige stroomverdringing op, die reeds vroeg de aandacht trok van technici. 2)

1) Sc. Papers, Vol. II, p. 258, 1906.

2) B. FIELD, Proc. Am. Inst. El. Eng., p. 659, 1905.

E e n eenvoudig geval van s t r o o m v e r d r i n g i n g t r e e d t o p bij een cirkelronden geleider, o m g e v e n door een coaxialen t e r u g g e l e i d e r . ' )

O o k voor t w e e massieve c i r k e l r o n d e geleiders 2) o p eindigen afstand van elkaar is zoowel voor h e t geval, d a t ze heen en t e r u g -geleider v o r m e n , als voor h e t geval, d a t de e l e c t r o m a g n e t i s c h e golven zich langs beide geleiders in dezelfde richting v o o r t p l a n t e n , terwijl d e teruggeleider zich o p g r o o t e n afstand b e v i n d t , d e s t r o o m -verdeeling onderzocht. •*)

De resultaten, g e v o n d e n voor de v e r d e e l i n g van een wissel-stroom a a n den g r e n s van een vlakke, oneindig g r o o t e geleider zijn voor h o o g e frequenties o p geleiders v a n elke d o o r s n e d e bij b e n a d e r i n g toepasselijk. *)

V e r d e r heeft m e n n o g uitvoerig o n d e r z o c h t d e s t r o o m v e r d r i n g i n g ïn spoelen m e t één en m e t m e e r d e r e wikkelingslagen. ^)

O p d e gevallen van een m a g n e t i s c h skineffect ^) g a a n we niet n a d e r in.

1. 5. Skineffect i n e e n r e c h t h o e k i g e n g e l e i d e r .

W e g a a n t h a n s over t o t h e t b e h a n d e l e n van d e s t r o o m v e r d e e l i n g in een r e c h t h o e k i g e n geleider.

D e ligging van h e t assenkruis t. o. v. den geleider en d e afme-tingen v a n deze l a a t s t g e n o e m d e zijn in fig. 4 g e t e e k e n d .

W e formuleeren h e t p r o b l e e m o p geheel dezelfde wijze als r e e d s v r o e g e r bij d e b e s p r e k i n g d e r oplossing van DEBYE werd a a n g e g e v e n .

t) J. J. THOMSON, Recent Researches, p. 395.

RUSSELL, Phil. Mag., 17, p. 524, 1909.

2) G. MiE, Ann. d. Phys., II, p. 201, 1900.

J . W . N I C H O L S O N , Phil. Mag., 17, p. 255, 1909. CARSON, Phil. Mag., 4 1 , p . 607, 1921.

3) KENNELLY, LAWS en PIERCE, Proc. Am. Inst. El. Eng., 1915, II, p. 1770. •*) KENNELLY, Journ. Frankl. Inst., 1916, 182, p. 135.

6) A. SoMMERFELD, Ann. d. Phys., 15, p. 674, 1904.

A . E S A U , Ann. d. Phys., 34, p. 64, 1911. 8) M. STRUTT, Ann. d. Phys., 82, p. 605, 1927.

We schrijven voor de randvoorwaarden: ds dx ds dy = O voor y = + ^, = O voor X '^ -\- a.

\^x

Fig. 4.

De uitdrukking Ai cos A (Ka;2 -)- ,^2. j/).^öj,è;r

is een particuliere integraal van de differentiaalvergelijking: 92j 32^ _ 2

3^2 + 3_y2 - ^ ••^'

voor alle waarden van A^ en k. Tevens voldoet ze aan den eisch, die noodzakelijk uit symmetrieoverwegingen aan de oplossing gesteld moet worden, een even functie van x en y te zijn.

Verder is de functie:

een particuliere integraal, welke eveneens aan dezen eisch voldoet. Uit deze particuliere integralen stellen we een i n t e g r a a l :

5 =

C.

cosh XX -\- 'S, At. cos A { K «2 _|_ ^i .y), cos k X

s a m e n en bepalen de c o n s t a n t e n Ak en k uit d e r a n d v o o r w a a r d e n . D e t w e e d e r a n d v o o r w a a r d e opschrijvende verkrijgt m e n :

0 = / ^ ) = C . I.Ai. Vx'^ + k'. sink (Vx' + k^ .y). cos k a\. D e z e reeks verdwijnt identiek, w a n n e e r men s t e l t :

2 « -|- l /è =

2a o, I, 2, 3 .

