Rangi połączone w testach Andersona

Pełen tekst

(1)Zeszyty Naukowe nr. 745. Akademii Ekonomicznej w Krakowie. 2007. Tadeusz Jędryka Katedra Towaroznawstwa Przemysłowego. Rangi połączone w testach Andersona 1. Wprowadzenie R.L. Anderson w 1959 r. zaproponował, aby wyniki ocen konsumenckich dokonanych na skali porządkowej umieścić w tablicach kontyngencyjnych k × k. Celem zbadania zgodności uporządkowań k obiektów przez n oceniających skonstruował statystykę χ 2A z (k − 1)2 stopniami swobody [1]. Następnym krokiem było wprowadzenie miary zgodności n uporządkowań k obiektów, tj. współczynnika konkordancji rA [1, 5] oraz opracowanie metody wielokrotnych porównań zbiorów z powtórzeniami dla stwierdzenia istotności różnic między porównywanymi k obiektami [1, 4]. Wymienione testy Andersona są alternatywnymi narzędziami analizy wyników w stosunku do najczęściej używanej statystyki χ2 Friedmana, współczynnika konkordancji rW Kendalla i Babingtona-Smitha oraz metody porównań wielokrotnych opartej na grupowych sumach rang i zalecanej przez ISO 8587 [3]. Dane uporządkowane najczęściej otrzymujemy podczas ocen konsumenckich, np. w badaniach przeprowadzanych w sklepach, gdy konsumenci proszeni są o porządkowanie pewnej liczby obiektów według ich indywidualnych preferencji. W ocenach konsumenckich występuje większy – niż w ocenach laboratoryjnych – rozrzut, jest to zjawisko naturalne i zrozumiałe. Oprócz tego, i jest to raczej regułą niż zdarzeniem wyjątkowym, dwa lub więcej obiektów zostaje zaliczonych do tej samej kategorii. Wiąże się to z nadaniem tym obiektom rang połączonych, a skutkiem jest pojawienie się sum grupowych o identycznych lub zbliżonych wartościach. 2 2 R.L. Anderson wykazał, że statystyka χ A z (k − 1) stopniami swobody ma w warunkach H 0 rozkład χ2, ale było to rozwiązanie nieuwzględniające rang połączonych. Wiele lat później wykazano, że statystyka χ 2A obliczona z danych zawierających rangi połączone również ma rozkład χ2 [2, 7, 8]. Zatem metody. ZN_745.indb 27. 7/7/08 9:10:05 AM.

