van met
f
Technisch wetenschappelijk
onderzoek
621-501.14 cling 1959. •ludy pres-'959. all- be-Tiud 954. van 3 r a -. H -. >57. ing 95, ng. forSymposium: Niet-lineaire trillingen en niet-lineaire problemen
uit de regeltechniek^)
I . S p e l i n g e n w r i j v i n g door prof. ir. R. G . Boiten
Summary: Non-linear vihralioiis and iion-lineurproblems in control engineering.
The behaviour of mechanical systems sometimes becomes irregular due to dead zones and non-linear friction. Approximate solutions can be obtained in various ways. As an example a mechanical second order system with dead zone and non-linear friction, viz. Coulomb friction, Coulomb friction depending on the velocity difference between the moving surfaces, Coulomb friction proportional with the amplitude or the acceleration of the movement and square viscous friction, is treated with various methods for the cases of free and forced vibrations. Phase-plane, harmonic balance and graphical methods are demonstrated.
1. Inleiding
De reden, waarom mechanische systemen zich soms afwijkend van de verwachtingen gedragen, kan veelal worden terug-gevoerd tot het optreden van speling en wrijvingsverschijn-selen tussen de bewegende delen. Het i n rekening brengen van deze verschijnselen maakt de optredende differentiaal-vergelijkingen itiei-llneair, waardoor de oplossing niet met elementaire methoden kan worden bepaald. Er is een groot aantal benaderingsmethoden ontwikkeld, zowel analytische als grafische, waarmee i n een aantal gevallen voor de praktijk bruikbare oplossingen kunnen worden gevonden. Deze oplossingsmethoden zijn incidenteel toepasbaar en derhalve niet universeel. Aan de hand van systemen van de tweede-orde (massa-veer systemen) zal een aantal oplossingsmetho-den woroplossingsmetho-den gedemonstreerd voor de volgende gevallen:
') Gehouden voor de Sectie voor Mechanica van de Afdeling voor Technisch Wetenschappelijk Onderzoek van het K.I.v.l. tezamen met de Sectie voor Toegepaste Wiskunde van het Wis-kundig Genootschap op 30 december I960 te Delft.
a) op het systeem werkt geen ingangssignaal (vrije tril-ling).
b) op het systeem werkt een sinusvormig ingangssignaal (gedwongen trilling).
c) op het systeem werkt een willekeurig ingangssignaal. D e meeste benaderingsmethoden komen neer op pogingen, het werkelijke systeem te vervangen door een lineair reken-model, dat over een beperkt gebied en volgens bepaalde criteria zich gedraagt als het werkelijke systeem.
2. De fase-vlak methode
De fase-vlak methode is zonder meer alleen bruikbaar voor niet-lineaire systemen van de tweede-orde, waarbij de coëfficiënten van de afgeleiden i n de differentiaalvergelijking niet van de tijd afhangen en geen tijdsafhankelijk ingangs-signaal aanwezig is. De methode is gebaseerd op energie-overwegingen.
2.1. De afbeelding van het lineaire hveede-orde systeem
(2.1) De lineaire differentiaalvergelijking
iiix p kx -f- c.ï = O
kan met behulp van de substituties en ji
2mcOn ook worden geschreven als
X + 2f]a>^ -1- W o l v - O ( 2 . 2 ) waarin w„ de ongedempte eigenfrequentie (k =^ 0 ) en /? de
relatieve demping voorstellen.
Stel de uitwijking x op een willekeurig tijdstip, bijv. t = O,
«= --,v^. i _ i .
"o Wo "flWo (2.3)
Voor X kan nu worden geschreven¬
.. dx dx_ ii^,dv av
"7,> • W - " o < » ' ^ (2.4)
De^^uitdrukkingen (2.3) en (2.4) gesubstitueerd in (2,2)
^ ^ I - ^ ^ " ' " O (2.5) sr.lh'"H" f ' " ^ " « ' ^ ' " ^ ^ uitwijking en . de dimensielozc
snelheid van het systeem voorstellen. Door integratie van vgl. (2.5) ontstaat;
v2 I,"
2 '^2 *• 2/S ƒ V«/« = constant - C (2.6)
Hierin is 7, ^ de uitdrukking voor de dimensielozc
kinetische en t de uitdrukking voor de dimensie-loze potentiële energie De term 2/9 ƒ v du == ƒ„ is een maat voor de energie, die door wrijving i n warmte wordt om¬ gezet.
Met de randvoorwaarden „ - ] en y O voor / = O
volgt uit vgl. (2.6): "
„2 ^ ï ^ ' ' ' ' f ""P'^S- ° volgt uit de vgl. (2.6)en(2.7):
welke uitdrukking in een rechthoekig coördinaten-systSm v n ? J n ? ^'^S- 1), waarvan de omlooprkhting
volgens de wijzers van de klok is h
chanL'htene^rg'i:'' " ^ ^ ^ ' " " ^ ^ ^ " ^ " ' ^ ^ -A - -A. f - = - ^ «^)
-zodat de helft van het kwadraat van de afstand van een punt van de trajectorie tot de oorsprong een maat is voo, energie ^^"^^«^'g^ mechanischr De vgl. (2.5) kan door integratie worden opgelost. Als de helling van de raaklijn aan de trajectorie ' ' l ' = mwor.li
du
gesteld, volgt uit vgl. (2.5):
11 =-vim+21}) (2.<)) du I 5„ s „ «r,,, .
dus -1^.^^J!1±^ _ -:• 2fim ~ 1)
of wel
-V / / r : 2/9/j; + i
Na enige herleiding volgt hieruit:
waarin A de integratie-constante is.
U i t de randvoorwaarden dat voor f O geldt « — ] en v ^ O volgt A ^ l.
De oplossing van vgl. (2.5) in parametervorm is derhalve:
II = — V (wi + 2/?)
(2.10)
waaruit desgewenst de parameter m te elimineren is. Voor /3 - 1 is de uitdrukking niet bepaald. Oplossing van vgl. (2.9) v o o r / ï = 1 levert op dezelfde wijze:
/ / — V (/;i + 2) \
- l n v = I n ( w +
l)
p — - l ^-'"^lil + \ }
waaruit na het elimineren van iii volgt:
V = (// + v) In — ( H + v)
Voor / ? < 1 volgt uit vgl. (2.10): / y v T 3 ^ - P / 9
(2.12)
Fig. 4.
Na enig omwerken wordt de oplossing i n parametervorm
« - — V (wï + 2/3)
l n v = - J l n ( , « H 2 / 3 m + l ) + - - ^ - n g t g V ^ ^ (2.13) waaruit na het elimineren van m volgt;
i l n ( « 2 - f 2 / 3 ( / v + v 2 ) + V l — / 3 2 bgtg ^ 0 (2.14) Door de transformatie .V = H + /?»>; V V V l — / 3 2 gaat vgl. (2.14) over in , „ V ^ a 4 - ; ^ 7 = i b g t g ^ O of in poolcoördinaten geschreven: ' ' (2.15, Dit is de uitdrukking voor een logaritmische spiraal
(fïg. 2). Voor de grafische constructie is het van belang op te merken, dat bij een logaritmische spiraal de hoek ?/ tus-sen raaklijn en voerstraal constant is.
elft
Vi —/?•
Voor de terugtransformatie naar het ii — v assenkruis geldt:
= • ; II x — jiv = .V- 1^
Deze transformatie kan met een transformatie-driehoek plaatsvinden (fig. 3).
De hoeken a en f worden bepaald door: t g a
tgy;
-Vi — «1 fivi
Uit vgl. (2.5) volgt voor de vergelijking van de isoclinen
V —
„i+Tft (2.16)
Met behulp van een aantal isoclinen kan de vorm van een trajectorie gemakkelijk worden bepaald (fig. 4).
bgigzp fi<l bglglJ>-\/p^l Jl>1 Fig. 5. T E C H N I S C H W E T E N S C H A P P E L I J K O N D E R Z O E K 1 / « - « - 1 9 6 2 O 3
dus
F i K . 6.
