De warmteoverdracht van een hete wand naar druppels in de sferoïdale toestand

1265

511

O

BIBLIOTHEEK TU Delft P 1265 5110

DE WARMTEOVERDRACHT

VAN EEN HETE WAND

NAAR DRUPPELS

IN DE SFEROÏDALE TOESTAND

P R O E F S C H R I F T

TER VERKRIJGING VAN DE GRAAD VAN DOCTOR IN DE TECHNISCHE WETENSCHAPPEN AAN DE TECHNISCHE HOGESCHOOL TE DELFT OP

GEZAG VAN DE RECTOR MAGNIFICUS IR. H. J. DE WIJS

HOOGLERAAR IN DE AFDELING DER MIJNBOUWKUNDE, VOOR EEN COMMISSIE UIT DE SENAAT TE VERDEDIGEN OP WOENSDAG

6 OKTOBER 1965 DES NAMIDDAGS TE 4 UUR

DOOR

LAURENTIUS HENDRICUS J O Z E F WACHTERS NATUURKUNDIG INGENIEUR

GEBOREN TE ZWOLLE

1965

DRUKKERIJ 'HELMOND' N.V., HELMOND

DIT PROEFSCHRIFT IS GOEDGEKEURD DOOR DE PROMOTOR PROF. IR. H. KRAMERS

1

I

I

INHOUD

Samenvatting 9 Summary in English 12

I. Probleemstelling en historie 15

1.1 Inleiding 15 1.2 Nog enkele toepassingsgebieden 16

1.3 Historisch overzicht 17 II. Liggende druppels 19

2.1 Inleiding en literatuuroverzicht 19 2.2 De vorm van een liggende druppel 21 2.3 De verdampingssnelheid van liggende druppels in een verzadigde

omgeving 27 2.4 Discussie van de in de vorige paragraaf gemaakte

veronderstel-lingen 42 2.5 Meetmethode en apparatuur 45

2.6 Meetresultaten met druppels in verzadigde omgeving 49 2.7 Liggende druppels in een niet-verzadigde omgeving 58

III. Botsende druppels 65 3.1 Het hydrodynamisch gedrag van de druppel tijdens de botsing 66

3.2 Berekening van de verdamping van botsende druppels 76 3.3 Meting van de verdamping van botsende druppels in verzadigde

damp 82 3.4 Metingen aan koude botsende druppels in lucht 88

IV. Het warmtetransport naar een mist van zeer kleine waterdruppeltjes 103 4.1 Berekening van het warmtetransport naar botsende

mistdruppeltjes van 100 °C in een verzadigde omgeving 103

4.2 Meetapparatuur en meetmethode 105 4.3 Meetresultaten en discussie 108

4.4 Conclusie 112 Symbolen en notaties 114

Samenvatting

Wanneer een vloeistofdruppel terecht komt op een zeer heet vast oppervlak, vormt zich tussen beiden onmiddellijk een isolerende damplaag. Het gevolg daarvan is dat het transport van warmte aanzienlijk geringer is dan in het geval wanneer direct contact tussen de vloeistof en het vaste oppervlak zou optreden. Dit verschijnsel werd voor het eerst nader onderzocht door LEIDENFROST, naar wie het dan ook meestal wordt genoemd. Men spreekt echter ook vaak van de „sferoïdale toestand", welke benaming afkomstig is van BOUTIGNY.

Hoewel reeds in het begin van de negentiende eeuw het verband van de sferoïdale toestand met filmkoken werd opgemerkt, heeft men er van technische zijde tot voor kort slechts weinig belangstelling voor gehad. De laatste jaren is de belangstelling echter gegroeid, o.a. van de zijde van de kerntechniek. Het betreft hier de warmte-overdracht van een hete wand naar daarop botsende mistdruppeltjes. Nu zijn er uit de literatuur wel tal van onderzoekingen bekend over het gedrag van druppels liggend op een horizontaal, heet oppervlak, maar aangaande botsende druppels vindt men geen publicaties. Met het in dit proefschrift beschreven onderzoek is getracht deze leemte op te vullen.

Het onderzoek is uitgevoerd in drie achtereenvolgende stappen. Nadat in hoofd-stuk I de probleemstelling, enkele toepassingsgebieden en een kort overzicht van de in twee eeuwen verschenen literatuur zijn gegeven, wordt in hoofdstuk II de eerste stap van het onderzoek behandeld, t.w. de warmteoverdracht van een horizontaal heet oppervlak naar een daarop gelegen waterdruppel. Het bleek namelijk uit de Uteratuur dat de bepaling daarvan zowel experimenteel als theoretisch eigenlijk nog niet op een bevredigende wijze was geschied.

Na de theoretische bepaling van de vorm van een liggende druppel als functie van zijn volume door numerieke integratie van de drukbalans aan zij- en bovenoppervlak, werd in twee stukken de verdampingssnelheid berekend. De verdamping aan de onderzijde werd gevonden door numerieke integratie van de drukbalans aan het onderoppervlak van de druppel. Het tweede stuk, de verdamping aan de zijkant, werd gevonden door metingen aan modellen van druppels van verschillende grootten in een elektrolytische trog. De berekening van de verdampingssnelheid geschiedde zowel voor het geval waarbij de vloeist-of in de druppel als volledig stilstaand werd beschouwd, als voor het geval waarbij aan de druppelonderzijde de snelheidsgra-dient in de damp gelijk aan nul werd verondersteld. Voor deze beide situaties werd voorts ook de verdampingssnelheid berekend met de vereenvoudigende veronder-stelling dat de druppelonderzijde volledig vlak zou zijn.

De experimenten werden uitgevoerd met twee verschillende apparaten, n.l. een waarbij de temperatuur van het enigszins komvormige, gepolijste goudoppervlak tijdens een experiment niet kon worden gevarieerd, en een waarbij dit wel het geval was. Met het laatste bleek dat de sferoïdale toestand op een zeer glad oppervlak tot

zeer dicht bij het kookpunt kan worden gehandhaafd. De verdampingssnelheid werd gemeten door een verdampende druppel met korte tussenpozen van opzij te foto-graferen. Uit de reeks van foto's werd het volume als functie van de tijd bepaald, waarna differentiatie het eindresultaat opleverde. De resultaten van de metingen waarbij de druppel zich in een verzadigde omgeving bevond, vertoonden meer over-eenstemming met de eenvoudige theorie waarbij een platte druppelonderzijde was verondersteld, dan met de exacte theorie. Zeer waarschijnlijk is dit te wijten aan het feit dat de druppels steeds enigszins in trilling verkeerden, hetgeen door een capaci-tieve meting kon worden aangetoond. De verdampingssnelheid in droge omgeving bleek aanzienlijk groter dan die in verzadigde omgeving. Aangetoond werd dat de verdamping aan de onderzijde hierbij evenwel kleiner is. Voorts bleek dat in droge omgeving de sferoïdale toestand tot ver beneden het kookpunt kan worden gehand-haafd. Theoretisch zou men bij een zeer glad oppervlak zelfs tot de „natte bol temperatuur" van de omgeving moeten kunnen gaan.

In hoofdstuk III wordt het warmtetransport behandeld naar een op een heet oppervlak botsende waterdruppel van ca. 2 mm doorsnede. Is het oppervlak heet genoeg en is de snelheid van de druppel niet al te groot, dan gedraagt deze zich als een elastisch bolletje dat na een zekere „contact"-tijd weer wegspringt. Aangezien het niet gelukte de hydrodynamische vergelijkingen die het botsingsproces beschrijven op te lossen, werd getracht enig inzicht daarin te krijgen door het fotograferen van druppels tijdens de botsing. Uit opnamen met stroboscopische belichting bleek, dat bij de botsing op een voldoende heet oppervlak de snelheidscomponent evenwijdig aan het oppervlak gelijk blijft, terwijl de loodrechte component bepalend is voor het verloop van de botsing. De verblijftijd van de druppel op het oppervlak bleek ongeveer gelijk te zijn aan de trillingstijd van een vrij trillende druppel. Voorts bleek uit de bepaling van de grens voor het opbreken van druppels van verschillende vloeistoffen, dat het Webergetal behorend bij de loodrechte snelheidscomponent de botsing karakteriseert. Zeer veel informatie werd tenslotte verkregen uit foto's welke genomen waren op een aantal van te voren gekozen momenten tijdens het botsings-proces. Hieruit kon o.a. de versnelling van het zwaartepunt van de druppel en de grootte van het „contacf'-oppervlak met de hete wand worden gevonden, zodat m.b.v. de vereenvoudigde theorie uit hoofdstuk II een schatting kon worden gemaakt van de volume-vermindering die een waterdruppel van 100°C in verzadigde omgeving bij zijn botsing op een heet oppervlak door verdamping ondergaat.

Experimenteel werd de volume-vermindering als functie van de temperatuur van het hete oppervlak bepaald m.b.v. een gevoelige warmtestroommeter. Daarbij werd gebruik gemaakt van de thermische traagheid van de warmtestroommeter en een daarop geplaatst metalen plaatje. De meetresultaten laten zien dat, althans bij de gekozen botsingssnelheid, de verdamping bij toenemende temperatuur van het hete oppervlak weliswaar reeds bij 200°C sterk afneemt, maar dat eerst bij ca. 40p°C sprake is van de zuivere sferoïdale toestand. De relatieve volume-vermindering van de druppel is in het laatste geval slechts enkele tienden procenten.

Voorts werden aan botsende druppels van verschillende temperaturen de volgende grootheden gemeten: het gewichtsverlies bij de botsing, de opwarming van de druppel, en de verhouding van de loodrechte componenten van de snelheden voor en na de botsing. De bovengenoemde meetresultaten werden hierdoor bevestigd. Een nadere

verklaring van de waargenomen verschijnselen werd gevonden door het maken van foto's. Het bleek dat bij oppervlaktetemperaturen hoger dan 250°C een explosieve vorming van dampbellen kan optreden. Deze wordt waarschijnlijk veroorzaakt doordat hete metaalpieken bij het begin van de botsing in de vloeistof steken.

