Spanningsgolven in een axiaal aangestoten prismatische staaf

HER

N

Jaargang 16 no. 2, Delft 1968 H. VAN KOTEN

SPANNINGSGOLVEN IN EEN AXIAAL

AANGESTOTEN PRISMA TISCHE ST AAF

o

Inleiding

U.D.C. 624.058.5; 624.058.8; 624.154.3

Enige berekeningen worden uitgevoerd voor de spanningen in een gefdea-liseeI'd model van een he~vaal en een heiblok.

De met berekening en impedantiediagrammen bepaalde spanningen worden vergeleken met de resultaten van enige eenvoudige laboratoriumproeven.

Vervolgens worden de spanningen bepaald in heipalen waarbij de muts-vulling in rekening is gebracht. Hierbij wordt aangetoond, dat de theorie voor spanningsgolven tot dezelJde resultaten leidt als berekeningen vaal' een massa-veer-systeem.

De invloed van de vorm van paal en blok op de spanningen wordt onder-zocht.

Bij het heien van palen komen enige problemen voor, welke niet eenvoudig door be-rekening zijn te bepalen, zoals de invloed van een verzwaarde paalpunt op de span-ningsgolf in de paal of de invloed van de vorm van het biok. Om inzicht te krijgen in deze problemen zijn een aantal proeven uitgevoerd op een gei'dealiseerd model.

Hierbij werden in het laboratorium twee staven horizontaal en in elkaars verlengde opgehangen (zie fig. 1).

L

-I

v. ..

Fig. 1. Schema van de proefopstellingen.

De langste van beide staven kan worden beschouwd als de heipaal, de kortste als het heiblok.

hieraan gegeven amplitude-uitwijking, tegen de lange staaf te laten slingeren. De hierop ontstane beweging van de lange staaf en de spanningsgolf die zich in deze staaf voortplant werden gemeten.

Bij dit onderzoek zijn diverse mogelijkheden nagegaan: zo werden de lengte en de diameter van de korte staaf gevarieerd, en de lange staaf werd aan een uiteinde vrij-gelaten, of gesteund, of van een verzwaring voorzien.

De optredende spanningsgolven bleken goed te berekenen te zijn door gebruik te maken van de methode met karakteristieken, zoals door ir. G. DE JOSSELIN DE JONG*) beschreven in het artikel "Wat gebeurt er in de grond tijdens het heien?", (,De In-genieur' 1956 nr. 25, biz. B 77). Op de hoofdzaken van deze methode zij hier in het kort teruggekomen.

1 Berekening van de spanning

De neutrale as van een prismatische staaf wordt als x-as gekozen. De dwarsdoorsnede is F, de elasticiteitsmodulus van het materiaal is E en Q de soortelijke massa.

Veronder-steld wordt, dat vlakke doorsneden vlak blijven. De specifieke verlenging ex tengevolge van een verplaatsing w in langsrichting is 8wj8x.

Op een doorsnede, abscis x, werkt dan een kracht groot EF(8wj8x) en op de door-snede (x+dx) een kracht EF(8wj8x+82_{wj8x2 dx).}

J-?g

F~--H~--_-~-.-+--x

I---x ___

--Wx+_

De vergelijking voor de beweging van het staafelement dx is:

of: _{a =}

J!

₌

J

~g

_voigt:

De algemene oplossing van deze differentiaalvergelijking is

w =!l(x+at)+!zCx-at)

(Tweemalige differentiatie van deze betrekking naar x resp. naar t Ie vert immers:

a

2_{w " "}

ax2 = 11 (x+at)+12 (x-at) resp.

Derhalve geldt

d.i. de vorenbedoelde differentiaalvergelijking.)

De oplossing w = fix-at) geeft voor bepaalde teen verloop van de verplaatsing w te zien als functie van de coordinaat x langs de staafas. De verplaatsing w verandert niet als met een tijdsdeel !1t de coordinaat x toeneemt met een waarde !1x = aM. Dit betekent, dat het beeld van de verplaatsing w onveranderd langs de staafas voort-schrijdt met een snelheid !1x/!1t = a.

Analoog geeft bij f2(x-at) = 0 de oplossing w = fl(x+at) een verplaatsingsbeeld dat met dezelfde snelheid a in tegenovergestelde richting van die in het voorgaande geval langs de staaf voortschrijdt.