Uit vgl. (2.10), (2,11) en (2.13) volgt, dat voor alle po-sitieve waarden van fi de trajectorieën door de oorsprong
{ll ~ V 0) gaan.
Voor fi > 1 zijn niet alle waarden van iii mogelijk, uit de vergelijkingen (2.10) en (2.11) volgt:
/3 > 1 ( - / 3 -1- V f - - 1) < m < oc / J = I _ i , - , „ < o o
waarbij de benedengrens de helling van de raaklijn in de oor-sprong is.
I n fig, 5 zijn de drie gevallen afgebeeld. Uit de definities volgens vgl. (2.3) volgt:
1 du dl II' du I >•> du , .... « 0 , , , vrff dm (2.17) w„ III- r 2pm 1
N a enig omwerken ontstaat:
' V l — " ' 1
Wo III.,
De tijd voor een halve periode ( / H J nu oo) is dus
T n
Voor een kwart periode, waarbij
T Jl
4 " 2cOoV'r—
en de g r e n z e n — / 3 , / » , oo of «ii - oo,/)/2 ' —P zijn blijkt derhalve de waarde van u:/- O te zijn. De maximum waarden van // volgen uit vgl. (2.15)
"nmx - ( - 1 ) ' " ' c V ï O, I , 2 . . . «) (2.18) Indien voor t = O dc uitslag u — 1 , volgt uit vgl. (2.17):
V I ~
- - f v V i - 7 ( ' ;
m-T p
Eliminatie van m uit deze uitdrukking en de tweede vgl. (2.13) levert:
1
W - P '
Hieruit volgt:
, c-fi">>i sin w,/ V j —ji'^ 1 du
. \ c fi'o.i s i n W o ^ V l — ft-, dl
V i - ^ ^ O
D i t geeft na het uitvoeren der integratie:
„ —e ^«".z (cos ( U O M T — / ï ^ ' ^ s i n w n f V l ^ ^ - )
V l
(2.19)
•ifi. 8.
hetgeen de bekende uitdrukking voor een uitdenipende harmonische triihng is.
2 . 2 . De afbeelding van een tweede-orde systeem met cou-lombse wrijving
Bij het optreden van coulombse wrijving geldt de verge-lijking:
nix ; cx + W O {W constant) (2.20)
I
- v |
Met de substituties / en f , waarm ii,, de initiële uitwijking is, wordt verkregen:
I - V
. V ll
In de nieuwe dimensieloze variabelen ;/ en i ' ^ - ont-"o
staat de betrekking:
y"^^^ + „j, L .f 0. (2.21) Na integratie levert deze:
V v2 J - « 2 -t¬ of wel v' . 2fu C (constante) C\-p Ji' (2.22) (2.23)
Vergelijking (2.23) stelt een cirkel voor met straal R en een middelpunt met de coördinaten:
0.
Met de randvoorwaarden, (/ — I en v O voor / - O geldt voor de stralen van de opeenvolgende halve cirkel-bogen (fig. 6):
Ri, Vc+7" Vl — 2f + p - 1 — ƒ
R2 Ri — y = 1 — 3 /
-R.,^R,,-2f 1 - 5 / R„ = 1 - ( 2 „ - l ) /
De beweging stopt zodra R„ 2f. In vergelijking met het lineaire systeem is de eindtoestand verlegd van de oor-sprong O naar een punt op de lijn O^O.,.
V Na een translatie van de i" as, zodanig dat u 11 '~ f , kan voor vgl. (2.23) worden geschreven:
1,2 . T,i N u geldt: (2.24) 1 ii'du IK du 1 , u ji?, f - - = r _ = bg cos „ 1 ^ VR' — fi^ oj„ ° R jjj.. Voor elke complete halve cirkelboog is « 1 R, —7?, dus
1 , Tl R n
I be cos „
Wg
"
R —R ÜJ„In een willekeurig punt Ti Ti (op boog met straal R) geldt:
—1 • Tl TT . ,
/ = be cos H , waaruit volst w„ R cü„
-J- (2.25)
F i g . 9.
De gehele curve bestaat derhalve uit een aantal halve cosinusbogen (flg. 7).
2.3, Coulombse wrijving evenredig met de uitslag van het systeem
Coulombse of droge wrijving is bij een constante wrijvings-coëfBciënt/t gedefinieerd door:
Fis. 10.
F i g . n .
F l g . 12.
}V-- fiN, waarin N de gemiddelde vlaktedruk tussen de ten opzichte van elkaar bewegende vlakken voorstelt. B i j bepaalde constructies en mechanismen is N evenredig met | . Y I . Dan geldt de vergelijking:
XX mx + cx + •—- fVx ^0 I XX l Met de substituties w. (2.26) en / = - ontstaat i n de m ' c variabelen n betrekking: ( « O uitwijking voor / = 0) en v dv iiv „
f
u + 7 -fii O - ^ d e (2.27) f du - 0. du ' \ uv\-' of wel vdv - (1 +1 «,
Na integratie volgt hieruit:= C (constante) 1 en V O voor t O ont-2 + ( l + ƒ ) \ ! Hv 1^ ƒ 2 Met de randvoorwaarden u = staat: „2
(1/
• : ' " . ƒ ) •/
1. (2.28)Hl-De trajectorie bestaat dus uit een aaneenschakeling van kwart ellipsbogen met de volgende waarden voor de halve
I — I 2 (fig. 8): bl (1 - f " ( I b-, = f f -•' 1 + ƒ b„ = ( ' - ƒ ) 1 (1—n'-'^ ( I +ƒ)'''=
Voor de kwart ellipsen in de kwadranten I en I I I (fig. 8) kan op de in het voorgaande beschreven wijze worden af-geleid:
// - (— 1)» a„ cos Wat V I — ƒ (2.29) en in de kwadranten I I en I V :
" = •' (rT7) - a,. sin w,, V I + ƒ (2.30) De trajectorie eindigt in de oorsprong en de uitslagen als
functie van de tijd bestaan uit een aantal aaneensluitende kwart sinusbogen (fig. 9).
De raaklijnen aan de krommen volgens de vgl. (2.29) en (2.30) hebben in de aansluitpunten voor H ^ O en » = O dezelfde richting.
De tijd voor een halve periode
T 71 Tl n
2 iMaVX—f 2 w o V l + ƒ
D i t type demping is in bepaalde opzichten geschikt voor hel dempen van mechanische systemen, hetgeen o.a. jaren ge leden bij automobielen is toegepast ^).
2) Zie de bijdrage van J. M. L. Jans.sen en J. C. Vermeulen op pag. 29 in Nichtlineare Regelungsvorgiinge - Oldenbourg 1956
4. Coulombse wrijving evenredig met de versnelling van het systeem
j sommige mechanismen, bijv. de beweging van een slede, ;t het zwaartepunt van het bewegende deel niet in het
+ .
g. 13: g. 14. R. 15. V E l\ ' \ ^ / 1 ' \ 1 ^i/V
!
C B U,2 \ zlvl limietcyclus«
«
M T k9> Cf'jlijdingsvlak, I n dit geval is de vlakte-druk evenredig met x \ en geldt de vergelijking:
xk
mx 1- cx W x -^ 0. XX I
Met de substituties CUQ en f W ontstaat in de
variabelen u = ' • (ii^ uitwijking voor / = 0), v = —
"o '"o 111= -r de betrekking: du en dv , du dv . V . - / = O /// I du Na integratie volgt hieruit:
(2.32) / m \ v^ u^ en met de randvoorwaarden ii C (constante) -1 en v = 0 voor / = 0: (2.33)
De vorm van de trajectorie is dus gelijksoortig aan die, aangegeven in fig. 8, met de navolgende waarden voor de halve lengte van de ellipsassen:
fli = I = • (1 +f)y^ I + ƒ (1 + f y ^ ' + ƒ ) (1 f ƒ)•'•
Voor de kwadranten I , H f en I I , IV kunnen de volgende betrekkingen worden afgeleid:
« ( - (2.34)
V l
- ƒS- 16.