H i e r d o o r verkrijgt de reeks in de ^ - r i c h t i n g de periode 4 a. Schrijven we voor de coëfficiënten der t e r m e n onder h e t s o m -t e e k e n v o o r -t a a n A„, d a n w o r d -t de eers-te r a n d v o o r w a a r d e :

+ I

o ^ -— I = C .] X stnh XX — Z^An. \9 xjy ^ + i \_ n 2 a cosh

\/x^- + i^-^±iA\b

. 2 « + 1 Stn TT X 2a I / 2a

Men k a n de u i t d r u k k i n g tusschen v i e r k a n t e h a k e n voor elke w a a r d e van x in h e t b e s c h o u w d e g e b i e d doen verdwijnen, d o o r

sinh X X

t e o n t w i k k e l e n volgens

. 2 « -1- I

stn TT X.

2 a

D a a r d e even t e r m e n in deze o n t w i k k e l i n g nul m o e t e n zijn, heeft de te ontwikkelen functie buiten h e t interval

— a •^ X •^ -\- a

Fig. 5.

het in fig. 5 g e t e e k e n d e verloop, waarbij de p u n t e n x = + a, i 3 •*> i 5 ^> • • • • p u n t e n van k e e r s y m m e t r i e zijn. D e t e o n t

-wikkelen functie heeft dus aan de intervalgrenzen: X = ±, a

geen sprong.

De ontwikkeling zelve vindt men volgens FOURIER: °° . 2 « -f- I stnh X X = 'S B„ . stn T! X, o 2 a a ?„ = — j sin « J B„ = ~ \ sinh X X . sin T: x . d x, - 2 a ^ 2 {—!)'• .X B„ = — . —,——, r-i. cosh X a.

x"^ -f

_{( ^ ^ ' )}

Door de coëfficiënten B„ te vergelijken met de factoren, waar-mede de sin TT x in de reeks van de bovenstaande

uit-2 a

drukking tusschen haakjes vermenigvuldigd zijn, vindt men: 22 . a;2 ^— ijx cosh X a

•°^„ + .)...(«' + (?^.)').»..(l/«'+(^')*.*)

In het vervolg zal ter afkorting weer k voor ^^~ TT worden geschreven.

We hebben nu alle constanten, die in de algemeene integraal voorkomen bepaald, op de constante factor C na, die men vóór de oplossing mag plaatsen wegens het homogene karakter der differentiaalvergelijking en die op eenvoudige wijze samenhangt met den totalen stroom, die door den geleider vloeit.

Tot nu toe hebben we slechts formeel gerekend. Nu moeten we aantoonen, dat de gevonden uitdrukking inderdaad een oplos-sing is. Hiervoor moet ze voldoen aan de volgende eischen:

a) de reeks, welke in de uitdrukking voorkomt moet in het heele gebied convergeeren;

b) men moet de tweede differentiaalquotient van .S naar x en naar y kunnen vinden, door de in de uitdrukking voor .S voor-komende reeks termsgewijs tweemaal naar x en naar y te diffe-rentiëeren ;

c) men moet de eerste differentiaalquotient van .S" naar x en naar y in het heele gebied en in het bizonder op den rand van het gebied kunnen vinden, door de in de uitdrukking voor .S voorkomende reeks één maal naar x en naar y te differentiëeren. Is de eisch c vervuld, dan voldoet 6' ook aan de randvoor-waarden.

De reeks

" , , I cosh (Vx^ A-k^. y)

2 (— I " • ; ^ : , ., , ,.,, . \ , ^ -^^ .coskx t ' ( 2 « + I).(a:2_|_^i) cosh{Vx-^-\-k\b) is convergent, want ze ontstaat door de termen der absoluut con-vergente reeks:

Z _{0:2 4_ ^2}

met getallen te vermenigvuldigen wier modulus steeds kleiner dan I is.

