Elektrodynamika
Część 1
Elektrostatyka
Ryszard Tanaś
Zakład Optyki Nieliniowej, UAM
Spis treści
1 Literatura 3
2 Elektrostatyka 4
2.1 Pole elektryczne . . . 4
2.2 Dywergencja i rotacja pola elektrostatycznego . . . . 11
2.3 Potencjał elektryczny . . . 28
2.4 Praca i energia w elektrostatyce . . . 40
1 Literatura
Wykład oparty jest na podręczniku:
D. J. Griffiths, Podstawy elektrodynamiki, PWN, Warszawa, 2001
W prezentacjach używam notacji zgodnej (prawie) z polską wersją tego podręcznika.
Należy pamiętać, że tłusta czcionka oznacza wektor, np. E oznacza E~ w pisowni ręcznej.
Prezentacje mogą być wykorzystywane wyłącznie w celach dydaktycznych.
2 Elektrostatyka 2.1 Pole elektryczne 2.1.1 Zasada superpozycji q1 q2 qi Q
2 Elektrostatyka 2.1 Pole elektryczne 2.1.1 Zasada superpozycji q1 q2 qi Q
ładunki źródła ładunek próbny
x y z Q q R r r′
x y z Q q R r r′ R = r − r0
x y z Q q R r r′ R = r − r0
2.1.2 Prawo Coulomba
F = 1
4π0
qQ R2 Rˆ
2.1.2 Prawo Coulomba F = 1 4π0 qQ R2 Rˆ 0 = 8, 85 · 10−12 " C2 Nm2 #
2.1.2 Prawo Coulomba F = 1 4π0 qQ R2 Rˆ 0 = 8, 85 · 10−12 " C2 Nm2 #
przenikalność elektryczna próżni
ˆ
R = R R =
r − r0 |r − r0|
wersor wskazujący kierunek i zwrot wektora R
2.1.3 Pole elektryczne
Całkowita siła działająca na Q pochodząca od ładunków
q1, q2, . . . , qn odległych od Q o R1, R2, . . . , Rn F = F1 + F2 + . . .
2.1.3 Pole elektryczne
Całkowita siła działająca na Q pochodząca od ładunków
q1, q2, . . . , qn odległych od Q o R1, R2, . . . , Rn F = F1 + F2 + . . . = 1 4π0 q1Q R21 Rˆ 1 + q2Q R22 Rˆ 2 + . . . !
2.1.3 Pole elektryczne
Całkowita siła działająca na Q pochodząca od ładunków
q1, q2, . . . , qn odległych od Q o R1, R2, . . . , Rn F = F1 + F2 + . . . = 1 4π0 q1Q R21 Rˆ 1 + q2Q R22 Rˆ 2 + . . . ! = Q 1 4π0 q1 R21 Rˆ 1 + q2 R22 Rˆ 2 + q3 R23 Rˆ 3 + . . . !
2.1.3 Pole elektryczne
Całkowita siła działająca na Q pochodząca od ładunków
q1, q2, . . . , qn odległych od Q o R1, R2, . . . , Rn F = F1 + F2 + . . . = 1 4π0 q1Q R21 Rˆ 1 + q2Q R22 Rˆ 2 + . . . ! = Q 1 4π0 q1 R21 Rˆ 1 + q2 R22 Rˆ 2 + q3 R23 Rˆ 3 + . . . ! F = QE
2.1.3 Pole elektryczne
Całkowita siła działająca na Q pochodząca od ładunków
q1, q2, . . . , qn odległych od Q o R1, R2, . . . , Rn F = F1 + F2 + . . . = 1 4π0 q1Q R21 Rˆ 1 + q2Q R22 Rˆ 2 + . . . ! = Q 1 4π0 q1 R21 Rˆ 1 + q2 R22 Rˆ 2 + q3 R23 Rˆ 3 + . . . ! F = QE
x y z P qi q1 q2 q3 Ri r r′ E(r) ≡ 1 4π0 n X i=1 qi R2i Rˆ i
2.1.4 Ciągłe rozkłady ładunku E(r) = 1 4π0 Z 1 R2 Rˆ dq dq = λ dl0 ładunek liniowy σ da0 ładunek powierzchniowy ρ dτ0 ładunek objętościowy
2.1.4 Ciągłe rozkłady ładunku E(r) = 1 4π0 Z 1 R2 Rˆ dq dq = λ dl0 ładunek liniowy σ da0 ładunek powierzchniowy ρ dτ0 ładunek objętościowy E(r) = 1 4π0 Z P λ(r0)
E(r) = 1 4π0
Z
S
σ(r0)
E(r) = 1 4π0
Z
S
σ(r0)
R2 Rˆ da0 pole od ładunku powierzchniowego
E(r) = 1 4π0
Z
V
ρ(r0)
2.2 Dywergencja i rotacja pola elektrostatycznego 2.2.1 Linie pola, strumień i prawo Gaussa
Weźmy pojedynczy ładunek q umieszczony w początku układu współrzędnych, wtedy
E(r) = 1 4π0
q r2 ˆr
2.2 Dywergencja i rotacja pola elektrostatycznego 2.2.1 Linie pola, strumień i prawo Gaussa
Weźmy pojedynczy ładunek q umieszczony w początku układu współrzędnych, wtedy
E(r) = 1 4π0
q r2 ˆr
Pole jest silne w pobliżu ładunku i w miarę oddalania się od ładunku maleje jak 1/r2.