De tijd voor een halve periode
T JcVYT? nVl — f n
— = i - I i - ^ —
2 ICOg 2Wa " (Og
De uitslagen als functie van de tijd zijn gelijksoortig aan die i n fig. 9, behalve dat de tijden voor een kwart periode iets anders zijn.
Bij dit en het vorige geval treedt een bijzonderheid op als ƒ > 1 is. I n het geval van wrijving evenredig met | x | blijft
het systeem na een beginuitwijking Ug in rust, in het geval van wrijving evenredig met | A - | wordt in ieder geval in het eerste kwadrant een kwart ellips afgelegd en stopt de be-weging daarna abrupt (flg. 10). De waarde van moet dus groter zijn dan |! \ / 2 om een uittrillende beweging te ver-krijgen.
Dit verschijnsel van 'vastlopen' treedt vaak op en kan ten gevolge van de dan optredende grote versnellingen ge-makkelijk schade en breuk veroorzaken. B i j de vormgeving en keuze van de plaats van het zwaarte-punt van het be-wegende deel moet hiermee dus rekening worden gehouden.
2.5. Systemen met kwadratische viskeuze demping
Er bestaan gevallen, waarbij de isoclinen niet, zoals i n de voorgaande voorbeelden, rechte lijnen zijn.
Voor een systeem met kwadratische viskeuse demping (bijv. turbulente luchtdemping) geldt:
inx + .—1-7 kx^ + cx •-- O (2.35)
Indien w„ ^ y^' " ~ ^-("o 's de begin-uitwijking),
i' ^ — en 28' ^ ii„ volgt hieruit:
CÜQ III Fig. 17. L t of Fig. 18. 1' \iöne 1
T
f " zone 2 \^ V ' + « (2.36)U i t de vergelijking met het lineaire systeem volgt/3' = ii^ofi, waarin 2(i .
Vergelijking (2.36) is niet met elementaire methoden op-losbaar.
De vergelijking van de isoclinen is 2p -—f V- 1 mv + // = O, waarin iii ^ —.
1 V I du
Door omschrijven volgt h'eruit:
r ^ 4 / i ' i 7 | j - - 2 f ï ' [ ' \ v r w )
D i t is de vergelijking van een gespiegelde parabool met als top
nr V
Eliminatie van m levert de meetkundige plaats van de toppen der parabolen:
// = 2f}'v' (2.37)
Voor het geval /9' - 0,5 is in fig. I I een aantal isoclinen bepaald en daaruit de trajectorie, beginnend in het punt // = ' 1 , V 0. De trajectorie eindigt in de oorsprong.
2.6. Verschil tussen rust- en bewegingswrijving
In vele gevallen bestaat bij het optreden van coulombse wrijving een verschil tussen de wrijvingskracht bij i O (rustwrijving) en die voor x^ O (bewegingswrijving), waarbij bijv. een verband tussen W en x bestaat als aangegeven in flg. 12. Soms, zoals bij een slippende riem op een ricm-schijf, neemt W bij grotere waarden van .v weer toe (ge-stippeld aangegeven).
Door dit verschijnsel kunnen trillingen worden opgewekt. Het systeem volgens fig. 13 wordt belast door een koord, dat om een draaiende schijf met omtrekssnelheid x^ is ge-slagen. De kracht W wordt bepaald door een experimenteel gevonden verband:
^ qixa — x) (2.38) De vergelijking voor het systeem is:
mx I cx > q (.r„ — x) ---- O ) / ; , . . V , , -Met ö)„
(2.39) en -YD su)g wordt deze
Fig. 19.
vergelijking
dv 1
" du - " • c - V ) } . = 0
Indien ^ ipfcog (s — v)} — z (i') wordt gesteld, volgt hier-uit:
dv r (i') — u
_ = /;,.
du V
Liénard heeft een constructie aangegeven om in elk punt de waarde van m grafisch te kunnen bepalen (fig. 14).
I n het punt A (u, v) geldt:
AB V V
tg<p - nil BC EA — DA •zivY
dus Wiin —1 of wel de raaklijn aan de trajectorie door punt A staat loodrecht op het lijnstuk AC.
In fig. 15 is deze constructie toegepast. Na een initiële uitwijking A of kleiner is de trajectorie een cirkel. N a een initiële uitwijking B nemen de uitslagen toe, tot een be-paalde cyclus, de zgn. limietcyclus is bereikt. De beweging blijft daarna steeds de limietcyclus volgen. Voor een gro-tere uitwijking C nemen de uitslagen af tot de voornoemde limietcyclus weer is bereikt,
2.7. Overeenkomst en verschil tussen systemen met viskeuze en coulombse wrijving
Voor een lineair systeem geldt in verband met vgl. (2.15) voor de verhouding tussen de amplituden ii„ en //„_.i voor en na een volledige cyclus:
ii2u V i - r (2.40) 'n+l (H i 1) 27r Fig. 20. Fig. 21. T E C H N I S C H W E T E N S C H A P P E L I I K O N D E R Z O E K 1 / 6-4-1942
Bij coulombse demping evenredig met A: of ji: geldt evenzo
" 1 - / •n+l
(2.41)
Voor zover het de amplituden betreft, zijn deze systemen dus identiek als
- r ' ^ 2 7 r waaruit volgt: 1 r f 1 - / 2n -•= In V ï - p ^ - ( | ^ ^ ) - 2 ( / V 3 - l - V . . . ) v o o r | / ! < I U i t deze betrekking kan bij een bepaalde waarde van ƒ een waarde van fi worden berekend, die een lineair systeem oplevert met dezelfde afname van de amplituden. Voor kleine waarden van ƒ geldt bij benadering:
" i 71
(2.42) Bij het optreden van zuiver coulombse demping neemt de amplitude per periode met een constant bedrag gelijk aan 2 / af.
2.8. Positie-servo met speling in de tandwieloverbrenging Het eITect van spelingen kan op soortgelijke wijze worden behandeld.
Fig. 16 geeft een schema van een lineaire positie-servo met tachometer- en potentiometer-tegenkoppeling, waarbij in de tandwieloverbrenging Z tussen moloras en poten-tiometer een speling 2li optreedt. Wordt aan de motoras een sinusvormige verdraaiing (p 95,,, cos co/ gegeven, dan zal de potentiometer-as geen sinusvormige beweging uitvoeren.
In fig. 17 zijn de waarden van 93, tp, (p' en q'/ als functie van de tijd uitgezet.
Er zijn nu vier gebieden of zones te onderscheiden, die in de volgende tabel zijn aangegeven.
zone 1 « p > o f' T — ll zone 2 <p<0 V' f 1 // zone 3 (p' ^ 0 <p<0
—
/ (
zone 4 ip' = 0 f > 0 f'
+ /(
Het signaalstroomdiagram van fig. 18 wordt verkregen door het systeem volgens fig. 16 te splitsen in een lineair en een
niet-lineair deel, waarin Ü > O = - | / ^ en (i Voor de zones 1 en 2 geldt:
2//)CÜn
'P
\<p\ (2.43)
cip' —m(D^\-2ficüaD)(p (2.44) Eliminatie van rp' uit bovenstaande betrekkingen levert:
^ -;• 2/9w„ (p -!- ojo^ (^q) — I t j lij - O Met de substituties
11 =^ — (wa is de uitwijking voor / = 0), v - " en ö ^
% Wo «Po
ontstaat de dimensieloze vergelijking: O
dv V
du \v\ (2.45)
N a een assenkruistransformatie, waarbij Ti = u — j—-^6 wordt verkregen:
dv
v^_+2/?v' + « = O du
hetgeen de vergelijking van een lineair systeem is. Voor de zones 3 en 4 geldt:
/ !
lii \ \ 0©
I
/ \ / ^ / 1 N \ . / 1 *^J
^ " s i or ens lijn®
Fig. 22. (2.46)Deze waarde, ingevuld in vgl. (2.44) levert:
Met de substituties (p ü „ = v = . -., «„, fa « O wordt verkregen: dv ^ du — en O = — f» dv
ing van deze difTe
v ^ _ ( " " ' + r v i ' ' )
(2.47) De oplossing van deze difTerentiaalvergelijking is te be-palen:
4ft"-2Pv
(2.48)
Indien ^ -. in wordt gesteld, geldt voor de isoclinen:
I H
(2.49) 2/3 + m
De grenzen tussen de vier gebieden (fig. 19) worden ge-vormd door de // as en twee lijnen, die als volgt kunnen worden bepaald.