De kracht in de staaf is

p = -

EF~

= -EF{j;(x+at)+I;(x-at)}

ax

(Een drukkracht is positief gekozen.)

Lijst van notaties

a V Eg/y = snelheid van de spanningsgolf

E elastieiteitsmodulus

F oppervlakte der doorsnede van de staaf

g versnelling van de zwaartekraeht

H lengte van de slinger

P kraeht

tijd

Un verplaatsing van de staaf

v, Vn snelheid van de staaf

w verplaatsing

x eoordinaat

Z EF/a = impedantie

y soortelijk gewieht

(! soortelijke mass a = diehtheid

dimensie [em/s] [kgf/em'] [em'] [em/s2] [em] [kgf] [s] [em] [em/s] [em] [em] [kgf·s/em] [kgf/em3 ] [kgf· s2/em4 ]

De snelheid van de deeltjes van de staaf is Dus is v =

~~

= a {f{(x+at) -

f~(x-at)}

EF P

+

- v = -2EFf~(x-at) a

V oor een spanningsgolf die zich met een snelheid a verplaatst in positieve x-richting is (x-at) constant, dus ookf2 /(x-at).

Voor de punten die door deze spanningsgolf worden gepasseerd is:

EF

P

+

- v = C1 = constant. . . (I) a

Dit geldt dus voor de spanningsgolf die in de richting van de negatieve x-as loopt. Voor een golf die in de positieve richting loopt vindt men (door de spanningsgolfin de staaf te beschouwen, waarvoor geldt x+at = constant) dat voor de hierbij ge-passeerde punten geldt:

EF

P - - v = C2 = constant

a . . . . (I')

Deze twee betrekkingen zijn door ir. G. DE lOSSELIN DE lONG in het vorenaange-haalde artikel gebruikt om op overzichtelijke wijze de spanningen in prismatische staven te bepalen door toepassing van karakteristieken.

Wordt bijvoorbeeld de snelheid Vo van een staaf plotseling gestuit bij stoten tegen een starre wand, dan wordt de staafsnelheid nul en dus in verb and met (I), waarin voor het stoten P = 0 was en

de kracht in de staaf, na het stoten

EF

P = -Vo,

a

E

en de spanning a = aVo

Grafisch is dit aan te geven in een impedantiediagram (zie fig. 2).

Ais een staaf met snelheid Vo botst tegen een staaf van dezelfde doorsnede met snel-heid nul, dan zal in de staaf die in rust was een spanningsgolf ontstaan die zich voortplant in de bewegingsrichting van de aanstotende staaf.

De tweede vergelijking

EF

P - - v = C2 , met C2 = 0,

P=~Vo-­ a p --~ v = constant a P -t,~ Y = constant a

moet dus worden gebruikt voor de in be-weging gekomen staaf. De aanstotende staaf wordt afgeremd; de vergelijking

geldt hiervoor.

In diagramvorm is in fig. 3 geschetst welke spanningen en snelheden na de bot-sing voorkomen. Andere voorbeelden wor-den in het meergenoemde artikel gegeven.

Fig. 2. Impedantiediagram.

Fig. 3. Verband tussen spanningen en snelheden na de botsing.

--~y

Een praktisch voorbeeld is dat van de staaf zonder snelheid, waarvan een deel met een lengte I < de staaflengte een spanning Po/F heeft. De snelheid waarmee de spanning langs de staaf verplaatst, is a. De snelheid van de deeltjes in het staafdeel onder spanning voIgt uit:

EF

Po - - v = 0;

a dus

Ais de staaf een vrij uiteinde heeft, kan de spanning P

0/

F hier niet voorkomen. Zodra de spanningsgolf het uiteinde bereikt, start er een golf in tegengestelde richting met een spanning nul. Voor deze golf geldt:

EF

-2EFj;(x-at) = +2Po = 2-vo

Het staafeinde heeft de dubbele snelheid gekregen en ,trekt' aan de staaf. Hierdoor ontstaat een trekgolf in de staaf, waarvoor geldt:

In het impedantiediagram (fig. 4) zijn de verschillende snelheden en krachten af te Iezen. Po. Yo spanningsgolf 2vo staafeinde -Po. Yo na.-reflexie IT

tot~~~

" ~staaf t,

t'---~r;g

t

IT

§'

Vo I

'---..L=-f-l-r

2vo 1 I rr I I

I

dL.·

[j

Fig. 4. Impedantiediagram voor een spanningsgolf aan het vrije uiteinde van een staaf.