2.2 Dywergencja i rotacja pola elektrostatycznego 2.2.1 Linie pola, strumień i prawo Gaussa
Weźmy pojedynczy ładunek q umieszczony w początku układu współrzędnych, wtedy
E(r) = 1 4π0
q r2 ˆr
Pole jest silne w pobliżu ładunku i w miarę oddalania się od ładunku maleje jak 1/r2.
− +
+ +
da E
Strumień pola E przez powierzchnię S
ΦE ≡
Z
S
E · da
Dla ładunku punktowego q umieszczonego w początku układu
współrzędnych, strumień pola E przez sferę o promieniu r wynosi
I E · da = Z 1 4π0 q r2 ˆr · r2 sin θ dθ dφ ˆr = 1 0 q
Dla ładunku punktowego q umieszczonego w początku układu
współrzędnych, strumień pola E przez sferę o promieniu r wynosi
I E · da = Z 1 4π0 q r2 ˆr · r2 sin θ dθ dφ ˆr = 1 0 q
Wynik nie zależy od promienia sfery.
Prawo Gaussa
Strumień pola przez dowolną powierzchnię obejmującą ładunek q
Prawo Gaussa
Strumień pola przez dowolną powierzchnię obejmującą ładunek q
wynosi q/0
I
Prawo Gaussa
Strumień pola przez dowolną powierzchnię obejmującą ładunek q
wynosi q/0 I E · da = n X i=1 I Ei · da
Prawo Gaussa
Strumień pola przez dowolną powierzchnię obejmującą ładunek q
wynosi q/0 I E · da = n X i=1 I Ei · da = n X i=1 1 0 qi
Prawo Gaussa
Strumień pola przez dowolną powierzchnię obejmującą ładunek q
wynosi q/0 I E · da = n X i=1 I Ei · da = n X i=1 1 0 qi I E · da = 1 0 Qwew
Strumień pola przez dowolną powierzchnię zamkniętą jest równy Qwew/0
I S E · da = Z V (∇ · E) dτ twierdzenie o dywergencji (twierdzenie Gaussa)
I S E · da = Z V (∇ · E) dτ twierdzenie o dywergencji (twierdzenie Gaussa) Qwew = Z V ρ dτ
I S E · da = Z V (∇ · E) dτ twierdzenie o dywergencji (twierdzenie Gaussa) Qwew = Z V ρ dτ Z V (∇ · E) dτ = Z V ρ 0 dτ
I S E · da = Z V (∇ · E) dτ twierdzenie o dywergencji (twierdzenie Gaussa) Qwew = Z V ρ dτ Z V (∇ · E) dτ = Z V ρ 0 dτ ∇ · E = 1
2.2.2 Dywergencja E E(r) = 1 4π0 Z cała przestrzeń ˆ R R2 ρ(r0) dτ0
2.2.2 Dywergencja E E(r) = 1 4π0 Z cała przestrzeń ˆ R R2 ρ(r0) dτ0 ∇ · E = 1 4π0 Z ∇ · Rˆ R2 ! ρ(r0) dτ0
2.2.2 Dywergencja E E(r) = 1 4π0 Z cała przestrzeń ˆ R R2 ρ(r0) dτ0 ∇ · E = 1 4π0 Z ∇ · Rˆ R2 ! ρ(r0) dτ0 ∇ · Rˆ R2 ! = 4πδ3(R) delta Diraca
2.2.2 Dywergencja E E(r) = 1 4π0 Z cała przestrzeń ˆ R R2 ρ(r0) dτ0 ∇ · E = 1 4π0 Z ∇ · Rˆ R2 ! ρ(r0) dτ0 ∇ · Rˆ R2 ! = 4πδ3(R) delta Diraca ∇ · E = 1 4π0 Z 4πδ3(r − r0)ρ(r0)dτ0 = 1 0 ρ(r)
2.2.2 Dywergencja E E(r) = 1 4π0 Z cała przestrzeń ˆ R R2 ρ(r0) dτ0 ∇ · E = 1 4π0 Z ∇ · Rˆ R2 ! ρ(r0) dτ0 ∇ · Rˆ R2 ! = 4πδ3(R) delta Diraca ∇ · E = 1 4π0 Z 4πδ3(r − r0)ρ(r0)dτ0 = 1 0 ρ(r) Z V ∇ · E dτ = I S E · da = 1 0 Z V ρ dτ = 1 0 Qwew
2.2.3 Zastosowania prawa Gaussa
Przykład:
Znaleźć pole na zewnątrz jednorodnie naładowanej kuli o promieniu R i całkowitym ładunku q