Voor een bepaalde trajectorie met maximum waarde is de abscis van de grenskromme u «,„ 2 - ' ^ d. Deze
waarde, gesubstitueerd in vgl. (2.48) levert de ordinaat r van de grenskromme:
^ ^ ( " " " l ^ ' ) i n / f 2 - r — w ' ~
2 (5 u 2/3v
Eliminatie van ;/,„ geeft na enige herleidingen: H - , ' ' . ó ) l n
I H /
I +2/3v
V I (2.50)
De krommen snijden de u as in de punten // ==-,—• 6. I ^'1 V i V • d wordt (2.51) Fig. 23. Met de assenkruistransformatie u ^ u-vgl. (2.50) in poolcoördinaten: » ' V v | * cos9? In ( I l- 2/3 tg tp) — 2/3 sin (p
U i t deze vergelijking volgt voor de raaklijn aan de grens-krommen in het snijpunt met de // as (flg. 19):
Deze raaklijn valt dus samen met de isocline voor in - O van het lineaire systeem (fig. 4).
U i t vgl. (2.44) en (2.47) volgt voor de raaklijnen in .S' (flg. 20):
du ' V
eu • 2 f t -dv Ju Aangezien " - ' • W \ ' ^ ' ' ~ V A ' ' - ^ \ ' - ' - " ~ ^ V ] ' - "
vallen deze raaklijnen dus samen.
U i t de trajectorie u—v kan de trajectorie u'—v voor de beweging van de potentiometeras op de i n fig. 20 aan-gegeven wijze worden geconstrueerd,
iv^flu.y/
Vis. 24.
De maximum waarde van v treedt op voor - O, du
deze waarde is v = — 2/}
iK. 25.
E C H N I S C H W E T E N S C H A P P E L I I K O N D E R Z O E K 1 6-4.1962
Voor kleine waarden van /? is het derhalve mogelijk dat een grenscyclus optreedt, nl. als in de zones 3 en 4 zoveel vergroting van de voerstraal optreedt, dat deze de ver-kleining in de zones 1 en 2 compenseert. De grenswaarde van fi IS 0,285, welke waarde in paragraaf 3.4 zal worden afgeleid.
I n fig. 21 zijn bij wijze van voorbeeld de trajectorieën H — V en u' — V getekend voor de waarden ó = 0,1, /9 = 0,5 en "o = — 1 . De trajectorie u' eindigt ergens tussen +d en —ó, afhankelijk van de beginvoorwaarden.
2.9, Positie-servo met speling en coulombse wrijving B i j vergelijking van fig. 21 met fig. 6 van een systeem met coulombse wrijving valt op, dat de oorsprongverschuivingen tegengesteld zijn. D i t doet vermoeden, dat een toevoegmg van coulombse wrijving het systeem van fig. 16 zou kun-nen verbeteren.
Bij afwezigheid van viskeuse demping volgt uit vgl. (2.20) en (2.45) voor het gedeelte van de cyclus met ingriipine der tandwielen. ^ Jf B
dv V , + u
-du
vl
ï ( < 5 - / ) . 0 (2.52) Wordt nu gezorgd dat ^ - / • = O, dan volgt voor de tra-jectorie:-!- « 2 = C (constante) (2.53) Het maakt verschil of de coulombse wrijving in de motor
o f i n de potentiometer wordt aangebracht.
I n het eerste geval volgt uit vgl. (2.47) voor de niet-lineaire gedeelten: met de oplossing: dv du V ^ dv l V \ (2.54) De vergelijking van de grenslijn volgt weer door //,„ te ver-vangen door ; / ~ 2 r A <5:
I
" ' - ' - ^ f - j '^" - 0 (2.55) B i j coulombse wrijving i n de potentiometer geldt evenzo
voor de niet-lineaire gedeelten: dv
( " • " " | v V ) "
(2.56) du
met als oplossing
' ( " - " " • ) ( " " • - \ A ' ) - '
en als vergelijking voor de grenslijn:
In verband met vgl. (2.53) bestaat een grenscyclus als
voor de lengte R van de voerstraal naar O uit het snijpunt S van de grenslijn en het niet-lineaire stuk geldt:
Bij coulombse wrijving i n de motor geldt in verband met fig. 22a en vgl. (2.59): R Viij' —'4S\ dus R < ii,„.
Bij wrijving in de potentiometer geldt (fig. 22b en vgl. 2.57) R = u„„ dus er treedt steeds een grenscyclus op bij elke beginwaarde.
Bij combinatie van viskeuse demping en coulombse wrij-ving moet derhalve de wrijwrij-ving bij voorkeur op de motoras worden aangebracht.
Indien (5 ƒ volgt nu in verband met vgl. (2.45) en (2.52) voor het gedeelte van de cyclus, waar de tandwielen in ingrijping zijn:
+ 2 ^ v - i - H = 0 (2.58) du
derhalve de vergelijking voor een lineair systeem. Voor het niet-lineaire stuk geldt:
du • (""• met als oplossing:
+ 2 p ^ , ó
(""'-^^ivV)
4 « -0 In 1 -b 2/3i' (2.59) 1=0 "m + 2 , (2.60) u In 2/}f + 8/?2 (2.61)Hieruit volgt voor de vergelijking van de grenslijn:
I n fig. 23 zijn de ;/ — v en u' — v trajectorieën aangegeven voor de waarden ó = 0,1, ƒ ^ fi 0,5 en «o ^ — 1 . I n vergelijking met fig. 21 blijkt, hoeveel beter de u—v trajectorie nu een lineair systeem benadert en dat in ver-band met het voorgaande dit systeem voor geen enkele waarde van fi een grenscyclus bezit.
I n de praktijk zijn speling en coulombse wrijving nimmer geheel te vermijden. Het is dus een gelukkig feit, dat deze twee verschijnselen de tendens hebben elkaar enigszins te compenseren.
2.10. Niet-lineaire tweede-orde systemen met een tijds-afhankelijk ingangssignaal
Er zijn verschillende suggesties gedaan om de fase-vlak methode geschikt te maken voor gevallen, waarbij een tijds-afhankelijk ingangssignaal aanwezig is. A l deze methoden zijn itererend en vragen veel grafisch constructiewerk, omdat de isoclinen hun betekenis hebben verioren. I n het volgende wordt een methode, aangegeven door Ku, behandeld. In-dien naast de substituties u ^
w ~ — wordt ingevoerd, geldt:
zodat dv w du V 1 dv du coo ' du' dl lil 1 dv nog de variabele v ^ ^ (2.62) du (2.63)
Bij het werken met de grootheid w wordt naast dc // — i ' trajectorie gelijktijdig de w — ii kromme (géén trajectorie!) bepaald.
Voor een lineair systeem zonder ingangssignaal geldt (vgl. 2.5):
dv
v-r -2f}v + u w + 28v - u - O du
of wel w = —2/3v — u (2.64) Begonnen wordt met het schetsen van een lijnenschaar voor
w, waarbij w = f(ii) voor een aantal waarden van v wordt getekend (fig. 24).
