Algebra en meetkunde

Voorbereidende sessie

toelatingsexamen

Wiskunde 2 - Algebra en meetkunde

Dr. Koen De Naeghel1

KU Leuven Kulak, woensdag 31 maart 2021

1

Inhoud

Leerstofafbakening Algebra

Rekenen met absolute waarde

Rekenregels van machtsverheffing Rekenregels van logaritme

Bewerkingen met veeltermen

Meetkunde

Sinus, cosinus en tangens

Eigenschappen van een driehoek en cirkel

Vergelijking van een rechte, cirkel en parabool Gemeenschappelijke punten

Examenvragen

Actief gedeelte - Maken van oefeningen

Algebra

Meetkunde Antwoorden

Leerstofafbakening

WISKUNDE

1. Algebra

(a) bewerkingen van re¨ele getallen en rekenregels

(b) rekenen met absolute waarde van re¨ele getallen

(c) rekenregels van machtsverheffing en logaritme

(e) re¨ele oplossingen van vierkantsvergelijkingen

(f) veeltermen met re¨ele co¨effici¨enten: bewerkingen, ontbinden in factoren van veeltermen in eenvoudige gevallen, veeltermvgln. 2. Meetkunde

(a) eigenschappen van driehoeken, vierhoeken en cirkels

(b) omtrek en oppervlakte van driehoeken, vierhoeken en cirkels

(c) snijpunten van rechten en cirkels, snijpunten van rechten en parabolen

(d) meten van hoeken in graden en radialen

(e) de goniometrische getallen van hoeken en van verwante hoeken

(f) goniometrische getallen in functie van de lengten van de zijden in een rechthoekige driehoek

Algebra - Rekenen met absolute waarde

I _{Algemeen |x| =}

(

x als x _{≥ 0} −x als x < 0

I Voorbeeld 1 Welke waarden x voldoen aan de ongelijkheid    x − 5₂     < 2 ⇔ −2 < x ₋ 5 2 < 2 ⇔ −2 + 5 2 < x < 2 + 5 2 ⇔ −4 2 + 5 2 < x < 4 2 + 5 2 ⇔ 1 2 < x < 9 2 ⇔ x ∈  1 2, 9 2  Onthoud: _{|4| < a ⇔ −a < 4 < a}

Algebra - Rekenregels van machtsverheffing

I Voorbeeld 2 Gegeven is de functie f (x) = 9−x. Vereenvoudig A = f x − 1 2
− f x + 1₂
f (x + 1) _{− f (x − 1)} = 9 −(x−1₂) − 9−(x+12) 9−(x+1) _{− 9}−(x−1) f () = 9 − = 9 −x+1_{2 − 9}−x−1₂ 9−x−1 _{− 9}−x+1 −( + 4) = − − 4 = 9−x · 9 1 2 − 9−x · 9− 1 2 9−x _{· 9}−1 _{− 9}−x _{· 9}1 a +4 _{= a} _{· a}4 = 9 1 2 − 9− 1 2 9−1 _{− 9}1 a − ₌ 1 a = √ 9 ₋ √1 9 1 9 − 9 a1n = √n a = 3 − 1 3 1 − 9 · 9 9= 27 _{− 3} 1 _{− 81} = − 24 80=− 3 10

Algebra - Rekenregels van logaritme

I Algemeen a log x = _{∗ ⇔} x = a∗ en e log x = ln x Voorbeeld: 2 log 16 =

∗

4 want 16 = 2

∗

4

I _{Voorbeeld 3 Los de volgende vergelijking op naar x:}

3x−1 = 83x ⇔ ln 3x−1
= ln 83x
⇔ (x _{− 1) ln 3 = 3x ln 8} ln a
=  ln a ⇔ x ln 3 _{− ln 3 = 3x ln 8} ⇔ x(ln 3 _{− 3 ln 8) = ln 3} ⇔ x = ln 3 ln 3 _{− 3 ln 8} ⇔ x = ln 3 ln 3 _{− ln (8}3) ln ( · 4) = ln  + ln 4 ⇔ x = ln 3 ln ₅₁₂3
ln   4  = ln  − ln 4