Om voor punten binnen het gebied aan te toonen, dat de tweede afgeleiden gevonden kunnen worden, door tweemaal terms-gewijze te differentiëeren, bewijzen we, dat de reeksen die daar-door ontstaan, in het geheele gebied uniform convergent zijn. We zullen dit uitvoeren voor de reeks die ontstaat, door tweemaal naar y termsgewijs te differentiëeren.

Deze reeks i s :

» I cosh (yx"^ A-k^. y) , 2 (— l)" , . , , : . cos kx,

2 « - 4 - I co>ih (Vx^-\-k\b)

en we moeten aantoonen, dat ze naar y uniform convergeert in het interval:

— b<y<+b.

Indien | j | < ^ is, kan men een getal by bepalen tusschen \y\ en b, en dan is de modulus van den «"• term van de reeks kleiner dan de n' term der convergente reeks van constante (n.l. van y onafhankelijke) getallen. *

I e" ~r-• T (*-*') , U^MA^hj^

o

waaruit de uniforme convergentie volgt.

De door tweemaal termsgewijs naar x te differentiëeren ontstane reeks kan men op dezelfde wijze behandelen.

Om ten slotte te doen zien, dat men de eerste afgeleide van 6' ook op den rand kan vinden, door de reeks termsgewijs te diffe-rentiëeren, zullen we aantoonen, dat de reeks die daardoor ontstaat in het heele gebied met inbegrip van de begrenzing uniform convergeert.

We nemen weer de reeks, die ontstaat door termsgewijs naar y te differentiëeren. De andere kan men op dezelfde wijze behandelen.

Deze reeks is:

«> , , I sinh {\^x^ A- k^ .y) , Z (— l)" • r? = • -. . - ^ . cos kx.

o ' ( 2 « + i ) .K«2_|-/è2 cosh (Vx'^A^k'^.b)

De moduli van de termen dezer reeks zijn, althans van zeker rangnummer af, kleiner dan de overeenkomstige termen der con-vergente reeks van constante, positieve termen:

2 '

o 2 a {2n A- i) waaruit de uniforme convergentie volgt.

Hiermede is aangetoond, dat de in onze oplossing voorkomende reeks aan alle eischen voldoet, die boven geformuleerd waren. Onze oplossing luidt:

„ „ [ " " 2 2 . 0 : 2 (—-lY'.coshxa cosh (y x'^ A-k^• y) , , , ~ S=C.\ S i-^—— , , , . ^ . , . = ~ .coskx-\- cosh X X

Lo ( 2 « + I ) . T . ( o ; 2 - f / è 2 ) coshiyx^A^k-^.b)

2) Men zal opmerken, dat deze oplossing onsymmetrisch gebouwd is t.o.v. X en y. Dit wordt echter uitsluitend veroorzaakt door de keuze der particuliere integralen, die aan de oplossing ten grond-slag liggen. Men kan toch, door deze anders te kiezen, n.l.:

Ak . cosh (K «2 -\- k"^ . x). cos ky en cash xy,

een oplossing construeeren, die volkomen analoog is aan de gegevene, doch waarbij dan x en y, a en b verwisseld zijn. Ze luidt:

C. ^2^ .0^ . {— I)". cosh X b cosh(yx^ -\- k^ .x)

_o (2 « - f 1) . TT. (x^-}-k^) • cosh(y^c^~+W7a) . cos ky -\- cosh xy

]•

2 « - ^ I

met k = r— 2 b

Voor X = ± a wordt de uitdrukking 2 :

C. cosh X a,

Voor x^=oeny=±,b vindt men: [~« 2 2 . a ; 2 . ( — \ ) " . c o s h x a

+ I

' ( 2 « - | - I) . T . (a2-f ^2^

Deze twee waarden moeten aan elkaar gelijk zijn: 22.fl;2.(—i)"

cosh X a = cosh x a .'S

_{+ I.}

t ( 2 « + I) . T . (a;2 _|_ ,^2) Uit deze vergelijking volgt, wanneer men:

X a:^ X

stelt, een ontwikkeling voor den hyperbolischen cosinus die luidt: n 4 cosh X =

— 2

( - 1 ) " 3) ( 2 « + l ) .

I+(^^+i..^^

2 X

Men kan gemakkelijk aantoonen, dat de in 3 voorkomende reeks: ^ (— I)"

( 2 « + I)

_{1 +}

/ 2 « + I \ 2 X convergeert voor alle waarden van x.