Bij de beginvoorwaarden HQ —' > " O is het begin-pimt van de v — «trajectorie To en van de ii' — // kromme fKo-De (/ as wordt in kleine aangroeiingen A " verdeeld.
dv
Bekend is dat -- =-= oo voor het punt Tg. Bij een geschatte waarde V j (punt D), behorende bij u iig + A" wordt in dit interval een plausibel lijkend stuk van de H — i ' trajectorie gescheUt. Als bijv. v = 0,5 wordt genomen, is nu het eerste punt B van de u — w kromme, liggend op de lijn V - 0,5 bekend. De afstand AB wordt vanuit A op de «-as afgezet, zodat AB - AC. Voor de helling ///, van de lijn CD geldt nu:
DA V
'"'^AC^^-^r
Uit vgl. (2.63) volgt voor de raaklijn aan de « — v trajec-torie III ^ ergo staat de lijn CD loodrecht op de raaklijn in D aan de H — v trajectorie. Klopt dit bij de constructie niet, dan moet een andere schatting van V i worden gemaakt en de constructie worden herhaald tot een bevredigende vorm is gevonden. Uitgaande van punt D kan op dezelfde wijze punt E worden bepaald enz. Zo voortgaande worden dus gelijk opwerkend de u—v trajectorie en de u—»• kromme bepaald. Deze constructie kan worden toegepast bij een tijdsafhankelijk ingangssignaal.
Voor een systeem met coulombse wrijving en een sinus-vormig ingangssignaal geldt bijv.:
iiix + cx + r ^ - r fV= f i t ) = sin col. \x\
Met de gebruikelijke substituties volgt hieruit: w -T- u +
dus
- ƒ = sm C U /
sm oji
Voor kleine variaties geldt bij benadering:
en /\l = V ! - A " — , — i f ^ sin a>/\ I \v\-' CUo (2.65) (2.66) (2.67) (2.6K) waarbij V g e p , . de gemiddelde waarde van v in het interval /\u is. U i t vgl. (2.67) en (2.68) volgt: A " , . ƒ -1 . w - sin
—
A " V I - A » — . — ; ƒ + - - s i n - (2.69) O 12 DE I N G E N I E U R ( ) R G . 74 , NR. 14 / 6-4.19«iI n flg. 25 is de gang van de constructie aangegeven, uit-gaande van de beginvoorwaarden u - —1 en v 0 voor / 0. Voor u = U(, + A " wordt een waarde v»! = 2 v^,^ aangenomen en in het interval A " een plausibel verloop van de trajectorie geschetót. Voor het punt B geldt H" = —A « —] ~ v ] " ^ ' gemaakte tabel o f
hulp-grafiek y ^ sin is bepaald kan w + y (punt C) worden bepaald. U i t C volgt het punt D op de «-as en de controle-constructie, dat DA loodrecht op de raaklijn in A aan de trajectorie moet staan. K l o p t dit niet, dan moet een andere waarde van Vi worden genomen totdat een bevredigend resultaat is bereikt.
Op deze wijze voortgaande kan de gehele trajectorie worden bepaald.
Uit de trajectorie kan door integratie met behulp van de vergelijking
^ _ 1 « ^
de kromme van het uitgangssignaal ii = fQ) worden be-paald. Deze methode is bewerkelijk, maar geeft bij vol-doende kleine intervallen A " vrijwel exacte oplossingen. Er bestaan snellere, zij het minder nauwkeurige methoden, die in het volgende hoofdstuk zullen worden behandeld.
(Wordt vervolgd.)
K o r t e t e c h n i s c h e b e r i c h t e n
621.039.572 OntwikkeiingeD op het gebied van kernreactoren voor speurwerkdoeleinden
Frankrijk: Als eerste snelle reactor in Frankrijk is de nul-energiereactor 'Rachel' op 8 maart 1961 in een (niet ver-meld) militair onderzoekcentrum van de C.E.A. kritisch geworden. Als brandstof wordt metallisch plutonium
ge-bruikt. Naast militair onderzoek zal de reactor ook dienen voor het verschaffen van nadere gegevens voor de ge-plande snelle kweekreactor 'Rhapsodie'.')
Nationalistisch China: De door de General Electric Co. (V.S.) geleverde 1 M W zwembadreactor van de Tsing Hua Universiteit in Hsinchu bij Taipeh op Formosa is in maart 1961 kritisch geworden, i)
Noorwefien: Nora de zwaarwater nulenergiereactor te Kjeller is 9 juni kritisch geworden. De bouwduur en -kosten bedroegen resp. 2 jaar en 6 miljoen Noorse kronen, waarvan een derde deel werd betaald door de Verenigde Staten. De reactor zal door een internatio-naal team worden bedreven. 2 )
Portugal: De door de A . M . F . (Atomics Division) gele-verde I M W reactor werd in het 'Laboratorio de Fisica e Engheneria Nucleares' van de Portugese Atoomenergie Commissie 'lunta de Energia Nuclear' in Sacavem bij Lissabon op 27 april 1961 kritisch.
Met deze reactor is dit centrum voltooid. Het omvat naast de fysica-afdeling met een lineaire en een van de Graaf versneller een afdeling voor de stralingschemie en een afdeling voor onderzoek van Uranium verwerking. ' )
Sovjet Unie; Een gepulseerde snelle neutronenreactor is i n werking gesteld op het atoomcentrum te Ehrbna bij Moskou. De pulsduur van de neutronenlevering bedraagt enkele tientallen microsec. De reactor staat ter beschik-king van het laboratorium voor neutronenfysica.
In Oak Ridge (V.S.) is een soortgelijke reactor in aan-bouw (de 'Fast Burst Reactor'). De eerste (kleine) snelle
gepulseerde reactor waarmede men in de V.S. heeft ge-ëxperimenteerd heet Godivia, zo genoemd vanwege het ontbreken van een kernafscherming. •')
Verenigde Staten: Spoedig zal worden begonnen met terreinwerkzaamheden verband houdende met de bouw van de H i g h Flux Isotope Reactor ( H F I R ) te Oak Ridge. Deze reactor gereed in 1964 zal voornamelijk worden gebruikt voor de produktie van transuranium elementen voor research doeleinden. Het werkvermogen zal 100 M W bedragen. De splijtstof van de kern zal worden ge-plaatst rondom een holle ruimte in het midden van de kern zodat neutronen i n deze ruimte de benodigde hoge flux zullen geven nodig voor de produktie van synthe-tische elementen. Men verwacht dat de reactor in staat zal zijn een flux van 3 X 10'= n / c m - sec te geven aan een doelwit van 300 gr. Pu"-^^-. D i t wordt nu speciaal voor deze bestraling geprepareerd. De voornaamste bestralings-produkten zullen zijn Cm, Bk en Cf. •<)
H . V. A . 1 ) Atoomwirtscliaft, mei 1961.
-) Nuclear Engineering, juli 1961.
3; Nuclear Engineering, juli 1961; zie ook De Ingenieur I960, Nr. 45, blz. O. 55.
^) Nuclear Engineering, juni 1961.
620.179.152:539.26 Bepaling van de atomaire opbouw van krisfallcn m.b.v. röntgenstralingdiffractie
Geleerden van Westinghouse hebben een nieuw elektro-nisch .systeem ontworpen waardoor het mogelijk is ge-worden - met het blote oog - röntgendiffractiepatronen (Laue patronen) te zien die tot nu toe slechts via foto-grafische weg konden worden verkregen. De verkregen informatie wordt gebruikt bij de berekening van de plaats-bepaling van atomen in metalen halfgeleiders en andere kristallijne stoffen. Door gebruikmaking van deze techniek kan men de atomen van plaats 'zien' veranderen indien de kristalstructuur bijv. verandert met de temperatuur en andere uitwendige oorzaken.
Voor een gedetailleerde bestudering en meting kunnen fotografische opnamen van dit bewegingsproces worden
Technisch wetenschappelijk
onderzoek
Symposium: Niet-lineaire trillingen en niet-lineaire problemen
uit de regeltechniek ^)
L S p e l i n g e n w r i j v i n g (vemigen siot) ^) door prof. ir. R. G . Boiten
3. Niet-lineaire systemen, onderworpen aan sinusvormige ingangssignalen
3.1. Harmonische balans
Een van de oudste methoden, waarvan Poincaré het prin-cipe heeft aangegeven en die in Rusland en de U.S.A. verder is uitgewerkt, is de methode van de harmonische balans of beschrijvende functiemethode.