Algebra - Bewerkingen met veeltermen

I Voorbeeld 4 Hoeveel bedraagt de som p + q als x(2x + 3) x2 + 3x + 2 = p(x + 1) x + 2 + q x + 1 ⇒ x(2x + 3) (x + 2)(x + 1) = p(x + 1) x + 2 + q x + 1 ⇒ x(2x + 3) (x + 2)(x + 1) = p(x + 1) x + 2 · x + 1 x + 1 + q x + 1 · x + 2 x + 2 ⇒ x(2x + 3) = p(x + 1)2 + q(x + 2) ⇒ 2x2 + 3x = p(x2 + 2x + 1) + qx + 2q ⇒ 2x2 + 3x = px2 + (2p + q)x + (p + 2q) ⇒      2 = p 3 = 2p + q 0 = p + 2q ⇒ p = 2 en q = ₋₁ ⇒ p + q = 1

Algebra - Bewerkingen met veeltermen

I Voorbeeld 5 Bepaal p(q + r ) als x4 + 4x3 + 6px2 + 4qx + r deelbaar is door x3 + 3x2 + 9x + 3.

Oplossing Dan moet

x4 + 4x3 + 6px2 + 4qx + r = x3 + 3x2 + 9x + 3
_{· (}. . . x + . . .) = x3 + 3x2 + 9x + 3
_· 1 _{· x +} r 3  = 1 _{· x}4 +  r 3 + 3  · x3 + (r + 9) _{· x}2 + (3r + 3) _{· x +} r zodat        4 = r 3 + 3 6p = r + 9 4q = 3r + 3 ⇒      r = 3 p = 2 q = 3 Antwoord p(q + r ) = 2 _{· (3 + 3) =} 12 (ALTERNATIEF: staartdeling)

Algebra - Bewerkingen met veeltermen

I Voorbeeld 6 f (x) = x3 + px2 _{− 8x + q is deelbaar door x − 1} en de rest bij deling door x2 _{− 9 is x − 9. Wat is q?}

Oplossing

f (x) deelbaar door x _{− 1 ⇒ f (x) = (x − 1) · (}. . . x2 + . . . x + . . .) ⇒ f (1) = 0

⇒ 1 + p _{− 8 + q = 0}

⇒ p + q = 7

f (x) delen door x2 _{− 9 geeft als rest x − 9}

⇒ f (x) = (x2 − 9) · (. . . x + . . .) + x _{− 9} ⇒ ( f (₋3) = 0 + 3 _{− 9} f (₋₃) = 0 + (_{−3) − 9} ⇒ 9p + q = ₋₉ Antwoord q = 9

Algebra - Bewerkingen met veeltermen

I Voorbeeld 7 Door welke veelterm is x4 + 4 deelbaar?

(A) x2 _{− 2}

(B) x2 + 2

(C) x2 + 2x _{− 2}

(D) x2 + 2x + 2

Oplossing

f (x) deelbaar door (A) _{⇒ f (x) = (x}2 _{− 2) · (}. . . x2 + . . . x + . . .) ⇒ f (√2) = 0

⇒ 4 + 4 = 0 NEE!

f (x) deelbaar door (B) _{⇒ f (x) = (x}2 + 2) _{· (}. . . x2 + . . . x + . . .) = (x2 + 2) _{· (}x2 + bx + 2)

= x4 + bx3 + 4x2 + 2bx + 4 NEE!

f (x) deelbaar door (C) _⇒ . . . NEE!

Algebra - Ontbinden in factoren van veeltermen

I Merkwaardige producten

a2 + b2 = niet ontbindbaar in lineaire factoren a2 _{− b}2 = (a + b)(a _{− b)} a3 + b3 = (a + b)(a2 _{− ab + b}2) a3 _{− b}3 = (a _{− b)(a}2 + ab + b2) a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 a2 _{− 2ab + b}2 = (a _{− b)}2 a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 = (a + b)3 a3 _{− 3a}2b + 3ab2 _{− b}3 = (a _{− b)}3

Meetkunde - Sinus, cosinus en tangens van scherpe hoeken

Veelvoorkomende scherpe hoeken:

α 0◦ 30◦ 45◦ 60◦ 90◦ sin α 0 1 2 √ 2 2 √ 3 2 1 cos α 1 √ 3 2 √ 2 2 1 2 0 tan α 0 _√1 3 1 √ 3 _| A B C | | c a b β

Meetkunde - Sinus, cosinus en tangens van will. hoeken

sin α : projectie op y -as cos α : projectie op x-as

tan α : projectie op rechte x = 1 Teken van sinus, cosinus en tangens in de vier kwadranten:

α I II III IV sin α + + _{− −} cos α + _{− − +} tan α + _{− + −} Grondformule: sin2 α + cos2 α = 1

Verdubbelingsform.: sin(2α) = 2 sin α cos α en cos(2α) = cos2 α _{− sin}2 α

y x 1 1 α y x 1 1 α sin α y x 1 1 α cos α y x 1 1 α tan α x = 1 y x 1 1 α cos α sin α tan α x = 1 y x 1 1 α cos α sin α tan α x = 1 y x 1 1 α cos α sin α tan α x = 1 y x 1 1 α _{cos α} sin α tan α x = 1

Meetkunde - Sinus, cosinus en tangens van will. hoeken

I Voorbeeld 8

Gegeven zijn de co¨ordinaten van een punt: x = ₋√8 sin 200◦ en y = ₋√11 cos 140◦. In welk kwadrant is dit punt gelegen?