(2) Tadeusz Jędryka. 28. opracowane przez R.L. Andersona można stosować zarówno w przypadku uporządkowań silnych, jak i słabych (z rangami połączonymi). Jednak są one rzadko stosowane, niedoceniana jest korzyść wynikająca z umieszczenia wyników oceny w tablicy kontyngencyjnej. Rozkłady rang przypisanych ocenianym obiektom oraz współczynniki repetycji wskazują na rangę najczęściej występującą w danym zbiorze z powtórzeniami, stąd łatwo uszeregować badane obiekty pod względem wyróżnionej właściwości (cechy) [5, 6]. Natomiast interpretacja oparta na grupowych sumach rang Friedmana może prowadzić do innych, czasem nawet błędnych wniosków. W tabeli 1 wyraźnie widać, że wszystkie porządkowane cechy różnią się istotnie: cechą najbardziej cenioną przez konsumentów okazały się właściwości zdrowotne miodów (75 rang 1), drugą pod względem ważności cechą jest dla nich smak (76 rang 2), trzecią – zapach (75 rang 3), czwartą – barwa (89 rang 4). Tabela 1. Wyniki badania preferencji 108 konsumentów (28–39 lat) – rozkład rang cech miodów Cechy Barwa Zapach. 1 2. 0. Smak. 31. Właściwości zdrowotne. 75. Suma abc. 108. 2 3 18. 76 11 108. Rangi 3 14. 75 1 18. 108. 4. Suma rang R. 15. 321 b. 89 0 4. 108. 406 a 186 c 167 c. |Ri – Rj| ≥ 48,9. – sumy grupowe rang oznaczone różnymi literami różnią się istotnie przy α = 0,01. Źródło: [5].. Interpretacja według metody ISO 8587 opartej na grupowych sumach rang Friedmana prowadzi do wniosku, że dla badanych konsumentów smak jest równie ważny jak właściwości zdrowotne. Natomiast z rozkładu rang wynika, że dla ok. 70% badanych najważniejszą cechą są właściwości zdrowotne miodów, a ok. 30% badanych uważa, że tą cechą jest smak miodów. Sumy grupowe nie dają więc pełnej informacji o preferencji badanych cech, co więcej, prowadzą do błędnego wniosku o równorzędnym traktowaniu właściwości zdrowotnych i smaku miodów. Korzyść wynikająca z zastosowania w interpretacji wyników metody opartej na zbiorach z powtórzeniami Andersona jest tu wyraźnie widoczna. W poprzednich artykułach omawiających metody Andersona i ich zastosowanie w ocenach konsumenckich nie zajmowano się uporządkowaniami słabymi [4, 5]. Stąd pojawiła się konieczność uzupełnienia i przedstawienia sposobu obliczeń związanych z rangami połączonymi.. ZN_745.indb 28. 7/7/08 9:10:05 AM.

(3) Rangi połączone w testach Andersona. 29. 2. Przykład obliczeń związanych z rangami połączonymi W interpretacji wyników oceny na skali porządkowej metodami opartymi na sumach rang, w przypadkach gdy nie można ustalić różnic między sąsiadującymi obiektami przypisuje się im tę samą rangę, będącą średnią arytmetyczną rang, które byłyby nadane tym obiektom w uporządkowaniu silnym. Interpretacja wyników metodą Andersona opiera się na uporządkowaniu obiektów według wielkości współczynników repetycji poszczególnych rang, zaś istotność różnic między obiektami stwierdza się porównując liczności zbiorów Bij z wartością krytyczną r dla przyjętego poziomu istotności, liczby obiektów k i liczby oceniających n [4]. Pewną trudność stwarza rozdział rang pomiędzy obiektami, których dany oceniający nie potrafi rozróżnić. Wtedy każdą rangę traktuje się jako jednostkę, którą dzieli się przez liczbę tych obiektów, a wartość ułamka dodaje się do odpowiednich współczynników repetycji. W tabeli 2 podano wyniki badania preferencji soków z czarnych porzeczek sześciu różnych producentów, dokonanych przez ośmiu konsumentów (w rzeczywistości badania przeprowadzono na grupie 128 konsumentów). Tabela 2. Wyniki badania preferencji sześciu soków z czarnych porzeczek Obiekty A. Oceniający. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 1. 1. 3. 1. 1. 1. 1. 1. B. 2. 5. 1. 3,5. 3. 5. 5. 6. 2. 4. 2. 6. 2. 3,5. 6. 2. C. 5. D. 6. E. 3. F. 4. 4. 2 3. 5 4. 6. 2. 6. 3. 5. 4. 5. 3,5. 5. 6. 3. Suma 10,0. 28,5. 24,5 42,0. 3,5. 5. 2. 29,5. 5. 33,5. Źródło: badania własne.. Dane z tabeli 2 można przedstawić jako zbiory z powtórzeniami. Tabela 3 zawiera sześć takich zbiorów: A1, …, A6 . Niektóre współczynniki repetycji trzech z nich A2, A5 i A6 to ułamki, które są sumą współczynników repetycji rang łączonych. Sposób wyliczenia poszczególnych współczynników przedstawimy szczegółowo na przykładzie zbioru A2. W tabeli 2, w grupie B i F, w bloku 5 mamy rangi łączone (3 + 4)/2 = 3,5; w grupie C i E, w bloku 7 są rangi łączone (3 + 4)/2 = 3,5; zaś w grupach B, E i F, w bloku 8 są rangi łączone (4 + 5 + 6)/3 = 5. W tabeli 3 współczynnik repetycji a21 jest równy 1, ponieważ w grupie B ranga 1 występuje tylko raz; a22 = 1, ponieważ ranga 2 występuje w grupie B również tylko jeden raz; a23 = 1,5, ponieważ w bloku 5 rozdzielono rangę 3 po połowie między grupy B i F, tak więc obiektowi B przy-. ZN_745.indb 29. 7/7/08 9:10:06 AM.