Bij een niet-lineair systeem is het uitgangssignaal x een functie van het ingangssignaal f f , dus .v / ( / l ) .
Voor een sinusvormig ingangssignaal, f ' - A sin wt kan het uitgangssignaal x ~ f {A sin ol) in een Fourier-reeks worden ontwikkeld:
I
X ^f(_As\nwt) = c \- S{a^5\nkojt 4 b^.coskwl) (3.1) k II
Het uitgangssignaal kan worden opgevat als de som van een keersymmetrisch signaal x* en een symmetrisch signaal x** X = X* 1 x*" ƒ * (A sin cot) + ƒ * * (,A sin co/), waarbij ƒ* (,A sin col) = —f* (—A sin cot)
ƒ • * (A sin (01) ƒ • • {—A sin co/) J
N u geldt: x* i7a^ sin kcoi
fc „
1
X** = c + üb,^ cos kcot k „
Indien het niet-lineair element een onderdeel is van een systeem, dat verder lineaire elementen bevat met de eigen-schap, dat de versterking afneemt bij hogere frequenties,
') Gehouden voor de Sectie voor Mechanica van de Afdeling voor Technisch Wetenschappelijk Onderzoek van het K.I.v.l. tezamen met de Sectie voor Toegepaste Wiskunde van het Wis-kundig Genootschap op 30 december 1960 te Delft. -) Voor het eerste deel zie De Ingenieur 1962 nr 14, blz. O 1.
zullen in de tegenkoppelbaan de hogere harmonische compo-nenten van het uitgangssignaal x niet o f sterk verzwakt voorkomen.
In dit geval kan x worden benaderd door de grondfre-quentie. I n het veel voorkomende geval dat c O, wordt volgens Krylov nu gesteld:
X pfi \ p'f fiAsitxcot) (3.2) Bij een ingangssignaal f -= / l sin co/ volgt hieruit:
X pA sin co/ + p'coA cos co/ ^ « j sin co/ + b^ cos co/ (3.3) De coëfBciènten a, en b^ kunnen op de bekende wijze worden' bepaald.
D i t levert:
A JiA P = Act)
1 2J7
\ f ( A sin col) sin cotdcat O
1 In
— — f f{A sin ml) cos cotdcot = nAo) Q (3.4) jiA^co I 7 t / l ^ C O 1 27r
l fi.A sin co/) dA sin co/
-O
2ir
nA^co (3.5)
waarbij F het oppervlak voorstelt van de hysteresis figuur bij een sinusvormig ingangssignaal.
Gemakkelijk valt in te zien, dat het uitgangssignaal als benaderd door vgl. (3.2) dezelfde waarde van F geeft als het werkelijke uitgangssignaal.
Vandaar de benaming 'harmonische balans*. Voor de vgl. (3.3) kan ook geschreven worden:
- Y =
Vöp^+V sm {(üt -f-
b g t g^ j-^A Vp^ Vp'W sin ^co/ + b g t g
^ l
(3.6)
Wordt nu de overbrengingsverhouding H gedefinieerd als de verhouding tussen het uit- en ingangssignaal voor sinus-vormige trillingen, dan geldt:
Vp^ +p'W s\n {wt + bgtg ^ 1
-f i smco/
(3.7)
Vp^+p'W.^P-^-hetgeen w i l zeggen, dat de amplitudeverhouding
CU-= Vp^ + p'^m'^ en de faseverschuiving tussen in- en
uitgangssignaal <p - bgtg p w
In complexe schrijfwijze volgt nu de complexe overbren-gingsverhouding:
H(jw) - p + p'Jw (3.8)
I n tegenstelling tot lineaire systemen zijn nu N{o)) en
H{jw) niet alleen functies van w maar ook van A, de
am-plitude van het ingangssignaal.
Een praktische moeilijkheid bij deze methode vormt het feit, dat het uitgangssignaal x bekend moet zijn, hetzij analytisch o f grafisch.
Is dit niet het geval, dan is het werken volgens deze methode veelal niet handig, omdat wanneer de exacte op-lossing bekend is, het meestal weinig zin heeft daaruit een benaderde af te leiden.
3.2. Harmonische balans bij systemen met coulombse wrijving Voor het geval van coulombse wrijving bestaat een exacte oplossing voor de gedwongen trillingen over een beperkt frequentiegebied.
Voor coulombse wrijving, evenredig met de uitslag of de versnelling, zijn geen exacte oplossingen bekend.
Voor een lineair systeem geldt:
•inx -+ kx CX -= A sin wt (3.9) Het uitgangssignaal .v is sinusvormig,
= xsmiwt — cp).
De door het ingangssignaal op het systeem verrichte ar-beid is:
E = IfiClfu = l A&m wt dx sin (w/ — cp) =
O O
^nxAs'incp (3.10)
Deze arbeid wordt vernietigd in de demper. Dc dempings-kracht is kx = kxw cos (wi — cp)
In
Ej= i kxco cos (cui—cp) dx sin (col—cp)
O
27r
^ kx^w ƒ cos^ (wt — ip)d(wt — cp) nkx^w (3.11)
O
I n de stationaire toestand moet E - zijn, dus sin 9? kw ^
A
U i t vergelijking met vgl. (3.5) blijkt, dat E gelijk is aan het oppervlak F van de hysteresislus.
Van het systeem met coulombse wrijving
iiix + CX + -j-r; W ^ A sin wl
kan, indien het uitgangssignaal wordt benaderd door de grond-harmonische de door de wrijving opgenomen arbeid worden bepaald:
l-n X 2TT X
£ ' d = J p . - Wdxs'mcat Wx ƒ —j - coswidwt AWx
o\x\ O
I I
(3.12) Voor wat betreft de opgenomen energie kan de coulombse wrijving dus worden vervangen door een viskeuse wrijving, indien in verband met vgl. (3.11) en (3.12) wordt voldaan aan
xkx^w - 4Wx
waaruit volgt k
JTXCO
(3.13) Voor vergelijking (3.9) kan met de gebruikelijke notaties ook worden geschreven:
'v - IfiwgX {- WQ^X - sin wl
Voor de complexe overbrengingsverhouding geldt:
X 1
H{jw) = ^ { c ü 7 ^ 2^a)„7ö) + (JO))"}
waaruit volgt voor de amplitude-verhouding 1 mV{wg-~co^)- {- Afi^Wg-w-en voor de faseverschuiving <P 2§WWQ (3.14) (3.15) (3.16) In verband met vgl. (5.13) kan voor () worden geschreven:
^ = ^ = , - . ^ - ^ ' " " - ^ (3.17)
2iiiWg 2iiiWa. 7TXO) nxiiiCMOg
Deze waarde, gesubstitueerd in de vergelijkingen (3.15) en (3.16) levert na enig omwerken:
V l //( (Wg- W^) lil (Wg^
—
co") •2 9» = —bgtg waarin y nA AW nA - b g t g V l —v^ (3.18) (3.19)U i t bovenstaande betrekkingen blijkt, dat a een functie is van co en A en dat cp alleen afhangt van A, de wrijving W constant verondersteld. Iets dergelijks is bij een lineair systeem uiteraard onmogelijk.
Verder is de eigenfrequentie Wg onafhankelijk van dus van de waarden van A en W.
Voor w lOg wordt a oneindig zolang y ^ 1 is of wel
W .:AA.
Uit de overbrengingsverhouding
H iw) (3.20)
v r
kunnen desgewenst met behulp van vgl. (3.7) de complexe overbrengingsverhouding H{,jw) en met behulp van vgl. (3.3) de notatie volgens Krylov worden bepaald.
