Bayesowskie graniczne modele kosztów dla oddziałów banku : wnioskowanie o efektywności kosztowej i jej determinantach

Pełen tekst

(1)Jerzy Marzec Katedra EkonometrU. Jacek Osiewa/ski katedra EkonometrU. Bayesowskie graniczne modele kosztów dla od .ałów banku. ości Wnioskowanie o efek kosztowej i jej detel111lnantach* 1. Wprowadzenie Najnowsze ekonometryczne metody specy fikacji i estymacji funkcji kosztu pozwalają na precyzyjne wnioskowanie o charaktery stykac h stosow anej tech nologii oraz o w s kaźnikach tzw. efektywnośc i kosztowej. Efektywność (spra wność) kosztowa b'ldź efe kt yw ność kosztów (ang . casl eJJicicllcy) to iloraz minimalnego kosztu ( ni ez będ ne go do wy tworzenia danej w i e lk ośc i produkcji przy dan ych cenach czynników) i kosztu rzeczyw i ście poniesionego. Zatem jeżeli przedsiębiors t wo (przy ustalonych cenach czynników produkcji) pon osi większy koszt wytw orzenia określ o n ego poziomu produkcj i ni ż wynikając y z mikroekonomicznej (granicznej ) funkcji kosztu, to s ytu ację t9 określamy mianem nieefektywn ości kosztowej . M. Farrell w 1957 r. jako pierwszy teoretycznie rozwa ża l możli wości empirycznej anali zy efektyw ności produkcji . Podstawy obecnie stosowanej ekonometrycznej metodologi i badania efektywnośc i (technicznej lub kosztowej) stworzyIy w 1977 r. dwa zespoly badawcze: D. Aigner, C.A.K . Lovell i P. Schmidt oraz W. Meeusen i J. van den Broeck, którzy niezależnie od siebie zaproponowali tzw. stochastyczne modele graniczne (ang . slochasticfrolltier lIlodels). Zgodnie z tą • Praca wykonana w ramach proje ktu badawc zego nr I-H02B -022 · [H, finansowanego przez Kom itet B adań Naukowych. WczcSniejsza wersja prucy b y ł a prezentowana na VII Kongres ie Ekonom istów Pol sk ich (Warszawa . styczen 200 1 r.) ..

(2) Marzec, Ja cek. O~iiewlJh'k;. metodyk4 po miar efektywnośc i (technicznej lub kosztowej) dokonywan y jest zwykle za pomocą modelu jednorównaniowego skł adającego s ię z odpow iednio wyspecyfikowanej mikroekonomicznej funkcji produkcji lub kosztów (dla logarytmów tyc h zmiennych) oraz dwóch składników losowych, z któryc h jeden (symetryczny względem zera) odzwierciedla efekt czynn ików przypadkowych i blę dów po miaru, drugi zaś (asymetryczny i s tałego znaku) modeluje potencjalną nieefe ktywno ść. Dalszego rozwoju tej metodologi i, prezentowanej glównie na lamach "Joumal of Econometrics", dokonali m.in. R.E . Stevenson [1980], M. Piu i L.F. Lee [1981]. J. Jondrow, C.A.K. Lovell , l. Materov i P. Schmidt [1982]. P. Schmidt i R. Siekles [1984], D.E. Beckers i c.J. Hammond r 1987], W.H. Greene [1980, 19901; l. van den Broeck, G. Koop, J. OsiewaIski i M.F.l. Steel [1994]. G. Koop . J. OsiewaIski i M.F.J. Steel[1997] oraz C. Fernandez , J. OsiewaIski i M.F.J . Steel r1997] proponują podejście bayesowskie. które wydaje s ię szczególnie ob i ec ujące dła tej nicstandardowej klasy modeli . Jedn ym z obszarów zastosowania stocha stycznych modeli graniczn ych jest. zagadnieni e efektyw nośc i kosztowej banków i innyc h instytucji finan sowych, prezentowane od polowy lat osiemdziesiątych w czo łowej literaturze specjalistycznej. gł ów nie na lamach .,Journal of Banking and Finance" (JBF), "Journal of Producti vity Analysis" (JPA) oraz "Journal of Mone y. Credit and Banking" (JMCB) . W 1993 r. całe numery JBF i JPA były poświę c o ne wylącznic badaniu efek t ywnośc i in stytucji finansowych ; por. np . [Berg, Forsund, Hjalmarsso n, Souminen 1993], [Berger 1993[, [Fare. Pro mom 1993 ], [Grabowski. Ragan. Rezvanian 1993], [Kaparakis, Miller, No ulas 1994 ], [Mester 1993]. [Muldur , Sassenou 1993] oraz [Zardokoohi, Kolari 1994]. Dość późny rozwój tych zast osowa ń (w stosunku do aplikacji dla innych branż) był spowodowany specyficznym charakterem działalności banków , który powoduje, że należy z du żą os trożnośc ią podchodzić do specyfikacji granicznej funkcji kosztu. Znaczący wklad w rozwój teoretycznych pod staw tych badań mają C.W. Sealey i J.T. Lindley [1 977], którzy zaproponowali mikroekonomiczny model banków (i innyc h in stytucji finansowyc h) oraz w przeko nują cy sposób określili czy nniki produkcji i produkty bankowe, umożliwiaj'lc tym samym budowy granicznej funkcji kosztu dla banków . Badania e mpiryczne e fektywno śc i kosztowej i technol ogii w odniesieniu do odd z iałów banków ko mercyjnyc h. które są przed miotem niniejszej analizy , są rzadko spotykane w św iatowej literaturze przedmiotu; wy niki badań empirycznyc h preze ntują A. Zard okoohi i J . Kolari [1 994]. W. Hunter i S. Timme [1995]. J.P. Hughes, W . Lang, L.J. Mester i c.G. Moon [1996]. A.N. Berger. J.H. Leusner i LI. Mingo [1997]. Celem niniejszej pracy jest przedstawienie najbard ziej zaawansowanej specyfikacji z zakresu bayesowskich modeli granicznych, czyli tzw. modelu o zmiennym ro zkladzie efektywności (an g. Vuryillg EJficiellcy Distributioll, VED), oraz jego zastosowanie w analizie kosztów d z i a ",lno śc i oddzialów banku komercyjnego. Model ten, który zaproponowal i G. K oop, .l. OsiewaIski i M.F.J . Steel [1 997], umożliwia nie tylko wnioskowanie o charakterystykach.

(3) mod ele kosztaw dla oddzialów banku .... technologii odd zialów banku oraz wsk aźnikac h ic h indyw idualnej efekt yw no śc i kosztowej . a le rów ni eż testowa nie syste matycznyc h rÓŻni c w pozio mie efekt yw n ośc i . które mogą być spowodowane przez wys pecy rikowane w modeJu dodatkowe zmienne egzogeniczne.. Niniejsze o pracow anie stanowi ko n ty n uacj ę i poszerze n ie bada ń prowadzonyc h przez auto rów od kilku lat (por. [M a rzec. Osiewaiski 1996-1997]. [Marzec 1998a. b . 1999. 2000]. [OsiewaI ski • Ma rzec 1998 a , b, c], [Osiewalski 200 11 . Obecn ie w ykorzystano te same da ne e mpiryczne co J. Marzec [2000]. ale z narz ucenie m wszystkich restrykcji teoretycz nych , które sprawiają, że szacowana re lacj a m oże być interpretowana jako mi kroekonomiczna krótkookresowa funkcja kosztu zmiennego. W s zczegó ln ośc i zapew niono jej wklęsłość względem cen zmi ennych czynników produkcj i.. 2. Bayesowskl stochastyczny model graniczny o zmiennym rozkładzie efektywności. Do esty macji stochastycznyc h modeli g rani cznyc h zos taną wy korzystane dane przekrojowo-czasowe i stat ystyczne podej śc i e bayesows kie, które sku teczn ie s t os ują dl a tego typu da nyc h G . K oop , J . Osiewaiski i M.F.J . S teel [ 1997, 1999,2000] . W obecnych badani ac h efekt ywnośc i koszto wej wy korzystujemy szczególny przypadek stochastycznego gran icznego modelu kosztu zakładający, że n i eefektywność jest losowym efektem ind ywidualnym dla każde go z N obiekt ów , nie zmiennym w T okresac h. A rg umente m za przyjęciem, iż mamy do czyni enia z efektem indywidualnym , jest fakt. że w części empirycznej w ykorzystane zo staną dane kwartalne z j edn ego ty lko roku. Założenie to um oż li w i bardziej precy zyjny szacunek e fekt yw n ośc i każdego obiektu. Model z niee fe kt yw n ośc i ą jako efektem ind yw id ua ln ym moż n a za pi s a ć w form ie (zob. t akże [Pitt , Lee 198 1] oraz [Schmi dt , Sick ies 1984]:. )',, = h(xil' [3) + Vi' + Zi. (i. = l , ... , N; r = I ..... T).. (I). gdzie Yi, jest wart ośc i ą logarytmu naturalnego zaobserwowanego kosztu zmie nnego (VC;,) i-tego o biektu (firmy) w o kresie r (i = I .... , N; r = I .... , T) , xi' to wektor- w ie rsz zmie nn ych egzogenicznych ( będących funkcjami w i e lkości produkcji , cen czynników zmiennych i nakład ów czynników st a łyc h ), h oz nacza odpow iedn io wysp ecy fik ow an ą gran iczn ą fun kcj ę kosztu , li n i ow ą w z g lędem wektora-ko lumny K + I nieznan ych para me trów [3 , tj . h(x i ,[3) = x ,,[3; s kładniki v,, i Z, są z mien nymi losowymi, z któryc h pierw sza jest sy metryczna względem zera , a dru ga ni e ujemna. Zakłada się . że s kład ni k i li i są niezależne od siebie po obiektach, a vi' także po czasie. Mi arą efekty w n ośc i kosztowej jest r , = = exp(- Zi)' czy li łatwo interpretowalna wi e lk ość o wa rt ośc iach w przedziale (0, 11 . W równaniu (I) Zi reprezentuj e w zrost logarytm u kosztu spowodowany n i eefek t yw n ośc ią tec hniczną (zbyt du ża skal a n a kł a d ów) lu b al okacyjną (pro porcje n a kł a d ów czynników zmiennyc h ni ezgod ne z ic h w zg l ę dn y m i cenami. v,,.