(4) Tadeusz Jędryka. 30. pisano 1/2 rangi 3 i jedną „całą” rangę 3 z bloku 6; a24 = 1,83, ponieważ w bloku 5 rozdzielono rangę 4 po połowie między grupy B i F, w bloku 8 rozdzielono rangę 4 między grupy B, E i F, a w bloku 4 nadano jedną „całą” rangę 4, tak więc obiektowi B przypisano 1 raz rangę 4 +1/3 rangi 4 + 1/2 rangi 4; a25 = 2,33, ponieważ w bloku 8 rozdzielono rangę 5 między grupy B, E i F, a więc obiektowi B przypisano 1/3 rangi 5 i 2 razy rangę 5; a26 = 0,33, ponieważ w bloku 8 rozdzielono rangę 6 między grupy B, E i F, a więc obiektowi B przypisano 1/3 rangi 6 (tabela 3). Następnie wykonano działania Ai ∩ Aj (i = 1, 2, …, 5; j = 2, 3, …, 6) i otrzymano 15 zbiorów z powtórzeniami Bij odpowiednio o licznościach |Bij| (tabela 4). Porównując liczności |Bij| z wartościami krytycznymi dla k = 6 i n = 8, które są równe 4 i 5 odpowiednio dla α = 0,001 i α = 0,1 [4], stwierdzamy przy α = 0,001 brak istotnych różnic między obiektami B i E, B i F, E i F oraz między D i F. Tabela 3. Dane z tabeli 2 przedstawione jako zbiory z powtórzeniami Ai Obiekty. Zbiory Ai. A. A1. 1. 2. Rangi 3. 4. 5. współczynniki repetycji. 6. a11 = 7,00 a12 = 0,00 a13 = 1,00 a14 = 0,00 a15 = 0,00 a16 = 0,00. a21 = 1,00 a22 = 1,00 a23 = 1,50 a24 = 1,83 a25 = 2,33 a26 = 0,33. B. A2. E. A4. a41 = 0,00 a42 = 0,00 a43 = 1,00 a44 = 1,00 a45 = 1,00 a46 = 5,00. A6. a61 = 0,00 a62 = 1,00 a63 = 1,50 a64 = 1,83 a65 = 2,33 a66 = 1,33. A3. D. A5. F. G Suma. a31 = 0,00 a32 = 5,00 a33 = 0,50 a34 = 0,50 a35 = 1,00 a36 = 1,00 a51 = 0,00 a52 = 1,00 a53 = 2,50 a54 = 2,83 a55 = 1,33 a56 = 0,33 8. 8. 8. 8. 8. 8. Suma 8. 8. 8. 8. 8. 8. 48. Źródło: opracowanie własne.. Ostatecznie obiekty szeregujemy według największej wartości współczynników repetycji. Obiekt A zajmuje 1 miejsce, ponieważ różni się istotnie od pozostałych (tabela 4) oraz otrzymał 7 rang 1 (tabela 2), stąd w tabeli 3 współczynnik repetycji dla rangi 1, dla zbioru A1 równy jest 7. Obiekt C zajmuje 2 miejsce, ponieważ różni się istotnie od pozostałych (tabela 4) oraz otrzymał 5 rang 2 (tabela 2), stąd w tabeli 3 współczynnik repetycji dla rangi 2, dla zbioru A3 równy jest 5. Obiekt D zajmuje 6 miejsce, ponieważ różni się istotnie od pozostałych oraz otrzymał 5 rang 2 (tabela 2), stąd w tabeli 3 współczynnik repetycji dla rangi 6, dla zbioru A4 równy jest 5. Obiekty B, E i F nie różnią się istotnie (tabela 4), zaś współczynniki repetycji zbiorów A2, A5 i A6 są najwyższe dla rang 3, 4 i 5 (tabela 3), stąd obiekty te zajmują wspólnie miejsca 3, 4 i 5. Daje to następujące uporządkowanie badanych obiektów: Aa, Cb, Bc, Ec, Fc, Dd (obiekty oznaczone różnymi literami różnią się istotnie).. ZN_745.indb 30. 7/7/08 9:10:07 AM.