D i t levert:
( l - y 2 )
H(jco) V l — y «
3.3, Coulombse wrijving evenredig met de uitslag
Het systeem met coulombse wrijving evenredig met de uitslag
XX
mx -\- cx - f — — Wx = A sin a>t
I XX \
kan evenzo worden gelineariseerd door het uitgangssignaal te benaderen door de grondharmonische.
2TT XX
= ƒ i — W x d x s m c o t 2Wx- (3.22) O I I
In verband met vgl. (3.11) geldt dus bij gelijkstelling van het door de demper opgenomen vermogen:
nkx'^M -- 2Wx^
waaruit volgt dat
, 21V k = — en dat TIU) k W 2mUg mimcüQ wordt gesteld. ' ^ / a . s ^ = / O) 71 C
Voor oj - Wg is ft , dezelfde waarde als in vgl. (2.42) voor de vrije trilling werd gevonden.
De waarde van ft, gesubstitueerd in de vgl. (3.15) en (3.16) levert na enig omwerken:
71
In complexe vorm geschreven: / f ( / ö j ) , = _ J Ï ( W O 2 —0)=)
^ ' A m {Ti'^icüa^ — £0^)2 + 4cü„V"}
2M/fj(a^
mu) {:7;2(Wo' — + 4<<joV"}
(3.23)
(3.24)
(3.25)
Het vervangingssysteem is nu lineair en niet afhankelijk van A. Evenals bij zuivere coulombse wrijving is de waarde van ft omgekeerd evenredig met co, maar in tegenstelling hiermee blijft a eindig voor co Wg en heeft de waarde
71 71
2cf ' iw' ''^••^'•'ve onafhankelijk van de massa m en de
veerconstante c. Deze waarde volgt ook onmiddellijk door gelijkstelling van de betrekkingen (3.10) en (3.22), waarbij s i n ^ 1 voor co ^ co^.
Het geval van coulombse wrijving evenredig met de ver-snelling kan op dezelfde wijze worden behandeld.
3.4. Harmonische balans bij een positie-servo met speling Problemen met speling kunnen zeer goed worden opgelost. Voor het geval volgens fig. 16 geldt voor het element met speling:
(3.26) Het verband tussen een sinusvormig ingangssignaal
f i = A sin co/ en het uitgangssignaal is in fig. 17 aangegeven.
Hieruit volgt:
= —. ! } (-4 — /i) cos u>tdü)t f
71A
(3.27)
met f ( y )
+ \ {A cos co/ I- //) cos miduit [
1] is de waarde van co/, waarbij de overgang van zone 3 naar 2,
respectievelijk 4 naar 1, plaatsvindt. Hieruit volgt:
A (1 — cos?/) = 2h
Indien ^'^ v wordt gesteld, geldt:
A
cos 1] 1 — 2v (3.28) Uit vgl, (3.27) en (3.28) volgt na enig omwerken:
p = 1 — ƒ ( ! ' ) (3.29)
bg cos ( I — 2v) — 2 ( 1 — 2v) Vv — v^
TC
Het oppervlak van de hysteresisfiguur is (fig. 26):
F = —4h {A — /;) - —AA'^v (1 — i')
In verband met vgl. (3.5) volgt hieruit:
,^ —AA^v{.\ — v)
Na deze linearisering kan voor vgl. (3.26) worden ge-schreven :
4
¥ - Pf +P'<P ={i—f(v)}<p — -~vO—v)(p (3.31)
De vergelijking van het totale systeem van flg. 16 wordt nu:
mqj (k - p'c) (p -T pc(p =- A sin co/ (3.32)
Voor de complexe overbrengingsverhouding geldt:
= — v{\ — v)
Tim
H(jm)
A m ijm)^ -F {k + p'c)yco pc (3.33)
Fig. 26.
Het systeem wordt instabiel, heeft dus een grenscyclus, als voor de coëfliciËnten van vgl. (3,32) niet aan de criteria van Routh worden voldaan.
T E C H N I S C H W E T E N S C H A P P E L D K O N D E R Z O E K 2 / 20-4-1962
Bij een tweede orde vergelijlcing levert dit als criterium voor stabiliteit:
4
Wordt nu p' -- —p' = •— v (1 — v) gesteld, dan is dus de
stabiliteits grens:
R = k — p'c O of wel p'
p — O, p' — O met V - l tot de waarde cvs i n het punt p — 1, p' — O met V = 0.
Bij zeer kleine amplituden is het systeem dus stabiel. Wordt bij grotere amplituden het punt C gepasseerd, dan ontstaat instabiliteit en nemen de amplituden toe tot het punt B wordt bereikt.
Hier ontstaat een stabiele grenscyclus, waarbij de waar-den van M en r op de / l en A krommen in het punt B kun-nen worden afgelezen.
waarbij instabiliteit optreedt als p': De bijbehorende frequentie
I S .
co,. pc pcog^, waarin COQ
de ongedempte eigenfrequentie is voor v 0. (Hierbij is de invloed van de demping op de eigenfre-quentie verwaarloosd!)
Dus moet voor instabiliteit
r (1 — r ) > - zijn of wel < (• Rekening houdende met de maximum waarde van
v { \ - v ) _ v ( l - v ) ^ ^ / n
VP v r ^ y x ; ) — " T "
volgt na enig rekenwerk:
Acün
• < -^. ^ 0 , 5 7 (3.34)
c ' ^/n''
Daar k = Iftcuo m, waarbij ji dc relatieve demping is van het systeem voor v = O, volgt hieruit, in verband met vgl. (3.34) dat instabiliteit alleen optreedt voor /? - 0,285.
Voor het geval coj = 1 zijn in flg. 27 als functie van
k
p en p' de grenskromme 7? voor - = 0,4 en het verband
tussen p en p' als functie van v aangegeven.
De waarde van co,. - t^p is in enkele punten op dc R kromme aangegeven.
Bij de zgn. A kromme zijn enkele waarden van v aange-geven,
Aangezien ~ loopt A van de waarde h i n het punt
0 , 5
0,25
3.5. Iteratiemethoden
Een van de bekendste methoden die kan worden toegepast is iteratie met behulp van partiële linearisatie en Laplace-transformaties.
Stel een willekeurige vergelijking, waarbij niet-lineaire demping optreedt:
mx + cx + f ( x , x) =<p ( O (3.35)
De £-transformatie is voor ( O - A sin col met A-(0) .^(0) O
<r(.s} £ { f ( x , x ) } xis)
ms- r c ms- n- c
Stel nu als eerste benaderde oplossing
Xi (s) = ^ . ,
ms^ - c
dan volgt hieruit de eerste oplossing
xAO 'P^'^
(3.36)
Wordt deze waarde in de uitdrukking £ {/(-Vi-v)} inge-vuld, en de transformatie (s) genoemd, dan kan deze term worden bepaald en wordt de tweede benadering:
(pis) F,(s) Xi is) == ms' + c (3.37) FiR. 27. Terugtransformatie levert X2,(l).
Deze waarde, ingevuld in £ {fix^x)} levert de tweede benadermg F2, {s), waaruit x^ {s) en x^ (l) volgen.
D i t proces convergeert veelal goed, zodat de tweede of derde benadering voldoende nauwkeurig is. I n bepaalde gevallen is het ook praktisch uitvoerbaar met een wille-keurige functie (p (l) een oplossing te verkrijgen, maar het rekenwerk wordt al spoedig zeer groot. Hetzelfde geldt, in-dien de beginvoorwaarden niet nul zijn.
4. Niet-lineaire systemen met een willekeurig ingangssignaal Daar de wetten van superpositie niet gelden, is een har-monische analyse van het ingangssignaal weinig zinvol. D o o r het omzetten van de vergelijking in een differentie-vergelijking kan vaak een oplossing worden verkregen, hetgeen vooral nuttig is indien voor het uitvoeren van dc vele berekeningen een elektrische digitale rekenmachine ter beschikking staat,
Zeer nuttig zijn hier grafische methoden. Een zeer bruik bare methode is ontwikkeld door Baschkirov.