(A) I

(B) II

(C) III

(D) IV

Oplossing

Lees het teken af:

sin 200◦< 0 cos 140◦< 0 Dus x > 0 en y > 0 Antwoord (A) y x 1 1 140◦ 200◦ y x 1 1 sin 200◦ 200◦ y x 1 1 cos 140◦ 140◦ y x 1 1 cos 140◦ sin 200◦

Meetkunde - Eigenschappen van een driehoek

Som van de hoeken: α + β + γ = 180◦ Pythagoras:

4ABC rechthoekig in A ⇔ a2 = b2 + c2

Opp. _{4ABC =} basis × hoogte 2 = c · h 2 = 1 2 c · b sin α Sinusregel: a sin α = b sin β = c sin γ Cosinusregel: a2 = b2 + c2 _{− 2bc cos α} A B C c b a α β γ A B C c b a α A B C c b a α | | h A B C c b a α | | b sin α A B C c b a α β γ

Meetkunde - Eigenschappen van een cirkel

Cirkel met straal r :

omtrek = 2πr oppervlakte = πr2

Als r = 1: omtrek 2π rad hoort bij 360◦

Cirkelsector met straal r en hoek α (rad): booglengte = r α

oppervlakte = 1 2 r

2_α

Cirkelsegment met straal r en hoek α: oppervlakte = 1 2 r 2_α − 1 2 r 2 _{sin α} r r rα α r α

Meetkunde - Eigenschappen van een cirkel

I Voorbeeld 9

Bepaal de oppervlakte van deze cirkel met middelpunt A en waarbij

ˆ

B = 15◦, ˆC = 45◦ en _{|BD| = 2.} Oplossing

Opp. = πr2 maar wat is r ? Sinusregel: 2r sin 120◦ = 2 sin 45◦ ⇒ √2r 3/2 = 2 √ 2/2 ⇒ √4r 3 = 4 √ 2 ⇒ r = √3/√2 Antwoord Opp. = π √ 3 √ 2 !2 = 3π 2 C B A D 2 C B A D 2 15◦ 45◦ C B A D 2 15◦ 45◦ 120◦ r r

Meetkunde - Eigenschappen van een cirkel

I Voorbeeld 10

Twee cirkels met straal 1 snijden elkaar doorheen elkaars mid-delpunten. Hoeveel bedraagt de gearceerde oppervlakte?

Oplossing Opp. = 1 2 bc sin α = 1 2 1 · 1 · sin 60 ◦ = √ 3 4 Opp. = 1 2 r 2  α _{− sin(α)}  = 1 2 1 2  π 3 − sin π 3 

Opp. = 2 _{· Opp. + 4 · Opp.} = π ₋ √ 3 = 2π ₋ √ 3 b α c b = 1 60◦ c = 1 r α r = 1 π/3

Meetkunde - Vergelijking van een rechte

De vergelijking van een rechte

I NIET evenwijdig met de y -as is: a : y = mx + q

rico rechte: m = tan α snijpunt y -as: S(0, q)

I WEL evenwijdig met de y -as is: a : x = p

rico rechte: bestaat niet hellingshoek α = 90◦ y x O q +1 +m a α y x O p a α

Meetkunde - Vergelijking van een rechte

I Voorbeeld 1 (opnieuw)

Welke waarden x voldoen aan de ongelijkheid x − 5₂ < 2

(A) x > 1₂

(B) x < 1₂

(C) x _∈ 1₂, 9₂

(D) x _∈ ₋1₂, 3₂

Oplossing Een ongelijkheid meetkundig oplossen?

(1) Schets linkerlid y = x ₋ 5₂ y = x − 5₂ (2) Schets rechterlid y = 2 (3) Lees snijpunten af Antwoord (C) y x O y x O −5₂ y = x₋ 5 2 y x O −5₂ y = x₋ 5 2 5 2 y =    x − 5₂     y x O −5₂ y = x₋ 5 2 5 2 y =    x − 5₂     y = 2 y x O −5₂ y = x₋ 5 2 5 2 y =    x − 5₂     y = 2 ? ?