(4) Marzec . Jacek Osiewa/ski. rynkowymi). O zmiennych V;t przyjmuje się , że mają identyczne rozkłady normalne ze średnią zero i stałą warian cją cr}, natomiast dla z; przyjmuje się róż ne typy rozkładów okreś l o nych na dodat niej półosi, o wartości oczekiwanej A; . Bu d ując mode l warto przyjąć taką jego hi era rchizację , aby uwzględnić rolę wspólnych czynników m aj 'łcyc h wplyw na e fekt yw ność firm, np . podobnego sposobu zarZ<łdzania w poszczególn ych przedsiębiorstwach danej branż y, charakteru geograficznego otoczenia firmy itp . Potencjalne system atyczne różni ce w poziomach efektywnośc i firm można uwzględnić poprzez odpowiednią param etryzację średniej A; rozkładu prawdopodob ieństwa dla efektu indywidualn ego z;. G. Koop, J. Osie waIski i M.F.J . Steel [1997] zaproponowali model, w kt óry m V;f ma (jak zwykle) rozkład normalny ze śred nią zero i stałą wariancją 0,;, natomiast z; ma rozkład wykladniczy ze ś rednią )';' która m oże zależeć od kilku (przyjmuje s ię, że 111 - 1) egzogenicznych zmiennych SuCi = 2, .. .. 111 ) , wyjaś niającyc h syste matyczne różni ce w efek tywn ości firm . W szczególn o.'ci zak ład a s ię: Ai ~. '". n i". (2). 0r l'ii,. I. gdzie </lJ > O są nieznany mi parametram i. a S d = l. Jeżeli m > I. to rozkład Zt może być inny dla rÓŻn ych i , więc G . Koop. J . OsiewaIski i M .F.J . Sleel (1997) ten przypadek nazwali modelem o zmienn ym rozkładzi e efektywności (V ED). Jeże li m =l , wtedy A; =</l,' , co oznacza, że wszystkie s kładniki reprezentujące nieefektywność są niezależnymi zmi ennymi O tym samym rozk ł adzie prawdopodobieństwa; jest to przypadek szczególny, nazwany modelem o wspólnym rozkładzie efektywn ośc i (ang. Common Efficiency Distributio/1 - CED). W rozważanym przypadku zakładamy , że obserwujemy wartości Y;t przy danych X;f ' a z; traktujemy jak zmienne nieobserwowalne , natomiast wektorem parametrów modelu VED jest 9 = (13'. o;', cjl)'; 9 E e c RK. I X R+ X R ~· . Zarówno zmienne ukryte, jak i parametry są przedmiotem wnioskowania , dokon ywanego na gruncie bayesowskim poprzez rozkład a posteriori wszystkich w i eł ko śc i nieobserwowalnych . Aby model bayesowski by ł kompletny. mu si my okreś lić rozkład a priori dla parametrów. W rozważanym przypadku G. Koop. J . OsiewaIski i M .F.J . Steel [1997] propo nują następującą gęstość a priori: p(9) = p(o,;' )p(l3)p(</l). ( ~ Ja.o,;'. /1. ,. ;, ;. .). 1(13). '". Il. fe(o) I l , g) .. (3). J~ I. gdziele( .l a , b) oznacza gęs tość rozkladu ga mma ze średni ą a/b i wariancją a/b' , przy czym CI = I odpowiada rozkładowi wykładniczemu . Struktura (3 ) odzwierciedla brak w st ępnej wiedzy o wektorze 13 innej ni ż warunki regularności. 13 E B. narzucone przez teorię ekonomii . Za kłada się wi ęc. że albo JW) = l.jeżel i nie uwzględni a s ię warunków regularn ośc i , albo 1(13) = I dla 13 spełniających te warunki i 1(13) = O dla pozostałych 13. Odpowiedni wybór wartości "o> O i so> O pozwoli na przyjęci e nikłej wstę pnej informacji o parametrze prec yzj i.

(5) modele kosztów dla. oddz iałów. banku .... ",:' , zapewniając zarazem istnienie rozkładu a p osferiori (możliwość wnioskowania bayesow skiego) nawet dla danych przekrojowych (T = I); zob. [Femimdez, OsiewaIski , Steel 1997J. Tę wstępną informację o ",:' można interpretować jako odpowiadającą hipotetycznej uprzedniej próbie o "liczebności" "o i "sumie kwadratów reszt" '\'0' Przyjęc ie np. /lo = "0 =\0-1> prowadzi do bardzo rozproszonego rozkladu gamma (ze średnią l i wariancją 2· 10h). W przypadku modelu VED (m > l) rozkład a priori dla <!> = (<!>I' ... , ~",)' jest scentrowany wokól ro zkładu a priori dla przypadku szczególnego CED i prawie nieinformacyj ny jeśli chodzi o rolę zmiennych si}' Dla m parametrów~. przYJm~je się niezalezne rozkłady wykładl1lcze z g. = j dla) > l I g I =- In(r ), gdZIe r E (O, l) Jest stalą zadawaną przez badacza, która w modelu CED (m = l) jest interpretowana jako mediana brzegowego rozkładu a priori efektywności r; = exp( -z); zob. rvan den Broeck. Koop, OsiewaIski , Steel 1994] . Modyfikując postać rozkładu a priori (poprzez zmianę wartości "o' So i r') można badać wrażliwość wyników {/ po.> 1eriori na przyjęte założenia. Pełny bayesowski stochastyczny modeł graniczny o zmiennym rozkła dzie efektywności (VED) określony jest przez na stępującą łączną funkcję gę stości, określoną na przestrzeni wszystkich T· N obserwacji Y;r - przy danych x ;r i s; = (Sil ' .. ., Sim) - oraz wszystkich wielkości nieobserwowałnych , tj . N wskaźników nieefektywności Zi i K + 2 + III parametrów s kladających się na wektor 8 =(P', O~:-2, q,l' ... , $11/)':. p(y, z, 8 X, S) = p(8) p(z I 8, X, S)p(y z, 8, X , S) = =. X. JGo;'!. fi [JGk. ; ::1. .. SO") 2 ' 2 IW). ;110. ' [. l,. m. il], JG(<!>j. I, II). X. (4). n <!>/,J ) fI JJ(Y ;r. h(x;,,~) + "d,. j = J. · 1=1. z; ,. gdzie y i X oznaczają odpowiednio: wektor T . N x I obserwacji Yir i macierz T . N x (K + ł) Z xir jako wierszami; wektor Z definiuje s ię jako wektor o N x l elementach li' natomiast S jest macierzą N x In s kładającą się z wektorów-wierszy Si' które zaw ierają wartości zmiennych egzogenicznych wyjaśniających nieefektywność i-tego obiektu, przy czym pierwsza kołumna macierzy S skła da się z samych jedynek. Ponadto zapis J,J(. I a, b) oznacza jednowymiarowy rozkład normalny o wartości oczekiwanej a i wariancji b. Warunkową wartość oczekiwaną zmiennej z; przy ustalonych parametrach, tj. E(Zi 18) = Ą;, można równoważ nie przedstawić jako:. Ą. = I. '" . exp - I j=I-,'j,. (. pl,. (5). Systematyczne różnice w efektywności obiektów najczęściej modelowano wprowadzając dodatkowe równanie regresji , w którym oceny efektywności.

(6) Jerzy Marzec, Jacek Osiewa/ski. otrzymane wcześni ej w wyniku estymacji granicznej funkcji kosztu wyjaś nia si ę poprzez pewne zmienne egzogeniczne (zob. [Berger, Mester 1993] . [Cebenoyan , Cooperman . Reg ister. H udg ins 1992], [Mester 1993]. [Berger , De Young 1997 j . [Kraft , Tirtiroglu 1998]). Ze statystycznego punktu widzenia nie jest to poprawne podejście, ponie waż wyjaś niane oceny efektywności otrzymano wcześniej przy zało żeni u braku egzogenicznych przyczyn nieefektywno ści , Alternatywnym rozw iązaniem bylaby łączna estymacja modelu składającego się z granicznej funkcji kosztu i równani a dl a Ą; . wyjaś niającego zróżnicowa ni e oczekiwanego poziomu efektywno śc i. Estymacji takiego modelu można dokonać za pomocą metody najwięk szej wiarygodności (por. [Kumbhakar. Ghosh , McGuck in 1991 n.lecz napotyka si ę wówczas problemy z numerycznym znajdowaniem ekstremum funkcji wiarygodno śc i i b l ędów średnich szacunk u. C. Fernandez, J. Osi ewaiski i M .F.J. Steel[ 1997] zwracają uwa gę . że teoretyczne wlas n ośc i MNW w przypadku stochastycznych modeli granicznych nie są dobrze zbadane. W podej śc iu bayesowskim koń cową in form ację o wszystkich nieznanych wielkośc iac h re prezentuje rozk ład a posteriOl'i o gę stośc i p(z, e I y, x , S) , proporcjona lnej do (4). Dogod nym sposobem sumaryzacji wiedzy zawartej w łącznym rozklad zie a posteriori jest obliczenie takich jego charakterysty k, jak np. kwantyle czy podstawowe moment y (wa rt ośc i oczek iwane. wariancje i kowariancje - jeśl i istnieją). Wnioskowanie o pojedynczych parametrach czy indywidualnych wskaźnikach efektywn ości wymaga rów nie ż wyznaczenia z p(z, e I y. X. S) jednowymiarowych brzegowych funkcji gęstości a posteriorio Zarówno momenty. jak i kwantyle czy gęstości brzegowe są całkami, które nie mogą być znalezione analitycznie ze w zględu na zbyt s komplikowaną postać gęstości roz kładu a posteriori. Zatem z uwagi na dużą liczbę interesują cych nas wielkości (N nieobserwowalnych wskaźników ni ee fektywności z; i K + 2 + I/l parametrów skladających s ię na wektor e) jedyną efektyw ną metodą num eryczn ą znalezienia odpowiednich rozk ł adów brzegowych i ich charakterystyk jest metoda Monte Carlo typu łańcuchów Markowa, znana jako Gibbs Sa mplillg. Losowanie Gibbsa jest to sposób uzyskiwania próbe k z łąc znego rozk ładu wektora losowego na podstawie l osowań z pełnych rozkładów warun kowych ; szczegóły podają m.in . G. Casella i E. George [1992] oraz L. Tierney [1 994] , a tak że G. Koop. J. Osiewaiski i M ,F.J . Steel 1997], którzy wyprowadzili pełny układ warunkowych rozkladów a posteriori i zaproponowali algorytm Gibbsa dla przypadku rozważ anego w tcj pracy, Warunkowe rozkład y a posleriori dla parametru precyzji i wektora [3 mają postać:. r. p(a;21 y. X.. , ,no + T . N l I = JG la,~' 1 2 '2. s. z.[3,. \·\'0 +. p([3ly.X.z. a;'.. <1». I ". <1». =. j'). ,. (Y;t - l; - h(x;t'. (6). 13))' ,. , = / ([3)j,.f+ ' (131 [3,a ,; (X' X) - l ).. (7).

(7) modele. gdzie skorzystano z. kOSZTÓW. liniowości. d/a oddz;a/(hv bank II .... "(x;". 13). ,.. względem. 13, przy czy m 13 jest dane. wzorem: o. 13 = (X'. X)- ' X'(y -. z0. (8). 11'),. gdzie IT to wektor jedynek T x l, zaś Z 0 IT oznacza iloczy n Kroneckera wektorów Z i {T' Pełny ro zk ład warunkowy wektora Z można przedstawić jako iloczyn uc i ęt y c h w zerze, niezależnych rozkładów normalnych: /,'. ,JC< l y, X,S.8) =. ,. 111. n f~(zh;-x;I3-T- l o,~ n. 1=1. -. .. T. gd Z1e: y, = T. L, I. 0,:)J(2, >0),. (9). '. T. ~. I. J=I. (<1>)';', T-'. = J. Yir' a. X=~Lx. '. T. (=I. ". Warunkowa gęstość a posteriori dła wektora 4> przy ustalonej macierzy S nie za leży od (y , X , 13, o;') , ale ma na tyle skomplikowam! pos tać. że nic jest gęstośc ią jakiegokolwiek znanego rozkladu . Przyjęci e dodatkowego założenia , że zmienne Si ' (dla) > l ) są zmiennymi zeroj edynkowymi , powoduje , iż rozklad warunko'wy l-tej współrzędnej wektora tI> względem pozostałych skladowych (<1>(_1) jest ro zkładem gamma postaci: N. Sil,'. '". gdzie: D;, = 11 )~,.. g, +. L i: !. ( IO). q> :'ii. }. W tym przypadku można stosować podstawowy wariant algorytmu Gibbsa w celu generowania próbek z lącznego rozk ładu a poster iOl'i wszystkich wielkości nieznanych i nieobserwowalnyc h (za cenę jedynie częśc iowej utraty informacj i, gdy zmienna s, . dla j > I jest zmi enną c iąg lą) . Stosowanie próbkowa nia Gibbsa w przypadku"niestandardowych rozkładów wspólrzędnych wektora <I> (ciągle zmienne si.) wymagałoby stosowania specjalnych technik , tzw . losowania z odrzucani~m lub ałgorytmu Metropolisa-Hastingsa (zob. [Tierney 1994), lO ' Hagan 1994)); przypadek ten ilu s truj~ G. Koop , J. Osiewał s ki , M .F.J . Steelll994). Aby uruc homić algorytm Gibbsa przyjmujemy wartości początkowe z,o" 13(0) , <1>\0' , ... , <I>:~>' Następnie wykonujemy tzw. cykle Gibbsa, który polegają na cyklicznym losowaniu z rozkładów warunkowych danych wzorami (10), (6)-(7) i (9) w sposób przedstawiony poni żej: jest losowane z rozkładu o gęsto śc i (10) dla z = z''I', <l>j =<1>)'" (j > l), <1>2''1· " jest losowane z rozkładu o gęsto śc i (10) dla z = z,q" <1>\ = <1>\'''. li i <l>j =<l>j'J1 (j> 2), <l> t' ·. 1\.