2 Toepassingen

A. Botsing van een korte tegen een lange staal van gelijke dwarsdoorsnede

Op het tijdstip van botsen heeft de korte staaf met de lengte I de snelheid Vo en de

lange staaf met de lengte L geen snelheid. De snelheid van het contactvlak onmiddel-lijk na de botsing is

tvo.

De kracht die de staven daar op elkaar uitoefenen is - (EF/a)

(vo/2). In elke staaf ontstaat een spanningsgolf met de deeltjessnelheid

tvo

en span-ning -(E/a)·(vo/2), zie fig. 5.

De deeltjessne1heid in de korte staaf wordt

tvo

tot de spanningsgolf het uiteinde heeft bereikt, waarna de richting van de spanningsgolf en het teken van de spanning wisselen, maar de snelheid hetzelfde teken en dezelfde grootte houdt.

De sne1heid van de korte staaf wordt door deze in de richting van de positieve x-as Iopende golf

tvo'- tvo

=

o.

Fig. 5. Impedantiediagram voor de botsing van twee staven van gelijke door-snede. I L--_ ---1 - - - - Yo L r---~---

--Als de spanningsgolf de korte staaf in beide riehtingen heeft doorlopen is de staaf zonder snelheid of spanning, dus in rust: de druk op de lange staaf valt weg.

In de lange staaf loopt een spanningsgolf met lengte 21 en met een spanning

(E/a)·(va/2).

De rekken ten gevolge van deze spanningsgolf zijn geregistreerd in fig. 6 en 7. Bij de proef was

I = 100 em L = 610 em

E = 2, I X 106 _{kgf/em2 (staal)}

F = 3,14 em 2 (eirkelvormige doorsnede 02,0 em)

a = 5 x 105 _em/s Va = 105 em/s Metingsuitkomsten waren:

gemiddelde lengte van de spanningsgolf = 220 em

en een spanning van 210 kgf/em2; maximale amplitude van de lange staaf = 4,5 em. Volgens de theorie zou de lengte van de spanningsgolf het dubbele van de staaf-lengte, dus 2 x 100 = 200 em moeten zijn, en

E va 2,1 x 106 _{105 220 k fj} 2

(J = - ' -- = x - = g em .

a 2 5 x 105 ₂

Fig. 6. Gemeten spanning-tijd-diagram in het

midden van de lange staaf onmiddellijk na de botsing.

Fig. 7. Gemeten spanning-tijd-diagram in het

midden van de lange staaf onmiddellijk na de botsing.

B. Rotsing van een dunne korte staaJ tegen een lange dikkere

Bij deze botsing blijkt de golflengte in de dikke staaf eveneens 21 te zijn, maar be-rekening van de spanning levert (fig. 8):

- - Y o

dus

Opgeteld:

Dus

Omdat de snelheid van het eontaetvlak van de botsing kleiner is dan

tvo

is de snelheid van de golf die in de korte staaf terugloopt groter dan

tvo.

De korte staaf springt terug als de spannings-golf deze staaf heen en terug heeft doorlopen. Bij de proef was

£1

=

£2

=

2,1 x 10 kgf/em2 al

=

a2

=

5

x

105 em/s F1

=

·~;F2 Vo = 105 em/s Vo I ~ ,

Fig. 8. Impedantiediagram voor de botsing van twee staven van ver-schillende doorsnede (F1 < F.).

Volgens de theorie zou de spanning in de staaf F2 worden:

~

=

I}.. Vo

:/4

=

0,2 Evo

=

0,2 x 2,1 x

1~6

x 105

=

88,2 kgf/em2

F2 a

14

a 5xlO

Gemeten is een gemiddelde lengte van de spanningsgolf van 200 em, een spanning van 92 kgf/em2 en een maximale amplitude van de lange staaf van 2,0 em (zie fig. 9 en 10).

Fig. 9. Gemeten spanning-tijd-diagram in bet midden van de lange staaf onmiddelIijk na de botsing.