Meetkunde - Vergelijking van een cirkel

met middelpunt M(a, b) en straal r is

C : (x − a)2 + (y _{− b)}2 = r2 Waarom? P(x, y ) _{∈ C ⇔ |MP| = r} ⇔ |MP|2 = r2 ⇔ (x _{− a)}2 + (y _{− b)}2 = r2 Pythagoras y x O M b a C r y x O M b a C r y x P y x O M b a C y x x _{− a} y _{− b} r P

Meetkunde - Vergelijking van een cirkel

I Voorbeeld 11 Wat is de straal van de cirkel met vergelijking 4x2 _{− 16x + 4y}2 + 20y _{− 283 = 0}

⇔ x2 − 4x + y2 + 5y ₋ 283

4 = 0 Oplossing De vergelijking is van de vorm

(x _{− a)}2 + (y _{− b)}2 = r2 ⇔ x2 _{− 2ax + a}2+ y2 _{− 2by + b}2 _{− r}2 = 0 zodat        − 4 = −2a 5 = _−2b − 283 4 = a 2 _{+ b}2 − r2 ⇒              a = 2 b = ₋5 2 − 283 4 = 2 2 ₊  −5 2 2 − r2 ⇒ r2 = 81

Meetkunde - Vergelijking van een parabool

met symmetrie-as evenwijdig met y -as:

P : y = ax2 + bx + c a > 0 dalparabool P of a < 0 bergparabool P a > 0 dalparabool P of a < 0 bergparabool P a > 0 dalparabool P D > 0 of a < 0 bergparabool P D > 0 a > 0 dalparabool P D = 0 of a < 0 bergparabool P D = 0 a > 0 dalparabool P D < 0 of a < 0 bergparabool P D < 0 a > 0 dalparabool P D > 0 D = 0 D < 0 of a < 0 bergparabool P D > 0 D = 0 D < 0 vergelijking symmetrie-as: x = ₋ b 2a, top: T (x, f (x)) snijpunten x-as: dan is

y = 0 _⇔ ax2 + bx + c = 0 D = b2 _{− 4ac} ⇔ x = −b ± √ D 2a     

D > 0 : 2 snijpunten met x-as D = 0 : 1 snijpunt met x-as

Meetkunde - Vergelijking van een parabool

met symmetrie-as evenwijdig met x-as:

P : x = ay2 + by + c a > 0 P of a < 0 P a > 0 P of a < 0 P a > 0 P D > 0 of a < 0 P D > 0 a > 0 P D = 0 of a < 0 P D = 0 a > 0 P D < 0 of a < 0 P D < 0 a > 0 P D > 0 D = 0 D < 0 of a < 0 P D > 0 D = 0 D < 0 vergelijking symmetrie-as: y = ₋ b 2a, top: T (f (y ), y ) snijpunten y -as: dan is

x = 0 _⇔ ay2 + by + c = 0 D = b2 _{− 4ac} ⇔ y = −b ± √ D 2a     

D > 0 : 2 snijpunten met y -as D = 0 : 1 snijpunt met y -as

Meetkunde - Vergelijking van een parabool

I Voorbeeld 12 Na regressieanalyse van de waarnemingen was men in staat het percentage genezen mensen (A) uit te druk-ken in functie van de toegediende dosis (d) van een bepaald geneesmiddel:

A(d) = _−d2 + 2d + 3 met 0 _{≤ d ≤ 2.}

Welke dosis van dit geneesmiddel is het meest effectief? Oplossing

Gedaante y = ax2 + bx + c met a < 0

Gevraagd: dosis bij de top Symmetrie-as: d = ₋ b 2a= − 2 2 _{· (−1)}= 1 Antwoord d = 1 d y _{y = A(d)} d y _{y = A(d)} d y ? y = A(d) d y d = ₋ b 2a

Meetkunde - Vergelijking van een parabool

I Voorbeeld 13 We beschouwen de parabool met vergelijking x = y2 _{− 3y − 2. Welke uitspraak klopt? De parabool}

(A) raakt de y -as

(B) snijdt y -as eens boven en onder de x-as

(C) snijdt y -as niet

(D) snijdt y -as in twee punten boven de x-as

Oplossing

Snijpunten y -as: dan is

x = 0 _⇔ y2 _{− 3y − 2 = 0} D = (₋₃₎2 _{− 4 · 1 · (−2)} D = 17 ⇔ y = 3 + √ 17 2 | {z } >0 of y = 3 − √ 17 2 | {z } <0 Antwoord (B)