(8) Marzec , Jacek Osiewah'ki. .. ....................... ..... ..................... ..... ................. .. ......... ........... . <1>;,;'" jest losowane z rozkładu o gęstości ( 10) dla z = l 'll, <l>j = <1>)"+ "(j < m), (cr; 2)" ' I) jest losowane z rozkładu o gęstości (6) dla Jl = W'l ) i Z = z(", (11 ) JlI" +" jest losowane z rozkładu o gęstośc i (7) dl a cr,~2 = (cr,~2y'l + "i z = t q" zlq + ' ) jest losowane z rozkładu o gęs tośc i (9) dła <I> = <),1" + " , cr,;2 = (cr,;2j1" + I) iJl=wq +n. 3. Funkcja kosztu zmiennego. oddziałów. banku. W ce lu ilustracji wnioskowania O techno logii i efektywn ośc i na podstawie bayesows kiego mode lu VED wykorzystuje my dane kwartalne obejmujące 1997 r. ( T = 4) i poc hodzące z 58 oddzialów jednego z po lskich banków komerc yjn yc h (N = 58) . Wprowadzamy stochas tycz ny model grani czny krótkookresowej tran slogarytm icznej funk cji kosztu zmiennego : In VC = Jlo + Jlllnw II. u + Jl,lnw ,l . L + JlllnQ'1 + Jl)nK, +. 'I. + Jlslnw ,l . Uln w'l. L + Jl6Inw". D InQ'1 + Jl 7Inw ,l. u InK, + Jlslnw,l . L InQ" +. ( 12). + Jlolnw . L InK, + Jl IO InQi, lnK i + Jl II(lmvil . ol' + JlI ,(lnwiL L)2 + ". + Jl I3(lnQi,l' + Jl l4 (1nKY + V' I + Zi'. gdzie VC ozna cza s umę kosztów zaa ng ażowa nia zmiennych czynników pro dukcji: kapitału ludzkiego , finansoweg o oraz materialów i akcesoriów komputerowych, Q - wolumen kredytów ogóle m , udzielonych klie ntom komercyjnym i detalicznym ( plus będąca w dyspozycji centrali banku nadwyżk a depozytów nad kredytami w przy padku oddzialów specjali z ujących się w pozys kiwaniu środków) , w D - ce nę czynnika finansowego (depozytów i środków z centrali finan s uj ącyc h nadwyżkę kredytów nad depozytami w przypadku oddziałów mającyc h taką nadwyżkę) , wL - cenę pracy , a K oznacza zaanga żowa ni e czynnika s tał ego ( kapitału fizy cznego) mierzone poprzez powierzchnię (w metrach kwadrat owych) pomieszczeń biurowych wła s ny c h i najmowanych , a eksploatowanych przez oddział. Przyję li ś my , iż nieobserwowana cena dodatkowego czynnika zmiennego (w M ), tj . innych ś rodków trwalyc h (m.in. s przę tu komputerowego), mat eriałów i wy posaże nia biurowego o raz wa rtośc i nie mate rialn yc h i prawnyc h (m .in . oprogramowania) jest stala zarówno po oddzialac h , jak i po czasie (tj . w badanym roku ). wi.;c nie pojaw ia s ię o na bezpoś red nio w funkcji kosztu , lecz jest ukryta w parametrach Ilo. Jl I,IJ), [Ol ' Jl 4 (zob. np . [Osiewaiski , M arzec 1998b, 1998c l, [Marzec 2000]). D ys ku sję doboru zmiennych w przypadku funkcji kosztu w sektorze bankowym przedstawia J. Marzec [1999,2000]. Wart o tu jedynie zwróc i ć uwagę, że nas z dobór zmiennych jest o party na koncepcj i e w. Sealeya i J.T. Lindleya [19771. którzy produkty bankowe (w sensie ekono miczny m , a nie tylko tec hniczny m) ut ożsamiają z akt y-.

(9) BayesolVskie. modele. koszlÓW. dla oddzialólV banku .... wami ge n e ruj ący mi przychód (glównie z udzielonymi kredytami ) , natomiast depozyty tra ktuj ą jako podstawowy czynnik produkcji bankowej (kapital finansowy). Tran s l ogary tmi czną postać krótkookresowej funkcji kosztu zmiennego omawi a szczególowo J. Marzec [2000] , za ś w przypadku kosztu calkowitego R. Wróbel -Roller i J . OsiewaI ski [2002]. W celu wyj a ś ni e nia zróżnicowania poz iom u efek t yw noś ci wyróżniliśm y trzy zmienne dyc hotomiczne (m = 4, s;] = I) , od zw i e rc i ed lające: 10 specjalizacj ę oddzialów (si2)' 2° wielkość oddzialu mi erzo n ą s k a l ą produkcji (Si3) i 3 posiadanie prze z oddzialy filii mających szeroki zakres uprawnień ("i4)1 Samod z ie ln o ść filii jest wyróżniona przez fakt posiadani a przez nią jednoznacznie identyfi k ującego numeru rozliczeniowego oraz pe ln ą o fertę u s lugową. Zmienna Si) ma charakter zmi ennej ciąglej , ale dokonano jej dycha tomizacji wyodrę bni ając dw ie różn e grupy oddział ów ze względu na ś red ni" mi es ięc zną warto ść udzielonych kredytów. Ostatecznie przyj ęto : - S i2 = I , gdy ś rednia mies ięc zna w a rt ość kredytów ud zi eł on yc h przez oddzial byla w ięk sza od wartośc i pozyskan ych depozytów (w badanych czterech kwartalach). S i2 =O w przeciwnym wy padku , - si) = l , gdy średnia miesięczna w artość kredytów oddzialu byla więk sza ni ż 100 mln zl, si) = O w przec iwnym wy padku , - Si4 = I , gdy odd zi al pos iadal fili ę m ającą sze roki zakres podejmowani a decyzji (tz n. świad czącą pelny zakres uslug bankowyc h), Si4 = O w przeciwnym wy padku . Podzia l oddzialów na depozytowe i kredytowe oraz na duże i male (ze w zg l ędu na s kalę powadzonej działaln ośc i b ąd ź strukturę org anizacyjną) pozwoli na i dent y fikację potencjalnych przyczyn różni c w efe ktywności i formal ne testowani e ich znaczenia. W celu uruc homi enia algorytmu Gibb,a przyję li śm y dla zmiennych reprezentuj~cych niee fekt y wność l i warto ści początk owe i!!,' równe 0 ,3 , co odpowiada przyj9ciu , że wszystkie oddział y charakteryzują si ę efektyw n ośc ią na poziomie ok. 0 ,75 . Warto śc i poc zątkowe dla Il obli czy li ś m y ze wzoru (8). Dodatkowo dla parametru ,.' przyj ęli ś m y wartość 0 ,7, co w modelu VED (m = 4) odpo wiada medianie rozkladu a priori dla Ci na poziomie zaledwie 0 ,528. Uw zg l ędnili śm y tak że warunki reg ul a rn ośc i ekonomicznej, które precyzuje mikroe konomiczna teoria produkcji i kosztu . Prze kładają s i ę one na w la s nośc i funkcji VC, tj . m o n otoniczno ść ze w zg l ędu na w i e lk ość produkcji Q oraz mon o t o ni czność i w kl ęs lo ść ze w zględu na ce ny czynników zmienn ych w D ' w L i "'M' Restrykcje te narzuciliśmy poprzez funkcj ę w s kaź nik o wą 1(1l) w ro zkła dzie a priori wektora parametrów Il = [Ilo, .. ., 1l 14 ] . Szerszego omówienia wymaga w klęs lość funkcji kosztu (VC) ze wzgl ędu na ceny czynników zmiennych, która oznacza, że macierz drugich pochodnych czą' tko wyc h kosztu za względu 0. I M oż n a le ż z apropo n ow a ć inne zmienne , np . <lI rak cyjn ość regionu , w któ ry m działa o dd z i a ł ,. mierzona wi e lk ośc ią PK B w przeliczeniu na mie s zkań c a ..

(10) Jerzy Marzec, Jacek Osiewa/ski. na (trzy) ceny jest ujemnie półokreś l ona (ang. Ilegalive semidejinite). W naszym przypadku badamy określoność następującej macierzy symetrycznej':. •. •. •. ~5 + ~tt + ~tr. (13). Elw ( I - Elw ) M. M. gdzie El" .IJ , El, '.L i El ,."M = I - El, '"D . - El, . to ceno we elastycznośc i kosztu . ' I.. ...... Powyższa. mac ierz osobli wa spelnia warunek ujemnej pó l okreś l oności wtedy i tyl ko wtedy , gdy wszystk ie elementy diagonalne są ni edodatnie, a wszystkie podwyznaczniki rzę du dwa otrzymane poprzez skreślenie r-tej kolumny i r-tego wiersza (r = I. 2. 3) są ni eujemne (zob. [Sim on. Blume 1994]) . W przypadku c i ąg ł ych roz kładów prawdopodobieństwa dla wektora parametrów p, prawdopodobien stwa a priori i a posteriori spełni e ni a równościowych restrykcj i na e lement y mac ierzy drugich pochodnych cząstkowych wynoszą zero. W konsekwencji warunek wklęsłośc i funkcji kosztu wzg łędem cen jest spe łnion y z prawdopodobieństwem (a priori i a posleriori) równy m jedn ości wtedy i tylko wtedy. gdy dwa wiodące minory główne hesjanu zmieniają znaki. tzn. A = 2fl" - El ..." . ( I - El,,) < O. A . (213 '2 - El" ,. . ( I - El,,}) - (13s + El",/. . El,,)' > O. ( 14). Dla funkcji translogarytmicznej danej wzorem (12) liczba możliwych restrykcj i narzucanych na elastyczn ości przy N =58 odd ziała ch i T =4 okresach j est bardzo du ża. Ponieważ funkcja translogarytmiczna jest jedynie lokalną apro k sy macją nieznanej funkcji kosztu w otoczeniu punktu , który w praktyce można utoż sam i ać z "punktem ciężkości" zb ioru danych . narzucili ś my restrykcje monoroniczn ości i wklęsłośc i tylko dla "p rzeciętnego" oddzia łu (tzn. takiego, który charakteryzuje s ię średnimi z próby - w czasie i po oddziałac h - wartośc iami zmiennyc h objaśniającyc h ). Funkcja wskaźnikowa przyjęła postać:. 2 Macku. drugich pochodnych cz:'lstkowych funkcji kosztu uzyskamy. gdy każdy element macierzy danej wzorem ( 13) pomnol.ymy przez wy ra żen ie VC/(w; ' 11') . gdzie i .) = D. L.M ..