In hoofdstuk IV is tenslotte het warmtetransport van een heet oppervlak naar daarop botsende mistdtuppeltjes behandeld. Theoretisch kon een schatting worden gemaakt door extrapolatie van de gegevens uit hoofdstuk III. Daartoe werd bij het experiment de snelheid van de druppeltjes, welke een vrijwel uniforme grootte hadden, zo gekozen, dat het Webergetal behorend bij de loodrechte botsingssnelheid van dezelfde orde van grootte was als in het geval van de in hoofdstuk III behandelde grotere druppels. De meting geschiedde door registratie van de afkoelingscurve van een dun metalen plaatje dat, nadat het op een hoge temperatuur was gebracht, werd bespoten door een mist van stoom en kleine waterdruppeltjes. De resultaten bleken analoog aan die voor grotere druppels. Ook nu trad reeds bij 200 °C een flinke daling in de warmteoverdracht op, terwijl pas bij ca. 400 °C sprake was van de zuivere sferoïdale toestand. Bij ruwe of gecorrodeerde oppervlakken bleek de overgang wat geleidelijker te zijn dan bij een glad gepolijst oppervlak. In het algemeen is bij zeer hoge wandtemperaturen de invloed van mistdruppeltjes op de warmteoverdracht zeer klein.

Summary

THE HEAT TRANSFER FROM A HOT WALL TO LIQUID DROPS IN THE SPHEROIDAL STATE

When a liquid drop falls upon a very hot solid surface, an insulating vapour layer is immediately formed between the drop and the surface. As a result, the heat transfer is considerably less than in the case of direct contact between the liquid and the surface. This phenomenon was first investigated by LEIDENFROST, after whom it is named, but very often one speaks of the "spheroidal state", as BOUTIGNY called it. Even though the relationship between the spheroidal state and filmboiling had already been discerned in the beginning of the 19th century, the technical world did not show much interest in this phenomenon until recently. During the last few years interest has been growing, especially in the field of nuclear technology; in particular, the heat transfer between a hot wall and a mistflow. In fact, a certain number of investigations have been reported in the literature treating the behaviour of drops resting on a hot, horizontal surface, but no publication is to be found on impinging droplets. The investigation described in this thesis is intended to help fill this gap. The investigation has been divided into three stages. In chapter I the confrontation with the problem, some applications and a short review of the literature published during the last two centuries are given. In chapter II the first stage of the investigation, namely the heat transfer to a drop resting on a hot, horizontal surface, is described; it appeared from the literature that this phenomenon had not yet been treated in a satisfactory manner, neither experimentally nor theoretically.

Following the theoretical determination of the form of a resting drop as a function of its volume by numerical integration of the pressure balance along the top and the sides, the evaporation rate was calculated in two steps. First the evaporation rate at the bottom was found by numerical integration of the pressure balance at the bottom of the drop. Next the evaporation at the sides of the drop was found by measurements carried out upon analog models of drops of different sizes in an electrolytic bath. The estimation of the evaporation rate was made both for the case in which the liquid in the drop was assumed to show no internal circulation, and for the case in which the velocity gradient in the vapour at the bottom of the drop is assumed to be zero. The evaporation rate for both cases was also calculated with the simplifying assump-tion that the bottom of the drop was absolutely flat.

The measurements were carried out with two different experimental set-ups: one apparatus that did not allow variation of the temperature of the somewhat concave, polished gold surface during the experiment, and one that did. It was found that with the second apparatus the spheroidal state on a very smooth surface can be maintained right down to very near the boiling point. The evaporation rate was calculated by photographing an evaporating drop at short intervals. From a sequence of photo-graphs the volume as a function of the time was calculated; differentiation gave the final result. The results of the measurements on drops in a saturated atmosphere show more agreement with the flat-bottommed drop theory than with the exact one.

Most probably this is due to the fact that the drops always vibrated a little, as was shown by capacitive measurements, so that, on the average, the drop bottom was flat, rather than concave. The evaporation rate in a dry -atmosphere appeared to be con-siderably greater than that in a saturated atmosphere, although the evaporation rate at the bottom was smaller. Furthermore, it appeared that the spheroidal state could be maintained in a dry atmosphere at surface temperatures far below the boiling point. Theoretically one should be able — with a very smooth surface — to reach the "wet bulb temperature" of the surrounding atmosphere.

In chapter III the heat transfer is treated to droplets of about 2 mm diameter, falling on a hot surface. When the surface is hot enough and the velocity of the droplet is not too high, the droplet behaves as a rebounding elastic sphere. Because we did not succeed in finding a solution to the hydrodynamic equations describing the collision-process, we tried to obtain some information on the hydrodynamic behav-iour by photographing the droplets during impact. From photographs made with stroboscopic lighting it appeared that with a sufficiently hot surface the velocity component parallel to the surface remained constant during the impact, while the normal component determined the nature of the impact. The residence time of the drop at the surface appeared to be about equal to the first order vibration period of a spherical drop. Furthermore, it appeared from the measurements of the critical des-integration velocity of droplets of different liquids, that the Weber number associated with the normal velocity component fully characterized the impact. Finally, very much information was obtained from photographs taken at a number of predeter-mined instants during the impact process. Thus, the acceleration of the centre of gravity of the drop and the radius of the "contacf'-surface with the hot wall could be found. With these data an estimation could be made, using the simplified theory given in chapter II, of the volume decrease by evaporation of a droplet at 100°C in a saturated atmosphere during its impact upon a hot surface.

Experimentally, the droplet volume decrease as a function of the surface temper-ature was determined with the aid of a sensitive heat flow meter. This was done by utilising the thermal inertia of a system consisting of the heat flow meter and a metal disc placed upon it. The measurements showed that, at least at the chosen impact velocity, the evaporation decreases appreciably at surface temperatures exceeding 200°C, but that a purely spheroidal state is attained only above about 400°C. In the latter case the relative volume decrease of the droplet is only a few tenths of one per cent.

Furthermore, the following quantities were measured on impinging droplets of different temperatures: the weight loss during the impact, the heating of the drop, and the ratio between the normal velocity components before and after the impact. These measurements confirmed the heat flow meter results. A further explanation of the observed phenomena was found in the photographs. It appeared that an explosion of vapour bubbles can occur when the temperature of the surface exceeds 250°C. These vapour bubbles are probably generated by hot surface irregularities pricking the Uquid at the beginning of the impact.

Finally, the heat transfer from a hot surface to a transverse spray flow is treated in chapter IV. A theoretical estimation could be made by extrapolation of the data

given in chapter III. In the experiment therefore, the velocity of the uniformly-sized droplets was chosen such that the Weber number associated with the normal impact velocity was of the same order of magnitude as for the larger drops treated in chapter III. The cooling curve of a very hot, thin metal disc, exposed to a mist flow of steam and very small water droplets was recorded. The results appeared to be analogous to those for larger drops. Once again, a strong decrease in the heat transfer occurred at 200°C, but the pure spheroidal state was attained only above 400°C. With rough or corroded surfaces the transition appeared to be somewhat more gradual than with a smoothly polished surface. On the whole, at very high wall temperatures, the heat transfer is hardly influenced by the presence of mist droplets.

Hoofdstuk I.

P R O B L E E M S T E L L I N G E N H I S T O R I E

Par. IJ. Inleiding

Het is reeds eeuwenlang bekend dat een vloeistof die wordt uitgegoten over een zeer heet vast oppervlak daarop druppels vormt die er als kwik overheen rollen. Dit verschijnsel, dat voor het eerst in het begin van de achttiende eeuw door de Duitse medicus-physicus LEIDENFROST [3] nader werd bestudeerd, is later door de Franse apotheker BOUTIGNY [37] „l'état spheroidal" genoemd, BOUTIGNY dacht namelijk te maken te hebben met een soort vierde aggregatietoestand. Sinds het einde van de negentiende eeuw weet men, dat het verschijnsel veroorzaakt wordt door de damp die aan de onderzijde van de druppels wordt gevormd. De benodigde warmte moet via de damplaag worden toegevoerd, zodat de warmteoverdracht slecht is. Vandaar dat de druppels maar langzaam verdampen.

De sferoïdale toestand, ook wel het „verschijnsel van Leidenfrost" genoemd, heeft tot voor kort eigenlijk alleen bekendheid genoten als curiositeit. Wel werd reeds in het begin van de negentiende eeuw het verband gezien met filmkoken, maar als zodanig heeft men er van technische zijde geen belangstelling voor gehad. Nu is er sinds enkele jaren, met name in Engeland en ItaUë, een intensief onderzoek gaande naar de mogelijkheid om de afvoer van warmte in kernreactoren te verzorgen door middel van zogenaamde „spraycooling". Deze wijze van koeling verkrijgt men in een „kokend water reactor" als daarin de stoomkwaliteit tot een hoge waarde wordt opge-voerd. In het laatste deel van de koelkanalen vormt zich dan een mist van stoom en zeer kleine waterdruppeltjes, terwijl de wanden zijn bedekt met een uiterst dunne verdampende vloeistoffilm, welke voortdurend wordt gevoed door druppeltjes die erop terecht komen. De dikte van de film bedraagt vaak niet meer dan enkele tien-tallen microns. Daar zodoende de voor de verdamping benodigde warmte slechts een geringe weerstand ontmoet, is de warmteoverdrachtscoëfficiënt die op deze wijze wordt verkregen uitermate groot. Bovenstaande methode van koelen biedt dus de voordelen van de „kokend water reactor", terwijl bovendien het daarbij optredende gevaar van instabiliteit in geringere mate aanwezig is.

