Kwantowe splątanie dwóch atomów c.d.(pdf)

(1)

(2)

Walne Zebranie

Oddziału Poznańskiego

Polskiego Towarzystwa Fizycznego

Poznań, 7 grudnia 2006

Kwantowe splątanie dwóch

atomów

Ryszard Tanaś

Uniwersytet im. Adama Mickiewicza Zakład Optyki Nieliniowej

(3)

Plan wykładu

1 Dwa atomy w próżni 6

1.1 Emisja spontaniczna . . . 6

1.2 Równanie „master” . . . 21

1.3 Stany kolektywne . . . 23

2 Ewolucja układu dwóch atomów 32 2.1 Baza obliczeniowa . . . 32

2.2 Baza stanów kolektywnych . . . 34

2.3 Równania ruchu . . . 36

2.4 Rozwiązania analityczne . . . 37

3 Jak mierzyć splątanie 38 3.1 Ujemność (ang. negativity) . . . 38

(4)

3.2 Zgodność (ang. concurrence) . . . 40

4 Ewolucja splątania dwóch atomów 42 4.1 Dwa atomy w stanie symetrycznym . . . 42

4.2 Dwa atomy w stanie antysymetrycznym . . . 44

4.3 Jeden atom wzbudzony . . . 45

4.4 Dwa atomy wzbudzone . . . 50

4.5 „Nagła śmierć” splątania . . . 55

4.6 Zaniki i odrodzenia . . . 82

(5)

Współpraca i wsparcie finansowe

Współpraca:

Dr Zbigniew Ficek

The University of Queensland, Brisbane, Australia

Wsparcie finansowe:

Ministerstwo Nauki i Szkolnictwa Wyższego

Grant 1 P03B 064 28

The University of Queensland, Australia

(6)

1 Dwa atomy w próżni 1.1 Emisja spontaniczna

|e1i

|g1i

ω0

Atom dwupoziomowy jest modelem od lat używanym w optyce kwantowej.

(7)

1 Dwa atomy w próżni 1.1 Emisja spontaniczna

|e1i

|g1i

ω0

Atom dwupoziomowy jest modelem od lat używanym w optyce kwantowej.

Obecnie, w informatyce kwantowej, każdy układ dwustanowy to kubit (ang. qubit)!

(8)

|e₁i

|g₁i

(9)

|e₁i

|g₁i

Jeśli jednak oświetlimy go światłem o częstości bliskiej częstości przejścia atomowego, to atom, absorbując foton, przechodzi do . . .

(10)

|e₁i

|g₁i

. . . stanu wzbudzonego.

Z tego stanu atom spontanicznie, a właściwie w wyniku oddziaływania z próżnią fotonową, przechodzi do . . .

(11)

|e₁i

|g₁i

. . . stanu podstawowego emitując foton.

(12)

|e₁i

|g₁i

. . . stanu podstawowego emitując foton.

Takie przejście to emisja spontaniczna.

Szybkość z jaką atom traci energię charakteryzuje dane przejście atomowe; jest to współczynnik Einsteina A, tutaj zwany Γ.

(13)

|e₁i

|g₁i

Wypromieniowany w wyniku emisji spontanicznej foton o energii ¯

(14)

|e₁i

|g₁i

|e₂i

|g₂i

(15)

|e₁i

|g₁i

|e₂i

|g₂i

(16)

|e₁i

|g₁i

|e₂i

|g₂i

(17)

|e₁i

|g₁i

|e₂i

|g₂i

(18)

|e₁i

|g₁i

|e₂i

|g₂i

(19)

|e₁i

|g₁i

|e₂i

|g₂i

Ale foton może być wyemitowany przez atom w dowolnym

kierunku, a więc jest pewna szansa, że dotrze także do atomu pierwszego . . .

(20)

|e₁i

|g₁i

|e₂i

|g₂i

(21)

|e₁i

|g₁i

|e₂i

|g₂i

. . . i wzbudzi atom pierwszy.

W ten sposób powstaje pomiędzy atomami oddziaływanie. Atomy przestają być niezależne i zaczynają zachowywać się kolektywnie. Tak poglądowo, i nie całkiem poprawnie (chodzi raczej o fotony wirtualne), można objaśnić kolektywne zachowanie się atomów.

(22)

|e₁i

|g₁i

|e₂i

|g₂i r₁₂

Oddziaływanie pomiędzy atomami jest tym silniejsze im mniejsza jest odległość pomiędzy nimi. (r₁₂ = const < λ).

(23)

|e₁i

|g₁i

|e₂i

|g₂i r₁₂

Oddziaływanie pomiędzy atomami jest tym silniejsze im mniejsza jest odległość pomiędzy nimi. (r₁₂ = const < λ).

Badamy kolektywną emisję spontaniczną, dla różnych warunków początkowych, np. jeden atom wzbudzony, jak tutaj . . .