2.2.3 Zastosowania prawa Gaussa
Przykład:
Znaleźć pole na zewnątrz jednorodnie naładowanej kuli o promieniu R i całkowitym ładunku q R r I S E · da = 1 0 Qwew,
2.2.3 Zastosowania prawa Gaussa
Przykład:
Znaleźć pole na zewnątrz jednorodnie naładowanej kuli o promieniu R i całkowitym ładunku q R r I S E · da = 1 0 Qwew, Qwew = q
I
S
I S E · da = I S |E| da
I S E · da = I S |E| da = |E| I S da
I S E · da = I S |E| da = |E| I S da = |E|4πr2
I S E · da = I S |E| da = |E| I S da = |E|4πr2 |E|4πr2 = 1 0 q
I S E · da = I S |E| da = |E| I S da = |E|4πr2 |E|4πr2 = 1 0 q E = 1 4π0 q r2 ˆr
I S E · da = I S |E| da = |E| I S da = |E|4πr2 |E|4πr2 = 1 0 q E = 1 4π0 q r2 ˆr
Pole na zewnątrz sfery jest takie jak od ładunku punktowego umieszczonego w środku kuli.
Prawo Gaussa jest przydatne do obliczania pola w przypadku kiedy układ wykazuje wysoką symetrię.
• Symetria sferyczna • Symetria osiowa
Prawo Gaussa jest przydatne do obliczania pola w przypadku kiedy układ wykazuje wysoką symetrię.
• Symetria sferyczna
• Symetria osiowa
Prawo Gaussa jest przydatne do obliczania pola w przypadku kiedy układ wykazuje wysoką symetrię.
• Symetria sferyczna
• Symetria osiowa
Prawo Gaussa jest przydatne do obliczania pola w przypadku kiedy układ wykazuje wysoką symetrię.
• Symetria sferyczna • Symetria osiowa
Przykład:
Dana jest nieskończona płaszczyzna naładowana ze stałą gęstością
powierzchniową σ. Znaleźć natężenie pola elektrycznego wytwarzanego przez tę płaszczyznę.
E
E
Przykład:
Dana jest nieskończona płaszczyzna naładowana ze stałą gęstością
powierzchniową σ. Znaleźć natężenie pola elektrycznego wytwarzanego przez tę płaszczyznę. E E A I E · da = 1 0 Qwew
od górnej i dolnej powierzchni pudełka mamy
Z
od górnej i dolnej powierzchni pudełka mamy
Z
E · da = 2A|E|
boki pudełka nic nie wnoszą, więc
2A|E| = 1
od górnej i dolnej powierzchni pudełka mamy
Z
E · da = 2A|E|
boki pudełka nic nie wnoszą, więc
2A|E| = 1 0 σA stąd E = σ 20 nˆ ˆ
2.2.4 Rotacja E
E = 1
4π0 q r2 ˆr
dla ładunku punktowego umieszczonego w początku układu współrzędnych
2.2.4 Rotacja E
E = 1
4π0 q r2 ˆr
dla ładunku punktowego umieszczonego w początku układu współrzędnych
x y z a b q rb ra
obliczmy całkę krzywoliniową
b
Z
a
2.2.4 Rotacja E
E = 1
4π0 q r2 ˆr
dla ładunku punktowego umieszczonego w początku układu współrzędnych
x y z a b q rb ra
obliczmy całkę krzywoliniową
b
Z
a
E · dl
E · dl = 1 4π0
q
E · dl = 1 4π0 q r2 dr b Z a E · dl
E · dl = 1 4π0 q r2 dr b Z a E · dl = 1 4π0 b Z a q r2 dr
E · dl = 1 4π0 q r2 dr b Z a E · dl = 1 4π0 b Z a q r2 dr = − 1 4π0 q r rb ra
E · dl = 1 4π0 q r2 dr b Z a E · dl = 1 4π0 b Z a q r2 dr = − 1 4π0 q r rb ra = 1 4π0 q ra − q rb !