Stijgt echter plotseling het vermogen van de reactor, dan zal de vloeistoffilm op de pijpwand geheel verdampen, zodat de temperatuur daarvan snel oploopt. Op een zeker ogenblik zal deze zo hoog zijn geworden, dat de wand niet meer door druppel-tjes kan worden bevochtigd. Voordat ze het vaste oppervlak kunnen beroeren, vormt zich een isolerend damplaagje. De druppeltjes kaatsen dan als elastische balletjes weer terug in de miststroom. Het is nu van belang te weten onder welke omstandig-heden deze sferoïdale toestand optreedt en, als dit eenmaal het geval is, in hoeverre de op de wand botsende druppeltjes nog kunnen bijdragen tot de warmteoverdracht. Dit probleem is te splitsen in twee stukken. In de eerste plaats is er de vraag hoeveel druppeltjes per tijdseenheid en per opperylakte-eenheid op de wand botsen. In de tweede plaats moet men trachten te weten te komen wat er gebeurt als een

vloeistof-druppel op de hete wand terecht komt. Het in dit proefschrift beschreven onderzoek tracht alleen op de laatste vraag een antwoord te geven.

Wij zijn daartoe uitgegaan van het eenvoudigste geval: een druppel die, rustend op zijn dampkussen, bewegingsloos op een horizontaal, heet oppervlak ligt. Voor het warmtetransport daarheen is een theorie opgesteld, welke aan de hand van metingen werd geverifieerd. De beschrijving hiervan vindt men in hoofdstuk II. In het daarop volgende hoofdstuk is het gedrag van botsende druppels behandeld. Hun afmetingen waren zodanig, dat zij gemakkelijk konden worden gefotografeerd. Op deze wijze kon enig inzicht verkregen worden aangaande het hydrodynamisch gedrag, zodat met behulp daarvan kon worden berekend hoeveel warmte tijdens de botsing wordt overgedragen. De aldus verkregen resultaten werden met metingen vergeleken. Ten-slotte is in hoofdstuk IV het warmtetransport naar een mist van zeer kleine druppel-tjes bestudeerd. Door extrapolatie van de resultaten uit hoofdstuk III kon het hydro-dynamisch gedrag van deze kleine druppeltjes worden gevonden. De daarmee berekende warmteoverdracht werd eveneens vergeleken met meetresultaten.

Par. 1.2. Nog enkele toepassingsgebieden

Bij de koeling van oververhitte stoom door inspuiting van water komt meestal een groot aantal druppeltjes op de pijpwanden terecht. Zijn deze niet zo heet dat er een volledig damplaagje wordt gevormd, dan zal het materiaal van de wand blootgesteld worden aan grote temperatuurschommelingen. In de praktijk is gebleken dat de hierdoor optredende „thermal shock" een zeer ernstige beschadiging oplevert. In de pijp is dan ook meestal achter de plaats van inspuiting een z.g. „hemd" aangebracht, dat gemakkelijk kan worden vernieuwd.

Hetzelfde probleem doet zich voor als de hete schoepen van een stoomturbine in aanraking komen met druppeltjes. De daarbij optredende snelheden zijn meestal zeer hoog, zodat behalve de kans op „thermal shock" ook het gevaar voor erosie bestaat. SAVic en BOULT [68, 69] hebben getracht in dit geval de warmteoverdracht te bere-kenen. Hun aanpak is echter verre van volledig en bovendien niet helemaal juist.

In tegenstelling met de bovenstaande gevallen wenst men bij het continu gieten, snijden en harden van metalen juist een zo groot mogelijke koelende werking van de druppeltjes te verkrijgen. Dit wil ook de brandweer bij het „nat houden" van branden-de schepen en tanks. Hierbij moet men dus branden-de vorming van een damplaagje trachten te vermijden.

Tenslotte speelt vermoedelijk de sferoïdale toestand ook een rol bij de brandstof-inspuiting van dieselmotoren, MEURER [70] en LYN [71] vonden namelijk een ver-beterde werking als bij directe inspuiting de brandstofdruppeltjes niet op de cilinder-wand maar op de hetere 2aiigerkop terecht komen, MEURER mat bij een draaiende motor de temperatuur van de zuiger, en constateerde dat bij een bepaalde waarde daarvan de werking optimaal was. ADADEVOH, UYEHARA en MYERS [72] brachten dit optimaal gedrag in verband met de warmteoverdracht van de zuigerkop naar de daarop gespoten brandstofdruppeltjes. Door de sterk wisselende druk is de gang van zaken hier nog iets gecompliceerder dan in bovenstaande gevallen.

Par. 1.3. Historisch overzicht

Het onderzoek aan druppels op een heet oppervlak is al zeer oud. Het is dan ook interessant de ontwikkeling daarvan in de loop van de tijd te volgen. Een aantal auteurs, b.v. BOUTIGNY [37], BUFF [41], BERGER [48] en KISTEMAKER [67] geven weliswaar een kort overzicht van de hun bekende literatuur, maar deze overzichten zijn meestal verre van volledig. Daarom zijn achterin dit proefschrift alle publikaties gegeven 3ie wij over dit onderwerp hebben kunnen vinden (nummers 1 t/m 72 van de literatuurlijst). Helaas is een uitvoerige bespreking van deze vaak zeer curieuze lectuur in het kader van dit proefschrift niet mogelijk. Wij zullen ons daarom tot de meest saillante punten beperken.

De eerste die het verschijnsel in een publikatie vermeldt is BOERHAAVE [1]. In zijn 'Elementa Chemiae' uit hij zijn verwondering over het feit dat een druppel alcohol over een witgloeiend stuk ijzer kan rollen zonder te ontbranden. Aan een verklaring waagde hij zich nog niet. Wel werd zijn aansporing „nodus hic vestro dignus acumine" door velen ter harte genomen. Het was LEIDENFROST [3] die als eerste het verschijnsel aan een grondig onderzoek onderwierp. Hij bestudeerde het gedrag van druppels water, alcohol, ammonia en kwik die hij liet vallen op hete oppervlakken van goud, zilver, koper, ijzer en lood, en constateerde daarbij dat de verdamping van de vloei-stof des te sneller geschiedde naarmate het metaaloppervlak ruwer was.

Tijdens de eerste helft van de negentiende eeuw hebben vele onderzoekers zich met het verschijnsel van Leidenfrost beziggehouden. Het vermoeden bestond, dat er een verband zou zijn met de toen veelvuldig voorkomende explosies van stoomketels. BOUTIGNY [37] verhaalt dat alleen al in de Verenigde Staten in het jaar 1840 daarbij meer dan duizend personen om het leven kwamen. Proeven van PERKINS [17] en BOUTIGNY [37] toonden aan dat er inderdaad enig verband bestond, en dat hier sprake was van een verschijnsel dat wij kennen onder de naam „filmkoken".

De oorzaak van het verschijnsel van Leidenfrost was in die tijd nog niet bekend. Teneinde deze te vinden werden vaak zeer ingenieuze proeven bedacht, BOUTIGNY beschrijft er alleen reeds 106. Het merendeel van deze experimenten kan als volgt worden samengevat:

1. Getracht werd de sferoïdale toestand te verkrijgen met alle mogelijke vloeistoffen, b.v. water, alcohol, zwavelzuur, zwaveldioxyde, trichloorethyleen, terpentijn, olie en kwik (FARADAY [18], FRANKENHEIM [23], BOUTIGNY [37]).

2. Eveneens probeerde men het met verschillende soorten hete oppervlakken, b.v. goud, zilver, platina, ijzer, koper en lood (KLAPROTH [6], BOUTIGNY [37], BUFF [41], BERGER [48], Moss [51]). Er is enige tijd een heftige discussie geweest of het ook mogelijk was op glas en porselein (EMSMANN [30], MARCHAND [31], MORITZ [38]).

3. Men slaagde er ook in druppels van een bepaalde vloeistof op een andere, hete vloeistof te formeren, b.v. ether op water, water op gesmolten lood en kwik op gesmolten ijzer (BELLANI [12], THOMLINSON [27], PELOUZE [28], BOUTIGNY [37], BUFF [41], VAN DER MENSBRUGGHE [50]).

4. Slechts af en toe bepaalde men de verdampingssnelheid van de druppels. Meestal gaven de metingen niet erg reproduceerbare resultaten. Hierbij bleek vooral de aard van het oppervlak van belang (KLAPROTH [6]).

(DOEBE-REINER [13], BAUDRIMONT [25], LAURENT [26], LE GRAND, DE KRAMER, BELLI [33], PELTIER [34], BOUTIGNY [37], BUFF [41], BERGER [48]). De gcmctcn waarden lopen sterk uiteen, enerzijds vanwege de gebrekkige meettechniek, anderzijds wegens de rol die de verdamping aan de bovenzijde van de druppels hierbij speelt (zie par. 2.7 van dit proefschrift). Men verwonderde zich over het alge-meen zeer over de relatief lage temperatuur van de druppels. Wel bijzonder spectaculair was de proef van BOUTIGNY, waarbij hij een weinig water Uet be-vriezen in een druppel zwaveldioxyde die was gelegen in een witgloeiend platina-schaaltje.

6. Een ander punt waarover voortdurend heftige discussies gaande zijn geweest, is de temperatuur waarbij het nog net mogelijk zou zijn een druppel op het oppervlak neer te leggen zonder dit te bevochtigen (BOUTIGNY [37], BUFF [41], BiTODE [47], BERGER [48], GOSSART [53]). Daar het neerleggen niet steeds op precies dezelfde wijze geschiedde, werden nogal uiteenlopende waarden ge-vonden. Overigens bleek wel duidelijk dat een hogere temperatuur was vereist als het oppervlak ruw en gecorrodeerd was.