(24)

|e₁i

|g₁i

|e₂i

|g₂i r₁₂

(25)

|e₁i

|g₁i

|e₂i

|g₂i r₁₂

. . . lub obydwa atomy wzbudzone, jak tutaj.

(26)

|e₁i

|g₁i

|e₂i

|g₂i r₁₂

. . . lub obydwa atomy wzbudzone, jak tutaj.

Interesuje nas kwantowe splątanie dwóch atomów.

Dwa atomy to przecież dwukubitowy rejestr, a splątanie kwantowe to główne „paliwo” z punktu widzenia informatyki kwantowej!

(27)

1.2 Równanie „master”

Ewolucją dwóch atomów w próżni rządzi równanie:

∂ ˆρ ∂t = − i 2 X i=1 ω_i [S_iz, ˆρ] − i 2 X i6=j Ω_ij h S_i+S_j−, ˆρ i −1 2 2 X i,j=1 Γ_ij ρSˆ _i+S_j− + S_i+S_j−ρ − 2Sˆ _j−ρSˆ _i+

(28)

1.2 Równanie „master”

Ewolucją dwóch atomów w próżni rządzi równanie:

∂ ˆρ ∂t = − i 2 X i=1 ω_i [S_iz, ˆρ] − i 2 X i6=j Ω_ij h S_i+S_j−, ˆρ i −1 2 2 X i,j=1 Γ_ij ρSˆ _i+S_j− + S_i+S_j−ρ − 2Sˆ _j−ρSˆ _i+ Parametry kolektywne: Ω₁₂(r₁₂) = Ω₂₁(r₁₂) oddziaływanie dipol-dipol Γ12(r12) = Γ21(r12) tłumienie kolektywne

(29)

-0.5 0 0.5 1 1.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 Γ 12 / Γ Ω 12 / Γ r₁₂/λ -0.5 0 0.5 1 1.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 Γ 12 / Γ Ω 12 / Γ r₁₂/λ Γ 12 Ω 12 Γ 12 Ω 12

Zależność parametrów kolektywnych Γ12 i Ω12 od odległości r12

(30)

1.3 Stany kolektywne |e1i |g1i ω0 |e2i |g2i ω0

Niezależne atomy — baza obliczeniowa:

(31)

|e1i |g1i ω0 |e2i |g2i ω0 Ω12

Włączenie oddziaływania dipol-dipol do hamiltonianu i jego rediagonalizacja prowadzi do nowych stanów — stanów

(32)

|ei |gi ω0 ω0 |si |ai Ω12 Ω12 |e1i |g1i |e2i |g2i Stany kolektywne: {|gi = |g₁i ⊗ |g₂i, |ei = |e₁i ⊗ |e₂i, |si = √1 2 |e1i ⊗ |g2i + |g1i ⊗ |e2i, |ai = √1 2 |e1i ⊗ |g2i − |g1i ⊗ |e2i}

(33)

|ei |gi |si |ai |e₁i |g₁i |e₂i |g₂i

Jeśli przygotujemy układ w stanie symetrycznym |si = √1

2 |e1i ⊗ |g2i + |g1i ⊗ |e2i

,

(34)

Jeśli przygotujemy układ w stanie symetrycznym |si = √1

2 |e1i ⊗ |g2i + |g1i ⊗ |e2i

,

to mamy dwa atomy w stanie maksymalnie splątanym!

(35)

|ei |gi |si |ai |e₁i |g₁i |e₂i |g₂i Γ + Γ₁₂

Emisja spontaniczna powoduje, że obsadzenie stanu symetrycznego |si maleje w tempie Γ + Γ₁₂ (szybko).

(36)

(37)

W jakim tempie maleje stopień splątania?

(38)

Podobnie, dwa atomy w stanie antysymetrycznym |ai = √1

2 |e1i ⊗ |g2i − |g1i ⊗ |e2i

są maksymalnie splątane!

(39)

Podobnie, dwa atomy w stanie antysymetrycznym |ai = √1

2 |e1i ⊗ |g2i − |g1i ⊗ |e2i

są maksymalnie splątane!

(40)

|ei |gi |si |ai |e₁i |g₁i |e₂i |g₂i Γ − Γ12

Emisja spontaniczna powoduje, że obsadzenie stanu

antysymetrycznego |ai maleje w tempie Γ − Γ₁₂ (wolno — „decoherence free”).

(41)

|ei |gi |si |ai |e₁i |g₁i |e₂i |g₂i Γ − Γ12

Emisja spontaniczna powoduje, że obsadzenie stanu

antysymetrycznego |ai maleje w tempie Γ − Γ₁₂ (wolno — „decoherence free”).