Voor jr - ^ 00 gaat deze reeks over in de reeks

o 2 « + X'

waarvan men met behulp van de ontwikkeling van den arctg. kan aantoonen, dat haar som — is.

4

Uit de uitdrukking 3 voor den hyperbolischen cosinus kan men zonder moeite formules afleiden voor den hyperbolischen sinus, voor de gewone cosinus en sinus, voor e'' en ten slotte voor het getal e. De uitdrukking 3 kan men langs functie-theoretischen weg ver-krijgen, door de uitdrukking:

TT cosh z — I •

4 ' cosh z

te ontwikkelen volgens haar polen met behulp van het theorema

van LIOUVILLE, ')

We willen er hier nog op wijzen, dat de gevonden uitdrukking voor S ook de gedaante van een hydrostatisch belaste membraan van rechthoekigen vorm geeft.

Fig. 6.

Men kan zich overtuigen van de juistheid van de vroeger ge-geven transformatieregel, die de functie, welke de gedaante van een hydrostatisch belaste membraan geeft door een transformatie over doet gaan in een functie, die de verdeeling van een wissel-stroom over de doorsnede van een geleider aangeeft, waarbij de geleiderdoorsnede denzelfden vorm heeft als de membraan.

Tenslotte merken we op, dat de uitdrukking 2 voor 5' voor: 3 —^ co

overgaat in:

S ^ C. cosh XX, 2' welke uitdrukking overeenstemt met die, welke vroeger reeds

voor de verdeeling van een wisselstroom over een plaatvormigen geleider werd aangegeven.

In fig. 6 zijn de hoogtelijnen geteekend van een hydrostatisch belaste membraan van rechthoekigen vorm. Uit het verloop er van kan men qualitatieve conclusies trekken ten aanzien van de stroom-verdeeling over de doorsnede van een geleider van denzelfden vorm.

I. 6. Impedantie van rechthoekige geleiders.

De eenvoudigste weg tot het berekenen van de impedantie per lengte-éénheid van een geleider is die, welke berust op het begrip „geïnduceerde spanning". Deze weg is reeds gevolgd bij het berekenen der impedantie van cirkelvormige, buisvormige en plaat-vormige geleiders in hoofdstuk 4. De beide andere methoden, ') n.l. die, welke gebaseerd is op de uitdrukking voor de Joulesche warmte, resp. op de uitdrukking van M A X W E L L voor de magne-tische energie en die, welke volgt uit het theorema van POYNTING, zijn in het algemeen bewerkelijker.

De amplitudo van den totalen stroom, welke door den geleider vloeit, zij / . Dan is:

J- a 4- (5

/ = f

dx

. f

dy

.

S.

— a — ^

Ter afkorting schrijven we: 22 . «2 cosh a

(2 « + I ) . ;r. cosh (1/^2^)1^2 , ^) _ (^2 _^ ^2) = ^''•

Men verkrijgt dan: I = 4.C.\dy. j dx.'^{—1)" .A„.cosh{Vx'-A-k'.y).cos kx - f O o ^ a -j- 4 . C I dy , I dx . cosh oc x , o o of

/ = 4 . (7. Z , , " . sinh (Vx"^ -f k^ .b)A . sinh x a

V_° k.Vx:^ + B ' ^

De lijnintegraal der electrische veldsterkte is, wanneer we de lengte-eenheid van den geleider beschouwen, gelijk aan den specifieken weerstand vermenigvuldigd met de stroomdichtheid aan het geleideroppervlak en ook gelijk aan den totalen stroom / vermenigvuldigd met de impedantie per lengte-eenheid Z.

e = I . Z '^ p . Sopp.

De stroomdichtheid aan het geleideroppervlak bedraagt

S„pp. = C . cosh X a .

