Graf G jest grafem zewnętrznie planarnym jeżeli G ma zanurzenie planarne, w którym wszystkie wierzchołki są przyległe do ściany zewnętrznej.

Dyskretna Matematyka dyskretna: Zestaw 12 Semestr letni 2020/2021

Kraków 20 maj 2021

Grafy planarne. Grafy przecięć.

Graf G jest grafem zewnętrznie planarnym jeżeli G ma zanurzenie planarne, w którym wszystkie wierzchołki są przyległe do ściany zewnętrznej.

Graf G jest grafem permutacji jeżeli G jest grafem przecięć odcinków rozpiętych na dwóch różnych prostych równoległych (tzn. zawartych pomiędzy tymi prostymi i mającymi z nimi niepuste przecięcie).

Graf G = (V, E) jest grafem nieporównywalności jeżeli istnieje częściowy porządek P = (V, ¬) spełniający dla każdych u, v ∈ V warunek:

uv ∈ E ⇐⇒ u, v są nieporównywalne w P.

Zadanie 1 (1p.). Znajdź najlepsze ograniczenia na liczbę kolorującą, liczbę chromatyczną oraz listową liczbę chromatyczną w klasie grafów zewnętrznie planarnych.

Zadanie 2 (1p.). Wykaż, że klika 5-elementowa K

nie jest grafem planarnym.

Zadanie 3 (1p.). Ile krawędzi może mieć dwudzielny graf planarny. Wywnioskuj, że klika dwudzielna K

nie jest grafem planarnym.

Zadanie 4 (2p.). Wykaż, że krawędzie każdego grafu planarnego możemy pokolorować 3 kolorami tak, że krawędzie każdego koloru nie zawierają cyklu.

Zadanie 5 (2p.). Wykaż, że każdy striangulowany graf planarny jest grafem wierzchoł- kowo 3-spójnym.

Zadanie 6 (2p.). Wykaż, że każdy graf planarny ma zanurzenie planarne, w którym każda krawędź jest reprezentowana przez odcinek na płaszczyźnie.

Zadanie 7 (2p.). Wykaż, że każdy n wierzchołkowy graf dwudzielny jest (dlog ne + 1)-wybieralny. Czy potrafisz pokazać, że każdy n-wierzchołkowy graf dwudzielny jest (dlog ne)-wybieralny.

Zadanie 8 (1p.). Wykaż, że grafy przecięć kół na płaszczyźnie mają ograniczoną liczbę kolorującą.

Zadanie 9 (1p.). Wykaż, że χ(G) = ω(G) dla każdego grafu permutacji G.

Zadanie 10 (1p.). Wykaż, że dopełnienie grafu permutacji też jest grafem permutacji.

Zadanie 11 (2p.). Wykaż, że graf G jest grafem nieporównywalności wtedy i tylko wtedy, gdy G jest grafem przecięć funkcji ciągłych określonych na przedziale [0, 1].

Strona 1/1