(42)

Jeśli obydwa atomy są wzbudzone, to układ znajduje się w stanie |ei = |e₁i ⊗ |e₂i, który jest stanem iloczynowym i nie ma

(43)

|ei |gi |si |ai |e₁i |g₁i |e₂i |g₂i Γ + Γ₁₂ Γ + Γ₁₂ Γ_{− Γ}₁₂ Γ_{− Γ}₁₂

Emisja spontaniczna powoduje obsadzanie stanów splątanych |si i |ai.

(44)

Emisja spontaniczna powoduje obsadzanie stanów splątanych |si i |ai.

(45)

2 Ewolucja układu dwóch atomów 2.1 Baza obliczeniowa |1i = |g₁i ⊗ |g₂i |2i = |e₁i ⊗ |e₂i |3i = |g₁i ⊗ |e₂i |4i = |e₁i ⊗ |g₂i Jeśli w bazie obliczeniowej macierz gęstości ma . . .

ρ(0) =           ρ11(0) ρ12(0) ρ₂₁(0) ρ₂₂(0) 0 0 0 0 0 0 0 0 ρ₃₃(0) ρ₃₄(0) ρ₄₃(0) ρ₄₄(0)          

(46)

|1i = |g₁i ⊗ |g₂i |2i = |e₁i ⊗ |e₂i

|3i = |g₁i ⊗ |e₂i |4i = |e₁i ⊗ |g₂i . . . to dla dowolnego czasu t ewolucja . . .

ρ(t) =           ρ₁₁(t) ρ₁₂(t) ρ₂₁(t) ρ₂₂(t) 0 0 0 0 0 0 0 0 ρ₃₃(t) ρ₃₄(t) ρ₄₃(t) ρ₄₄(t)          

(47)

2.2 Baza stanów kolektywnych |gi = |g₁i ⊗ |g₂i |ei = |e₁i ⊗ |e₂i |si = √1 2 |e1i ⊗ |g2i + |g1i ⊗ |e2i |ai = √1 2 |e1i ⊗ |g2i − |g1i ⊗ |e2i

W bazie stanów kolektywnych macierz gęstości . . .

ρ(0) =           ρ_gg(0) ρ_ge(0) ρeg(0) ρee(0) 0 0 0 0 0 0 0 0 ρss(0) ρsa(0) ρ_as(0) ρ_aa(0)          

(48)

|gi = |g₁i ⊗ |g₂i |ei = |e₁i ⊗ |e₂i |si = √1 2 |e1i ⊗ |g2i + |g1i ⊗ |e2i |ai = √1 2 |e1i ⊗ |g2i − |g1i ⊗ |e2i

Podobnie jak w bazie obliczeniowej, ewolucja zachowuje . . .

ρ(t) =           ρ_gg(t) ρ_ge(t) ρ_eg(t) ρ_ee(t) 0 0 0 0 0 0 0 0 ρss(t) ρsa(t) ρ_as(t) ρ_aa(t)          

(49)

2.3 Równania ruchu ˙ ρ_ee = − 2Γρ_ee ˙ ρ_eg = − (Γ + 2iω₀) ρ_eg ˙ ρss = − (Γ + Γ12) (ρss − ρee) ˙ ρaa = − (Γ − Γ12) (ρaa − ρee) ˙ ρ_as = − (Γ + i2Ω₁₂) ρ_as

W przypadku dwóch identycznych atomów w próżni ewolucja w

bazie stanów kolektywnych opisywana jest bardzo prostym układem równań, który łatwo rozwiązać.

(50)

2.4 Rozwiązania analityczne ρ_ss(t) = ρ_ss(0) e−(Γ+Γ12)t _{+ ρ} ee(0) Γ + Γ12 Γ − Γ₁₂ e−(Γ+Γ12)t _{− e}−2Γt ρ_aa(t) = ρ_aa(0) e−(Γ−Γ12)t _{+ ρ} ee(0) Γ − Γ₁₂ Γ + Γ12 e−(Γ−Γ12)t _{− e}−2Γt ρ_as(t) = ρ_as(0) e−(Γ+i2Ω12)t ρ_ee(t) = ρ_ee(0) e−2Γt ρ_eg(t) = ρ_eg(0) e−(Γ+2iω0)t ρ_gg(t) = 1 − ρ_ee(t) − ρ_ss(t) − ρ_aa(t)

(51)

2.4 Rozwiązania analityczne ρ_ss(t) = ρ_ss(0) e−(Γ+Γ12)t _{+ ρ} ee(0) Γ + Γ12 Γ − Γ₁₂ e−(Γ+Γ12)t _{− e}−2Γt ρ_aa(t) = ρ_aa(0) e−(Γ−Γ12)t _{+ ρ} ee(0) Γ − Γ₁₂ Γ + Γ12 e−(Γ−Γ12)t _{− e}−2Γt ρ_as(t) = ρ_as(0) e−(Γ+i2Ω12)t ρ_ee(t) = ρ_ee(0) e−2Γt ρ_eg(t) = ρ_eg(0) e−(Γ+2iω0)t ρ_gg(t) = 1 − ρ_ee(t) − ρ_ss(t) − ρ_aa(t) ρ_ij(t → ∞) → 0 (ρ_ij 6= ρgg)