(11) modele kosz.tdw dla oddzialów banku .. .. I TJ(VC I w D) = 58. TJ(VC I wJ. I(~). = l. gdy. I = 58. TJ(VC I Q ) = I 58. "I. TJ(VC I wD)i > O. i '" l. "I. 'l(VC I WI)i> O. i "" l. I". 'l(VC I Q )i > O. (15). i= I. TJ(VC I W D) + 'l(VC I " 'L) < 1 A = 2~11 - TJ (VC l,v D )' (l - TJ (VC I W D» < O. A . (2~ 1 2 - .,( VC I W L) . (l -ll(VC l WI.))) +. »' > O. - (~5 + TJ(VC I W D ) . .,(VC I W L. 1(13) = O w. gdzie TJO; to. pozos tałych. u średnione. przypadkach .. po czasie elastycznośc i kosztu obliczone dla. oddziału. i.. W praktyce restrykcje dot yczące sum y e last ycz n ośc i kosztu zmiennego wzgl ędem obserwowanych cen czynników zmiennych i wk l ęsłośc i okaza ły si ę w i ążące . co wyd łu ży ło czas oblicze'; , lecz wyniki uzyskiwane bez narzucania tych warunków nie byly w znaczący sposób róż ne od tych prezentowanych poniżej. Dodać nale ży, że warunek na s umę e l astyc zno śc i kosztu względem w D i wL odpowiada dodatn i ośc i elastyczności kosztu względem ni eobserwowanej ceny materiałów . W rozkładzie a priori dla wektora l' nie uwzględnili ś m y restrykcj i na el ast yczność kosztu zmiennego wzgl"dem nakładu czynnika s tałego, które zak ła da s ię m.in . w modełu częściowej równowagi statycznej (ang. Parlial Stalic Equilibrium , PS E) ; zob. R .S. Brown i L.R . Christensen [1981] . W tym dru gim podejści u. kosztem dodatkowych restrykcj i: nierosnącej monotonicznośc i oraz wypukłości krótk ookresowej funkcji kosztu zmiennego w zg lędem czynnika stałego. uzyskuje s i ę m.in. możliwo ść testowania. w jakim stopniu rzeczywiste zaa ngażowanie czynnika stałego różni s ię od zaangażowania optymalnego, które minimalizuje koszt całkowity ; zob. [Kulatilaka 1985. 1987], [Slade 1986], [Morrison 1988], [Nemoto, Nakanishi , Madonio ł993], [Thomsen 2000], [Marzec 2002] .. W przypadku prezentowanej w dal szej częśc i analizy e mpirycznej, w ł a sność nierosnącej m onotoniczności VC ze względu na nakłady czynnika s t ał e go nie została potwierdzona przez dane , co wskazuje, że obserwowane nakł a dy tego czynnika są dalekie od nakład ów optymalnych . Uzasadnieniem tej hipotezy może być fakt, że kompetencje ki erownictwa oddzia łu w zakresie poszerzania bąd ź redukcji swojej siec i ł okali są ograniczone . Działania oddzia łu w tym zakresie mu szą być zaakceptowane przez central ę banku , z wyjątki e m.

(12) Jerzy Marzec, Jacek Osiewa{ski. niew ielkich bezobslugowych stanowi sk (banko maiów), klóre zajmują pow i erzc hni ę zaledw ie kilku metrów kwadratow yc h. Ponadto zarówno usytuowanie jak i powie rzchnia naj więk szych pod wzg l ęde m lokalowy m oddziałów od kilku lat nie ul ega z mianie , poni eważ np. w przypadku budyn ków najmowanyc h umowy najm u są podpisywa ne na długie o kresy, tz n . 5,10, a nawet 20 lat, z okresem wypowiedzenia od roku do 3 lal.. 4. Wyniki estymacji charakterystyk technologII W tej części pracy przedstawiono wyniki empiryczne dotyczące charakterystyk procesu produkcji oddziałów banku . Tabela I zawiera wartości oczekiwa ne i odc hylenia standardowe a posleriOl'i parametrów gru ni cznej funkcji kosztów danej rów naniem ( 12). Parametry te nie mają bezpośredniej interpretacji ekonomicznej. Żród le m wiedzy o technologii bankowej są przede wszystkim e la st ycznośc i kosztu , które są liniowymi funkcjami logarytmów : w i e lk ośc i produkcji , cen czynników zmie nn ych i nakładu czy nnika stałego. Rys unki I i 2 przed staw iają s umary zację tej wiedzy w postaci brzegowych gę st ośc i a posleriori P(ll( ·)Iy, Xl dla śred ni ej elastycz n ości kosztu względem cen czynników z mienn ych , wielkośc i produkcji oraz zaangażowania czynnika sta lego. Wysmukłe i symetryczne ksz t ałty brzegowych funkcji gęstości a p osleriori e l astyczno śc i kosztu wskazują, że zebrane dane przekrojowo-czasowe pozw alają bardzo precyzyjnie szacować te charakterystyki technologii. Jedyni e ucięty w zerze wykres gęstości a posteriori elastyczności względem nieobserw owanej zmiennej w M wskazuje na mał o istotną rolę ceny czynnika materiałowego.. Tabela l ,. Wartości. oczekiwane i odchylenia stand ardowe a posteriori parametrów. modelu VED (m = 4, r" = 0,7) Parametr. Zmienna E (" I dalie) D (- I dalie) Parametr. ~o. Sta ł a. ~,. ~) ~4. In wl) In \VIIn Q In K. ~,. In wl) ln w L. ~,. In "'D in Q. ~7 ~8 ~9. In woln K In wD lo Q. ~,. In wf. In K. - 2 ,t68 1,265 U,386 0.617 -0,392 -0,040 -.(),014 0,049 -0 .032 0,005. Źródło: obliczenia własne,. 2.142 U.423 U.143 0224 0,175 0,039 0,025 0,023 0,014 U,OII. ~IU. li n ~1 2. ~". ~14. $, $, $, $4 ,. cr,-. Zmienna In Q In K (In w D)2. w/Y. (In (In Q )' (In K )' s tała (Sil. ,s,'1.. s ·') Si4. = l). E (- I dalie) D ( " I dalie) -O.U t 2 -0.048 U.U28 0.017 0.035 11,513 I ,438 0,820 0,949 0,000282. oml 0,035 0.021 0,008 0.009 3.01 I 0,396 0,256 0,394 0,000038.

(13) •. modele kosztów dla oddzialów bunku .... /lI l)! VCi wl) . WO)I,.. X,. 1>\ 'li VChvI. lly. Xl. ......... .. / >( I. . III II("I\\'I J •• 1'\( vc/,,·/). . )I . I )I\'. X l. '.. • • •. , •• •• •• • •• •. •• ••• •• •• •• ••. Rys. I . R oz.kłady a posteriori uś rednion y ch produkcji - VE D (m = 4 , r' = 0 ,7). el astycz ności wzgl ędem. cen czynnik ów. Źródło: opracowanie wł as ne .. pi'1 I VC/K) ly . X). .......... pi 'l I VG/Q I ly . x). .,. •• •• •• • • • • • • • • • • • •• • • • •• •• •• •• •• •• •• •• •• • • • • • • • • ••• •• • ••• • •. ,. · ·. .. .. ·•. •. .. Rys. 2 . Rozkł ad li posferiori uśrednionych e l ast ycz noś ci w zg l ęde m wielkości prod ukcj i CQl i n akładu czynnika stałego (K) - VED (m = 4, r ' = 0 ,7) Z ró dł o :. opnlC owanic. własne.. Tabela 2 natomiast zawiera warto ś ci oczekiwane i odchyl enia standardowe roz kł ad ów a posteriori elastyczno śc i kaszlU przecięt n ego od d ziału..

(14) Jerzy Marzec. Jacek Os;ewal.\·ki Tabela 2. Warto śc i oczeki wane i odchylenia standardowe a posteriori dla - VED (m = 4, r' = 0,7) Parametr WarlOŚC. oc:t.eki wana Odchylenie standardowe. ~(VChvv). 0 ,797 (0 ,0 14). elastyczności. ~(VC/ w,). '1(VCJwM). ~ ( VClQ ). ~( VCl K). 0 .1 ~6. 0 ,0 17 (0 ,011). 0 ,863 (0 ,0 12). 0,036 (0 ,009). (0,0 10). Źród ł o: obliczeni a w ł a sne . Największy. i statystycznie istotny wpływ na kształtowanie s ię kosztu zmiennego ma wielk ość prod ukcji (Q) i ce na czynnika finan sowego (wIJ )' Wzrost wartośc i wol umenu kredytów brulto o I % wymaga wzrostu kosztu zmiennego o ok. 0 ,86% (+0 ,012%) celer;" parihus . Jednoprocentowy wzrost ceny depozytów i innych pozyskanych ś rodków powod uje wzrosl koszlu 7.miennego o ok . 0 ,80 % (±O,014 %) cerer;s paribus. Przy pomnijmy, że ela st yczności cenowe kosztu podają optymalne udziały czyn ników produkcji w koszcie. A zatem w przypadku przec i ~tn eg o oddziału, pos i adającego 2571 m' powierzchni biurowej, optymalny ud ział kosztu zaangażowania czynnika finan so wego w całko witym koszcie zm ienn ym , który n a l eży po nie ść w celu udziele nia kredytów w wysokośc i 88.5 mln z ł , wynosi 0,8 (80 %), gdy w rzeczyw i s tości udział ten wyniós ł 78,6%. W ujęc iu ilościowym oznacza to , że optymalne zaangażowanie czynnika finan sowego wynosi 90,1 młn zł, a rzeczywiste 88,5 mln zł, chocia ż z uwagi na wielk ość odchylenia standardowego a poster;ori ta różnica nie wydaje się być statystycznie istotna. Cena pracy ma mniej szy wplyw na poziom kosztu, aczkolwiek też odgrywa istotną statystycznie rolę , tzn. wzrost płacy o I % powoduje wzrost kosztów zmiennych o prawie 0,19% (±O,O I % ). Rzeczywisty udział kosztu pracy w całkowitym koszcie zmiennym by ł mniejszy i wyni ósł ponad ł6 %, co oznacza , że w 1997 r. w oddziałach zatrudnionych by ło ś rednio ponad 72 pracowników , a przy egzogenicznej placy optymałny poziom zatrudnienia wynosi ok. 82 osoby. Rol a nieobserwowanej , stałej dla oddziałów ceny czynnika mat eria łowego jest znikoma lub żadna, choc ia ż rzeczywi sty udział kosztów tego czynnika wyniósł 5,1 %. Ta znacząca różnica jest prawdopodobnie spowodowana tym, że ceny tego czynnika nie obserwujemy, czyli nie wykorzystujemy jej do estymacji optymalnych udziałów. Dodatni znak przy e lastyczności kosztu zmi ennego względem pow ierzchni pom ieszcze ń biurowych oddziałów może w skazy wać na znaczne rÓŻnice międ zy obserwowan ym zaangażowani em czynnika stałego a nakładem optymalnym . W celu zbadania wrażliwości otrzymanych wyników na nieklóre restrykcje dokonaliśmy powtórnej estymacji modelu VED (m = 4) bez narzucania warunku na sumę ela s ty cz n ośc i kosztu w zg lędem cen czynnik ów zmiennych. Uzys kaliśmy prawie identyczne wyniki, chociaż Uak przewidywano) ś rednie wartośc i oczekiwane i odchylenia standardowe a posteri"r; dla e la s tyczno śc i l](VC/ w o ) i l] ( VC/wL ) by ł y nieco więk sze w przypadku braku restrykcji ..