De volgende proeven toonden aan dat er tussen de vloeistof en het hete opper-vlak geen direct contact bestaat:

7. Plaatst men een Uchtbron achter een met een kleurstof ondoorzichtig gemaakte druppel, dan kan onder de druppel een lichtspleet worden waargenomen (DOEBE-REINER [13], PERSON [32], BOUTIGNY [37], TYNDALL [45], COLLEY [46], HESEHUS [49]).

8. Dat er ook geen intermitterend contact optreedt, toonde men aan door de on-mogelijkheid van chemische reactie tussen de vloeistof en het hete oppervlak (BOUTIGNY [37], CHURCH [44], BERGER [48]). De proef werd bijvoorbeeld uit-gevoerd met zwavelzuurdruppels op ijzer. Verwarrend bleek iu sommige ge-vallen de inwerking van de damp of een in de vloeistof opgelost gas, b.v. bij druppels ammonia op koper (CHURCH [44], BERGER [48]).

9. Een afdoende bewijs werd tenslotte geleverd door de afwezigheid van een elek-trische stroom als de druppel en het hete oppervlak in een stroomkring worden opgenomen (POGGENDORFF [29], BUFF [41], HESEHUS [49]).

In de loop van de tijd zijn diverse theorieën omtrent het verschijnsel van Leiden-frost ontwikkeld, PERKINS [ 17] dacht bijvoorbeeld aan een afstotende kracht die hete Uchamen op elkaar zouden uitoefenen, MUNCKE [19] en FRANKENHEIM [23] stelden dat bij hoge temperatuur cohesiekrachten veel groter zouden zijn dan adhesie-krachten. Deze hypothese culmineerde in de theorie van BOUTIGNY [37] over „l'état spheroidal", welke een soort vierde aggregatietoestand zou zijn. PERSON [32] kwam tenslotte als eerste met de gedachte dat de vloeistof en het hete oppervlak elkaar niet kunnen raken doordat zich daartussen een damplaagje heeft gevormd. Omstreeks 1870 blijkt deze theorie vrij algemeen aanvaard.

De geringe verdampingssnelheid van de druppels weet men aanvankelijk aan terugkaatsing van de warmte (DE RUMFORD [9]), of aan het diathermaan zijn van de vloeistof (POUILLET [15]). In 1888 stelt KRISTENSEN [52] dat vermoedelijk niet warmtestraUng maar warmtegeleiding het belangrijkste transportmechanisme is.

Na 1900 biedt het onderzoek in feite geen nieuwe aspecten. Men concentreerde zich voornamelijk op de experimenten genoemd onder de punten 4 en 6. Voor zover nodig zal hierop in hoofdstuk II nader worden ingegaan.

Hoofdstuk n .

L I G G E N D E D R U P P E L S

Par. 2.1. Inleiding en literatuuroverzicht

Brengt men voorzichtig een druppel vloeistof op een enigszins komvormig en vol-doende heet oppervlak, dan wordt daaronder onmiddellijk een continue damplaag gevormd, welke direct contact tussen de vloeistof en het onderliggend oppervlak verhindert. Meestal rolt de druppel aanvankelijk nog wat heen en weer, maar ten-slotte komt hij tot rust in het laagste punt van het oppervlak. Hij.krijgt dan de vorm van een wat uitgezakt, aan alle zijden afgerond omwentelingslichaam, zoals weer-gegeven in fig. 2.1.

De verdampingssnelheid van zo'n liggende druppel blijkt, vooral wanneer hij is gelegen in een omgeving van verzadigde damp, zeer veel lager dan wanneer de

vloei-Fig. 2.1. Waterdruppel in de sferoïdale toestand liggend op een liorizontaal, heet oppervlak.

stof in direct contact zou zijn met het hete oppervlak. In dit hoofdstuk wordt een theorie ontwikkeld ter beschrijving van deze slechte warmteoverdracht (par. 2.2 t/m 2.4). Vervolgens wordt een aantal experimenten besproken teneinde deze theorie te toetsen. De meetapparatuur en de meetmethode worden kort weergegeven in par. 2.5, waarna in par. 2.6 en 2.7 de meetresultaten en de discussie volgen.

Hoeveel onderzoekers zich reeds beziggehouden hebben met het probleem van de druppel op de gloeiende plaat bleek in hoofdstuk I, waar een overzicht van de literatuur tot 1900 werd gegeven. Het grootste deel van dit onderzoek is echter vrij

kwalitatief. Na 1900 worden de gegevens kwantitatiever van aard. Van de laatste groep van onderzoekers bepaalde zich het merendeel tot de meting van de verdam-pingssnelheid van een liggende druppel, als functie van de temperatuur van het hete oppervlak. Aanvankelijk beperkte men zich daarbij tot de bepaling van de tijd die nodig was voor de volledige verdamping van een druppeltje met een zeker oorspronke-lijk volume, PLETENEVA en REBINDER [61] vonden dat deze leeftijd bij kleine druppel-tjes evenredig was met de oorspronkelijke diameter. Vaak werd gemeten met ver-schillende vloeistoffen en op verver-schillende soorten hete oppervlakken. Zo bepaalde bijvoorbeeld BORISHANSKY [62, 64] de leeftijd van druppels water, alcohol en tetra als functie van de temperatuur van het hete oppervlak. Een voor zijn resultaten karakteristiek beeld wordt gegeven door fig. 2.2. Men ziet dat bij het dalen van de

M 120 8 0 4 0 > — T. fcj 1 0 0 2 0 0 3 0 0 4 0 0 5 0 0 ₆₀₀

Fig. 2.2. Leeftijd / van een waterdruppel van 45,8 mm' op een messing-oppervlak als functie van de temperatuur van het messing-oppervlak Tm (Boris-hansky [64]).

temperatuur van het oppervlak de leeftijd van de druppel aanvankelijk oploopt tot een maximum, en daarna scherp daalt naar een minimum. De plaats van maximum en minimum bleek karakteristiek voor de betreffende vloeistof en de aard van het hete oppervlak. In het gebied tussen maximum en minimum treedt in de druppel ook kiemkoken op, zodat daar dus niet van de zuivere sferoïdale toestand kan worden gesproken. Bij temperaturen hoger dan die waarbij het maximum optreedt, is er echter, althans wanneer de druppel enige tijd nadat hij op het hete oppervlak is neergelegd tot rust is gekomen, een continue damplaag onder de druppel aanwezig. Voor dit gebied stelde BORISHANSKY min of meer empirische betrekkingen voor de leeftijd op, waarbij hij de druppels indeelde in drie grootte-ordes: 1) kleine, vrijwel ronde druppeltjes, 2) grote platte druppels, en 3) druppels van zodanige grootte, dat dampbellen door de vloeistof heenbreken.

GOTTFRIED en BELL [65] maten de leeftijd van druppels water, alcohol, benzeen en tetra, die op een roestvrij stalen oppervlak lagen. Zij stelden dat het warmtetransport

alleen geschiedt door warmtestraling. Hun berekeningen kregen een semi-empirisch karakter door aanpassing van de geometrische factor aan de meetresultaten.

Aan de methode waarbij de warmteoverdracht aan druppels wordt gevonden door meting van de totale leeftijd, kleeft een belangrijk bezwaar. Niet alleen moet de theoretisch bepaalde verdampingssnelheid geïntegreerd worden over de achtereen-volgens door de druppel doorlopen afmetingen, maar bovendien blijkt de verminde-ring van het volume van een druppel, zodra die zeer klein is geworden, niet meer continu plaats te vinden, THORNTON [73] vond dat bij zeer kleine afmetingen de verdampingssnelheid plotseling sterk kan toenemen. Soms spat het druppeltje dan met een knalletje uiteen. De aard van het oppervlak bepaalt het moment waarop dit gebeurt.

Andere onderzoekers pasten ter bepaling van de verdampingssnelheid een stationaire methode toe. GORTON [63] bijvoorbeeld werkte met druppels waarin aan de bovenzijde een kwartscapillair stak. Daarmee was het mogelijk hen op een vol-komen vlak oppervlak op hun plaats te houden. Door het capillair werd bovendien aan de druppel een constante vloeistofstroom toegevoerd. De grootte van de druppel stelde zich na verloop van tijd in op een constante waarde. In deze stationaire toestand is de hoeveelheid per tijdseenheid toegevoerde vloeistof gelijk aan de ver-dampingssnelheid van de druppel, GORTON berekende nu met behulp van de gemeten verdampingssnelheid en het gewicht van de druppel de breedte van de dampspleet, en vergeleek deze met hetgeen hij kon opmeten uit foto's. Bij deze berekening nam hij aan dat de drukopbouw onder de druppel alleen werd veroorzaakt door de ver-snelling van de damp en dat de wrijving kon worden verwaarloosd.

Ook KISTEMAKER [67] wcrktc met een door een capillair toegevoerde, constante vloeistofstroom. Het aantal vermelde metingen is gering, zodat slechts een vluchtig beeld wordt verkregen. Tevens mat KISTEMAKER m.b.v. thermokoppels, aangebracht in het metalen oppervlak, de warmte die aan de druppel werd toegevoerd. De ver-werking van de hierbij verkregen meetresultaten is nogal aanvechtbaar. Tenslotte werd door hem met druppels van een verdunde bariumacetaat-oplossing, met behulp van röntgen-stralen de dikte van de dampspleet bepaald. Bij de berekening van de stroming in de dampspleet verwaarloosde hij de inwendige wrijving, terwijl hij bij de bepaling van de druk aan de rand van de dampspleet de invloed van de oppervlakte-spanning wegliet. Zijn theorie voor de verdampingssnelheid is daarom niet juist.