Meetkunde - Vergelijking van een parabool

I Voorbeeld 14 We beschouwen de parabool met vergelijking x = y2 _{− 3y − 2. Welke uitspraak klopt? De parabool}

(A) raakt de y -as

(B) snijdt y -as eens boven en onder de x-as

(C) snijdt y -as niet

(D) snijdt y -as in twee punten boven de x-as Oplossing ALTERNATIEF Gedaante x = ay2 + by + c met a > 0 Symmetrie-as: y = ₋ b 2a = 3 2

Snijpunt x-as: dan is

y = 0 _⇔ x = 02 _{− 3 · 0 − 2} ⇔ x = ₋₂ Antwoord (B) P P y = 3/2 P y = 3/2 x P y = 3/2 x −2 P y = 3/2 x −2 y

Meetkunde - Gemeenschappelijke punten

I Voorbeeld 15 Hoeveel punten hebben de parabolen

y = _−3x2 + x + 5 en y = 2x2 _{− 3x + 2 gemeenschappelijk?} Oplossing Grafieken van y = f (x) en y = g (x) hebben

P(x, y ) gemeenschappelijk ⇔ f (x) = g (x) ⇔ −3x2 + x + 5 = 2x2 _{− 3x + 2} ⇔ −5x2 + 4x + 3 = 0 D = 42 _{− 4 · (−5) · 3} D= 76> 0 ⇔ x_1,2 = −4 ± √ 76 −10

Antwoord 2 gemeenschappelijke punten

P (x, y) y = f (x) y = g(x) y y x P (x, y) x y = f (x) y = g(x) x x1 x2 y = _−3x2 + x + 5 y = 2x2 _{− 3x + 2}

Meetkunde - Gemeenschappelijke punten

I Voorbeeld 16

Een rechte a die de y -as snijdt in (0, 4) heeft ´e´en punt gemeen-schappelijk met de parabool y = _−2x2 + 2. De rechte is niet verticaal en niet parallel met y = 4x. Wat is de helling van die rechte?

Oplossing

(1) rechte niet evenwijdig met y -as dus a : y = mx + q

(2) rechte niet parallel met y = 4x dus m _{6= 4}

(3) snijpunt y -as is (0, 4) = (0, q) dus q = 4

(4) ´e´en punt gemeenschappelijk met parabool

⇔ −2x2 + 2 = mx + 4 heeft ´e´en oplossing

⇔ 2x2 + mx + 2 = 0 heeft ´e´en oplossing

⇔ D = m2 _{− 4 · 2 · 2 = 0}

⇔ m = 4 of m = ₋₄

Examenvragen

I _{Juli 2016 - Vraag 8 Als cos x = sin x + √}1

3, dan is cos3 x _{− sin}3 x gelijk aan

(A) 4 3√3 (B) 3 2√3 (C) _√2 3 (D) _√1 3

Oplossing Ontbinden in factoren: cos3 x _{− sin}3 x = (cos x _{− sin x)}

| {z }

1/√3

(cos2 x + sin x cos x_{| {z }}

? 1/3 + sin2 x) (cos x _{− sin x)}2 | {z } 1/3

= cos2 x _{− 2 sin x cos x + sin}2 x dus 2 sin x cos x = 1 ₋ 1₃ = 2₃

= _√1



1 + 1 

Examenvragen

I Augustus 2016 - Vraag 8 In een orthonormaal assenstelsel is een cirkel met middelpunt (0, 0) en straal 1 gegeven. Vanuit het punt A(_{−2, 0) tekenen we de raaklijn r aan de cirkel. Het} punt B is het snijpunt van de (positieve) x-as met de raaklijn s aan de cirkel loodrecht op r . Wat is de co¨ordinaat van B?

(A) 5 √ 3 6 , 0 ! (B) 4 √ 3 5 , 0 ! (C) 3 √ 3 4 , 0 ! (D) 2 √ 3 3 , 0 ! 2√3 3 , 0 ! 2√3 3 , 0 !

Oplossing Raaklijn _{⊥ middellijn} Gelijkvormige driehoeken: ? 2 = 1 a ⇒ ? = 2 a= 2√3 3 (D) Pythagoras: 22 = a2 + 12_{⇒ a =} √3 y x r s | | A B y x r s | | 1 _{| |} A B y x r s | | 1 _{| |} 1 | | A B y x r s | | 1 _{| |} 1 | | ? 2 A B a y x r s | | 1 _{| |} 1 | | ? 2 A B √ 3