(15) Bayesmt'skie graniczne rnodele kosztów dla oddz;aló\<v banku ... Przyjęcie. translogarytmicznej formy funkcyjnej dla funkcji kosztu pozwoliło nam na szczegółową analizę charakteru technologii badanych oddziałów. Główne charakterystyki, tj. wartości oczekiwane i odchylenia standardowe brzegowych rozkładów a posteriori elastyczności kosztu, przedstawia tabela 3 (oddziały posortowane są malejąco ze względu na średnią wartość kredytów udzielonych w badanym okrcsic). Warunki regularności ekonomicznej, choć zostały narzucone wyłącznie dla .,przeciętnego" oddziału (por. wzór (15», to spcłnione są także dla większości oddziałów w próbie. W oddziałach. w których wartość oczekiwana a posteriori sumy elastyczności kosztu względem dwóch obserwowanych cen czynników zmiennych jest większa od jedności, oceny z reguły charakteryzują się dużymi odchyleniami standardowymi, zatem z punktu widzenia zarówno interpretacji ekonomicznej jak i statystycznej można przyjąć, że Slima tych elastyczności nie różni się istotnie od jedności. Jedynie w przypadku oddziałów o numerach 18, 20 i 40 wartość oczekiwana a posterim-i nieobserwowanej ceny czynnika materiałowego, czyli E(l - Tj(wn)j - Tj(wL)j I y, X), przyjmuje wartości na tyle mniejsze od zera (przy stosunkowo małym odchyleniu standardowym), iż losowanie Gibbsa stało się bardzo nieefektywne przy próbie narzucenia wspomnianego warunku dla każdego oddziału. Natomiast grupa piętnastu oddziałów charakteryzuje się ujemną i istotnie różną od zera wartością elastyczności kosztu względem nakładów czynnika stałego. Są to oddziały o najmniejszym zaangażowaniu tego czynnika (mierzonym powierzchnią pomieszczeń eksploatowanych przez oddział); por. także rys. 5. Przyjęcie translogarytmicznej funkcji kosztu powoduje m.in., że elastyczności kosztu zmiennego względem wielkości produkcji, cen czynników zmiennych bądź nakładów czynnika stałego są funkcjami wszystkich tych wielkości. W celu uproszczenia graficznej prezentacji, na rys. 3-6 przedstawiono wartości oczekiwane a posteriori poszczególnych elastyczności dla poszczególnych oddziałów jako funkcje tylko jednej zmiennej (przy wartościach pozostałych zmiennych ustalonych na poziomie średnich dla logarytmów). Dodatkowo przedstawiono odchylenia standardowe a posteriori elastyczności (in plus, in minus), które wskazują na prawidłowość, że najpewniej wnioskuje się o charakterze technologii w przypadku oddziałów "przeciętnych". Kształt krzywych powstałych z połączenia punktów reprezentujących wartości oczekiwane a posteriori dla elastyczności dostarcza użytecznych informacji, które mogą być wykorzystane m.in. w tworzeniu polityki płacowej, depozytowej, kredytowej i inwestycyjnej banku. Elastyczności kosztu zmiennego wzglę dem ceny pracy, wielkości produkcji i nakładów czynnika stałego są rosnącymi funkcjami odpowiednio tych zmiennych (przy pozostałych ustalonych). Wraz ze wzrostem średniego wynagrodzenia w oddziale, jednoprocentowy wzrost średniego wynagrodzenia powoduje coraz większy wzrost względny kosztu zmiennego. Wskazane jest kontrolowanie poziomu płac w oddziałach, w których wynagrodzenia są najwyższe, natomiast w przypadku oddziałów o najniższych.

(16) Jerzv Marzec, Jacek Osie'rvalski ~. Tabela 3. Wartości oczekiwane i odchylenia standardowe a posteriori dla elastyczności w poszczególnych oddziałach banku ~ VED (m = 4. r* = 0,7) l. l1(\l'D)i. l1(\1.'/.)i. I. 2. 3. l 2 3 4 5 6 7 8. 9 10 II 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 ?6 27 28 29 30 31. 32 33 34 35 36 37. 38 39 40 41 42 43 44 45. 0,793 0,814 0,720 0,823 0,800 0,805 0,843 0,820 0,834 0,847 0,80 l 0,775 0,R32 0,701 0,837 0,824 0,794 0,902 0,767 0,883 0,784 0,812 0,751 0,826 1l,777 0,804 0,854 0,713 0,769 0,768 0,822 0,859 0,804 0,786 0,778 0,781 0,830 0,757 0,835 0,873 0,766 0,744 0,805 0,795 0,771. (0,051) (0,035) (O ,059) (0,028) (0,031) (0,028) (0,038) (0,024) (0,035) (0,030) (0,021 ) (0,052) (0,022) (O ,(59) (0,021) (0,025 ) (0,025) (0,045) (0,026) (0,038) (0,022) (0,015) (0,035) (0,024) (0,019) (0,022) (0,027) (0,041) (0,026) (0,022) (0,016) (0,032) (0,028) (0,021 ) (0,017) (0,018) (0,020) (0,(]27) (0,021) (0,035) (0,027) (0,033) (0,018) (0,020) (0,025). 0,126 0,146 0,134 0,160 0,155 0,164 0,189 0,166 0,156 0,168 0,167 0,145 0,177 0,148 0,175 0,170 0,171 0,194 0,170 0,194 0,175 0,180 0,183 0,174 0,193 0,187 0,197 0,180 0,198 0,180 0,186 0,194 0,200 0,200 0190 , 0,186 0,201 0,184 0,201 0,204 0,190 0,197 0,209 0,194 0,213. I. ~. l1(WV)1 + -l1(w L,).. ~(Q),. ~(K);. 5. 6. 4 (0,029) 0,081 (0,ll25) 0,040 (0,033) 0,146 (0,018) 0,Oi7 (0,0]8) 0,045 (0,017) 0,032 (0,029) -D ,031 (0,016) 0,014 (0,020) 0,010 (0,017) -0,014 (0,015) 0,031 (0,029) 0,080 (0,014) -D,010 (0,029) 0,151 (0,014) -D,012 (0,0]5) 0,006 (0,015) 0,035 (0,023) -D,096 (0,015) 0,064 (0,021) -D,076 (0,013) 0,041 (0,011) 0,008 (0,023 ) 0,066 (0,016) 0,000 (0,016) 0,030 (0,013) 0,009 (0,016) -D,050 (0,022) 0,107 (0,019) 0,034 (0,013) 0,052 (0,012) -D,008 (0,018) -D,053 (0,020) -D,004 (0,016) 0,014 (ODl2) 0.032 (0,013) 0,034 (0,012) -D,031 (0,017) 0,059 (0,013) -D,035 (0,11]9) -D,077 (0,018) 0,045 (0,019) 0,058 (0,012) -D,Oi4 (0,015) ODlI (0,017) 0,016. (0,046) (0,036) (0,056) (0,026) (0,028) (0,026) (0,035) (0,101) (0,031) (0,026) (O ,020) (0,045) (0,019) (0,050) (0,018) (0,022) (0,022) (0,039) (0,022) (0,03?) (0,019) (0,012) (0,035) (0,023) (0,018) (0,022) (0,023) (0,037) (0,025) (0,019) (0,016) (0,031) (0,026) (0,019) (0,015) (0,016) (0,019) (0,024) (0,020) (0,033) (0,027) (0,030) (0,018) (0,022) (0,023). 0,906 0,914 0,925 0,889 0,890 0,881 0,898 0,885 0,87? 0,869 0,889 0,863 0,870 0,894 0,873 0,R65 0,862 0,857 0,876 0,869 0,863 0,870 0,893 0,856 0,874 0,848 0,862 0,878 0,877 0,863 0,856 0,842 0,878 0,870 0,866 0,869 0,850 0,858 0,850 0.839 0,839 0,868 0,844 0,840 0,855. 0,091 (0,034) (Om3) 0,035 (0,043) -0,067 (0,024) 0,080 (0,025) 0,068 (0,022) 0,084 O,()()2 (0,027) (0,021) 0,068 (O,Q?O) 0,137 (0,0]8) 0,127 (0,022) 0,ll?3 (0,024) 0,131 (0,016) 0,087 (0,033) -0,045 (0,0] 6) 0,080 (0,0]6) 0,108 (0,015) 0,085 (0,018) 0,138 (0,020) 0,015 (0,017) 0,078 (0,015) 0,062 (0,014) 0,046 (0,028) -D,087 (0,013) 0,113 (0,018) -0.020 (0,012) 0,1 00 (0,013) 0,067 (0,026) .-{),O65 (0,021) -D,054 (0,015) 0,023 (0,010) 0,078 (0,014) 0,140 (0,020) -D,040 (0,017) -D,025 (0,014) 0,1100 (0,015) .-{) ,004 (0,009) 0,063 () ,004 (0,014) (0,(109) 0,1156 (0,014) 0,115 (0,012) 0,063 (0,020) -0,070 (0,(KI9) 0,1140 (0,009) 0,068 (0,014) -0,033. (0,027) (0,022) (0,040) (0,019) (0,019) (0,018) (O ,020) (0,016) (0,027) (0,024) (0,Oi6) (O ,027) 10,Di6) (0,033) (0,015) (0,019) (0,015) (0,028) (0,Oi6) (0,Di 7) (0,013) (0,010) (0,035) (0,019) (0,019) (0,016) (0,012) (0,032) (0,026) (0,013) (0,012) (0,026) (0,02?) (0,Oi 9) (0,014) (0,015) (0,009) (0,015) (0,008) (0,021) (0,011) (0,030) (0,006) (0,009) (0,020).

(17) modele ko . . z.tów dla oddzia low banku ... cJ . labeli 3 I. l1 (wo )/. lJ(w/)i. I - l1(wo ); +. I. ,-. 3. 4. .. 46 47 48 49 50. 51. -, ,53 54. 55 56. 57 58. 0.747 0.805 0 .84 2 0.750 0.750 0.762 0.789 0 ,723 0 ,826 0.742 0 .8 24 0 .766 0,82U. Z ródł o :. (0.03 1) (0.0 18) (0.025) (0,034 ) (0.0291 (0 .034 ) (0.0 21 ) (0.D411 (0.032) (0.035) (0.034) (0 .03 1) (0 .050). o.) 88 0.20 6 0.205 0 .195 0.197 0.216 0,207 0, 194 0.226. 0.205 0 ,222 0.220 0 .254. (0 .0 19) (0.0 12) (0.016) (O ,cH)). (0.018) (0.021) (0.015) (0 .023) (0 ,018 ) (0 .02 1) (0 ,0 22) (0 .U2 1) (0.0 30). - l1 ( w ); L. 0,066 -0.0 I I -0.047 0.05 6 0.05 3 0 .02 7 0 .lX14 0 .083 -0 ,052 0 ,053 -D ,045 0.01 4 -D .073. (0.028) (0.0 19) (0.027) (0.032) (0.027 ). 10.032) (O ,0 22). (0,037 ) (0,03 1) (0 .033) (O .039) (0,034) (0.0 54 ). ~ (Q);. ~( K );. S. 6. 0,85 1 0,845 0,837 0$65 0,843 0.85 7 0.843 0 ,852 0,8 27 0.850 0,8 1U 0 .821 0.792. (0.0 14) (0.009) (0.0 11 ) (0,0 18) (0 .012) (0 .DI8 ) (0.010 ) (0.0 18) (0.013) (0.0 16 ) (0.01 8) (U.UI4) (0.02fi ). 0 .(0) O,Cl31 0.082 ",(1.066 0.009 -O .07.1 O.llll -D .050 0.054 -0.057 0 .108 0.0 i? 0 .056. (0,016) (0.007) (OJI13) (O .079) (0.013) (0.029) (0,010) (0 .027) (0 .009 ) (0 ,026) (0 .019 ) (0 .01 2) (Um 7). obliczeni a wlasne.. 0,3 , - - - - - - - - - - - - - --. - - --. ---,. lI.26 f-- - -- - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - j. 0,22 0.1 K. r ----------__~~~A==F=1t-l f--- -- -= ". () .14. 0. 1 2. 2.")5. 25. 2,75. 3. 3.25. Ś rednic wynagrodzenie hrulto"l.. n:mw {,\mi ( w tys. zl). Rys. 3. W a rt ośc i ocze kiwane i odchylenia standardowe (l fJ osteriori elastyczności kaszlU w zg lędem średniej płacy dla poszczególn yc h o d dz i a ł ó w (przy warlościach p ozos t a ł yc h zmi ennych egzogenicznych ustalon yc h na poziomie ś redniej geomelrycz nej Z próby) - VED (m = 4. r" = 0 .7) Zród ł o: opracowanie wl asnc ..