E · dl = 1 4π0 q r2 dr b Z a E · dl = 1 4π0 b Z a q r2 dr = − 1 4π0 q r rb ra = 1 4π0 q ra − q rb ! I
E · dl = 0 całka po krzywej zamkniętej
E · dl = 1 4π0 q r2 dr b Z a E · dl = 1 4π0 b Z a q r2 dr = − 1 4π0 q r rb ra = 1 4π0 q ra − q rb ! I
E · dl = 0 całka po krzywej zamkniętej
jest równa zeru (ra = rb)
Z
S
E · dl = 1 4π0 q r2 dr b Z a E · dl = 1 4π0 b Z a q r2 dr = − 1 4π0 q r rb ra = 1 4π0 q ra − q rb ! I
E · dl = 0 całka po krzywej zamkniętej
jest równa zeru (ra = rb)
Z
S
(∇ × A) · da = I A · dl twierdzenie Stokesa
Dla wielu ładunków
Dla wielu ładunków
E = E1 + E2 + . . .
∇ × E = ∇ × (E1 + E2 + . . .)
= (∇ × E1) + (∇ × E2) + . . . = 0
2.3 Potencjał elektryczny
2.3.1 Wstępne uwagi o potencjale
a
b
(ii)
(i)
∇ × E = 0 ⇒ H E · dl = 0; całka od punktu a do punktu b nie zależy od drogi całkowania.2.3 Potencjał elektryczny
2.3.1 Wstępne uwagi o potencjale
a
b
(ii)
(i)
∇ × E = 0 ⇒ H E · dl = 0; całka od punktu a do punktu b nie zależy od drogi całkowania.V (r) = −
r
Z
O
E · dl definiujemy funkcję V (r); O jest punktem odniesienia. Funkcję tę nazywamy potencjałem elektrycznym.
Różnica potencjałów
Różnica potencjałów V (b) − V (a) = − b Z O E · dl + a Z O E · dl
Różnica potencjałów V (b) − V (a) = − b Z O E · dl + a Z O E · dl = − b Z O E · dl − O Z a E · dl
Różnica potencjałów V (b) − V (a) = − b Z O E · dl + a Z O E · dl = − b Z O E · dl − O Z a E · dl = − b Z a E · dl
Różnica potencjałów V (b) − V (a) = − b Z O E · dl + a Z O E · dl = − b Z O E · dl − O Z a E · dl = − b Z a E · dl V (b) − V (a) = b Z a
Różnica potencjałów V (b) − V (a) = − b Z O E · dl + a Z O E · dl = − b Z O E · dl − O Z a E · dl = − b Z a E · dl V (b) − V (a) = b Z a
(∇V ) · dl twierdzenie dla gradientów
b Z a (∇V ) · dl = − b Z a E · dl ⇒ E = −∇V
Przykład:
Znaleźć potencjał wewnątrz i na zewnątrz cienkiej kulistej powłoki o promieniu R, naładowanej ze stałą gęstością powierzchniową. Za punkt odniesienia przyjąć punkt w nieskończoności.