(52)

3 Jak mierzyć splątanie

3.1 Ujemność (ang. negativity)

A. Peres, Phys. Rev. Lett. 77, 1413 (1996)

(53)

M. Horodecki, P. Horodecki, R. Horodecki, Phys. Lett. A 223, 1 (1996)

N = max  0, −2 X i ν_i  

{ν_i} — ujemne wartości częściowo transponowanej macierzy gęstości ρT1

(54)

M. Horodecki, P. Horodecki, R. Horodecki, Phys. Lett. A 223, 1 (1996)

N = max  0, −2 X i ν_i  

{ν_i} — ujemne wartości częściowo transponowanej macierzy gęstości ρT1

0 ≤ N ≤ 1 N = 0 nie ma splątania

(55)

Dla układu dwóch atomów, przy warunkach początkowych

ograniczających ewolucję do dwóch bloków macierzy gęstości, ujemność (ang. negativity) dana jest wyrażeniem:

N (t) = max 0, N₁(t), N2(t) N₁(t) = 2 r ρge(t) 2 + <ρ_sa(t)2 − ρ_ss(t) + ρ_aa(t) N₂(t) = r ρss(t) − ρaa(t) 2 + 2=ρ_sa(t)2 + ρ_gg(t) + ρ_ee(t)2 − ρ_gg(t) + ρee(t)

(56)

3.2 Zgodność (ang. concurrence)

(57)

W.K. Wootters, Phys. Rev. Lett. 80, 2245 (1998)

C = max 0, pλ₁ − pλ₂ − pλ₃ − pλ₄

{λ_i} — wartości własne macierzy R

R = ρ σy ⊗ σy ρ∗ σy ⊗ σy

(58)

W.K. Wootters, Phys. Rev. Lett. 80, 2245 (1998)

C = max 0, pλ₁ − pλ₂ − pλ₃ − pλ₄

{λ_i} — wartości własne macierzy R

R = ρ σy ⊗ σy ρ∗ σy ⊗ σy

0 ≤ C ≤ 1 C = 0 nie ma splątania

(59)

Dla układu dwóch atomów, przy warunkach początkowych

ograniczających ewolucję do dwóch bloków macierzy gęstości, zgodność (ang. concurrence) dana jest wyrażeniem:

C(t) = max 0, C₁(t), C2(t) C₁(t) = 2|ρ_ge(t)| − r ρ_ss(t) + ρ_aa(t)2 − 2<ρ_sa(t)2 C₂(t) = r ρss(t) − ρaa(t) 2 + 2=ρsa(t) 2 − 2pρee(t)ρgg(t)

(60)

4 Ewolucja splątania dwóch atomów

4.1 Dwa atomy w stanie symetrycznym

(61)

|ei |gi |si |ai |e₁i |g₁i |e₂i |g₂i Γ + Γ₁₂ N (t) = q1 − 2ρ_ss(t) 1 − ρ_ss(t) − 1 − ρ_ss(t)

(62)

|ei |gi |si |ai |e₁i |g₁i |e₂i |g₂i Γ + Γ₁₂ N (t) = q1 − 2ρ_ss(t) 1 − ρ_ss(t) − 1 − ρ_ss(t) C(t) = ρ_ss(t) = e−(Γ+Γ12)t

(63)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 C( t) , N (t ) Γt C(t) N (t)

Ewolucja C(t) oraz N (t) dla symetrycznego stanu początkowego

(64)

4.2 Dwa atomy w stanie antysymetrycznym |ei |gi |si |ai |e₁i |g₁i |e₂i |g₂i Γ − Γ12

(65)

4.2 Dwa atomy w stanie antysymetrycznym |ei |gi |si |ai |e₁i |g₁i |e₂i |g₂i Γ − Γ12 N (t) = q1 − 2ρ_aa(t) 1 − ρ_aa(t) − 1 − ρ_aa(t) C(t) = ρ_aa(t) = e−(Γ−Γ12)t

(66)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0 5 10 15 20 25 30 35 40 C( t) , N (t ) Γt C(t) N (t)

Ewolucja C(t) oraz N (t) dla antysymetrycznego stanu początkowego

(67)

4.3 Jeden atom wzbudzony

|e₁i

|g₁i

|e₂i

|g₂i

Stan początkowy: |Ψ(0)i = |e₁i ⊗ |g₂i Stan iloczynowy.

(68)

4.3 Jeden atom wzbudzony

|e₁i

|g₁i

|e₂i

|g₂i

Stan początkowy: |Ψ(0)i = |e₁i ⊗ |g₂i Stan iloczynowy.

