Zjawiska transportu.

13. Zjawiska transportu w gazach

Wybór i opracowanie zadań.13.1-13.11.Bogumiła Strzelecka

13.1. Ile razy zmieni się współczynnik dyfuzji gazu dwuatomowego, jeżeli w wyniku : a) izotermicznego,

b) adiabatycznego

rozprężania gazu jego ciśnienie zmniejszyło się dwukrotnie?

13.2. Współczynnik dyfuzji tlenu w warunkach normalnych jest równy 1,41 ⋅10-4 m2/s. Znaleźć współczynnik dyfuzji tego gazu w temperaturze 50oC, jeżeli gaz ogrzewano przy stałej objętości.

13.3. Współczynnik przewodnictwa cieplnego gazu trójatomowego jest równy 1,45⋅10-2 W/m⋅K, a współczynnik dyfuzji w tych samych warunkach wynosi 10-5 _m2_{/s. Znaleźć liczbę} cząsteczek gazu w 1m3 w tych warunkach.

13.4. Znaleźć współczynnik przewodnictwa cieplnego chloru, jeżeli wiadomo, że

współczynnik lepkości dynamicznej tego gazu w danych warunkach jest równy 1,29⋅10-5 N⋅s/m2_.

13.5. W jakiej temperaturze współczynnik lepkości dynamicznej azotu jest równy współczynnikowi lepkości dynamicznej wodoru w temperaturze 19oC? Średnica atomu azot wynosi 3,1⋅10-10 _{m, a średnica atomu wodoru – 2,3⋅10}-10 _m.

13.6. Obliczyć ilość ciepła przewodzonego przez ścianę mieszkania w zimie w czasie t., jeżeli przewodnictwo cieplne ściany wynosi χ, grubość ściany jest równa d, zaś jej powierzchnia S. Temperatura w mieszkaniu wynosi T1, a na zewnątrz T2 < T1. Ile należy spalić węgla w celu wyrównania ubytku ciepła przez przewodnictwo, zakładając, że tylko η część ciepła dostarczonego przez spalanie węgla idzie na wyrównanie tego braku. Ze spalenia 1 kg węgla uzyskujemy r [J] ciepła.

13.7. Naczynie szklane o powierzchni S i grubości ścianek d, zawierające mieszaninę wody z lodem w równowadze termicznej, postawiono w pokoju o temperaturze T1. Wiedząc, że przez jednostkę powierzchni szkła, przy gradiencie temperatur ∆T/d, w każdej sekundzie dopływa ilość ciepła χ, obliczyć ile lodu ulegnie stopieniu w tym naczyniu w czasie τ. Ciepło topnienia lodu jest równe l.

13.8. Ściana drewniana ma grubość d. Jaką grubość powinien mieć mur z cegieł, aby miał taką samą przewodność cieplną jak ta ściana z drewna. Współczynnik przewodnictwa cieplnego drewna wynosi χ1 a cegły - χ2.

13.9. Dwie płytki – miedziana i żelazna, z których każda ma grubość 1 cm, dokładnie przylegają do siebie. Temperatura zewnętrznej powierzchni płytki miedzianej jest równa 373 K, a temperatura zewnętrznej powierzchni płytki żelaznej jest równa 273 K. Znaleźć temperaturę płaszczyzny zetknięcia płytek jeżeli współczynniki przewodnictwa cieplnego są równe χ1 = 390 W/m⋅K (miedź), χ2 = 62 W/m⋅K (żelazo).

13.10. Piec elektryczny o mocy P =2kW i powierzchni S = 0,25 m2 pokryty jest ogniotrwałym materiałem o grubości d =10 cm. Współczynnik przewodnictwa cieplnego tego materiału jest równy χ = 0,8W/m⋅K. Jaka jest temperatura zewnętrznej powierzchni pieca, jeżeli temperatura jego wewnętrznej powierzchni jest równa t =1200 oC?

13.11. Zamknięty termos styropianowy zawierający masę m cieczy o temperaturze To wstawiono do pieca o stałej temperaturze T1 > Tw (Tw – temperatura wrzenia cieczy). Ogrzewana powierzchnia termosu wynosi S, zaś grubość ścianek naczynia d. Współczynnik przewodnictwa cieplnego styropianu jest równy χ, zaś ciepło właściwe wody wynosi c. Po jakim czasie ciecz w naczyniu zagotuje się?

Rozwiązania: 13.1.R.

Współczynnik dyfuzji wyraża się wzorem: λ ⋅ = v D 3 1 ,

v – wartość średniej prędkości arytmetycznej cząsteczek gazu, λ - średnia droga swobodna cząsteczek. m kT v ⋅ = π 8

, gdzie k – stała Boltzmanna, T – temperatura, m – masa cząsteczki;

V n d2 2 1 ⋅ = π

λ , gdzie d –średnica czynna cząsteczki, n – liczba cząsteczek, V – objętość.

Podstawiając powyższe zależności do wyrażenia opisującego współczynnik dyfuzji i uwzględniając, że : kT p Vn = otrzymujemy zależność: (1) p d kT m kT D ₂ 2 8 3 1 ⋅ ⋅ ⋅ = π π

a) w przemianie izotermicznej T = const, możemy więc napisać, że D ~ p 1 Wówczas 2 2 1 1 2 _{= =} p p D D

b) Przy przemianie adiabatycznej możemy napisać D ~ p T3 Wówczas (2) 2 1 3 1 3 2 1 2 p p T T D D ⋅ = .