Alle bovengenoemde auteurs maten de verdampingssnelheid van druppels in de open atmosfeer, dus in een niet-verzadigde omgeving. Alleen GOTTFRIED en BELL hielden er rekening mee dat in dit geval ook aan de bovenzijde van de druppels ver-damping plaatsvindt. De anderen verdisconteerden in hun berekeningen alleen de verdamping aan de onderzijde. In par. 2.7 zal blijken dat de hiermee geïntroduceerde fout zeer ernstig kan zijn.

Par. 2.2. De vorm van een liggende druppel

Ligt de druppel op een horizontaal vlak, dan vertoont hij radiale symmetrie om een verticale as, zodat de vraag naar de vorm van de druppel wordt gereduceerd tot

de vraag naar de vorm van een meridiaan. We beperken ons voorlopig tot het stuk OMN in fig. 2.3. Van de onderzijde wordt daarbij aangenomen dat hij volledig vlak is, hetgeen in werkelijkheid natuurlijk niet zo zal zijn, daar de druk in de dampspleet onder de druppel niet overal gelijk is (zie par. 2.3). Het zal echter blijken dat dit geen invloed heeft op de vorm van het stuk OMN.

•1

Fig. 2.3. Druppel in sferoïdale toestand liggend op een heet oppervlak.

Stel nu in fig. 2.3 een cilindrisch coördinatenstelsel met assen r en z en oorsprong O in de top van de druppel. Aan het vloeistofoppervlak z (r) geldt op ieder punt het volgende drukevenwicht:

P.+ (Pi-p»)0z = P „ + f ^ l ^ + Y 1 1 (2.1) waarin p, de druk is in de top van de druppel, p„ de omgevingsdruk, QI en Q^ de dicht-heden van respectievelijk vloeistof en omringend gas, a de oppervlaktespanning, en i?i en i?2 de hoofdkromtestralen van het oppervlak in het betreffende punt. Vult men de bekende uitdrukkingen voor R^ en R^ in (zie b.v. BOUASSE [74]), en bedenkt men dat in de top van de druppel jRj en R^ gelijk zijn, dan krijgt men:

2(T d^z

dr^" + (P/-PJ3Z = (T

, , d z V r * d^z

^-^^'Ê)V-\

(2.2)

Door dimensieloos maken met behulp van de volgende substituties

z = a

r = pL L = la iPi-Pg)g ^ (2.3)

wordt deze differentiaalvergelijking:

dp'

,./-*[{-(l)T

d ^

dp'

+

' ^

^r

'M

dp (2.4) Hierbij gelden in O de volgende beginvoorwaarden

C(0) = o dC(0)

dp = O (2.5)

Uitgaande van een van tevoren gekozen waarde voor de eerste term van (2.4), dat wil zeggen voor de kromming in de top van de druppel, kan men nu C als functie van Q vinden. De oplossing, welke alleen numeriek mogelijk is, werd voor 14 verschillende waarden van d^C/dp^L=o berekend met behulp van een digitale rekenmachine *). Daar in het punt M de afgeleide van C naar Q oneindig is, werd in het gebied rond M niet C als functie van gr berekend, maar Q als functie van f.

Bij de berekeningen werd ook het dimensieloos volume <P = V/L^ bepaald met

TtpMC . (2.6)

Hierbij is verondersteld dat de onderzijde van de druppel volkomen vlak is. De numerieke berekening kon worden gecontroleerd door vergelijking van de op deze wijze gevonden waarde van <P met die welke men vindt uit het drukevenwicht aan de vlakke onderzijde:

iPi-Pt)gy+T^RlPo='^Rl{p,+(Pi-pg)gh}. (2.7)

Invullen van p^, linker- en rechterlid verminderen met nRo^Po ^ dimensieloos maken met (2.3) geeft:

^ = npl

d ^

Ap' _{p = 0}

+ c„

(2.8)

Invullen van de m.b.v. de integratie van (2.4) gevonden waarden van Q„ en Co geeft nu naast (2.6) een tweede waarde voor 0 . Werd bij de numerieke integratie van (2.4) een geschikte integratiestap genomen, dan verschilden de met (2.6) en (2.8) ge-vonden waarden van 0 nooit meer dan twee eenheden in de vierde decimaal.

In tabel 2.1 zijn de resulterende hoofdafmetingen van de druppels gegeven. Hierin staan in verband met de te bespreken experimenten niet de dimensieloze waarden, maar die voor waterdruppels van 100°C. De waarde voor L is in dat geval 3,54.10-3m.

*) De programmering voor de ZEBRA werd uitgevoerd door ir. A. A. M. Boeren en J. Emanuels, beiden verbonden aan de Wiskundige Dienst van de Technische Hogeschool te Delft.

Tabel 2.1. Hoofdafmetingen van liggende waterdruppels. nr 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 d'z — [m-'j dr' |r = 0 0,1079.105 0,5012.10^ 0,2326.10'' 0,1079.10^ 0,5396.103 0,3599.10' 0,1799.103 0,1079.10' 0,2159.102 0,1079.102 0,5396.10 0,2159.10 0,1079.10 0,2159 ^ m a x M 0,9261.10-» 0,1994.10-3 0,4280.10-3 0,9066.10-3 0,1719.10-2 0,2410.10-2 0,3926.10-2 0,5225.10-2 0,9618.10-2 0,1152.10-1 0,1341.10-1 0,1588.10-1 0,1775.10-1 0,2210.10-1 Rolm] 0,2796.10-5 0,1291.10-* 0,5862.1 O-I 0,2485.10-3 0,7753.10-3 0,1337.10-2 0,2721.10-2 0,3971.102 0,8319.10-2 0,1022.10-1 0,1210.10-1 0,1457.10-1 0,1644.10-1 0,2078.10-1 h[m] 0,1849.10-3 0,3954.10-3 0,8301.10-3 0,1640.10-2 0,2688.10-2 0,3326.10-2 0,4223.10-2 0,4669.10-2 0,5222.10-2 0,5268.10-2 0,5275.10-2 0,5260.10-2 0,5243.10-2 0,5200.10-2 K[m3] 0,3327.10-11 0,3310.10-1» 0,3237.10-» 0,2942.10-8 0,1785.10-' 0,4401.10-' 0,1507.10-» 0,2985.10» 0,1194.10-5 0,1771.10-5 0,2457.10-5 0,3525.10-5 0,4458.10-5 0,7058.10-5 n Ro' [m2] 0,2456.10-1» 0,5239.10» 0,1080.ro-' 0,1940.10-» 0,1888.10-5 0,5617.10-» 0,2326.10-* 0,4956.10-* 0,2170.10-» 0,3294.10-3 0,4599.10-3 0,6668.10» 0,8487.10» 0,1357.10-2

In de fig. 2.4 t/m 2.6 zijn /?„, henV uitgezet tegen R^.^^. Op de tegenoverliggende assen zijn in deze figuren de waarden voor de overeenkomstige dimensieloze groot-heden gegeven. 1 2 5 2 10-^-5 2 lO"*-!=, 0-* 2 "mox [m] t 5 10-^ ^o 2 5 1Ó-* ^ 2

„^

5 ^ 1ö' 2 5 1 2 5 IC ^ ' / -/^^ zeer grote / P druppel mox Ro-Rm.. [

zeer kleine druppel {

F^. 2 / 3 / 3 R : „ / L " RQ r—T L"'J - 4 5 1C5* 2 5 10"' 2 5 10'* 2 5 10"^ 2 5 10"* 2 Fig. 2.4. Verband tussen de maximumstraal en de straal van de onderzijde.

10 5 2 -1 5 2 -lO" 5 2 10-2

0 6 b- 4- 3- 2-1 O 10?h [m] 1

II

r

l

1 2 ^ ^ ^ — -/ ^ \

zeer kleine druppel; h.2RmM. 3 , 4 5 6 • • 0

7

"

/

Z M r grot» druppels n-U/ï

" 1 0 . ' R 7 to .1 ™x[nTl • r 15 1.0

as

12 16 20 24

Fig. 2.5. Hoogte van een liggende druppel als functie van zijn maximumstraal.

10^ 2 5 10"* 2 5 1ö' 2 5 1 2 5 10 2 5 10* 2

— " V [m3]

~5 l'ü'° 2 5 1ö" 2 5 10'* 2 5 ! { ƒ 2 ^ l b * 2 5 ~ l'cf' Fig. 2.6. Verband tussenbet volume en de maximumstraal.

In fig. 2.7 zijn tenslotte enkele berekende druppelcontouren getekend. Inderdaad blijken kleine druppeltjes tamelijk bolvormig, terwijl grote druppels sterk zijn uit-gezakt. Bij de eersten overheerst de invloed van de oppervlaktespanning, bij de anderen is de zwaartekracht belangrijk. Voor zeer kleine, respectievelijk zeer grote druppels, kan men een van beide verwaarlozen. Zo mag men voor kleine druppeltjes stellen dat p, - p„ > (p; - o„) gh. Verwaarloost men in (2.7) de laatste term, en stelt men de druppel bolvormig met straal R„

2o/i?,„ax> dan vindt men

zodat V = '^/.n R„,,,^^ en p, - p„ R„ 2./3i? 2 max 3L (2.9) De hoogte h van de druppel is hier natuurlijk gelijk aan 27?^

lO.(h-z) [m]

Fig. 2.7. Berekende vormen van liggende druppels. Bij iedere contour is het bij-behorende nummer uit tabel 2.1 gegeven.