Fig. 10. Gemeten spanning-tijd-diagram in bet midden van de lange staaf onmiddellijk na de botsing.

C. Botsing van een korte dikke staal tegen een lange dunnere

Bij botsing tussen een korte staaf met een doorsnede FJ , en een lange

staaf met een doorsnede F2 < FJ

blijft de spanningsgolf niet meer rechthoekig.

I

I

- ---1

F,

I

De korte staaf heeft op het moment van de botsing een snelheid Vo, de lange is in rust en spanningloos. De snelheid van het contactvlak wordt door de botsing kleiner dan Vo, maar blijft groter dan !vo, zodat in de korte staaf een spanningsgolf met een snelheid kleiner dan !vo terugloopt na de botsing. Hierdoor blijft de korte staaf tegen de lange drukken. De krachten na de botsing zijn in fig. II bepaald.

Nadat de spanningsgolf de korte staaf 2 x heeft doorlopen is de snelheid van deze staaf

Door deze snelheid wordt op-nieuw een spanningsgolf in de korte en lange staaf opgewekt, waarbij

Fig. 11. Impedantiediagram voor de botsing van twee staven van ver-schillende doorsnede (F] > F2)'

'0

en

enz.

Bij de proef was

Dan zou E1 = E z = 2,1 X 106 kgf/emz; a1 = az = 5,0 x 105 em/s; F1 = 4Fz Vo 105 em/s I = 50 em L = 610 em E . 4 4 E 4 2,1 X 106 352 k

f/

z (ja = Vo · _ - - = sVo- = 5

x

105

x - - - - -

= g em , a(4+1) a 5x102 en (jc

=

(jl~l

=

127 kgf/em2 enz. moeten zijn.

Het meetresultaat is gegeven in fig. 12 en 13, met als waarden:

(ju = 360 kgf/emz

(jb

=

210 kgf/em2 (jc = 115 kgf(emz

De horizontale verplaatsing van de lange staaf was 7,5 em. De proef is ook uitgevoerd door aan te stoten met een staaf van 100 em lengte. De horizontale verplaatsing van de lange staaf was toen 13,4 cm.

Fig. 12. Gemeten spanning-tijd-diagram in het midden van de lange staaf onmiddellijk na de botsing.

Fig. l3. Gemeten spanning-tijd-diagram in het midden van de lange staaf onmiddellijk na de botsing.

3 Afwijkingen van de prismatische staafvorm

a. Het blok

Bij de botsing tussen de dikke staaf met doorsnede 4F en snelheid Vo en de in rust

zijnde dunne met doorsnede F wordt de snelheid van het contactvlak 4 j sVo, de

span-ning in de dikke staaf l/svo(Eja), en in de dunne staaf 4 j sVo(Eja).

De dunne staaf werkt de beweging van de dikke staaf slechts voor een klein ge-deelte tegen. Ret oppervlak waartegen de dikke staaf stuit is te klein om de snelheid tot de helft af te remmen.

Wat gebeurt er als de dikke staaf bij het stootvlak in doorsnede wordt verkleind tot eenzelfde diameter als van de tweede staaf? Met een staaf, welke over een lengte gelijk aan de diameter taps verlopend werd afgedraaid tot op de diameter van de dunne staaf, is dit probleem door meting onderzocht.

De proefresultaten bleken volkomen gelijk aan die met de aanstotende staaf van onveranderde, constante dikte!

Een verklaring hiervoor is te vinden door een staaf te beschouwen welke trapsge-wijs in dikte verandert. Voor het geval van een staafwaarvan de dikte in een sprong verandert is het impedantiediagram in fig. 14 gegeven.

De kracht in de spanningsgolf in het cilindrisch afgedraaide staafdeel (II) met oppervlakte F2 , na de botsing, is

EF2

P = 2Q'vo,

Deze spanningsgolf veroorzaakt in het staafdeel (I) met de grote oppervlakte Fl en snelheid Vo een kracht

EF1 EF2

a a

P = EF EF VA'

_ _ 1+ _ _ 2

a a

zoals ook bij de volledig prismatische staaf het geval is.

"-I

Fig. 14. Impedantiediagram voor een staaf met sprongsgewijze dikte variatie.