(18) Jerzy Marzec, Jac ek Osiewa/ski. l. 0.%. I,. , 0,92. II ... (Uł4. 0.8 ~. F.tJ)! l '( 1(lI,h. x.. 300. 3S0. 0.7(,. 0,72 SO. (J. 100. ISO. 200. 250. 400. 4."iO. 5(X). Średnia W Ol t1 {'1~C kredy tów l tnnyc h pożynony ch ~mdhlw Iw mln zł). Ry s. 4 . Wartości oczekiwa ne i odchyl enia standardowe a posteriori ela s ty cz ności kosztu względe m wielkośc i produkcji dla poszczególnych oddziałów (przy wa rtosciac h po zos t (.lłyc h zmi ennych egzogenicz nyc h u s t~llon yc h 1)(.1 pOLiomie ś red ni ej geomelrycznej 7. próby) - VED (11/ 4, r' 0.7). =. Zr ódło :. opracowanie. =. własnc.. 0.24,-- - - - -- -- -- - - - -- - - ----, n .l ~. + ......... . . . . .. 0.12 1 O.Ot'i. ... ---_ ....... '". ,. ....--- .. --- ----_ .. -_ .......". .. - .. -. -- - -. .. -. ... 1 1000. ....(J. 12. .. ------_._-- --- '.'. --------------_ ........... -O,IR -'-----. -. ?()()(). .... -. 3000. .... ........... ... , ,, ,,,. ... -----------_ .. _--. ........ -. ".'. -. _ ...... _ ...... _. ----- .. -----_ .. _--. 4()()() " ,,,,,,. 5001\. .. ,, .. ,, ..... .... _.... ....... . ,,, ........ -- .. ----. " ,", ".". .. ",. ............ _ __ __ __. Pov,-'jcrzchnia pl)micszczen biurowych. _. -------------_ .. _-. _. ---'. (w m:!). Rys. 5. Wartosci oczekiwane i odchylenia standardowe a posteriori elastycznosci ko sztu względem nakładów cz ynnika stałeg o dla poszczególnych odd ziałów (przy wartoSciach p ozos tał y ch zmiennych egzogenic znyc h ustal onyc h na poziomi e sredn iej geometryc znej z próby) - VED (m 4 . r' 0 ,7). =. Źródł o: opracowanie w łasnc.. =.

(19) modele kOSZIÓW dla. Bayesow!ikie. oddz iałów. banku .... 0.95. r - - - - - - - -- - - -- - - -- ---,. 0.9. f--- - - - - - -- - - - - -- .- - - - - - - j. 0.85. f----. 0.8. 0.7 5. ~------------':~~l::r========~~. 0.7. f-- - - - -- - - -- - - - - - - I. 0.65. 5.u. 10 ,0. 15,0. 20 .0. Średnic llprocC:n1owanic: (W %). Rys. 6.. Warto ś ci. oczekiwane i odchylenia standardowe a posteriori e l as tyczności. ceny depozytów i innych pozyskanych ś rodków dla poszczególn ych oddz i a łów (p rzy wartościach pozostałyc h zmiennych egzogenicznych ust<tlonych na poziomie ś redniej geometrycznej z próby) - VED (m = 4, ,.' = 0,7) kosztu. względem. Z ródło : opracowanie wła:;ne.. pł acach. ich wzrost może stanowić element m otywujący pracowników do wydajniejszej pracy. Rysunek 4 wskazuje , że wszystkie oddzialy charakteryzują się ros n ącym krótkoo kresowy m efektem skali (odwrotn ość ela styczności kosztu zmiennego względem produkcji), który mal eje wraz ze wzrostem wolumenu udzielonych kredytów. W efekcie oddzialy mniejsze, o śred nim wolumenie kredytów w kwartale poni żej 125 mln zl (stanow ią one ponad 70% wszystkich oddzialów), mogą w sposób znaczący zwiększyć produkcję , podnosząc przy tym mniej ni ż proporcjonalnie koszty zmienne. Natomiast rys. 5 informuje , że elast yczn ość kosztu zmiennego względem nakladu czynnika stalego jest mniejsza od zera w przypadku oddzialów mających najmniejszą p ow ierzc hnię posiadanych bądź najmowanych budynków. Rys unek 6, p rzedst awiający krzyw ą elastycznośc i kosztu zmiennego względem ceny depozytów i innych pozyskanych środków, wskazuje, że elastyczność ta jest mal ej ącą funkcją tej ceny. Jednakże stosu nkowo ni ewielkie nachylenie krzywej do osi odc i ętych i duże odchylenia standardowe powodują, iż można postawić tezę, że omawiana elastyczność nie z ależy od tej ceny , zatem jest stała i ksztaltuje s i ę na poziomie oscylującym wokół 0,8..

(20) · Marzec, Ja cek. ----------------------~~. 5. Ocena efektywności kosztowe I lei zróinlcowanla. oddziałów. O~· iewalski. I badanie. Zasadniczym celem podjętych badań jest ocena efektywności kosztowej oddziałów banku komercyjnego. Tabela 4 przedstawia wartości oczekiwane i odchylenia standardowe a posteriori dla wskaźników efektywności r i = = exp(- z) poszczególnych oddziałów (uporządkowanych malejąco względem średniej wielkości produkcji w czterech kwartałach) oraz dla wielkości Ai = exp(- YI . Sil - ... - Y4 . Si4)' będących warunkowymi względem parametrów wartościami oczekiwanymi zmiennych li repre ze ntujących nieefektywność. Przypomnijmy. że dychotomiczne zmienne S i2' Si l i nio s ą informacje o specjalizacji oddziału, jego wielkości i o tym, czy posiada filie świadczące pełny zakres u słu g bankowych. Badane oddziały charakteryzują s ię przeciętnie dość wysoką efektywno śc ią , skoro średnia wartość oczekiwana a posteriori dla efektywności wynosi 0,919 (przy ś rednim odchyleniu standardowym 0 ,0 ł 7) . Z ekonomicznego punktu widzenia oznacza to , że minimałny koszt zmienny konieczny do uzyskania danej wiełkości produkcji przy obserwowanych cenach czynników zmiennych i nakładach czy nnika stałego stanowi w badanych oddziałach banku przeciętnie 91.9 % rzeczywiście poniesionego kosztu zmiennego . Zatem nadwyżkowy (nieuzasadniony) koszt zmienny stanowi średnio 8.1 % obse rwowanego kosztu zmiennego. Najmniejszą efektywnością - na poziOlnie 0,768 (+0,016) - charakteryzuje się oddział o numerze 58, natomiast najwięks zą - 0,996 (±0,004), czyli praktycznie pełną - oddział 56. Mediana wartości oczekiwanych a posteriori dla efektywno śc i kształtuje się na poziomie 0,93 , gdy tymczasem za medianę rozkładu a priori przyjęto 0,528 (r' = 0,7); dane wskazują jednoznacznie na znacznie wyższą (niż spodziewana a priori) efektywno ś ć kosztow'l oddziałów. Zróżnicowanie indywidualnych wskaźni ków efektywności jest niewielkie, a małe odchylenia standardowe oznaczają dużą precyzję otrzymanych wyników. Jednakże sam ranking oddziałów nie jest precyzyjny, ponieważ większość (44 z 58 oddzialów, czyli 75% ogólu) charakteryzuje s ię efektywnością z przedziału (0,88; I) , a średnie odchylenie standardowe dła tej grupy odddziałów wynosi ok. 0,016, co powoduje, że dwa oddziały sąsiadujące w rankingu nie są - ze statystycznego punktu widzenia - rozróż nialne pod wzgłędem poziomu efektywności. Natomiast z całą pewnością można wyodrębnić oddz iały wzorcowe (o numerac h 45 , 56,55 i 57) i mało efektywne (8,13, 14,15,19,27,37, a zwłaszcza 58). Przedmiotem szczegółowej analizy centrali banku powinno być porównanie stylu za rządzania i innych uwarunkowań oddziałów wzorcowych i tych oddzialów. w których nieuzasadniona część kosztów zmiennych przekracza np. 12%. Na końcu omawianej tabeli znajdują się średnie wartości oczekiwane a posteriOl'; efektywności dla różnych grup oddziałów . Trudno jest dostrzec wyraź ne zależności między rodzajem oddziału (określonym przez zmienne dychotomiczne) a poziomem efektywności, zwłaszcza że średnie odchylenia standar-. s".

(21) Bayesowskie graniczne modele kosz.low d/a (JddziaMw bankt/. .. Tabela 4.. Wartośc i. efe ktywności .. ,-. oczekiwane i odchylenia standardowe a poster;ori w modelu VED (m = 4, r' = 0.7). I. !J. l. ~. "l. !J"i4. I 2 3 4 5 6 7. I O O. I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I O O U O O. I O O I O. O. U O O R O 9 O lU O II O 12 O 13 O 14 I 15 O 16 O 17 I 18 O 19 O 20 O 21 O 22 I 23 O 24 I 25 O 26 () 27 O 28 O 29 O. L. O O O I O O I O O I U O O O O O O O I O O O I O. Ą;. 0 .105 0.1 19 0 .119 0.144 0 .119 0.119 0 .119 0.119 0.144 0 . 11 9 0.119 0. 144 0.119 0.088 0.144 0.119 0 .088 0 .119 0 .11 9 0 .11 9 0 ,11 9 0.088 0.119 0.105 0 ,093 0.093 0,093 0 .1 16 0 ,093. r. (U.U53) (0 .034) (0.034) (0.068) (0.034) (U.U3 4) (0.03 4) (U.U34) (0 .U68) (0.034) (0 .034) (0 ,068) (0.034) (0.03 1) (0.068) (U,U34) (0,031) (0 .034) (0.034) (0 .034) (0.034) (0.031) (0 .034) (U.U53) (0.025 ) (0.025) (0.025) (0 ,064) (0 ,02 5). 0,894 0.897 0.872 0.899 0.890 0.925 0.984 U.845 0.958 0.894 0 ,853 U,879 0.835 0.840 0.841 0,959 0.975 0.978 0 .838 0.854 0 .965 0 ,903 0.918 O,885 0.894 0.981 0,834 0.9 3 1 0 .9 36. ,. (0 .037) (U ,030) (U,us3> (0.021) (0.022) (0.021) (0.014) (0,017 ) (0 .025) (0 .020) (0.0 17) (0 ,025) (0.015 ) (0.0 34) (0.015 ) (0.01 8) (0.016) (0.020) (0.0 16) (0 .0 15) (0.0 16) (0 ,015) (0.028) (0.0 I 5) (0.014) (0 .01 3) (0 .014 ) (U.025) (0 .0 16). •. I. 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58. .f. i2. I O O I O I U I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I. s,l O O O U. °. O U O O O O O O O U O O. O O O O O U O U O II. O O. O O O O O O U. O O. O O O O O O O. °O O O O O. ° O O O O O O. Ś rednia dla oddzialów z s,., :; l . Sil" ::; l i "~ ,"4::::: I l. ~ rcdnia dla oddziałów z .\2 = 0, si) :::: O i si4 :::: O. Srcdnia dla oddz iał ów z "\"i~:; l, .1"",::; O i.l"A::: O Ś r" I red oia dla oddziałów z 5 I"2 ::; 0,5 I"",:; l i s"4 = O I $rcdnia dla oddziałów z si2 ::; o. ,I"r... ::; Oi si4::; l Srednia dla oddziałów z Si" ::; J, S"l ::; 1 i s"4 :::: O Ś l" I rednia dla odd ziałó w z si"1 ::; 0, sl 3 ::; l i .\4 :::: 1 Śred nia dla odd z iałów z "I'n ::; l Srcdnia dla oddzialów Z J "., ::; O Ś ,.. rcdnia dla oddzialów z S L"l ::; l. Srednia dla oddzialów z s"' ,. ::; O Średnia dla oddziałów z Si4 ::; l Średni a dla oddziałów z si4 ::; O Śred nia. Żródło: obliczenia własne ". dla oddziałów. Ą. Sl4. 0 .U67 0 .093 0 .093 0.067 0.093 0.067 U.09 3 0 .067 0.067 0 .067 0 ,067 0 ,067 0 .067 0.067 0.067 0.U67 0.067 0.067 OP67 0 ,067 0.067 0.067 0,067 0.067 0.067 0,067 0 ,067 0 .067 0 .067. wskaźników. ,.. (0.U I6) (0 .025) (0 .025) (0.016) (0.025) (0.016) (0.025) (0 ,016) (0.0 16) (0.0 16) (0.0 16) (0 .0 16) (0.0 16) (0.0 16) (0,016) (0.016) (0.016) (0.016) (0 ,0 16) (0,0 16) (0,016) (0,0 16) (0 .016) (0.016) (0,0 16) (0.016) (0 .016) (0.016) (0.0 16). ,. r·. U.857 U.955 U.9 10 0.9 74 0.965 0,967. 0.960 0.836 0 .945 0 .948 0 .909 0 .909 0.97U U.946 U.963 0.990 0.949 0.943 0 .911 0 .955 0 ,96' 0 ,9 18 0.950 O.87 I U.933 0.985 0.996 0 .995 0 .768. (0.0 14) (0 .0 15) (0.016) (0.013) (0.014) (0.014) (0.015) (0.01 3) (0 .015) (0.015) (0 .014) (0 .0 14) (0.01 7) (0.015) (0.014) (0 .007) (0.014) (0 ,0 14) (0 ,01 3) (0.0 17) (0 .01 3) (0.016) (0.013) (0.016) (0.014) (0.UI21 (0.004) (0.005 ) (0 .0 16). (0 .026) (0.0 14 ) (0.013) (0,D21) (0.02 5) (0.022) (0 .022) (0.015 ) (0,020) (U ,022) (0.0 14) 0 .898 (0.0' 3) O,lJ22 (0.016) 0.919 (0.017) 0 .889 0 ,929 U.934 0,901 0.93 I 0.906 0.894 0.928 U.909 O,H99 0 .933.