(69)

W bazie stanów kolektywnych: |Ψ(0)i = √1

2 |si + |ai

(70)

W bazie stanów kolektywnych: |Ψ(0)i = √1

2 |si + |ai Niezerowe elementy: ρss(0) = ρaa(0) = 1₂ obsadzenia ρ_as(0) = ρ_sa(0) = 1 2 koherencje

(71)

|ei |gi |si |ai |e₁i |g₁i |e₂i |g₂i Γ + Γ₁₂ Γ_{− Γ}₁₂

(72)

|ei |gi |si |ai |e₁i |g₁i |e₂i |g₂i Γ + Γ₁₂ Γ_{− Γ}₁₂

Zgodność ma wtedy postać:

C(t) = 1 2 q e−(Γ+Γ₁₂)t _{− e}−(Γ−Γ₁₂)t2 + 2e−Γt sin(2Ω12t) 2

(73)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 C( t) Γt 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 C( t) Γt C_(t) ρaa(t) + ρss(t) ρaa(t) − ρss(t) C_(t) ρaa(t) + ρss(t) ρaa(t) − ρss(t)

Ewolucja C(t); jeden atom wzbudzony (|Ψ(0)i = |e1i ⊗ |g2i)

(74)

4.4 Dwa atomy wzbudzone

|e₁i

|g₁i

|e₂i

|g₂i

Stan początkowy: |Ψ(0)i = |e₁i ⊗ |e₂i

(75)

(76)

(77)

Zgodność ma wtedy postać: C(t) = max 0, C₂(t) C₂(t) = Γ + Γ12 Γ − Γ₁₂ e−(Γ+Γ12)t _{− e}−2Γt − Γ − Γ12 Γ + Γ₁₂ e−(Γ−Γ12)t − e−2Γt − 2e−Γt√ρgg

(78)

Zgodność ma wtedy postać: C(t) = max 0, C₂(t) C₂(t) = Γ + Γ12 Γ − Γ₁₂ e−(Γ+Γ12)t _{− e}−2Γt − Γ − Γ12 Γ + Γ₁₂ e−(Γ−Γ12)t − e−2Γt − 2e−Γt√ρgg ρgg(t) = 1− Γ + Γ12 Γ − Γ₁₂ e−(Γ+Γ12)t − e−2Γt + Γ − Γ12 Γ + Γ₁₂ e−(Γ−Γ12)t _{− e}−2Γt _{+ e}−2Γt

(79)

Zgodność ma wtedy postać: C(t) = max 0, C₂(t) C₂(t) = Γ + Γ12 Γ − Γ₁₂ e−(Γ+Γ12)t _{− e}−2Γt − Γ − Γ12 Γ + Γ₁₂ e−(Γ−Γ12)t − e−2Γt − 2e−Γt√ρgg ρgg(t) = 1− Γ + Γ12 Γ − Γ₁₂ e−(Γ+Γ12)t − e−2Γt + Γ − Γ12 Γ + Γ₁₂ e−(Γ−Γ12)t _{− e}−2Γt _{+ e}−2Γt

(80)

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0 5 10 15 20 C( t) N (t ) Γt 0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0 5 10 15 20 C( t) N (t ) Γt C(t) N (t) ρaa(t) C(t) N (t) ρaa(t)

Zgodność C(t) ujemność N (t); dwa atomy wzbudzone ρee(0) = 1 przy

(81)

4.5 „Nagła śmierć” splątania

T. Yu, J. H. Eberly, Phys. Rev. Lett. 93, 140404 (2004)

|e1i

|g1i

|e2i

|g2i

W tym modelu dwa atomy umieszczone są w odległych od siebie wnękach. Zostały przygotowane w stanie splątanym i potem nie mają możliwości bezpośredniego oddziaływania. Dla pewnych warunków początkowych splątanie zanika w skończonym czasie. Następuje „nagła śmierć” splątania (C(t > t_d) = 0).

(82)

4.5 „Nagła śmierć” splątania

T. Yu, J. H. Eberly, Phys. Rev. Lett. 93, 140404 (2004)

|e1i

|g1i

|e2i

|g2i

W tym modelu dwa atomy umieszczone są w odległych od siebie wnękach. Zostały przygotowane w stanie splątanym i potem nie mają możliwości bezpośredniego oddziaływania. Dla pewnych warunków początkowych splątanie zanika w skończonym czasie. Następuje „nagła śmierć” splątania (C(t > t_d) = 0).