Vo

1 -! ~~ I N!~ ~-t I ,ll- i spanningsgolf in de schacht 2F, auekmax N F1+F2 G druk druk 2-1 _{teruglopende spanningsgolf} G druk

Fig. 16. Impedantie- en plaats-tijd-diagram voor een staaf met verzwaard uiteinde.

Fig. 15. Gemeten spanning-tijd-diagram in het midden van een lange staaf met ver-zwaard uiteinde.

Fig. 17.

Fig. 18. Fig. 19.

b. De paal; onderzoek naar de invloed van de verzwaarde punt bij heipalen

Aan het niet-aangestoten uiteinde van de lange staaf werd een korte dikke staaf ge-last (diameter = 2 x en lengte = 4 x de diameter van de lange staaf).

De lange staaf werd aan het niet-verzwaarde einde aangestoten door een korte staaf van evengrote diameter.

De spanningsgolf, welke door de staaf loopt onmiddellijk na het aanstoten, is reeds bij het eerste voorbeeld beschreven (de lengte van de spanningsgolf is 2/1 en de spanning is (E/2a)vo). Aan het uiteinde, waaraan de verzwaarde punt, weerkaatst de

spanningsgolf maar verandert tevens sterk van vorm. In fig. 15 is het meetresuItaat gegeven. Dit resultaat is met behulp van de methode met karakteristieken te ver-klaren en in fig. 16 getekend; bovendien is in de figuur een plaats-tijd-diagram ge-geven.

De drukgolf weerkaatst als drukgolf op het vlak waar de verzwaring van de punt begint. Daarna wordt, door heen- en teruglopen van de spanningsgolf, de snelheid van de punt va. Hierdoor start een trekgolf in de staaf vanaf deze punt. De spanning in deze trekgolf wordt

Ais Fp(unt) = 4Fs (chacht)' wordt

4 EsFs

(1' = - - ' V o x - - .

4+1 as

Deze trekspanning is

_8/5

of 1,6 maal de drukspanning. De teruglopende trekspanning is dus aanzienlijk hoger dan de opgewekte drukspanning.

Tenslotte nog een drietal proefresultaten:

Fig. 17 geeft de spanning in een prismatische staaf welke in het niet-aangestoten eind steunde tegen een groot betonblok. Fig. 18 geldt voor dezelfde staaf nu gesteund door een groot stalen blok.

Fig. 19 geldt voor de staaf met verzwaarde voet gesteund door een betonblok.

4 Samenvatting van de resultaten

Uit de eerste proeven bleek, dat een prismatisch (hei)blok met een impedantie (EF/u), gelijk aan die van de paal, bij de botsing een spanningsgolf in deze paal opwekt met een constante amplitude en een lengte gelijk aan tweemaal de lengte vanhet heiblok.

Bij de botsing geeft het blok zijn totale energie af.

he eft de spanningsgolf in de paal eveneens een constante amplitude en een lengte van tweemaal die van het blok, maar dit blok springt terug. Ret blok geeft slechts een deel van de totaal beschikbare energie af.

Ais de impedantie van het prismatische blok grater is dan die van de paal, dan neemt de spanning van de spanningsgolf af met het verlopen van de tijd.

Ret blok blijft op de paal drukken, waardoor de trekspanningen in de paal, welke van de paalpunt aikomen, worden gereduceerd.

Aanzienlijke vermindering van de doorsnede van het heiblok aan de onder- of aan de bovenkant heeft ongeveer hetzelfde effect als vermindering van de lengte van het blok met de maat waarover de doorsnede (impedantie) is gereduceerd.

Door vergroting van de doorsnede van de heipaal aan de voet vervormt de span-ningsgolf. De terugkerende golf heeft een hogere trekspanning dan de door het blok opgewekte drukspanning.

Een vergroting van de doorsnede van de heipaal aan de kop heeft in een extreem geval een gunstig effect op de spanningen in de paal zoals blijkt uit fig. 20a, waarbij de impedantie van de paalkop groter is gekozen dan die van het heiblok. De spannings-golf in de paalschacht heeft door de verzwaarde kop altijd een grote lengte (of tijds-duur). De spanning in de schacht blijft lager dan in het geval zander verzwaarde paalkop.

"-r

a. b.

Fig. 20, Impedantiediagrammenvoor staven met een verzwaring aan het aangestoten uiteinde.