R rP
Z prawa Gaussa, pole na zewnątrz kuli (r > R) wynosi
E = 1
4π0
q r2 ˆr
Dla (r > R) V (r) = − r Z O E · dl
Dla (r > R) V (r) = − r Z O E · dl = − 1 4π0 r Z ∞ q r02 dr 0
Dla (r > R) V (r) = − r Z O E · dl = − 1 4π0 r Z ∞ q r02 dr 0 = 1 4π0 q r0 r ∞
Dla (r > R) V (r) = − r Z O E · dl = − 1 4π0 r Z ∞ q r02 dr 0 = 1 4π0 q r0 r ∞ = 1 4π0 q r
Dla (r > R) V (r) = − r Z O E · dl = − 1 4π0 r Z ∞ q r02 dr 0 = 1 4π0 q r0 r ∞ = 1 4π0 q r Dla (r < R)
Dla (r > R) V (r) = − r Z O E · dl = − 1 4π0 r Z ∞ q r02 dr 0 = 1 4π0 q r0 r ∞ = 1 4π0 q r Dla (r < R) V (r) = − 1 4π0 R Z ∞ q r02 dr 0 − r Z R (0)dr0
Dla (r > R) V (r) = − r Z O E · dl = − 1 4π0 r Z ∞ q r02 dr 0 = 1 4π0 q r0 r ∞ = 1 4π0 q r Dla (r < R) V (r) = − 1 4π0 R Z ∞ q r02 dr 0 − r Z R (0)dr0 = 1 4π0 q r0 R ∞ + 0
Dla (r > R) V (r) = − r Z O E · dl = − 1 4π0 r Z ∞ q r02 dr 0 = 1 4π0 q r0 r ∞ = 1 4π0 q r Dla (r < R) V (r) = − 1 4π0 R Z ∞ q r02 dr 0 − r Z R (0)dr0 = 1 4π0 q r0 R ∞ + 0 = 1 4π0 q R
2.3.2 Równanie Poissona i równanie Laplace’a
2.3.2 Równanie Poissona i równanie Laplace’a
E = −∇V ∇ · E = ρ
2.3.2 Równanie Poissona i równanie Laplace’a
E = −∇V ∇ · E = ρ
0 , ∇ × E = 0 ∇ · E = ∇ · (−∇V ) = −∆V
2.3.2 Równanie Poissona i równanie Laplace’a E = −∇V ∇ · E = ρ 0 , ∇ × E = 0 ∇ · E = ∇ · (−∇V ) = −∆V ∆V = − ρ 0 równanie Poissona
2.3.2 Równanie Poissona i równanie Laplace’a E = −∇V ∇ · E = ρ 0 , ∇ × E = 0 ∇ · E = ∇ · (−∇V ) = −∆V ∆V = − ρ 0 równanie Poissona ∆V = 0 równanie Laplace’a
2.3.2 Równanie Poissona i równanie Laplace’a E = −∇V ∇ · E = ρ 0 , ∇ × E = 0 ∇ · E = ∇ · (−∇V ) = −∆V ∆V = − ρ 0 równanie Poissona ∆V = 0 równanie Laplace’a ∇ × E = ∇ × (−∇V ) = 0 tożsamość wektorowa
2.3.3 Potencjał zlokalizowanego rozkładu ładunku
V (r) = 1 4π0
q r
potencjał ładunku znajdującego się w początku układu współrzędnych
2.3.3 Potencjał zlokalizowanego rozkładu ładunku
V (r) = 1 4π0
q r
potencjał ładunku znajdującego się w początku układu współrzędnych
V (r) = 1 4π0
q
2.3.3 Potencjał zlokalizowanego rozkładu ładunku
V (r) = 1 4π0
q r
potencjał ładunku znajdującego się w początku układu współrzędnych
V (r) = 1 4π0
q
R ogólnie, ładunek w punkcie r0 V (r) = 1 4π0 n X i=1 qi Ri
2.3.3 Potencjał zlokalizowanego rozkładu ładunku
V (r) = 1 4π0
q r
potencjał ładunku znajdującego się w początku układu współrzędnych
V (r) = 1 4π0
q
R ogólnie, ładunek w punkcie r0 V (r) = 1 4π0 n X i=1 qi Ri
dla wielu ładunków
V (r) = 1 4π0
Z 1
2.3.3 Potencjał zlokalizowanego rozkładu ładunku
V (r) = 1 4π0
q r
potencjał ładunku znajdującego się w początku układu współrzędnych
V (r) = 1 4π0
q
R ogólnie, ładunek w punkcie r0 V (r) = 1 4π0 n X i=1 qi Ri
dla wielu ładunków
V (r) = 1 4π0
Z 1
R dq dla rozkładu ciągłego V (r) = 1
4π0
Z ρ(r0)
2.3.4 Warunki brzegowe w elektrostatyce Rozważmy cienkie pudełko Gaussa:
E⊥ nad E⊥ pod A
σ
ε
2.3.4 Warunki brzegowe w elektrostatyce Rozważmy cienkie pudełko Gaussa:
E⊥ nad E⊥ pod A
σ
ε
I S E · da = 1Z prawa Gaussa, dla ε → 0, mamy
(Enad⊥ − Epod⊥ )A = 1
Z prawa Gaussa, dla ε → 0, mamy
(Enad⊥ − Epod⊥ )A = 1
0 σA
Enad⊥ − Epod⊥ = 1 0 σ
Składowa normalna wektora natężenia pola elektrycznego E ma na powierzchni granicznej nieciągłość o wartości σ/0
Rozważmy ramkę: Enadk Epodk
l
σ
ε
IRozważmy ramkę: Enadk Epodk
l
σ
ε
IE · dl = 0, albo ∇ × E = 0 pole statyczne
Rozważmy ramkę: Enadk Epodk
l
σ
ε
IE · dl = 0, albo ∇ × E = 0 pole statyczne
(Enadk − Epodk )l = 0 przy ε → 0
Enadk = Epodk
Obydwa warunki można zapisać jednym wzorem
Enad − Epod = σ 0 nˆ ˆ
n jest wektorem jednostkowym prostopadłym do powierzchni skierowanym od „dołu” do „góry”.