(83)

|ei |gi |si |ai |e₁i |g₁i |e₂i |g₂i ρ_ss(0) = 2₃ , ρ_gg(0) = 1₃(1 − α), ρ_ee(0) = 1₃α

(84)

|ei |gi |si |ai |e₁i |g₁i |e₂i |g₂i ρ_ss(0) = 2₃ , ρ_gg(0) = 1₃(1 − α), ρ_ee(0) = 1₃α C(0) = 2₃ 1 − pα(1 − α)

(85)

|ei |gi |si |ai |e₁i |g₁i |e₂i |g₂i Γ + Γ₁₂ Γ + Γ₁₂ Γ_{− Γ}₁₂ Γ_{− Γ}₁₂ C₂(t) = |ρss(t) − ρaa(t)| − 2 q ρgg(t) ρee(t)

(86)

|gi = |g₁i ⊗ |g₂i |ei = |e₁i ⊗ |e₂i |si = √1 2 |e1i ⊗ |g2i + |g1i ⊗ |e2i |ai = √1 2 |e1i ⊗ |g2i − |g1i ⊗ |e2i ρ(0) =           1 3(1 − α) 0 0 1 3α 0 0 0 0 0 0 0 0 2 3 0 0 0          

(87)

|gi = |g₁i ⊗ |g₂i |ei = |e₁i ⊗ |e₂i |si = √1 2 |e1i ⊗ |g2i + |g1i ⊗ |e2i |ai = √1 2 |e1i ⊗ |g2i − |g1i ⊗ |e2i ρ(t) =           ρgg(t) 0 0 ρ_ee(t) 0 0 0 0 0 0 0 0 ρ_ss(t) 0 0 ρaa(t)          

(88)

ρ_gg(t) = 1 − [ρ_ee(t) + ρ_ss(t) + ρ_aa(t)] ρee(t) = α 3 e −2Γt ρ_ss(t) = 2 3e −(Γ+Γ₁₂)t + α 3 Γ + Γ₁₂ Γ − Γ12 h e−(Γ+Γ12)t _{− e}−2Γti ρ_aa(t) = α 3 Γ − Γ12 Γ + Γ₁₂ h e−(Γ−Γ12)t _{− e}−2Γt i

(89)

ρ_gg(t) = 1 − [ρ_ee(t) + ρ_ss(t) + ρ_aa(t)] ρee(t) = α 3 e −2Γt ρ_ss(t) = 2 3e −(Γ+Γ₁₂)t + α 3 Γ + Γ₁₂ Γ − Γ12 h e−(Γ+Γ12)t _{− e}−2Γti ρ_aa(t) = α 3 Γ − Γ12 Γ + Γ₁₂ h e−(Γ−Γ12)t _{− e}−2Γt i C₂(t) = |ρ_ss(t) − ρ_aa(t)| − 2pρ_gg(t)ρ_ee(t)

(90)

„Nagła śmierć” splątania 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 C( t) Γt r₁₂/λ = 10

(91)

„Nagła śmierć” splątania 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 C( t) Γt r₁₂/λ = 10 ρss(t)

(92)

Dla α = 1 splątanie zanika w czasie t_d = 1 Γ ln 2 + √2 2 ! ,

który jest skończony pomimo faktu, że poszczególne elementy macierzowe zanikają jedynie asymtotycznie przy t → ∞.

Czas „nagłej śmierci” t_d ma skończoną wartość dla 1

3 < α ≤ 1, zaś

(93)

Dla α = 1 splątanie zanika w czasie t_d = 1 Γ ln 2 + √2 2 ! ,

który jest skończony pomimo faktu, że poszczególne elementy macierzowe zanikają jedynie asymtotycznie przy t → ∞.

Czas „nagłej śmierci” t_d ma skończoną wartość dla 1

3 < α ≤ 1, zaś

dla α < 1₃ zanik jest asymtotyczny.

(94)

„Nagła śmierć” splątania 0 2 4 6 8 10 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 t d α r₁₂/λ=10 Γ 12=0.0004

(95)

„Nagła śmierć” splątania 0 2 4 6 8 10 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 t d α r₁₂/λ=1 Γ 12=0.04

(96)

„Nagła śmierć” splątania 0 2 4 6 8 10 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 t d α r₁₂/λ=1/3 Γ 12=0.31

(97)

(98)

(99)

(100)

(101)

Czy splątanie może się odrodzić? ρgg(t) = 1 − [ρee(t) + ρss(t) + ρaa(t)] ρ_ee(t) = α 3 e −2Γt ρss(t) = 2 3e −(Γ+Γ₁₂)t + α 3 Γ + Γ₁₂ Γ − Γ₁₂ h e−(Γ+Γ12)t − e−2Γt i ρ_aa(t) = α 3 Γ − Γ₁₂ Γ + Γ₁₂ h e−(Γ−Γ12)t _{− e}−2Γti C₂(t) = |ρ_ss(t) − ρ_aa(t)| − 2pρ_gg(t)ρ_ee(t)

(102)

„Nagła śmierć” 0 2 4 6 8 10 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 t d α r₁₂/λ=10 Γ 12=0.0004

(103)

„Nagła śmierć” 0 2 4 6 8 10 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 t d α r₁₂/λ=1 Γ 12=0.04

(104)

„Nagła śmierć” i „odrodzenie” splątania 0 2 4 6 8 10 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 t d t r α r₁₂/λ=1/3 Γ 12=0.31

(105)

(106)

(107)

(108)

(109)

(110)

„Nagła śmierć” i „odrodzenie” splątania 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0 2 4 6 8 10 C( t) Γt r₁₂/λ = 10

(111)

(112)

Po „nagłej śmierci” . . .