Zeer grote druppels zijn aan de bovenzijde zeer vlak, zodat Pi - p„ < (p; - Qg) gh. Vergelijking (2.7) geeft dan met F = jt/?„,.j.,2;; ^gt triviale resultaat

R„ — R„ (2.10)

De hoogte van de druppel kan men vinden met een methode aangegeven door BOUASSE [74]. Stelt men in (2.1 j p^ - p„ = O en de hoofdkromtestraal in het vlak loodrecht op het meridiaan vlak overal oneindig groot, dan wordt deze vergelijking

iPi-Pg)g2 = (^li + \d'

Stelt men nu hierin dz/dr = tgcp dan krijgt men

{Pi-Pg)gz = a sincp

"*. d^z ] 2 ,

d?

d(p

d7

Integratie hiervan van z = O naar z = h levert tenslotte

(2.11)

(2.12)

Bovenstaande benaderingen voor grote en kleine druppels zijn in de figuren 2.4 tot en met 2.6 gestippeld aangegeven. Men ziet dat de benadering voor kleine druppeltjes redelijk voldoet voor R,„.^^<i 1 mm. De benadering voor grote druppels blijkt veel grover. Deze is eerst geldig bij druppels die veel groter zijn dan de berekende druppels.

In het voorgaande werd verondersteld dat de druppelonderzijde vlak zou zijn. Op grond hiervan werd het volume V berekend. In werkelijkheid is dit bij op hun damp zwevende druppels niet het geval. Immers, de dampproduktie onder de druppel impUceert een radiale drukgradient. Het oppervlak zal dus een min of meer gekromde vorm aannemen. Voor de rest van het druppeloppervlak maakt dit echter niets uit. Daar wordt immers de vorm bepaald door het drukevenwicht (2.1), en dit is in geen enkel opzicht afhankelijk van de vorm van de onderzijde van de druppel. De bereken-de grootheid V is dus niet het werkelijke volume. In het vervolg zal blijken dat V toch als rekengrootheid zeer bruikbaar is. Overigens zou V wel het volume zijn van een druppel liggend op een niet bevochtigend oppervlak, bijvoorbeeld een druppel kwik op glas, of een druppel water op een beroet oppervlak.

Het hierboven behandelde probleem is niet nieuw. In het verleden is de vorm van een liggende druppel vaak gebruikt ter bepaling van de oppervlaktespanning van vloeistoffen, vooral van vloeibare metalen (zie b.v. HEYDWEILLER [75], smDENTOPF [76]). Meestal beperkte men zich tot de vorm van de bovenste helft, welke met benaderingsmethodes kon worden berekend, BASHFORTH en ADAMS [77] berekenden voor een aantal druppelgroottes de gehele vorm. Hun resultaten, reeds in 1883 ge-publiceerd, maar later in de vergetelheid geraakt, kloppen vrij aardig met die welke op bovenstaande wijze werden gevonden. De laatsten zijn echter nauwkeuriger en beslaan een veel groter gebied van druppelgroottes.

Par. 2.3. De verdampingssnelheid van liggende druppels in een verzadigde omgeving

De berekening van de verdampingssnelheid van een op zijn damp zwevende druppel zal worden gesplitst in twee stukken:

1. De verdamping aan de onderzijde van de druppel, d.w.z. het gebied waar r < Rg (zie fig. 2.3). De afstand die de druppel inneemt tot het hete oppervlak wordt bepaald door de hoeveelheid damp die daar wordt ontwikkeld.

2. De verdamping aan zij- en bovenkant van de druppel (het stuk OMN in fig. 2.3). Hoewel dit deel zich verder van het hete oppervlak bevindt, zal blijken dat de verdamping daar niet te verwaarlozen is, vooral niet bij kleine druppeltjes, waar het onderoppervlak (r < RJ relatief klein is.

Wil de berekening niet al te gecompliceerd worden, dan is het verstandig voorlopig een aantal vereenvoudigende veronderstellingen te maken. Een discussie over het al of niet geoorloofd zijn daarvan, wordt gegeven in par. 2.4.

Men stelle nu:

a. De dikte van de dampspleet onder de druppel is zo klein ten opzichte van de straal

Rg van de onderzijde, dat de vertikale snelheid van de damp kan worden

b. De stroming van de damp in de spleet is laminair en wordt alleen bepaald door de inwendige wrijving. Traagheidskrachten worden dus verwaarloosd.

c. De viskositeit r;,, het warmtegeleidingsvermogen A„, en de dichtheid Q^ van de damp zijn constant en gelijk aan die behorend bij de gemiddelde temperatuur tussen druppel en heet oppervlak.

d. Het effect op het warmtetransport van de dampstroom die van het vloeistofopper-vlak afkomt, is onbelangrijk.

e. De bijdrage van de straling tot het warmtetransport is te verwaarlozen.

f. De invloed van de drukverhoging onder de druppel op de kooktemperatuur van de vloeistof aan het onderoppervlak van de druppel is te verwaarlozen, zodat dus alle warmte die van de hete wand aan de druppel wordt toegevoerd, gebruikt wordt voor dampproduktie ter plaatse.

1. D e v e r d a m p i n g a a n de o n d e r z i j d e van de d r u p p e l

Stel dat de dikte van de dampspleet onder de druppel op iedere plaats bekend is. Dan is het mogelijk de hoeveelheid warmte te berekenen die per tijdseenheid van het hete oppervlak naar de druppel wordt getransporteerd. Wordt alle toegevoerde warmte voor verdamping ter plaatse gebruikt, dan is het in principe mogelijk de snelheid van de damp en de drukverhoging die met de stroming gepaard gaat, op iedere plaats in de spleet te berekenen. In de stationaire toestand zal de druk onder de druppel in evenwicht moeten zijn met de druk in de druppel, vermeerderd met de druk ver-oorzaakt door de oppervlaktespanning in het vloeistofoppervlak. Door het opstellen van een vergelijking voor het drukevenwicht moet het nu dus mogelijk zijn de afstand tussen druppel en heet oppervlak op iedere plaats te vinden. Is dat eenmaal gebeurd, dan kan men gemakkelijk de totale hoeveelheid aan de onderzijde geproduceerde damp berekenen. Ook is dan de afstand tussen druppel en oppervlak ter plaatse

r = Rg vastgelegd, zodat ook de warmteoverdracht naar zij- en bovenkant kan

worden bepaald.

In het bovenstaande werd verondersteld dat de drukverhoging alleen bestaat in het gebied r < Rg. Inr = Rg werd de druk gelijkgesteld aan die in de omgeving. Gezien de sterke kromming van het druppeloppervlak in r = R„, waardoor dit dus snel afbuigt van het hete oppervlak, en gezien de betrekkelijk geringe snelheden in de spleet, waardoor ook de dynamische drukopbouw gering is, is deze veronderstelling acceptabel.

Neem nu in fig. 2.8 een cilindrisch coördinatenstelsel met assen r en z, en oorsprong O in het hete oppervlak. Stel de vertikale snelheid waarmee de damp de onderzijde van de druppel verlaat gelijk aan v„, en laat deze een functie zijn van r. Dan geldt voor de horizontale, radiaal gerichte dampsnelheid u de volgende stofbalans

rr rMr)

2nr'PgVgdr'= \ Inrp^udz , (2.14)

Jo jo

Tevens geldt voor de snelheid u de impulsbalans dp dr d^u 1 8u dz' r dr dht 'dr' (2.15) Indien de onderajde van de druppel volledig star is, en dus de vloeistof in het geheel niet door de naar buiten stromende damp wordt meegesleept, dan gelden de volgende randvoorwaarden

u(r,0) = 0 u(r,d) = 0 _{p{K) = Po} (2.16)

O '

^;^^;''.V:^'%<^^;^;''%fó%^

Fig. 2.8. Stroming onder een liggende druppel.

Daar de afmetingen in de spleet in de z-richting veel kleiner zijn dan die in de r-rich-ting (zie veronderstelling a op pag. 27), kunnen de laatste drie termen in het rechterlid van (2.15) worden verwaarloosd. Aan (2.15) voldoet dan de oplossing

u = —

dp z{d-z)

dr 2t], (2.17)

waarin dp/dr nog een functie is van r. Invullen van (2.17) in de stofbalans (2.14) levert: dp dr 12^; r r'v„dr'. .'o (2.18) zodat

6z

d-z

r , , ,

" = H— ^ ^ d r • Integratie van (2.18) geeft het drukverloop onder de druppel,

(2.19)

P - P ( , = 12f7g

r'd^ r"i;„dr'dr" (2.20)

De snelheid v,, van de damp vanaf de druppelonderzijde wordt gegeven door de hoeveelheid warmte die per tijdseenheid en per öppervlakte-eenheid daar aankomt.

Vindt de warmteoverdracht door de spleet alleen plaats door warmtegeleiding, en wordt alle toegevoerde warmte ook inderdaad voor verdamping daar ter plaatse aan de onderzijde gebruikt, dan geldt, als bovendien de onderkant van de druppel niet al te sterk gekromd is, dat

= K(Tm-T,) (2.21)

p^AHd

Hierin is kg het warmtegeleidingsvermogen van de damp, AH de verdampingswarmte van de vloeistof, T^ de temperatuur van het hete oppervlak, en T^ de tempejatuur van de druppel. Invullen van (2.21) in (2.20) geeft voor het drukverloop

PgAH j , rd\fo d

In deze uitdrukking zijn r)g, Xg en Qg gekozen bij de gemiddelde temperatuur in de spleet, dus bij Vg iTm + ^s)- Om de afhankelijkheid van p- p„ van r,„ en T^ vol-komen te weten, moet men dus nog de temperatuurafhankelijkheid van rjg, Ig en Qg in (2.22) invullen. Zijn rjs, A., en p,, de waarden van r]„, Ig en Qg behorend bij het kook-punt Tj van de vloeistof, dan geldt itlet goede benadering

Xg = Xs Pg = Ps 2T, / T . + T, 2T ^'^'-] . (2.23) TJ T +

waarin T^ en T^ dienen te worden uitgedrukt in graden Keivin. De drukverdeling onder de druppel wordt dan tenslotte

_ 3r,MT.-TMT„ + Tf p _ 1 _ T r;; (2.24)

P ^ o - pJHT,' l r'd^)o d ''''''

Dit is dus de overdruk die onder de druppel wordt veroorzaakt door viskeuze stroming van damp naar de buitenrand van de spleet.