Ais de impedantie van de paalkop kleiner is dan of gelijk aan die van het blok, heeft de verzwaring weinig .effect op de spanningsgolf in de schacht (fig. 20b).

De theoretisch rechthoekige spanningsgolven, zoals in het voorgaande werden be-rekend, komen in de praktijk niet voor, omdat door het toepassen van een (verende) heimuts bovenop de paal de vorm van de spanningsgolven wordt afgevlakt.

5

pe

bewegingen van de staven

De lange proefstaaf beweegt na het aanstoten als een slinger. De maximale amplitude isniet met een eenvoudige energiebeschouwing te berekenen, omdat een dee I van de

energie, welke bij de stoot wordt over-gebracht op de staaf, in de staaf blijft als spanningsgolf. Aldus wordt slechts een deel van de energie van de stoot omgezet in verhoging van de energie van plaats, conform de verticale verplaatsing van de staaf tot het hoogste punt van de slingering.

V oor het bepalen van de maximale horizontale uitslag van de staaf als slinger moeten de bewegingen van een

T

I

T~

I : I I I I I I I I ~-~ i--- _ [ - - - j

Fig. 21. Schema van de staafophanging.

punt van de staaf ten gevolge van het passeren van de spanningsgolf worden be-schouwd.

Het passeren van de spanningsgolf geschiedt met tijdsintervallen L1 t = L/a.

Ge-durende deze tijd !1t werkt de zwaartekracht op de massa van het beschouwde punt van de staaf. De zwaartekracht veroorzaakt vanwege de ophanging een beweging tegengesteld gericht aan die t.g.v. de spanningsgolf. De resultante van de kracht in de ophanging en de zwaartekracht werkt in de as van de staaf. Ten gevolge van deze resultante ondergaat de staaf een versnelling = (ull

!

H)· g, als Ull de verplaatsing is uit

de verticale stand na n maal passeren van de spanningsgolf en g de versnelling van de zwaartekracht (zie fig. 21).

Ten gevolge van deze versnelling is de snelheid van de staaf = VII na n maal passeren

van de spanningsgolf.

Verondersteld wordt, dat de versnelling (un/H)g constant blijft gedurende de tijd

Il.t =

L/

a. Hierin is de aangroeiing van de snelheid: Ull L

vll-vll - 1 = H

.g.-;; . . .

(A)

De verplaatsing Ull voigt uit UIl - 1 door de verplaatsing tengevolge van eenmaal

pas-seren van de spanningsgolf Il.u hierbij op te tellen en de verplaatsing tengevolge van

Vn gedurende Il.t er van af te trekken, of in formule:

L Un = Un - 1 +Il.u-vn · -a en analoog: . . . (B) L Un -1 = un - 2+ll.u-vn - 1 · - • • . . • • • • • • . • . • • • • . (B') a

Ais differentievergelijking is hieruit af te leiden:

. . . (C)

V oor het oplossen van deze vergelijking wordt ter vereenvoudiging geschreven:

Stel nu:

Dan voIgt uit (C) de betrekking:

waaruit: 2 1

l+P--+,

= 0 ex ex-1

±i ...

/P

ex - --=--'--'--' 1.2 -

l+P

V oor ex 1.2 is met behulp van:

cos qJ = _1__ resp. sin qJ =

~

~l+P

~l+P

te schrijven: . . . (D) 1 ( . . ) ex 1.2

=

- =

cos qJ

±

I sm qJ

~l+P

. . . (E)

De algemene oplossing van (C) is:

Substitutie hierin van (E) en toepassing van de stelling van De Moivre levert als reeIe oplossing:

De constanten C en D volgen uit de randvoorwaarden:

Uit de eerste voorwaarde voigt C = 0, en uit de tweede

D = flU!l+[3.

sm <p

Ais eindresultaat is dus te noteren:

Uit (D) voIgt de hoek <p:

waarin gL2 [3 = --" of met Ha-2 Eg a

= --:

[3 =

yL~

EH

Deze constante [3 is klein t.O. v. 1.

y

Hicruit is af te leiden dat de hoek <p een kleine waarde heeft. Voor cos (p luidt de reeksontwikkeling

<p2 cos <p = 1 -

2-

+ ...

terwijl ook geldt

[3 1 - -

+ ...