(113)

splątanie się odradza . . .

(114)

4.6 Zaniki i odrodzenia

Z. Ficek, R. Tanaś, Phys. Rev. A, 74, 024304 (2006) |ei |gi |si |ai |e₁i |g₁i |e₂i |g₂i |Ψ₀i = √p |ei + p1 − p |gi C(0) = 2pp(1 − p)

(115)

|ei |gi |si |ai |e₁i |g₁i |e₂i |g₂i Γ + Γ₁₂ Γ + Γ₁₂ Γ_{− Γ}₁₂ Γ_{− Γ}₁₂ C₁(t) = 2 |ρ_ge(t)| − ρ_ss(t) + ρ_aa(t) C₂(t) = |ρss(t) − ρaa(t)| − 2 pρgg(t)ρee(t)

(116)

ρ(t) =           ρ_gg(t) ρ_ge(t) ρ_eg(t) ρ_ee(t) 0 0 0 0 0 0 0 0 ρss(t) 0 0 ρ_aa(t)          

(117)

ρ(t) =           ρ_gg(t) ρ_ge(t) ρ_eg(t) ρ_ee(t) 0 0 0 0 0 0 0 0 ρss(t) 0 0 ρ_aa(t)           ρee(t) = p e−2Γt ρ_eg(t) = pp(1 − p) e−Γt ρ_ss(t) = p Γ + Γ12 Γ − Γ₁₂ h e−(Γ+Γ12)t _{− e}−2Γti ρ_aa(t) = p Γ − Γ12 Γ + Γ12 h e−(Γ−Γ12)t _{− e}−2Γti

(118)

Niezależne atomy: Γ₁₂ = 0

ρee(t) = p e−2Γt

ρ_eg(t) = pp(1 − p) e−Γt

(119)

Niezależne atomy: Γ₁₂ = 0 ρee(t) = p e−2Γt ρ_eg(t) = pp(1 − p) e−Γt ρ_ss(t) = ρ_aa(t) = p he−Γt − e−2Γti C₁(t) = 2 pp(1 − p) e−Γt − 2p h e−Γt − e−2Γt i C₂(t) = − 2 pρ_gg(t)ρ_ee(t) < 0

(120)

Niezależne atomy: Γ₁₂ = 0 ρee(t) = p e−2Γt ρ_eg(t) = pp(1 − p) e−Γt ρ_ss(t) = ρ_aa(t) = p he−Γt − e−2Γti C₁(t) = 2 pp(1 − p) e−Γt − 2p h e−Γt − e−2Γt i C₂(t) = − 2 pρ_gg(t)ρ_ee(t) < 0 Czy C₁(t) > 0?

(121)

Niezależne atomy: Γ₁₂ = 0 C₁(t) > 0 dla t < t_d = 1 Γ ln p + pp(1 − p) 2p − 1 !

(122)

Czas zaniku splątania t_d ma skończoną wartość dla p > 0.5

(123)

Czas zaniku splątania t_d ma skończoną wartość dla p > 0.5

tzn. przy inwersji obsadzeń: ρee(0) > 0.5

(124)

Zanik splątania 0 2 4 6 8 10 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 t d p r₁₂/λ=10 Γ 12=0.0004

(125)

Zachowanie kolektywne: Γ₁₂ 6= 0 ρee(t) = p e−2Γt ρ_eg(t) = pp(1 − p) e−Γt ρss(t) = p Γ + Γ₁₂ Γ − Γ₁₂ h e−(Γ+Γ12)t − e−2Γt i ρ_aa(t) = p Γ − Γ12 Γ + Γ₁₂ h e−(Γ−Γ12)t _{− e}−2Γti C₁(t) = 2 |ρ_ge(t)| − ρ_ss(t) + ρ_aa(t)

(126)

Zachowanie kolektywne: Γ₁₂ 6= 0 ρee(t) = p e−2Γt ρ_eg(t) = pp(1 − p) e−Γt ρss(t) = p Γ + Γ₁₂ Γ − Γ₁₂ h e−(Γ+Γ12)t − e−2Γt i ρ_aa(t) = p Γ − Γ12 Γ + Γ₁₂ h e−(Γ−Γ12)t _{− e}−2Γti C₁(t) = 2 |ρ_ge(t)| − ρ_ss(t) + ρ_aa(t) A co z t_d?