Hierbij wordt de tijdas verdeeld in een groot aantal gelijke delen A ' - B i j overgang naar de diflferentievcrgc lijking kunnen in elk interval de waarden van de coefliciöntcn en van het ingangssignaal constant worden verondersteld
en gelijk aan de waarde op het tijdstip / +
In elk interval is de differentiaalvergeUjking nu als lineair te beschouwen. B i j een eerste orde systeem bestaat de op-lossing dan uit e machten van het type Ce-ih (fig. 28), de responsie op een sprongfunctie. De punten A, B en c' op tijdstippen die A ' uit elkaar liggen worden twee aan twee verbonden door de koorden, de lijn AB snijdt de tijdas in D, de l i j n BC m E. N u geldt: — ^ - A / — / . A f DB' : DA' BB': AA' = Ce ~
P
c — I -: %- + + ^
1! 2 r 3! PI n\ — T -1\ P^+P^
2\ 2\( P ^P^ P"-'
«! Ce T . 1 : e rdus DA' DA'
A f DB' (DA' — AO waaruit volgt:
A '
DA'^ 1 — . - A/ / T constant.De lengte van de projectie van een koorde is dus constant, noem deze lengte T. Als ^ —p wordt gesteld, geldt:
: C H N I S C H W E T E N S C H A P P E L I J K O N D E R Z O E K 2 / 20-4-1962
2 ! ^ 3! • • • «! ' Na terugsubstitutie van P ^ volgt na enige herlei-dingen:
Indien T minstens vijf maal A ' is, blijkt de waarde van 7? enkele promille van T t e bedragen, zodat i n dat geval geldt:
(4.1) I n flg. 29 is aangegeven hoe het punt B vanf„ kan worden geconstrueerd als punt A bekend is. Het ingangssignaal f wordt benaderd door een trapjeskromme.
Vanuit het punt D wordt de lijn i>C = T uitgezet, waarna punt B op de lijn AC kan worden gevonden.
ig<P L At
0)
2
(4.2)
Deze betrekking leent zich goed voor numerieke uitwer-kmg. Stel dat voor / = O gegeven is f„ = f„„.
Dan geldt ^ r+ At o f wel / r -p — llO 2 / ^ + T Hieruit volgt: (»:\0 fi,f„ {(n - I ) At) - h p.J, { ( / , - 1) / ^ . / } (4.3) met / ? i I A ' a A / , en / ? 2 -Al
De recurrcnte betrekking volgens vgl. (4.3) is zeer geschikt voor een digitale te programmeren elektronische reken-machine.
De lineaire differentiaalvergelijking
+ ' ' i / ; / " +
«o/..=y;(o
gaat na deling door Og, de coëfficiënt van ƒ „ over in
^-./;."" + W . " - " + V 2 ƒ , " - = ' . . . 6, ƒ <^) +
waarin
Stel vervolgens
t>n = dus T j - - ^ 1 - en 6 „ _ i / „ ( " - " - j „ . _ i
D i t ingevuld, levert het stelsel vergelijkingen:
riy„-i + A - i = f (O . . . 6 2 / , ' " +
+ W +ƒ„)
- «'(OVoor een derde-orde vergelijking
b.fu"' + b,f,/' + b i f , ; \ f„=q>{t)
is dus
T i = *? en ƒ2 ^ éj/Ii". waaruit volgt: ( 1 + T i D ) ƒ2 = 9) (O - ft,//-/. = cp ( / )
I n verband met vgl. (4,2) volgt hieruit:
1:. "At
Er zijn drie beginvoorwaarden, n l . :
/ . W - C f l . y;,'(/) = ci en/;,"(0 = c.,.
I n eerste benadering geldt n u :
./.'(' +-2') = ƒ„' (O + (O = + ^ ' 02 = d,
- I
- A
Co + y q .1-2 W - ' ' 2 / „ " ( ' ) 62C2 dus A . 2 , ' ' ( T j - fA '
(4.5) Fig. 30. O 20I n fig. 30 is aangegeven, hoe eerst dg en rfj en daarna het punt ƒ 2 (' + A O kunnen worden geconstrueerd.
f' ^ ;'2
^" " b,
fii' '- yi wordt gesteld, volgt hieruit:
\ ° 2 /
D i t levert in verband met vgl. (4.2):
A f ^ T'i (O (/) 1 + At (4.6) met
Deze uitdrukking, gesubstitueerd in vgl. (4.6) levert na enig omwerken:
Af,: At
Evenzo geldt:
Als A ' voldoende klein'is, geldt voor punt A:
V (1 + ^ \ y^^'^ + yz('+ AO
^ 2 } - - 1
Indien nu het tijdstip {t + ï^ ' j als uitgangspunt wordt genomen, kan worden geschreven:
A / / „ 1
A ' ^'2 j 2 ( ' + AO
1^
-/;•'(' + A O
Op deze wijze kunnen de waarden
LA') . „ , , ( , , ^ A - )
worden bepaald en met behulp hiervan op de aangegeven wijze het punt y^it 4- 2A0.
Zo voortgaande, kunnen achtereenvolgens de opeen-volgende punten van ƒ , worden bepaald.
Deze methode laat zich ook toepassen voor differentiaal vergelijkingen met niet constante coëfficiënten; n l . i n elk interval wordt de vergelijking gelineariseerd door hier de constanten de waarde te geven, die overeenkomt met die in het midden van het interval.
Voor een systeem met viskeuse en coulombse wrijving geldt: m x. Y kx + cx + W - ƒ( (O of wel mx , kx , — + + AT C C Met T l /// c c m X W k . c k k ^ c en y = - X Tj.v volgt hieruit: x-cpt^t) (4.7) DE I N G E N I E U R / J R G . 74 / NR 1« / 20-4-1962 c \y\ c
Fig. 31. D i t levert: / A A (4.8) A At (4.9)
In flg. 31 is de gang van de constructie aangegeven. Be-ginnende met de beginwaarden Xg en wordt van - ƒ (/)
op het tijdstip / r waarde a afgetrolcken, waarbij
tv
a = — -f XQ.
c
Hieruit volgt punt ^ / 4 . A^ ' j . Uitgaande van deze waarde en yg kan op de bekende wijze punt v(t + Al)
worden bepaald. ^
Op het tijdstip / + ' V wordt nu bij de waarde
.yo + y ( t + Ai)
de waarde van Xg opgesteld. Vanuit dit punt kan nu volgens vgl. (4.9) het punt xO + AO worden bepaald. De i n -gevoerde benadering is, dat de waarde van a zou moeten zijn
W / Al\
a - ~+ X U + ^ - 1 en evenzo, dat in plaats van Xg bij
de waarde ƒ | / P ^ ' j de waarde .v (^t + ^ ' j zou moeten
worden opgeteld. Het valt gemakkelijk in te zien, dat deze fouten bij voldoende kleine waarden van A ' elkaar com-penseren.
Voor het geval dat
ft = 0,5 en Wg = | / ^ ^ 0,25 rad/sec, volgt hieruit: T , = - = = _ = 4 sec en k IftWg (Ug IftmcDg 1 = 4 sec.
In fig. 32 is de constructie voor de responsie van dit systeem aangegeven met als ingangssignaal een driehoekssignaal met een periodeduur van 20 sec en een amplitude van 5 c cm, een waarde van fV = 1,5 c en de beginvoorwaarden x=x=0 voor t = 0.
Voor A ' is de waarde 1 sec genomen.
De methode werkt snel (de constructie van fig. 32 heeft 35 minuten gevraagd) en kan in vele gevallen naast o f in de plaats van een analoge rekenmachine worden gebruikt. Een groot voordeel ten aanzien van numerieke methoden be-staat in het feit, dat op elk moment de waarden van alle van belang zijnde grootheden bekend zijn, zodat de constructie kan worden afgebroken zodra blijkt, dat de responsie af-wijkt van de gewenste vorm.
T E C H N I S C H W E T E N S C H A P P E L I J K O N D E R Z O E K 2 / 20-4-1962