(5) Rangi połączone w testach Andersona. 31. Interpretacja metodą ISO 8587 przy różnicy krytycznej równej 14,7, obliczonej dla k = 6, n = 8 i α = 0,05, prowadzi do wniosku, że obiekt A różni się istotnie od wszystkich pozostałych oraz że różnią się istotnie obiekty C i D (tabele 2 i 4). Stąd następujące uporządkowanie: Aa, Cb, Bbc, Ebc, Fbc, Dc (obiekty oznaczone różnymi literami różnią się istotnie). Tabela 4. Zbiory z powtórzeniami Bij , liczności |Bij| oraz różnice sum grupowych Porównanie obiektów AB AC AD AE AF BC BD BE BF. CD CE CF DE DF EF. Zbiory. B12. 3. 1,00. 0,00. 0,00. 0,00. 1. B13. 0,00. B15. 0,00. B14. B16. B23. B24 B25. B26 B34 B35. B36 B45. B46 B56. Rangi. 2. Bij. 0,00 0,00. 5. 1,00. 0,00. 0,00. 1,00. 0,00. 0,00. współczynniki repetycji. 0,00. 0,50. 0,00. 1,00. 0,00 1,00. 0,00. 0,00. 0,00. 1,00. 0,00. 4. 1,00. 1,00. 0,50 1,00 1,50 1,50. 0,00 0,00 0,00 0,50 1,00 1,83. 0,00. 1,00. 0,50. 0,50. 0,00 0,00. 0,00 0,00 1,00. 1,00 1,00 1,50. 1,00. 1,00 1,00 1,83. Różnice sum. 0,00. 2,00. 18,5. 0,00. 1,00. 32,0. 1,00. 23,5. 0,00 0,00 0,00 0,33 0,33. 0,50 1,00. 14,5 19,5. 3,33. 4,0. 3,33. 13,5. 0,33. 6,00. 1,00. 1,00. 3,00. 17,5. 1,00. 1,00. 3,00. 9,0. 1,33. 1,00. 0,50. 0,00. 1,00. 0,50. 0,50. 0,50. 0,00. 2,33. 0,00 1,00. 0,00. 1,83. 0,00 0,00. 0,00. Liczności |Bij|. 6. 1,00 1,00 1,33. 0,33. 0,33 0,33 1,33. 0,33. 7,00. 2,33 3,33 4,33. 6,00. 1,0. 5,0 5,0. 12,5 8,5 4,0. Źródło: opracowanie własne.. Interpretacja oparta na zbiorach z powtórzeniami Andersona dała lepszą separację badanych obiektów w porównaniu z interpretacją opartą na grupowych sumach rang Friedmana. Jest to jednak związane ze żmudnymi, uciążliwymi rachunkami. Dlatego nie można było pokazać rachunków dla wszystkich 128 badanych konsumentów, a jedynie dla ośmiu z nich. 3. Wnioski Przyczyną braku zainteresowania metodami Andersona i niewielkiego ich wykorzystania w analizie wyników dokonanych na skali porządkowej jest – z jed-. ZN_745.indb 31. 7/7/08 9:10:08 AM.