Jak zachowuje się potencjał?
a b
Jak zachowuje się potencjał? a b σ Vnad − Vpod = − b Z a E · dl = 0, dla |b − a| → 0
Jak zachowuje się potencjał? a b σ Vnad − Vpod = − b Z a E · dl = 0, dla |b − a| → 0
Potencjał jest ciągły na powierzchni.
Ponieważ E = −∇V , to gradient potencjału jest nieciągły.
∇Vnad − ∇Vpod = − σ 0 nˆ
∂Vnad ∂n − ∂Vpod ∂n = − σ 0
∂Vnad ∂n − ∂Vpod ∂n = − σ 0 ∂V ∂n = ∇V · ˆn pochodna normalna
2.4 Praca i energia w elektrostatyce
2.4.1 Praca wykonana przy przesunięciu ładunku
q1
q2 qi
Q
a
b
2.4 Praca i energia w elektrostatyce
2.4.1 Praca wykonana przy przesunięciu ładunku
q1 q2 qi Q
a
b
W = b Z a F · dl2.4 Praca i energia w elektrostatyce
2.4.1 Praca wykonana przy przesunięciu ładunku
q1 q2 qi Q
a
b
W = b Z a F · dl = −Q b Z a E · dl2.4 Praca i energia w elektrostatyce
2.4.1 Praca wykonana przy przesunięciu ładunku
q1 q2 qi Q
a
b
W = b Z a F · dl = −Q b Z a E · dl = Q V (b) − V (a)Wynik nie zależy od drogi.
V (b) − V (a) = W Q
Wynik nie zależy od drogi.
V (b) − V (a) = W Q
Różnica potencjałów między punktami a i b jest równa pracy przypadającej na jednostkę ładunku, koniecznej do przesunięcia ładunku od a do b.
Wynik nie zależy od drogi.
V (b) − V (a) = W Q
Różnica potencjałów między punktami a i b jest równa pracy przypadającej na jednostkę ładunku, koniecznej do przesunięcia ładunku od a do b.
2.4.2 Energia układu ładunków punktowych
Przenosimy kolejne ładunki q1, q2,. . . z nieskończoności do punktów
r1, r2, . . . r1 r3 r2 R12 R13 R23 q1 q2 q3
Praca wykonana przy przenoszeniu kolejnych ładunków
Praca wykonana przy przenoszeniu kolejnych ładunków W1 = 0 W2 = 1 4π0 q2 q1 R12
Praca wykonana przy przenoszeniu kolejnych ładunków W1 = 0 W2 = 1 4π0 q2 q1 R12 W3 = 1 4π0 q3 q 1 R13 + q2 R23
Praca wykonana przy przenoszeniu kolejnych ładunków W1 = 0 W2 = 1 4π0 q2 q1 R12 W3 = 1 4π0 q3 q 1 R13 + q2 R23 W4 = 1 4π0 q4 q1 R14 + q2 R24 + q3 R34
Praca wykonana przy przenoszeniu kolejnych ładunków W1 = 0 W2 = 1 4π0 q2 q1 R12 W3 = 1 4π0 q3 q 1 R13 + q2 R23 W4 = 1 4π0 q4 q1 R14 + q2 R24 + q3 R34 Całkowita praca W = W1 + W2 + W3 + W4
Praca wykonana przy przenoszeniu kolejnych ładunków W1 = 0 W2 = 1 4π0 q2 q1 R12 W3 = 1 4π0 q3 q 1 R13 + q2 R23 W4 = 1 4π0 q4 q1 R14 + q2 R24 + q3 R34 Całkowita praca W = W1 + W2 + W3 + W4 = 1 4π0 q1q2 R12 + q1q3 R13 + q2q3 R23 + q1q4 R14 + q2q4 R24 + q3q4 R34
W = 1 4π0 n X i=1 n X j=1 j>i qiqj Rij , n ładunków
W = 1 4π0 n X i=1 n X j=1 j>i qiqj Rij , n ładunków W = 1 4π0 1 2 n X i=1 n X j=1 j6=i qiqj Rij sumujemy podwójnie i dzielimy przez dwa
W = 1 4π0 n X i=1 n X j=1 j>i qiqj Rij , n ładunków W = 1 4π0 1 2 n X i=1 n X j=1 j6=i qiqj Rij sumujemy podwójnie i dzielimy przez dwa
W = 1 2 n X i=1 qi n X j=1 j6=i 1 4π0 qj Rij ! potencjał
W = 1 4π0 n X i=1 n X j=1 j>i qiqj Rij , n ładunków W = 1 4π0 1 2 n X i=1 n X j=1 j6=i qiqj Rij sumujemy podwójnie i dzielimy przez dwa