De gelijkstroomweerstand R^^ per lengte-eenheid van den geleider heeft de waarde

R — ^ ^ 0 ~ 4 . « . -^ •

De lijnintegraal der electrische veldsterkte langs de lengte-eenheid van den geleider bedraagt dus bij gelijkstroom:

/ . ^ o = — ^ . / . " 4.a.b

Men verkrijgt ten slotte voor de verhouding van de impedantie per lengte-éénheid tot den gelijkstroomweerstand per lengte-eenheid

Z a . b . cosh a, a I) . stnh a « 4 - Zi , , ^_ . .4,, . sin oc ' - k 1/^2 _^ ^2 of ^ - T a b \ b trhxa\ ^ 2 ^ . a . ^^/i ( " 1 ° (2 « + 1)2.^:2. h (Vx"^ -^k"^ .b) Vx^ ^k-^ .b)

[•^(^•^y]-Wat de convergentie der hierbij optredende reeks betreft, kan men het volgende opmerken.

De tgh in den teller is absoluut genomen nooit veel grooter dan de éénheid. Voor kleine waarden van x a staat in de noemer ten naasten bij de factor (2 n -|- i)"", met « = O, i, 2 In dit geval geeft dus één term van de reeks reeds een zeer groote nauw-keurigheid. Voor groote waarden van xa'\s de convergentie minder snel, doch ze is minstens zoo snel, dat men met 5 termen een nauwkeurigheid van meer dan i "/,, bereikt ook voor zeer groote xa.

Ten einde de formule i' aan een gemakkelijke numerieke be-rekening toegankelijk te maken, voeren we enkele hulpgrootheden in :

i 2) 3) „2 _ 2 m. y = 2 n -\- i _{2 . a . ni} Hierdoor wordt: We stellen: waarbij

\^-m

y i - i . y

-^v~

= v

3 3 = = (i — i -y ) ' .

^ = (i-i.r,

- + ^y^ + y'.

±

+J_ l/l +_y

2 ' 2 ' -^ 4) Hieruit volgt: (i — i. ƒ 2)7 = (i3 — i r)3 = /3i + / r , , waarbij ^1 = /33 - 3 ri = r^ — 3 • P'^ • r Voor de tgh in den teller kan men schrijven:

t£h {V~i met ^2 5) «. / . Wj . ^ . (I -f- i) \ = tgh \ m^ .b{i3^ -f iy^) \ , ^2 = /3 + r. 7'2 = l3 — r 6) Alle grootheden (3 en y hangen alleen af van n en van het

product m . a. Schrijft men nog

b = p . a,

waarbij a dus steeds de kleinste rechthoekszijde aangeeft, dan wordt verg. i ' : Z (i -|- «) . Wj . a 8) CM T-II l< O *• CM II " « p ?: ?:

•

n. O ^ CM «CL Q e s 04

TABEL I. a m ft 72 a m ft a m /32 w = C 1 0,4 5,557 ,181 0,8 2,801 ,357 1,2 1,922 ,520 2,0 1,339 ,747 3,0 1,137 ,865 4,0 1 1,078 ,928 n = l 1 0,4 16,66 ,060 ,8 8,332 ,120 1,2 5.556 ,180 2,0 3,345 ,299 3,0 2,265 ,441 4,0 1 1,761 ,569 1 n = 2 A 27,77 ,036 ,2828 ,8 13,88 ,072 ,5656 1,2 9,256 ,108 ,8484 2,0 5,558 ,180 1,414 3,0 3,712 ,270 2,120 4,0 2,800 ,358 2,828 a m 01

r,

(3i^A-rf n = C ,4 — 38,61 — 46,94 3694 ,8 - 3,131 - 7 , 3 1 0 63,23 1,2 ,021 — 2,793 7,802 2,0 ,861 — 0,9399 1,6248 3,0 ,971 - 0 , 4 1 1 8 1,1123 4,0 ,991 — 0,2313 1,0357 8,0 1,017 ,983 8,0 1,185 ,843 8,0 1,534 ,0.52 5,656 8,0 ,999 — 0,0519 1,0009 a m ft r i