2

Dienovereenkomstig is te stell en als benadering dat [3

=

(p2, of weI <p

=

.J

[3, en ook sin (P =

.J

[3.

Aldus ontstaat ten slotte de (benaderende) betrekking:

U" is extreem als dun/dn

=

0. Aan deze voorwaarde is voldaan voor

De maximale waarde van Un is:

u~--

~

du

(1

+

p)-(1[/4../

P)+t ~-

~

du

{1

+ ---+-

p(

1t

I)}

;::::,-

du

n

.j

p

.j

P

4.j

P

2

.j

P

En dus:

. . . (F)

Dit is de amplitude van een slingerende staaf (opgehangen volgens fig. 21) met be-ginsnelheid

du

Vo

=

At

De differentievergelijking (C) gaat voor L

dt = - -> 0 a

over in de differentiaalvergelijking

Dit is de vergelijking van de mathematische slinger. Een resultaat van de micro-mechanica. nl. du/M, wordt nu als randwaarde ingevoerd in de macromechanische slingervergelijking.

De uitwerking van (F) voor de verschillende pro even is samengevat in de volgende tabel: gemeten berekend proef Un Un 1 = 100 em; Fl = F2 4,5 em 4,3 em 2 1 = 100 em; Fl = iF, 2,0 em 1,7 em 3 1= 50 em; Fl = 4F2 7,5 em 7,6 em 4 1= 100 em; Fl = 4F2 13,5 em 12,8 em

6 Botsingen met verende tussenlaag

Bij het heien van gewapend-betonpalen treft het stalen heiblok de paal via een hierop aangebrachte heimuts, voorzien van een zachthouten vulling. Hierdoor wordt de spanning in de getroffen paal lager dan bij een rechtstreekse bot sing tussen blok en paal.

~

.

~"::11---r----

vulling paal

"'-I

22b

----,

Fig. 22. Impedantiediagram voor de botsing met verende tusseniaag. Fig. 23.

De spanningsgolf in de paal is ook nu weer met behulp van de methode met karak-teristieken te bepalen.

Verondersteld wordt, dat de impedantie van de mutsvulling onafhankelijk is van de spanning; dit houdt in dat dit materiaal zich gedraagt volgens de wet van Hooke.

Het impedantiediagram voor dit geval is getekend in fig. 22a. Vit deze figuur is af te leiden, welke spanning ontstaat tussen blok en muts bij het eerste contact (punt 1), de spanning in de paal nadat de muts voor de eerste maal is doorlopen (punt 2), de spanning onder het blok na teruglopen van de golf door de muts (punt 3), enz. Bijhet tekenen van deze figuur is verondersteld, dat de tijd (ll/al), waarin de spanningsgolf door het blok loopt, gelijk is aan de tijd (/2/a2) welke nodig is voor het doorlopen van de muts.

Dit blijkt duidelijk uit het plaats-tijd-diagram van fig. 22b. In fig. 23 is het kracht-tijd-diagram voor de paalkop getekend. Als de tijdsintervallen, nodig voor het door-lopen van het blok en/of van de muts niet gelijk zijn veranderen de impedantie-diagrammen.

Fig. 24 is het diagram voor een blok, dat zo kort is dat het tweemaal doorlopen is in dezelfde tijd als waarin de muts eenmaal wordt doorlopen (ldal = !I2/a2).

Fig. 25 geldt voor een blok met een zelfde massa als in het geval van fig. 24, maar nu van zo'n lengte, dat deze eenmaal door de spanningsgolf doorlopen wordt in de tijd waarin de muts tweemaal wordt doorlopen, d.w.z. Ida l = 2· (l2/a2)' De P-t-diagrammen zijn in fig. 26 gegeven.

Deze impedantiediagrammen geven vrijwe1 vloeiend verlopende P-t-diagrammen. Deze diagrammen zijn te berekenen met een differentiaalvergelijking welke uit de impedantiediagrammen kan worden afgeleid. Hiervoor wordt gebruikt het diagram van fig. 22, hoewel dat van fig. 24 of 25 tot hetzelfde resultaat leidt.

De snelheid van het blok, nadat de spanningsgolf n maal het blok in beide rich-tingen heeft doorlopen, zij VII"

kort heiblok (50 em)

~r-

'" 0 :0 J!