(6) 32. Tadeusz Jędryka. nej strony – słaba ich znajomość, z drugiej zaś – powszechnie używane i dobrze znane metody konkurencyjne: statystyka χ2 Friedmana, współczynnik konkordancji rW Kendalla i Babingtona-Smitha oraz metoda porównań wielokrotnych oparta na grupowych sumach rang i zalecana przez ISO 8587. Z przeprowadzonych obliczeń wynika, że przyczyna może być także inna. W ocenach konsumenckich prowadzonych na skali porządkowej często dochodzi do połączenia rang. Analiza kilkudziesięciu czy kilkuset uporządkowań z rangami połączonymi jest uciążliwa i wręcz niemożliwa do przeprowadzenia bez specjalistycznych programów komputerowych. Podstawową trudnością jest żmudne przekształcenie danych surowych z tablic k × n w tablice kontyngencyjne k × k. Wyraźnie widać to na rachunkach zamieszczonego w artykule przykładu. Najczęściej stosowane w analizie wyników pakiety statystyczne, jak SAS, MINITAB, StatXact czy Statistica nie zawierają modułów wykorzystujących metody Andersona, proponując powszechnie znane metody oparte na grupowych sumach rang Friedmana. Dlatego też, mimo korzyści wynikających z umieszczenia danych ocen konsumenckich w tablicach kontyngencyjnych, metody Andersona nie są stosowane. Szersze wykorzystanie będzie się wiązało z ich wprowadzeniem do popularnych pakietów statystycznych. Literatura [1] Anderson R.L., Use of Contingency Tables in the Analysis of Consumer Preference Studies, „Biometrics” 1959, vol. 15, nr 10. [2] Brockhoff P.B., Best D.J., Rayner J.C.W., Anderson’s Test with Tied Ranks, „Journal of Statistical Planning and Inference” 2004, nr 121. [3] ISO 8587:1988. Sensory Analysis of Foods. Methodology. Ranking. [4] Jędryka T., Porównania wielokrotne Andersona w analizie ocen sensorycznych dokonanych na skali porządkowej, Zeszyty Naukowe AE w Krakowie, Kraków 2005, nr 685. [5] Jędryka T., Współczynnik konkordancji rA Andersona w analizie wyników ocen konsumenckich, Zeszyty Naukowe AE w Krakowie, Kraków 2004, nr 658. [6] Jędryka T., Wyznaczenie współczynników ważkości sensorycznych cech mydeł na podstawie badań opinii konsumentów, Zeszyty Naukowe AE w Krakowie, Kraków 2003, nr 630. [7] Rayner J.C.W., Best D.J., A Contingency Table Approach to Nonparametric Testing, Chapman and Hall/CRC, Boca Raton 2001. [8] Taplin R.H., The Statistical Analysis of Preference Data, „Applied Statistics” 1997, vol. 46, nr 4. Group Ranks in Anderson’s Test The calculations applied to the analysis of consumer assessment results, using Anderson’s method, have shown that with numerous data this is a laborious and difficult. ZN_745.indb 32. 7/7/08 9:10:08 AM.

(7) Rangi połączone w testach Andersona. 33. task. The primary difficulty is the arduous conversion of raw data from k x n tables into k x k contingency tables. The statistical packets most often used in the analysis of results, such as SAS, MINITAB, StatXact or Statistica, do not contain modules utilizing Anderson’s methods, while offering commonly known methods based on group Friedman rank sums. That is why, in spite of the benefits resulting from placing the consumer assessment data in contingency tables, Anderson’s methods are not used. They will be used more extensively when they are introduced into popular statistical packets.. ZN_745.indb 33. 7/7/08 9:10:08 AM.

(8) ZN_745.indb 34. 7/7/08 9:10:08 AM.

(9)