(127)

(128)

(129)

Zanik splątania 0 2 4 6 8 10 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 t d p r₁₂/λ=1/2 Γ 12=−0.15

(130)

Zanik splątania 0 2 4 6 8 10 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 t d p r₁₂/λ=1/3 Γ 12=0.31

(131)

(132)

(133)

(134)

(135)

(136)

(137)

(138)

Zachowanie kolektywne: Γ₁₂ 6= 0 ρ_ee(t) = p e−2Γt ρ_eg(t) = pp(1 − p) e−Γt ρ_ss(t) = p Γ + Γ12 Γ − Γ₁₂ h e−(Γ+Γ12)t _{− e}−2Γt i ρaa(t) = p Γ − Γ₁₂ Γ + Γ₁₂ h e−(Γ−Γ12)t − e−2Γt i ρss 6= ρaa C₂(t) = |ρ_ss(t) − ρ_aa(t)| − 2 pρ_gg(t)ρ_ee(t)

(139)

(140)

Czy C₂(t) może być dodatnie dla pewnego t_r > t_d?

(141)

Zaniki splątania 0 2 4 6 8 10 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 t d p r₁₂/λ=10 Γ 12=0.0004

(142)

Zaniki splątania 0 2 4 6 8 10 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 t d p r₁₂/λ=1 Γ 12=0.04

(143)

Zaniki splątania 0 2 4 6 8 10 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 t d p r₁₂/λ=1/2 Γ 12=−0.15

(144)

Zaniki i odrodzenia splątania 0 2 4 6 8 10 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 t d t r p r₁₂/λ=1/3 Γ 12=0.31

(145)

(146)

(147)

(148)

(149)

(150)

(151)

(152)

Przykład: p = 0.5 0 2 4 6 8 10 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 t d t r p r₁₂/λ=1/20 Γ 12=0.98

(153)

Przykład: p = 0.5 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0 2 4 6 8 10 C( t) Γt p = 0.5

(154)

Przykład: p = 0.9 0 2 4 6 8 10 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 t d t r p r₁₂/λ=1/20 Γ 12=0.98

(155)

Przykład: p = 0.9 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0 2 4 6 8 10 C( t) Γt p = 0.9

(156)

(157)

(158)

splątanie się odradza . . .

(159)

5 Krótkie podsumowanie

• Emisja spontaniczna prowadzi do splątania kwantowego

atomów

• Dwa atomy w próżni zachowują się kolektywnie (Γ₁₂, Ω₁₂) • Dwa ze stanów kolektywnych są stanami maksymalnie

splątanymi — czyli stanami Bella

• Stopień splątania mierzony przez zgodność C(t) lub ujemność

N (t) wyraża się prostymi wzorami analitycznymi

• C(t) = ρ_ss(t) (ρaa(t)) dla atomów przygotowanych w stanie

symetrycznym (antysymetrycznym)

• Kolektywne zachowanie atomów prowadzi do odrodzenia

(160)

• Emisja spontaniczna prowadzi do splątania kwantowego atomów

(161)

atomów

• Dwa atomy w próżni zachowują się kolektywnie (Γ₁₂, Ω₁₂)

• Dwa ze stanów kolektywnych są stanami maksymalnie

(162)

atomów

• Dwa atomy w próżni zachowują się kolektywnie (Γ₁₂, Ω₁₂)

• Dwa ze stanów kolektywnych są stanami maksymalnie splątanymi — czyli stanami Bella

(163)

atomów

• Stopień splątania mierzony przez zgodność C(t) lub ujemność N (t) wyraża się prostymi wzorami analitycznymi

(164)

atomów

(165)

atomów

• Kolektywne zachowanie atomów prowadzi do odrodzenia splątania po jego wcześniejszym zaniku

(166)

Nasze prace

• Z. Ficek, R. Tanaś

Correlated superposition states in two-atom systems

in Modern Nonlinear Optics, Part I, ed. M. Evans (Wiley, New York, 2001) vol 119 of Advances in Chemical Physics, pp. 215-266

Entangled states and collective nonclassical effects in two-atom systems

Physics Reports 372, 369 (2002)

Entanglement induced by spontaneous emission in spatially extended two-atom systems

J. Mod. Opt. 50, 2765 (2003)

• R. Tanaś, Z. Ficek

Entanglement of two atoms

(167)

Entangling two atoms via spontaneous emission J. Opt. B 6, S90 (2004)

Stationary two-atom entanglement induced by nonclassical two-photon correlations

J. Opt. B 6, S610 (2004)

Dark periods and revivals of entanglement in a two qubit system

Phys. Rev. A, 74, 024304 (2006) (quant-ph/0604053) • R. Tanaś

Kwantowe splątanie dwóch atomów

Postępy Fizyki, 57, 104 (2006)

Dostępne na: http:

(168)