1 '*

- 1 1 4 4 — 1169 2675.103 ,8 - 1 3 8 , 2 - 1 5 0 , 8 4184.10 1,2 — 38,60 — 46,93 3692 2,0 — 6,63 — 11,64 179,5 3,0 ^ .899 - 4,254 18,91 4,0 ,238 — 2.213 6,223 a m |3i r i /3i2 + r i 2 n = S ,4 — 5334 — 5374 5734 .104 ,8 - 658,5 - 6 8 0 9061 . 1 0 ! 1,2 - 191,2 — 205,0 7 8 5 7 . 1 0 2,0 — 38,61 — 46,95 3695 3,0 — 9,81 - 15,37 332,6 4,0 - 3,131 — 7,310 63,23 8,0 ,955 — ,5225 1,185 8,0 ,668 -1,4933 2,675 V o o r de h y p e r b o l i s c h e functies m e t c o m p l e x a r g u m e n t heeft A . E . K E N N E L L Y tafels ') b e r e k e n d en k r o m m e n g e t e e k e n d , -) die g o e d e diensten bewijzen bij h e t b e r e k e n e n der i m p e d a n t i e volgens form. 8. V e r d e r zijn v a a k n u t t i g de tafels voor h y p e r b o l i s c h e en c y c l o m e t r i s c h e functies van K. H A Y A S H I , •*) met de natuurlijke getallen als a r g u m e n t .

. t) Tables of complex hyperbolic and circular Functions, 1913. 2) Chart Atlas of complex hyperbolic Functions, 1913.

In fig. 7 zijn k r o m m e n g e t e e k e n d voor (3^ en / j voor ver-schillende waarden van m.a en voor n = o, i, 2. In tabel I zijn enkele b e r e k e n d e w a a r d e n van /3j, 7 , , (3.^, y.^ voor verschil-lende a.m en voor n ^ o, i, 2 o p g e g e v e n .

V o o r zeer h o o g e geleiders, dus voor g r o o t e w a a r d e n van p g a a t de r e c h t h o e k i g e geleider s t e e d s m e e r in de p l a a t v o r m i g e geleider over. T e n slotte verkrijgt men uit formule 8 v o o r / — > - c o :

'Z\ (i A- i)-*^i-^

V-^o//—>~

= X a coth X a . ₉₎

^0//—>~ tgh \(i-\-i).mf.a\

h e t g e e n o v e r e e n k o m t m e t d e vroeger voor p l a a t v o r m i g e geleiders g e v o n d e n w a a r d e .

M e n k a n d o o r d e formule 8 t e splitsen in een reëel en een imaginair deel de w a a r d e n vinden der v e r h o u d i n g van den wissel-s t r o o m w e e r wissel-s t a n d R t o t den g e l i j k wissel-s t r o o m w e e r wissel-s t a n d RQ en voor de v e r h o u d i n g van de r e a c t a n t i e X ^ u L (L •= coëfficiënt van zelf-inductie) t o t den g e l i j k s t r o o m w e e r s t a n d R^^.

In tabel II en in de fig. 8 en 9 zijn deze w a a r d e n s a m e n g e s t e l d voor verschillende p en veranderlijke a.m.

R/Ro X/Ro R/Ro X/Ro R/RQ X/Ro R/Ro X/R^ 0,4 0.8 TABEL II. 1,2 I 2,0 I 3,0 4,0 1,000 0,0227 1,000 0,0372 1,000 0,0436 1,003 0,0899 1,007 0,1454 1,009 0,1722 P = 1,015 0,2007 P = 1,036 0,3228 P = 1,044 0,3808 = 1 1,108 0,5283 - 0 1,231 0,8050 = 3 1,274 0,9478 1,395 0,9890 1,692 1,387 1,826 1,627 1,762 1 1,389 2,186 1 1,880 2,410 1 2,184 1,001 0,0503 1,009 0,1992 P = 1,046 0,4420 = 10 1,303 1,119 1,968 1,946 2,683 2,594 8,0 3,143 2,827 4,043 3.773 4,567 4,356 5,241 5,145 R/Ro X/Ro ma 1,002 ,0840 0,5 1,022 ,330 1,0 P = 1,115 ,730 1,5 = 00 1,300 1,215 2,0 2,821 2,810 4,0 4,243 1 4,241 6,0 1 5,656 5,656 8,0

Men kan nu den wisselstroomweerstand en de reactantie van een vierkanten en van een cirkelronden geleider met elkaar ver-gelijken.

2 2

o. II II

^5^

O) CD K rf

è

«O <fi >o <N I O

In de fig. 8 en 9 zijn met c aangeduid de krommen voor - 5 - en -=j- van een cirkelronden geleider met denzelfden omvang als de vierkante geleider p = 1.