W = 1 2 n X i=1 qi n X j=1 j6=i 1 4π0 qj Rij ! potencjał W = 1 2 n X i=1 qiV (ri)
2.4.3 Energia ciągłego rozkładu ładunków
W = 1 2
Z
2.4.3 Energia ciągłego rozkładu ładunków W = 1 2 Z ρV dτ ρ = 0∇ · E, z prawa Gaussa
2.4.3 Energia ciągłego rozkładu ładunków W = 1 2 Z ρV dτ ρ = 0∇ · E, z prawa Gaussa W = 0 2 Z (∇ · E)V dτ
2.4.3 Energia ciągłego rozkładu ładunków W = 1 2 Z ρV dτ ρ = 0∇ · E, z prawa Gaussa W = 0 2 Z (∇ · E)V dτ W = 0 2 − Z E · (∇V ) dτ + I V E · da całkujemy przez części
2.4.3 Energia ciągłego rozkładu ładunków W = 1 2 Z ρV dτ ρ = 0∇ · E, z prawa Gaussa W = 0 2 Z (∇ · E)V dτ W = 0 2 − Z E · (∇V ) dτ + I V E · da całkujemy przez części = 0 2 Z V E2 dτ + I S V E · da !
W = 0 2 Z cała przestrzeń E2 dτ Energia pola
W = 0 2 Z cała przestrzeń E2 dτ Energia pola Przykład:
Znaleźć energię jednorodnie naładowanej powierzchniowo powłoki kulistej o promieniu R i całkowitym ładunku q.
W = 1 2
Z
W = 0 2 Z cała przestrzeń E2 dτ Energia pola Przykład:
Znaleźć energię jednorodnie naładowanej powierzchniowo powłoki kulistej o promieniu R i całkowitym ładunku q.
W = 1 2 Z σV da, V = 1 4π0 q R
W = 0 2 Z cała przestrzeń E2 dτ Energia pola Przykład:
Znaleźć energię jednorodnie naładowanej powierzchniowo powłoki kulistej o promieniu R i całkowitym ładunku q.
W = 1 2 Z σV da, V = 1 4π0 q R W = 1 2 1 4π0 q R Z σ da
W = 0 2 Z cała przestrzeń E2 dτ Energia pola Przykład:
Znaleźć energię jednorodnie naładowanej powierzchniowo powłoki kulistej o promieniu R i całkowitym ładunku q.
W = 1 2 Z σV da, V = 1 4π0 q R W = 1 2 1 4π0 q R Z σ da = 1 4π0 1 2 q2 R
2.5 Przewodniki
2.5.1 Podstawowe własności
• Wewnątrz przewodnika E = 0
• Wewnątrz przewodnika ρ = 0
• Nieskompensowany ładunek może występować jedynie na
powierzchni przewodnika
• Potencjał w przewodniku jest stały
• W pobliżu powierzchni przewodnika pole E jest prostopadłe do powierzchni
2.5 Przewodniki
2.5.1 Podstawowe własności
• Wewnątrz przewodnika E = 0
• Wewnątrz przewodnika ρ = 0
• Nieskompensowany ładunek może występować jedynie na
powierzchni przewodnika
• Potencjał w przewodniku jest stały
• W pobliżu powierzchni przewodnika pole E jest prostopadłe do powierzchni
2.5 Przewodniki
2.5.1 Podstawowe własności
• Wewnątrz przewodnika E = 0
• Wewnątrz przewodnika ρ = 0
• Nieskompensowany ładunek może występować jedynie na
powierzchni przewodnika
• Potencjał w przewodniku jest stały
• W pobliżu powierzchni przewodnika pole E jest prostopadłe do powierzchni
2.5 Przewodniki
2.5.1 Podstawowe własności
• Wewnątrz przewodnika E = 0
• Wewnątrz przewodnika ρ = 0
• Nieskompensowany ładunek może występować jedynie na powierzchni przewodnika
• Potencjał w przewodniku jest stały
• W pobliżu powierzchni przewodnika pole E jest prostopadłe do powierzchni
2.5 Przewodniki
2.5.1 Podstawowe własności
• Wewnątrz przewodnika E = 0
• Wewnątrz przewodnika ρ = 0
• Nieskompensowany ładunek może występować jedynie na
powierzchni przewodnika