;==r-r-

1-1:::0 0 " >

,f~=---

~ ~ 'w c " 1: _c.. E

~

---0" [f

I

Ii

.,fcf I I I

Ir

!Ii

V "

impedantle van

.""":"'"~-11,,

Fig. 24. Impedantiediagram voor de botsing tussen een kort heiblok en een heipaal met verende tussenlaag. - v

/

'" 0 { lang heiblok (200 em) -=11-..

:0 f~b-] ='--1--= c

If-=:

- I = - > " ~

iF-

0 " ~ " c- i=- ~ E

t--I

-~

i

~ Q" o~ P-<> ~" I J' <> 'ti' ... r:J:

-/

I -I-- _t--j--.

1--1---~(~': ~"""'''"'

~ t-impedantie van e ~ - y

Fig. 25. Impedantiediagram VOor de botsing tussen een lang heiblok en een heipaaI met verende tussenlaag.

lang heibl k (200

!

0 em / kort heiblok (50 em)

1/

I

~

-

_~

-

' -

"-r

BOOvo

~

L-r

~

~\

-..,

I

~

~

\ berekend met massa-veersysteem

400 Yo

>-,4

V

/

rT

i

II

BOv o

II

o 0,2 3 4 - t Fig. 26. Kracht-tijd-diagrammen.

Deze snelheid voIgt uit Vn - \ :

v" = V,,-l -

~n

• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • (G)

1

Hierin is Pn de kracht tussen blok en muts nadat het blok n maal in beide richtingen

is doorlopen (zie fig. 22).

Het verband tussen Pn en Pn - I is:

P

n

=

P,,-l +2(V" -

;n

)Z2 ...

(H)

paaJ

De krachten Pn en Pn - 1 zijn uit de vergelijkingen (G) en (H) te elimineren door (G)

te schrijven als:

(G')

Substitutie in (H) geeft:

. . . (J)

Het tijdsinterval tussen Vn -1 en Vn is

Hiermede is vergelijking (J) te schrijven als

_Z1.211 vn-2Vn-\+vn -2 =2Z2vn+2Z1,Z2.Vn-Vn-1 . . . (K)

2 at (ilt) 2~ 2Zpaa1 ill

a2

Ais M klein is ten opzichte van de tijdsduur van het gehele verschijnsel, dan is met een kleine [out voor

vn-2vn - 1 +vn -2

te schrijven:

(ilt)2

en voor

De uitdrukking Z11t!a1 is gelijk aan

Dit is de massa van het heiblok. De uitdrukking

~

=

E2F2

=

k z.

Iz 12

a2

Dit is de veerconstante van de heimuts. *)

*) In het algemeen is:

I M=

z·-

en a Z k

=,.

Dus Z'

=

kM. a

De vergeIijking (K) wordt hiermede:

d2_{v kM dv}

+M --+kv+--'- = 0 . . . (L)

dt2 _{Zpaal dt}

Deze vergeIijking is ook rechtstreeks af te lei den uit een massaveersysteem (zie fig. 27). De bewegingsvergeIijking voor de massa is:

d2_w

M · -

+

k'w-ku = 0

dt2

De verplaatsing u voIgt uit de samendrukking van de paal door de kracht uit de veer:

00 P a 00 u(t) = -

J

- d x = - - -

J

Pdt x EF EF t EF - ' u

=

a 00

J

k(w-u)dt met P = k(w-u)

EF du

- - - = k(w-u)

a dt

Elirninatie van u uit (M) en (N) levert:

. . . (M) w - - poal E, F, a Fig, 27, . . (N) . . . (L')

welke uitkomst identiek is met vergelijking (L).

De kracht op de paal is voor het geval van de impedantiediagramrnen van de fig. 24 en 25 berekend uit formule (L). Ret resultaat is in fig. 26 aangegeven.

De drie P-t-diagrarnmen vallen nagenoeg sarnen. De verschillen zijn veroorzaakt door tekenonnauwkeurigheden.

Bij de verende tussenlaag blijken rnicro- en rnacromechanica tot dezelfde resul-taten te voeren.

De afmetingen van bet heiblok blijken niet van belang te zijn voor de druk op de paal.