(22) Marzec, Jacek Osinvalski. dowe a posteriori są relatywnie duże w stosunku do rÓŻnic między średnimi wartościami oczekiwanymi a posteriori. Potwierdzeniem braku wyraźnej reguły jest fakt, że zarówno oddział o najwyższej Ci = 56) jak i najmniejszej efektywności (i = 58) należą do tej samej podgrupy, tj. posiadają nadwyżkę kredytów nad depozytami, wartość udzielonych przez nie kredytów wynosi poniżej 100 mln zł i nie posiadają one filii. W tej sytuacji wskazane jest użycie procedur, które pozwolą na formalne testowanie ewentualnych systematycznych róż nic w efektywności kosztowej oddziałów. Prezentowane w tabeli 4 wyniki nie są wrażliwe na założenia a priori, w szczególności na zmianę r'. Wyniki uzyskane zarówno dla wartości r' mniejszych niż 0,7, jak i dla r' = 0,9 są prawie identyczne. Empiryczne współczyn niki korelacji rang Spearmana i korelacji liniowej między wartościami oczekiwanymi a posteriori poszczególnych r i są bliskie jedności, w przypadku wyników dla r' = 0,7 i r' =0,9 wynoszą odpowiednio 0,996 i 0,9998. Stała r ma tylko nieznaczny wpływ na średni poziom efektywności oddziałów. Natomiast rozkłady a posteriori dla składowych wektora y okazują się dość wrażli we na wielkość r'. W proponowanym modelu VED spodziewany poziom efektywności oddziału jest wyjaśniany przez dychotomiczne zmienne egzogeniczne (si')' O kierunku i sile ich wpływu na zróżnicowanie efektywności oddziałów informują skła dowe wektora y, których wartości oczekiwane i odchylenia standardowe a posteriori przedstawia tabela 5. Tabela 5. Wartości oczekiwane i odchylenia standardowe a posteriori dla y - VED (m = 4. r' = 0,5. 0,7 i 0,9). ,. ,., = 0,7. r = 0,5. Y, Y, Y, Y4. EClv.X.W). DCly,X.W). ECly,X,\V). 2,190 0,475 -D.I03 -D,132. 0,248 0,268 0,307 0,418. 2,410 0,326 -D,246 -D,135. r' = 0,9. DCly.X,W) E('ly,X,W). 0,262 0,276 0,312 0,415. 2,640 0,172 -D,400 -D,146. DCly,X,W). 0,277 0,285 0,318 0,412. Źródło: obliczenia własne.. Wyniki te wskazują, iż (niezależnie od przyjętej wartości r) zarówno struktura organizacyjna oddziałów (si4 = 1, gdy oddział posiada filię),jak i skala prowadzonej działalności (oddział prowadzi działalność na dużą skalę, gdy łączna wartości udzielonych kredytów wynosi powyżej 100 mln zł; si] = 1) nie mają istotnego wpływu na zróżnicowanie efektywności w poszczególnych grupach oddziałów. Nieznaczne różnice w poziomie efektywności wydają się być zwią zane ze specjalizacją oddziałów. Wyższą efektywnością charakteryzują się oddziały kredytowe (posiadające nadwyżkę wartości kredytów nad depozytami;.

(23) Bayesowskie grall iczne modele kosztó w dla oddzialów baliku .... ,- = I) niż depozytowe, tzn. te pierw sze mają średnio ni ższy poziom nieuzasad-. .1' .,. ni onych kosztów zm iennych, aczkolwiek im wyższą wartość przyjmuje r', tym wnioskowanie to jest s łabsze. Pojawi a się zatem problem wyboru odpow iedn iej wa rtośc i dla r ' i problem statystycznego testowania roli zmiennych si}' W cclu statystycznej weryfikacji roli zmiennych si} u ży li ś m y obszarów o n ajwiększej gęstości a posteriori (ang . regions oj highest posterior density; HPD region,I' , zob. [Box, Tiao 1973)). Test oparty na analizie obszarów o naj większych wartościach g ęstości a posteriori (przy ustalonej masie prawdopodobieństwa) okreś l a si ę mianem testu typu HPD bądź testu Lindleya. Nie je st to "standardowy" test bayesowski, gdyż ni e wprowadza s i ę w nim prawdopodob i eńs twa a priori prawdziwości restrykcji i nie oblicza s ię prawdopodobi e ń s tw a posteriori konkurencyjnych modeli (pelnego i po redukcji ). W naszy m wnioskowaniu wy korzystali ś m y bayesowski odpow iednik testu F , umo żliwiający l ącz ne testowanie restrykcji postaci y, = ... =y", =O. Zatem rozważamy następ uj ąca formę kwadratową:. T = T({; y, X, S) = (y' - E({))'(D'(y'))-'(y' - E(y'»,. (16). gdzie y' to wektor-kolumna o wymiarze m' x I (m' < 111) zlożony z testowan ych elementów wektora y, a E(y') i D 2(y') to wektor wartości oczek iwanych i ma cierz kowariancj i a posteriori wektora y'. Jeże li wartość zmiennej T(y'; y, X , S) od po w iadająca y' = O znajduje się w ogonach rozkładu p(Tl y, X, S). to ten punkt przestrze ni parametrów nie należy do zbioru o największej gęstości a po , steriori. Taka sytuacja oznacza, że ewentualna redukcj a modelu VED nie byłaby uzasadniona . Brzegowe ro zkłady a posteri(Jri dla pojedynczych sk ł adowyc h wektora y (dla r' równego 0,7) przedstawia rys. 7 . Wynika z niego, że moda łna rozkła du gęstości a posteriori dła Y4 znajduje si\, w bli skim są s iedztwi e zera, zatcm zmi enną \4 m ożna w tym modelu pominąć , uznając ją za ni e i s tot ną . Natomiast po lożenie funk cji g9s tości dła parametrów Y2 i Y3 wzgłędem punktu zero zależy do ś ć silnie od zał ożeń a priori, co w przypadku Y2 przedstawia dokładnie rys. 8 oraz tabela 5 zawierająca wart ości oczekiwane a posteriori (parametry położenia). Je ś li przyj miemy za r' wart ość 0,7 (0,9), to punkt yi = O należy do przedziału HPD , gdy prawdopodobień s two ustalimy na poziomie nic mni ejszym niż 0,75 (0,46) . Warto ść y; = O nal eży do przedz iału o n ajw i ę kszej gęsto ści a posteriori ,jeżeli prawdopodobieristwo a posteriori ustalimy na poziomie 0 ,56 lub więk szy m przy r' =0,7 ; natomiast dła r' =0 ,9 prawdopodobie,istwo to musi wyno s i ć przynajmniej 0.7 6. Zatem dla omawianych warto ści ,.' zastosowany tutaj test wskazuje raczej na zasadność usuni ęc ia .1;2 i s ;) niż pozostawienia ich w modelu. Rezultaty otrzymane dla r' =0,3 i r' =0,5 jednoznacznie wskazują na i s t otn ą rolę zmiennej s;2' jednak takie warto śc i r' nie oddają w s tępnej wiedzy o efektywności (mediana rozkładu a priori jest dła takich r' zbyt bliska O)..

(24) Jerzy Marzec, Jacek Osiewa/ski. -- - 1,. -. ! .l. -. li. (\1 I \. i. ; \. I. Ii. \.. , \, • \ / \,. I ./. -,. - 1.1,. - 1.1. I - (!.N. , ,. ,,. , •. ~ ,A. •. • •,. •. ,,. ,. ,,. •. ,. ,.'. ." ,... !l A. ". ,,. •. \ \.. ~. , •. \. •. \. ,,,. \. I. I. ,. ,. I I I I. 1/\1... I. ,. ,.'. i 1\. - ". -. . ,, ., .,• ,,• ,• ,, ,, ,. 1. -... u'. 2._. 1 .~. 2". .'J,. Ry •. 7. Brzegowe gęstosc; a po-'Ieriori składowych wektora y - VED (m = 4 . r' = 0,7) Źródł o : opracowa nie wł aS ne .. !,. .. ··r-'/--'., . . ! .~\ '. I .. ,, . . , . \ ' I ... , " >'. ". '. I. / ;"' ' \ \. \·. 1. fI. ... '. I. ". '. I. \',. .'. \. ·-1I .: -y . ,-:. -. ··. ./. i'. --- j i. _~~ ::::;:-"";,,,,-,";;:-_.;,,---c: /-~.::;>:,,"'_. Ry s. 8. Brzegowe. gęstosci. ,'. \. .•..•. ' \ \, -... ____. a posferiori dla Y2 w. \', '. .. \. }. '. '_. ~::::; " ". '>~.. ,.... zal eż n o~ici. --.. od ,.' - VED (m = 4). Źródł o: opraco wanie własne.. W ś wietle zaprezentowanych wstępny ch wyników testu HPD pojawia się problem wyboru stopnia redukcji modelu VED z ni = 4 . Możliwa jest pełna redukcja do przypadku CED, albo redukcja częściowa poprzez usunięcie jednej ze zmiennych bądź pary zmiennych. W celu rozstrzygnięc ia tego problemu za-.