R X

Het blijkt, dat p - en -g- beide grooter zijn bij eenzelfde fre-_{R. R.} quentie, dan de overeenkomstige waarden voor den vierkanten

8

II o.. II ^ «o II Q ^ CM ^ II II «l^o-ö

<ï-K^

\

\1

\ \ \

> V

Y

\ \ " ^ \

x\

\ • ' \ \ \ \

1

V \

;J\\

w

V$

" ^ \

l\

\è

^

k

% ^ » l OJ I * . CM rv ^ «n 04 * .

x o c

geleider. Berekent men echter de waarden van A' en X zelve voor dezen cirkelronden geleider, dan vindt men, dat ze bij eenzelfde frequentie kleiner zijn dan de overeenkomstige waarden voor den vierkanten geleider.

R X

-=- en - = - van een cirkelronden geleider m e t dezelfde d o o r s n e d e " R X als d e v i e r k a n t e geleider / = i . H e t blijkt, d a t —- en -=— dus ook R en X g r o o t e r zijn d a n d e o v e r e e n k o m s t i g e w a a r d e n voor den v i e r k a n t e n geleider bij een zelfde frequentie.

W e m e r k e n o p , d a t men kon v e r w a c h t e n , d a t een cirkelronde geleider een kleinere r e a c t a n t i e en een kleineren wisselstroom-w e e r s t a n d bezit d a n een v i e r k a n t e geleider van denzelfden o m v a n g bij een zelfde frequentie. Bij een vierkanten geleider toch w o r d t in de h o e k p u n t e n een relatief d i k k e r e „ s t r o o m l a a g " g e v o r m d , dan langs d e zijden, gelijk qualitatief duidelijk uit fig. 6 blijkt.

Dit is h e t effect, d a t K E N N E L L Y ') m e t c r o w d i n g a a n d u i d d e en waarin hij één d e r oorzaken zocht voor d e slechte o v e r e e n s t e m m i n g tusschen e x p e r i m e n t e n en theoretisch m e t b e h u l p d e r RAYLElGH'sche2) formules voor een „ s t r o o m l a a g " b e r e k e n d e w a a r d e n .

W e beschouwen nu het verband tusschen m e t i n g e n over skin-eflfect in r e c h t h o e k i g e staven •*) en de t h e o r e t i s c h afgeleide w a a r d e n .

K E N N E L L Y vond bij p l a a t v o r m i g e geleiders een zeer slechte o v e r e e n s t e m m i n g tusschen t h e o r i e en e x p e r i m e n t . D e oorzaak is t o t nu t o e wel n o g niet v o l d o e n d e o p g e h e l d e r d . D e o p m e r k i n g van K E N N E L L Y , d a t d e veldverdeeling een a n d e r e zou k u n n e n zijn, dan aan d e t h e o r i e ten g r o n d s l a g ligt, geeft wel een qualitatief mogelijke v e r k l a r i n g voor deze slechte o v e r e e n s t e m m i n g d o c h biedt g e e n voldoende g r o n d s l a g voor een m a t h e m a t i s c h e t h e o r i e . D e d o o r DwiGHT *) o p g e s t e l d e b e r e k e n i n g , welke r e e d s v r o e g e r w e r d b e s p r o k e n (p. 22) bezit slechts voor zeer lage frequenties p r a c -tische w a a r d e . Alle m e t i n g e n in d e boven g e c i t e e r d e v e r h a n d e l i n g van K E N N E L L Y h e b b e n b e t r e k k i n g o p skineffect in zeer p l a t t e staven. Metingen over skineffect in v i e r k a n t e staven zijn ons niet b e k e n d .

M e t een enkel woord zullen we n o g ingaan o p de in d e boven g e c i t e e r d e v e r h a n d e l i n g van DwiGHT o p g e n o m e n grafieken. O p h e t eerste gezicht schijnen deze in strijd m e t de k r o m m e n in fig. 8 en

1) Journ. FRANKLIN Inst. 1916, p. 167.

2) RAYLEIGH, Sc. Papers, Vol. II, p. 496.

3) KENNELLY, LAWS en PIERCE, Proc. Am. lust. El. Eng., 1915, p. 1771. 4) DwiGHT, Proc. Am. Inst. El. Eng., 1918, II, p. 977.