In de druppel heerst in een willekeurig punt aan de onderzijde een druk

P, + 9{pi-Pg)ih-d+d,) .

Hierin is p^ de druk in de top van de druppel. De tweede term geeft het hydrostatisch drukverschil tussen de top en het beschouwde punt aan de onderzijde. Het verschil

in druk binnen en buiten de druppel wordt bepaald door de oppervlaktespannings-krachten. De drukbalans wordt dus

p,+ iPi- pg)gh - {p, - pg)g(d -do) = p+('(^ + Y)- ^^"^^^

Volgens (2.7) kunnen de eerste twee termen in het linkerlid worden vervangen door

ipi-pg)gv

nRi

+ Po

De tweede term in het rechterlid is voor kleine waarden van dd/dr gelijk aan / d ^ 1 dd

\dr^ r dr

Tenslotte wordt p gegeven door (2.24). Vult men het bovenstaande in vergelijking (2.25) in, dan krijgt men, indien Qg <^ QI,

P,gV 3r,sUT^-TMT„,+ Tf f'^" 1 i'r"

^-P'9id-dJ = ^—^, 1 _ | _ d r d r +

d'd 1 dd

dr^ r dr

+ o[^-^ + (2.26)

De randvoorwaarden hierbij zijn

^ ^ = O ^ ^ ^ = O . (2.27) dr dr

Daar voor oplossing van de vergelijking geen analytische methode aanwezig is, dient deze numeriek te geschieden. Stel daartoe in eerste instantie de oplossing van de vorm

d{r) = ao + a2r' + ay . (2.28)

Er geldt nu d (R„) = dg. Met de door (2.27) gegeven randvoorwaarde voor r = Rg en na invullen in (2.26) vindt men voorts

d'djRg) ^ p,gV dr' nRla '

Uit het bovenstaande volgt dan voor (2.28)

dg kunnen vinden, dan zou het mogelijk zijn na invullen van (2.29) in de integraal in

(2.26), een eerste benadering van het verloop van-rf met r te bepalen door integratie van (2.26) met de beginvoorwaarden d (Rg) = dg en dd {Rg)/dr = 0. Hetzelfde kan men vervolgens doen met een niet veel van de eerste schatting verschillende waarde van dg. Het is zeer waarschijnlijk dat in beide gevallen niet aan de randvoorwaarde (2.27) in r = O wordt voldaan. Is dg te groot gekozen, dan valt de druk onder de druppel te laag uit. Dan moeten de oppervlaktespanningskrachten de druk in de druppel compenseren, zodat d^d/dr^ over het traject van r = Rg tot r = O te lang positief blijft. In dat geval wordt dd/dr in r = O dus negatief. Is daarentegen dg te klein gekozen, dan wordt dd (0)/dr positief. Lineaire inter-, respectievelijk extra-polatie tussen beide gevonden contouren aan de hand van de gevonden waarden van

dd (0)/dr geeft echter een betere benadering van het verloop van d (r). Berekent men

hiermee de integraal in (2.26), dan levert integratie van de vergelijking opnieuw een verbeterde benadering. Ook nu zal zeer waarschijnlijk dd (0)/dr niet gelijk aan nul zijn. Lineaire inter-, respectievelijk extrapolatie tussen de in de integraal ingevulde contour en de na integratie van (2.26) gevonden contour aan de hand van de bijbe-horende waarden van dd (0)/dr, geeft echter een nog betere benadering van d (r). Convergeert dit iteratieproces, dan vindt men na een niet al te groot aantal iteraties een oplossing die zeer dicht bij de exacte oplossing is gelegen.

Bovenstaande procedure werd geprogrammeerd voor berekening met een digitale rekenmachine *). Op deze wijze werd voor T^ = 100 °C van een viertal water-druppels van verschillende grootte (resp. 2,942, 17,85, 44,01 en 150,7 mm») bij 15 waarden van T,„ tussen 120 en 400 °C, de vorm van de onderzijde berekend. Voor de eerste twee druppelgroottes kon worden volstaan met als eerste schattingen voor dg respectievelijk d^ en Vg d^„ waarbij <i„ de (constante) dikte van de dampspleet onder de druppel voorstelt die men met (2.34) berekent bij de veronderstelling dat de druppelonderzijde voor r < R,, volkomen vlak is. Inderdaad blijkt uit de berekende contouren in fig. 2.10 dat d (ƒ?„) voor kleine druppeltjes vrij dicht in de buurt van dj, ligt.

Voor grotere druppels was een nauwkeuriger schatting vereist. Hier bleek echter

d (Rg) zo langzaam op te lopen met toename van het druppelvolume, dat als eerste

schatting de bij de voorgaande (kleinere) druppel gevonden waarde van d (R„) kon worden gebruikt. Dit werd echter alleen gedaan bij T„, = 120°C. Voor de overige waarden van r„, werd als eerste schatting steeds de waarde van d (Rg) behorend bij de voorgaande (lagere) waarde van r,„ genomen. Als tweede schatting voor dg werd in beide gevallen een waarde gekozen die een factor 1,2 groter was dan de eerste schatting.

In fig. 2.9 is van een druppeltje van 44,01 mm' de vorm van de onderzijde bij twee temperaturen weergegeven. De gestippelde lijnen hebben betrekking op de spleetdikte

dj, welke men vindt met (2.34) bij de veronderstelling dat de druppelonderzijde

vol-komen vlak is. Het blijkt dat de werkelijke vorm van de onderzijde vrij sterk afwijkt van deze vlakke vorm. Teneinde de kromming van de onderzijde bij verschillende druppelgroottes te vergelijken, werd in fig. 2.10 bij r,„ = 200°C het quotient d (r)/dj, uitgezet als functie van r/R„. Hieruit blijkt dat grotere druppels relatief meer afwijken van een vlakke onderzijde dan kleinere.

0,15

0.10

0lO5

T=400"C

Fig. 2.9. Vorm van de onderzijde van een liggende waterdruppel met stilstaande vloeistof (K = 44.01.10» m»).

4.0

Fig. 2.10. Vorm van de onderzijde van liggende waterdruppels met stil-staande vloeistof (r,„ = 200°C).

In tabel 2.2 zijn tenslotte alle berekende waarden voor d (0) en d (Rg) gegeven. Het blijkt dat, terwijl bij constante T,„ d (Rg) slechts langzaam toeneemt met de drup-pelgrootte, d (0) ongeveer lineair oploopt met R„. De in deze tabel vermelde waarden van d (Rg) zullen in het tweede deel van deze paragraaf worden gebruikt voor de bepaling van de verdamping aan de zij- en bovenkant van de druppels.

Tabel 2.2. Berekende dikte van de dampspleet onder liggende waterdruppels met stilstaande

vloeistof (in microns).

10». K [m3] 10».7?„ax [m] \0\Ro [m] Tm [°C] 120 140 160 180 200 220 240 260 280 300 320 340 360 380 400 2,942 0,907 0,2485

dm

14,7 16,7 18,1 19,2 20,1 21,0 21,7 22,5 23,1 23,8 24,4 24,9 25,5 26,0 26,6 di.Ro) 5,71 7,07 8,05 8,85 9,56 10,2 10,8 11,3 11,9 12.4 12,9 13,3 13,8 14,2 14,6 Jp 7,51 9,08 10,2 11,0 11,8 12,5 13,1 13,7 14,3 14,8 15,4 15.9 16,3 16,8 17,2 17,85 1,72 0,7753 rf(O) 43,0 48,4 52,1 55,0 57,4 59,6 61,6 63,4 65,1 66,7 68,3 69,7 71,1 72,5 73,8 d(Ro) 9,29 11,6 13,3 14,7 15,9 17,1 18,1 19,1 20,0 20,9 21,7 22,6 23,4 24,2 24,9 dp 15,0 18,0 20,2 22,0 23,5 24,8 26,2 27,3 28,4 29,5 30,5 31,5 32,5 33,4 34,3 44,01 2,41 1,337 d(0) 74,2 83,2 89,3 94,1 98,2 102 105 108 111 114 116 118 212 123 125 di.Ro) 11,3 14,2 16,3 18,0 19,6 21,0 22,3 23,5 24,7 25,8 26,9 27,9 28,9 29,9 30,9 d„ 20,5 24,7 27,8 30,2 32,3 34,2 35,9 37,6 39,1 40,6 42,1 43,4 44,7 46.0 47,3 150,7 3,93 0,2721 diO) 161 179 292 202 210 217 224 230 236 241 246 251 255 260 264 diRo) 13,9 17,5 20,2 22,4 24,3 26,1 27,8 29,3 30,8 32,3 33,7 35,0 36,3 37,6 38,9 dv 30,7 37,0 41,5 45,1 48,3 51,2 53,8 56,2 58,5 60,7 62,9 64,9 66,9 68,8 70,7