(25) modele kosztów dla odt/z ialó w ba l1 ku ... s tosowa l i ś my. ponownie bayesowski od pow iedn ik testu F ( wzó r ( 16)). Hipotezy. które odpowiadają o maw ianym redukcjo m , m aj ą postać: - Ho: Y2 =Y3 =Y4 =O, niech zate m Y2' 4 = [Y2 Y, Y4 1', b~d ż - Ho: Y2 =Y, =O, w i ęc y'" = [Ye y,J'. - Ho: Y2 =Y4 =O, w i ęc f ' 4 = [y, Y4 J'. - Hu: Y, = Y4 = O, w i ęc Y34 = [y, Y4]" Pelne re zultaty otrzy mane za pomocą po wy ższeg o lestu prezentuje tabel a 6, na to miast rys. 9 przedstawia g ęst oś ć a p oster;or; zm ie nnych losow yc h T(Y234: y , X, S) i T(Y;4; y , X. S)'. Przeprowadzone bada ni a w skazują, że dla omawia nyc h wartośc i r' rozkład a posteriori tych z mie nnyc h losowych, unormow anych ze w zg l ędu na parametr p ol ożen ia i skali , nie zależy od r ' . Ten wniosek oparty jest na spos trzeże n i u, że wykresy rozkladów a posteriori odpowi ad ających rÓŻ n y m r ' praw ie si ę p okrywaj~ . Tabe la 6 . Wa rtośc i e mpiryc zne ba yesowskiego lesiu F - VED (m = 4 . '" = 0 ,7 i 0 ,9) Ho: l,- - l, - 14 -. HipOleza. °dla ,. -. Ho: l ,• ,. , t ty - O: y . X,. S). •• _ _ _ _ _ ._. __ ·_. __ ._.0. _____ 0. _____ . ___ • ___ •. ••. Pr{ t (y • y, X, S) < , t ty - O: y , X, SI I v, X, S}. 3 ,22. --------- _._._.__....... _0,62. O: y . X , SI "._ . ..... , ....- ... ..... t ty. 3,40. .......... .. .... -. .. -. -....--. _.--------_. ----Pr{t(y •• y, X, S) < 0,61 t V - O: y . X , S) I y . X, S}. '".. ,,- " " ". ",.",. ". ". ". Zródlo: oblicze nia. ". " ,,' ". --,,-. ----------. .. 110 : Y, - Y., - O Ho: l ,. I ,47. 2,87. • _. _________________ __ .. 0 _.. 0,78. 0.54. ,. --. 14 -. 0 ,7. -_.. _-------. dla r ,. - l) - O. -. °. 092 ,. .........._.. __._._ -- _._._._ --- ----. 0,36. - 0 ,9 2,85. 0,48 _.......•._...... ,. ... ....,................................. ...._. O, )7 0 ,73. ----- ...........•... ". _. 2,OS ---- --- ---- --- --- --- --- --- --- -_ .. --- --- -_ ... ,,_ .. ". 0,59. wł a s n e.. A n a li zuj~c. w yni k i za mieszczone w tabeli 6 m oż n a za u ważyć , że p un kty Y234 =O, Y24 =O, Y23 =O i Y;4 = O n a leżą do obszaró w HPD j u ż przy stosun kowo nie wie lki m poziomie praw d o pod obi eń s t wa a posteriori, co oznacza moż li wość calkow itej redukcji modelu VED (m = 4) do modelu CED . Prezento wa ne wy ni ki wskazuj ą , i ż mo ż na u s u nąć wszystkie z m ien ne s i] i dok o nać redukcji pierwotnego model u VED do przypadku CED . W celu porównan ia wnio sków, do j akich prowad zą obi e specyfikacje ( V E D i CED ) , przeprowadz i l iśmy estymację modelu CED . Wy nik i o p i s ujące techn olog ię produkcji ( fun kcję kosztu ) oraz ranking efektywn ośc i nic różniły si ę od wyników uzy ska nyc h d la modelu VED z m = 4; por. [Osiewa lski 200 11 .. z. ~ Wykresy g~stośc i a posteriori dla zmiennych ' (Yi 3: y . X. S) i 1(Y24: y , X. S) prawie si ę pokrywają wykresDm i dl a -r(y':w : y. X, S), wiQc w celu zachowan ia c zyte ln o śc i rysunku pominięto j e..

(26) ~--------------------~~. -- -- -. I. Marzec, Ja cek Osielvalski. />\ lIYi34: r.. x. S)I r. X. SI "'la r. /1( tlY~\~ : ,I '. X. ~)I .l'. X. S) d la -."~".~. =. T' ". 0.9 0.7. />\ t( y.,·":,v,X.SJl l, X,Sldb r",,O.9. , -,. ,. o. t. 2. 4. 5. 6. .. 7. .. 8. 9. tO. Rys. 9. Gę st ośc i a po"terior; zmi e nnej f: y, X, S) dla y'o;, VED (II! = 4) Zród ło: opracowanie własne.. 11. 12. 13. 14. 15. = [y, Y, y,l i Y" = [y, y,l-. Literatura Aigner D .. C .A .K . Lovell , P. Schmidt [1977], Formuiatioll and ESlimar ion of Stochastic Fro11lier Produuion Function Models , "Joumal o r Econometric s·' . vol. 6. Beckers D.E .. Hammond C.J. [1987 J. A Tra ctable Likelih ood FUll ctioll for tlle Normal-Gamma SlOchastic.: Frolltier Model. " Economics Letters", vol. 24 . Berg S.A " Forsund F,R" Hj.lm.rsson L., Souminen M. (1 993], Ba lIkilIK E/ficiellcy ill Ihe Nordic Co /wrries . "Jo urnal of Banking and Finance", vol. 17 . Bcrger A .N . 11 9931. . Dislributioll- Free' Es,imates oj Efficiency ill ,he U.S. Bankillg Indusl ry al/d TeslS oj the Standard Distributional Assumpriolls, "The Journal of Producli vity Ana lys is" , vo l. 4. Berge r A.N ., De Young R. lI997] , Problem LO{llls and CO.\1 Eh/ciency in Comercial Bank.", "Journ a l o f Bank ing a nd Fin ance", vo l. 21. Berger A.N .. Leus ne r J .H ., M ingo LJ. l1997J, Th e Efficien cy (~l B(mk Branchl'.\', "Journal ot' Mone tary Economics", vol. 40. Berge r A.N .. Meste,r L.11993J./nside lhe Bla ck Box: W/Ul( Exp laills Differetlces in l/W Efficiel1cies ol Fif/Ullcial /nstitutiolls? , "Journal of Banking and Finance" , vol. 17. Box G., Tiao G . [1973], Bayesian Injerence ;11 Stalistical Allalysis, Addison-Wesley,. Reading. Broeck J . V~T1 den , Kaor G .. Osiewalski L, Steel M.F.J . L1994J, SlOchClstic Frontier ModeIs: A Bayesitl11 Perspective, "Joumal ot' Econometrics", vo l. 6 1..

(27) modcle kO!i"Ztó.v dla oddz.ialów banku ... Brown R.S., Christen.se n L.R. [1981], Estimates oj Suhstitution ill a Model ol Partial Stalic Equilibrium: Ali Application to U.S. Agriculture, J947~J974 [w :] Modelil1g and Measuring Naturaf Resource SubSlilution, E.R. Bemdt, B .C. Fields (eds) , MIT Press , Ca mbridge. Casella G ., George E . ll(92) . Explaining the Gibbs Sampler • ..The American Statislician" . vol. 46 . Cebenoya n A.S .. Coope rman E .S .. Regi ster C .A., Hudgins S.C. [ 1992) . Th e Relative Effi. ciency ofSrock Ver.ms Mutual S&Ls: A Srochastic Cost Frolllier Approach . ..Journal of FinanciaJ Services Research", vol. 7. Eire R., Pro mont D . lI9931. Measuring lh e Efficiency of Mullil/nit Bal/king: An Activit)' Anal)'sis Approach, "Joumal ot' Banking and Finance" , vol. 17 . Parrell M. [19571. The Measuremellt ol Produ c:t;ve Efliciency, "Journal of the Roya1 SlatisIkaj Society", Sedes A. vol. 120. Femandez C .• Osiewaiski J ., Sleel M .F.J . 119971. 011 the U:-je ol Panel Data ;n SlOchasric Fromier Model.\" wirh fllIproper Priors, ..Journal ol' Econome[rics". vo l. 79. Grabowski R .. Ragan N., Rezvanian R . l 1993], Orglllliz.alional Form::j ill BankilIg: Ali Empirical III ve.ttiga tioll oj Cost Ejficiellc"y, ..Journal ot" Banking and Finance" . vol. 17 . Greene W.H. [19801, Maximwll Likelihood Esril1latioll ol EcoJJometric Frolltier FunctirJ/ls, ."Journal of Eco nometrics". vol. 13. Greene W.H. [1990J, A Gal1l111a·Distribured Srochasric Frontier Model . .. Journal ot' Econometrics", vol. 46 . Hughes J .P., Lang W ., Mesler L.J. , Moon C.G. {1996J , Effieiem Ba1/kilJ~ w1der Jnlerstal e Brallching , "Journal Money. Credil and Banking" , vol . 2&. Hunter W .. Timme S . [1995]. Core Dopnsits alld Physica{ Capirai : A R eeXlłl1linatioll (~f Bank Scale Ecol1omies and Efficicllcy lVilh QllluiJixed JnpLIIs , "Journal of Money, Credit and Banking" . vo l. 27. Jondrow J., Lovell C.A. K .. Materov I., Schmidt P. [1982], On th e Estimation ofTechnieal lnejji"ciency in rh e Srochasric Ff(mtier ProductiolZ Functioll Model . ..Journal of Econometrics", vol. 19 . Kaparak is E .. M iller S.M .. Noulas A.G. lI994] . Shorl-Rull COS! Jn efficiellcy qf COl11l11 ercial Banh: A Flexihle Stochastic Fronlier Approach. "Journal or Money . Credil and Banking". vol. 26 . Koop G., O sicwillski J .. Stee l M .F J . 11994J , Hospital Efficiellcy Allalysis though Illdi viduuJ EJlects: A Buyesillll Approach. Center for Economic Resea rc h Di scuss ion Paper . vol. 9447, TiJburg University, Tilburg. Koop G., Osiewal ski J .. Steel M .F.J. [1997]. Hospita! Elficien cy Amll.",,"i.\' u)ith Jndividuaf Effects: A Bayesiwl Approach, "Journal of Ecanometrics". vol. 76 . Kaop G .. OsiewaI ski J ., Steel M.F.J. [19991, The Components ofOutPLlI Grmvth: A Stocha· .\·tie Frontier Allalysis, "Oxford Bulletin of Economics and Stati stics" , vol. 61. Koop G .. OsiewaIs ki J ., Steel M .F.J . [20001. Measuring rhe SOllrces ofOutput GrolVlh;1I a Pallel ofCOlll1lr;e~' . "Joumal of Business and Economic Stalistic ", vol. 18 . Koop G. , Stec I M.F.J .. Osiewaiski J . 11995), PO:.i terior Analysis of SlOclwslic From;er Models UsilIg Gibhs Sumpling, "Computational 5tatislics". vo l. 10. Kraft E., Tirtiroglu D . [1998]. Bank Efficicllcy in Croatia: A Srochaslic-Fronria Ana(vsis. "JournaJ ofComparative Economics", val. 26. Kulatilaka N. [19851 . Tes!.\" ofthe Validity ofStalic Eqllilibrium Modds. "Jaurnal of Econo. " . vo l . '8 metncs _ . Kulatilaka N. 119871. Th e Specijicatio/1 of Partial Staric Equi/ibriuIH Moc/eis , "Revi ew of Economics and Statislics", vol. 69 .. ar.