χ χ 1 1 2 1 2 −       = p p T T , gdzie 2 1 2 i i + =

χ , i – liczba stopni swobody dla gazu dwuatomowego jest równa 5.

Podstawiając powyższe zależności do równania (2) otrzymujemy :

49 , 1 2 1 1 3 1 2 1 2 _{⋅ =}       = − p p p p D D χ χ 13.2. O. 0 0 T T D D= 13.3.R.

Należy obliczyć wielkość: V

n .

Korzystamy z następujących zależności:

v c v⋅ ⋅ ⋅ = λ ρ χ 3 1

- współczynnik przewodnictwa cieplnego;

λ ⋅ = v D 3 1 - współczynnik dyfuzji. Obliczamy: µ χ Cv V m D = ⋅ , ponieważ µ v V C c = . A N m n= ⋅

µ , gdzie µ jest masą 1 mola gazu, NA - stała Avogadro, zaś

R i C_V

2

= , gdzie R – uniwersalna stała gazowa, i – liczba stopni swobody (dla gazu trójatomowego wynosi 7) , otrzymujemy zależność

µ µ χ i R N V n D _A 2 ⋅ ⋅ ⋅ = .

Po przekształceniach oraz uwzględniając, że k J K N R A / 10 38 , 1 _⋅ −23 = = otrzymujemy: 3 23 10 5 , 3 2 _{= ⋅} − = m Dki V n χ . 13.4.R. v c v⋅ ⋅ ⋅ = λ ρ χ 3 1

-współczynnik przewodnictwa cieplnego;

ρ λ η = v⋅

3

1 _{⋅ - współczynnik lepkości dynamicznej.}

Uwzględniając powyższe zależności otrzymujemy: K m W R i c_V = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = _{3,77 10}− _/ 2 3 η µ η χ 13.5.R. ρ λ η = v⋅ 3

1 _{⋅ - współczynnik lepkości dynamicznej}

µ π ⋅

= RT

v 8 , gdzie k – stała Boltzmanna, T – temperatura, m – masa cząsteczki;

V n d2 2 1 ⋅ = π

λ , gdzie d –średnica czynna cząsteczki, n – liczba cząsteczek, V – objętość

Uwzględniając powyższe zależności oraz pamiętając, że

H N η η = otrzymujemy C d d T T o H N H N H N 4 204 4 ≅ ⋅ ⋅ = µ µ 13.6.R.

Ilość ciepła przewodzonego przez ściany mieszkania:

d T T t S Q_{= χ⋅ ⋅} 1 − 2

Ilość ciepła uzyskana ze spalenia m masy węgla: r

m Q₁ = ⋅ .

Część uzyskanego ze spalenia węgla ciepła wyrównuje straty ciepła: Q Q₁ = η Po przekształceniach otrzymujemy: r d T T t S m ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =_{η χ} 1 2 13.7.R.

Ilość ciepła przewodzonego przez ścianki naczynia τ χ⋅ ⋅∆ ⋅ = d T S Q

Masa lodu stopiona przez to ciepło wynosi:

l d T S m ⋅ ⋅ ∆ ⋅ ⋅ = χ τ 13.8.R.

Ilość ciepła przewodzona przez ścianę z drewna w czasie τ musi byś równa ilości ciepła przewodzonego przez mur z cegieł w tym samym przedziale czasu:

τ χ τ χ ⋅ ⋅∆ ⋅ = ⋅ ⋅∆ ⋅ x d T S d T S ₂ 1 Stąd: d d_x 1 2 χ χ = 13.9.R.

Ilość ciepła przewodzonego przez płytkę z miedzi musi być równa ilości ciepła przewodzonego przez płytkę z żelaza:

τ χ τ χ d T T S d T T S s x 1 2 2 1 − = − Po przekształceniach otrzymujemy: K T T T_x 339.3 2 1 2 2 1 1 ₌ + + = χ χ χ χ

13.10.R.

Ciepło wytwarzane przez piec: τ

⋅ = P Q

Ciepło przenoszone przez warstwę: τ χ⋅ ⋅ − ⋅ = d T T S Q x

Porównując powyższe równania i przekształcając otrzymujemy: K S d P T T_x =473 ⋅ ⋅ − = χ 13.11.R.

Ciepło, które przepłynie do naczynia w czasie dt : ,

dt d

T S

dQ= χ⋅ ⋅∆ gdzie: ∆T =T₁−T , a T jest temperaturą, jaką osiągnie woda

pobierając ciepło dQ w czasie dt.

Ciepło pobrane przez wodę zmieni jej temperaturę o dT:

c m dQ dT ⋅ = .

Porównując powyższe równania otrzymujemy:

(

)

Woda w naczyniu zagotuje się gdy temperatura T osiągnie wartość temperatury wrzenia dla wody Tw.

Przekształcając powyższe równanie, całkujemy je obustronnie

∫

∫

i otrzymujemy wzór na czas, po którym ciecz w termosie zagotuje się:

w T T T T S c m d − − ⋅ ⋅ ⋅ = 1 0 1 ln χ τ .