Tabel 2.3. Berekende verdamping aan de onderzijde van liggende waterdruppels met stilstaande

vloeistof (in mm»/s). 10». V [m'l 10». /Jmax [m] 10». Ro [m] Tml'C] 120 140 160 180 200 220 240 260 280 300 320 340 360 380 400 2,942 0,907 0,2485 ^vo 0,00529 0,00903 0,0123 0,0154 0,0183 0,0210 0,0237 0,0263 0,0287 0,0312 0,0335 0,0359 0,0382 0,0404 0,0426 ^vop 0,00595 0,0100 0,0136 0,0169 0,0199 0,0299 0,0257 0,0284 0,0310 0,0336 0,0360 0,0385 0,0410 0,0431 0,0453 17,85 1,72 0,7753 ^vo 0,0231 0,0397 0,0545 0,0683 0,0813 0,0938 0,106 0,118 0,129 0,140 0,151 0,162 0,172 0,182 0,193 ^vop 0,0291 0,0490 0,0666 0,0827 0,0975 0,112 0,126 0,139 0,152 0,164 0,176 0,188 0,201 0,211 0,221 44,01 2,41 1,337 ^VO 0,0459 0,0793 0,109 0,137 0,164 0,189 0,213 0,237 0,261 0,283 0,305 0,327 0,349 0,370 0,391 ^vop 0,0629 0,106 0,144 0,179 0,211 0,242 0,271 0,300 0,328 0,355 0,381 0,407 0,433 0,456 0,479 150,7 3,93 2,721 ^vo 0,109 0,191 0,264 0,332 0,397 0,460 0,520 0,579 0,637 0,693 0,748 0,803 0,856 0,909 0,962 ^vop 0,174 0293 0,399 0,495 0,584 0,671 0,752 0,831 0,907 0,983 1,05 1,13 1,20 1,26 1,33

Met de boven gevonden functie d(r) kan men nu de hoeveelheid vloeistof bereke-nen die per tijdseenheid aan de onderzijde van de druppel verdampt. Deze is immers

4>.= r ^ ^ ^ ^ ^ d r . (2.30)

./o Pi

Vult men hierin voor v„ de uitdrukking (2.21) in, en bedenkt men dat de temperatuur-afhankelijkheid van kg wordt gegeven door (2.23), dan krijgt men

^ V2 nX,{T„-TMTm+T,)i f"" rdr .^Sl)

p,AHTi l d '

In tabel 2.3 zijn de met (2.31) gevonden waarden voor de verdamping aan de onder-zijde gegeven. Ook hier werd de berekening uitgevoerd voor de vier bovengenoemde druppelvolumina en temperaturen r,„ tussen 120 en 400°C.

In het voorgaande werd reeds enkele malen gesproken over de resultaten die men zou krijgen voor een volledig vlakke onderzijde. Dit laatste is niet geheel fictief. Aan-gezien vooral grote druppels vrijwel steeds in trilling verkeren, is het goed mogelijk dat een vlakke onderzijde een beter beeld van de werkelijkheid geeft dan de boven berekende gekromde vorm. Stelt men dat de druppel aan de onderzijde, d.w.z. voor r <Rg, volkomen vlak is, dan kan men de nu constante waarde van de dampspleet-dikte dj, berekenen uit het krachtenevenwicht dat er in de stationaire toestand moet zijn tussen het gewicht van de druppel en de geïntegreerde druk in de dampspleet,

p,gV=i°2nr{p-p„)dr. (2.32) .'o

Het drukverloop onder de druppel vindt men ook hier weer met (2.24), maar hierin is nu d constant en gelijk aan dj,

v-v = ^^''^»(^"~ ^^^^^^ + ^»^^ . (p2_^2) . (2.33) P P" ^PsAHT.'dl ^'^'' '^

Dit ingevuld in (2.32) levert tenslotte voor de spleetdikte

^\MsK{Tm-Ts){Tn,+ T.fKX (2 34)

" 1 %p,p,gAHT^V ] •

Met (2.21) en (2.30) geeft dit de verdampingssnelheid aan de platte onderzijde

^ _ \2n^pXg(T„-T,fRtV\i ^2 35^

^'"" \ 3pff,,AH' i •

Voor de bovengenoemde druppelgroottes en temperaturen werden dj, en $„op be-rekend. De resultaten zijn eveneens in de tabellen 2.2 en 2.3 weergegeven. Het blijkt

dat dj, bij kleine druppels vrij dicht in de buurt van d(R^ ligt. Opvallend is, dat het verschil tussen c?„op en <p^,g, dat voor kleine druppeltjes gering is, sterk toeneemt bij grotere druppelvolumina. Dit houdt natuurlijk verband met het reeds bij fig. 2.10 geconstateerde feit dat het quotient d(r)/dj, bij grotere druppels als functie van r een grotere variatie vertoont.

2. D e v e r d a m p i n g a a n de r e s t van het d r u p p e l o p p e r v l a k

Het warmtetransport naar de rest van het druppeloppervlak kan m principe slechts worden bepaald als men de stroming van de damp rondom de druppel kent. Neemt men echter aan dat de stroomlijnen van de dampstroming samenvallen met de iso-thermen die men zou hebben als de damp stilstond, dan wordt de bepaling van de warmteoverdracht gereduceerd tot een zuiver geleidingsprobleem. Deze veronder-stelling is, vooral in het relatief belangrijke deel van het oppervlak waar r?»i?„, accep-tabel. De warmtebalans in de damp luidt nu voor radiale symmetrie om de z-as

d^T 1 d r d ^ r „ (r,-,..

+ _ + = 0 . (2-36)

dr^ r dr dz

waarbij de randvoorwaarden zijn, dat de temperatuur T aan het hete oppervlak gelijk is aan T,„ en aan het druppeloppervlak gelijk aan T,. Hieruit zou men de tempera-tuurgradient aan het druppeloppervlak wUlen berekenen, teneinde daarmee de totale geïntegreerde warmtestroom naar de druppel te bepalen. Gezien de gecompliceerd-heid van de analytische uitdrukking waarmee de vorm van de druppel is vastgelegd, is dit echter volkomen ondoenlijk. Daarom werd hier gebruik gemaakt van een ana-loog model, namelijk een electrolytische trog, waarin voor de electrische potentiaal een vergelijking geldt, die geheel analoog is aan de warmtebalans (2.36). Een elec-trische stroom tussen twee aequipotentiaalvlakken in de trog is dus analoog aan de warmtestroom tussen twee isothermische vlakken in een gelijkvormige configuratie bij de warmtegeleiding.

Van de druppels nr. 4, 5, 6 en 7 uit tabel 2.1 (dat zijn dus de druppels waarvoor ook de tabellen 2.2 en 2.3 gelden), werd een electrisch model gemaakt. Een aanzien-lijke vergroting (140—560 maal) was daarbij noodzakelijk, wilde een redeaanzien-lijke nauw-keurigheid worden bereikt. Dit is duidelijk als men bedenkt dat de afstand tussen de druppelonderzijde en het hete oppervlak vaak niet meer dan enkele microns bedraagt, en men juist als functie van deze afstand de bijdrage van de verdamping aan zij- en bovenkant van de druppel zou willen bepalen.

Gezien de grote afmetingen die de druppelmodellen zouden krijgen en de moei-lijkheid van de fabrikage ervan, werd niet gewerkt met modellen die de gehele drup-pels besloegen, maar slechts met sectoren van 20° (zie fig. 2.11). Bovendien betroffen deze sectoren slechts de onderste helft van de druppels Uit metingen aan een soort-gelijk model van een volkomen bolvormige druppel bleek bij versoort-gelijking met de uit de potentiaaltheorie bekende waarde (zie b.v. BUCHHOLZ [78]), dat het weglaten van de bovenste helft nauwelijks enige invloed had en dus tenvolle geoorloofd was.

De sectoren werden op vrij eenvoudige wijze vervaardigd uit twee in de juiste vorm gezaagde schijven Perspex, welke onder een hoek van 20° op elkaar werden geUjmd. Daaroverheen werd aan de omtrek een strook latoenkoper aangebracht.

Het model van het hete oppervlak bestond uit een sectorvormige, vlakke plaat van koper, waarvan de straal ongeveer tweemaal zo groot was als de grootste straal van de druppelmodellen.

zijaanzicht

•bovenaanzicht

Fig. 2.12. Electrolytische trog.

In een onder een hoek van 20° scheefstaande bak, welke was gevuld met een ver-dunde oplossing van kopersulfaat, konden de druppelsectoren zo tegenover de sec-torvormige koperplaat worden geplaatst, dat hun twee snijvlakken respectievehjk met de bodem van de bak en het vloeistofoppervlak samenvielen (zie fig. 2.12). Hun afstand tot de sectorvormige plaat, analoog aan de spleetbreedte onder de werkeUjke druppels, kon met behulp van een schroefspil nauwkeurig worden gevarieerd.

De kant van de modellen welke overeenkwam met de onderzijde van de druppels was vlak gehouden. Het ging hier immers om de bepaling van de warmtestroom naar de zij- en bovenkant van de druppels. De bijdrage van de vlakke onderzijde alleen werd bepaald door tevens te meten aan modellen die alleen deze betroffen. Hiervoor dienden vlakke sectorvormige koperplaten met een straal gelijk aan die van de vlakke „onderzijde" van de overeenkomstige volledige druppelmodellen. Daarmee was tevens de mogelijkheid geschapen tot vergelijking van de in de trog gemeten electrische weerstand en de warmteweerstand bij de werkeUjke druppels.

20 1.5 ^o 0.5 V= 2,942.10'^' z/*v ^vz/^vop •10?d [m] 2X1 1.5 \0 0 5 V=17.85.10^m ^•9„3 *V2/*VOP 10."d [m] 10 15 10 2 0 3 0 1,00 0.75

aso

0l25 V • 44.01.10 m^ .ia°d [m] 0.20 0.15 0.10 0.05 V = 150,7.1(5*m^ * v 2 / * V t — lO.d [m] 2 0 4 0 6 0 20 40 60

Fig. 2.13. De verhouding tussen de verdamping aan zij- en bovenkant en aan de vlakke onderzijde bij waterdruppels met verschillende volumina.