• Potencjał w przewodniku jest stały
• W pobliżu powierzchni przewodnika pole E jest prostopadłe do powierzchni
2.5 Przewodniki
2.5.1 Podstawowe własności
• Wewnątrz przewodnika E = 0
• Wewnątrz przewodnika ρ = 0
• Nieskompensowany ładunek może występować jedynie na
powierzchni przewodnika
• Potencjał w przewodniku jest stały
• W pobliżu powierzchni przewodnika pole E jest prostopadłe do powierzchni
2.5.2 Ładunki indukowane − − − − − − − − − − − − + + + + + + + + ++ + przewodnik
+q
−
−
−
−
−
− − −
−
−
−
−
−
−
−
−
+
+
+
+
+ + + +
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
przewodnik
+q
E6= 0
E= 0
powierzchnia
Gaussa
2.5.3 Ładunki powierzchniowe i siła działająca na przewodnik 1 2σ/ǫ0 1 2σ/ǫ0 Einne σ ˆn
2.5.3 Ładunki powierzchniowe i siła działająca na przewodnik 1 2σ/ǫ0 1 2σ/ǫ0 Einne σ ˆn Enad − Epod = σ 0 nˆ
2.5.3 Ładunki powierzchniowe i siła działająca na przewodnik 1 2σ/ǫ0 1 2σ/ǫ0 Einne σ ˆn Enad − Epod = σ 0 nˆ E = σ
2.5.3 Ładunki powierzchniowe i siła działająca na przewodnik 1 2σ/ǫ0 1 2σ/ǫ0 Einne σ ˆn Enad − Epod = σ 0 nˆ E = σ
0 n,ˆ tuż przy powierzchni przewodnika (Epod = 0) σ = −0 ∂V
f = σE siła na jednostkę powierzchni
f = σE siła na jednostkę powierzchni
E =?, jakie pole? Enad, Epod, . . . f = σEśrednie = 1
f = σE siła na jednostkę powierzchni
E =?, jakie pole? Enad, Epod, . . . f = σEśrednie = 1
2(Enad + Epod)
f = σE siła na jednostkę powierzchni
E =?, jakie pole? Enad, Epod, . . . f = σEśrednie = 1 2(Enad + Epod) E = Eelement + Einne Enad = Einne + σ 20 nˆ Epod = Einne − σ 20 nˆ
f = σE siła na jednostkę powierzchni
E =?, jakie pole? Enad, Epod, . . . f = σEśrednie = 1 2(Enad + Epod) E = Eelement + Einne Enad = Einne + σ 20 nˆ Epod = Einne − σ 20 nˆ Einne = 1
Poprzednia argumentacja (E = Eśrednie) obowiązuje także dla ładunków powierzchniowych w przewodniku
E = 0, wewnątrz przewodnika
E = σ
Poprzednia argumentacja (E = Eśrednie) obowiązuje także dla ładunków powierzchniowych w przewodniku
E = 0, wewnątrz przewodnika E = σ 0 n,ˆ na zewnątrz przewodnika Eśrednie = 1 2 σ 0 nˆ + 0 = σ 20 nˆ
Poprzednia argumentacja (E = Eśrednie) obowiązuje także dla ładunków powierzchniowych w przewodniku
E = 0, wewnątrz przewodnika E = σ 0 n,ˆ na zewnątrz przewodnika Eśrednie = 1 2 σ 0 nˆ + 0 = σ 20 nˆ f = σ σ 20 nˆ = 1
Poprzednia argumentacja (E = Eśrednie) obowiązuje także dla ładunków powierzchniowych w przewodniku
E = 0, wewnątrz przewodnika E = σ 0 n,ˆ na zewnątrz przewodnika Eśrednie = 1 2 σ 0 nˆ + 0 = σ 20 nˆ f = σ σ 20 nˆ = 1
20 σ2n,ˆ siła na jednostkę powierzchni P = 0 2 σ 0 2 = 0 2 E2 ciśnienie elektrostatyczne
Poprzednia argumentacja (E = Eśrednie) obowiązuje także dla ładunków powierzchniowych w przewodniku
E = 0, wewnątrz przewodnika E = σ 0 n,ˆ na zewnątrz przewodnika Eśrednie = 1 2 σ 0 nˆ + 0 = σ 20 nˆ f = σ σ 20 nˆ = 1
20 σ2n,ˆ siła na jednostkę powierzchni P = 0 2 σ 0 2 = 0 2 E2 ciśnienie elektrostatyczne