Het gedrag van een schip in onregelmatige golven

MET GEDRAG VAN EEN SCHIP IN ONR.GELÌIATIGE GOLVEN. door Ir. G. \Tossers.

Voordracht, gehouden op dinsdag 1O.juni 1958 voor de Sectie "Toege-paste Wiskuiide" van het Wiskundig Genootechap en de Sectie

"Mecha-nica" van het Kon. Instituut van Ingenieurs.

Inleid ing.

Ondanks het felt, dat reeds eeuwenlang schepen in

onregelma-tige golven varen, is een systematische bestudering nog maar enkele jaren oud. Dit kan zijn oorzaak he'bben in de traditioneel

conserva-tieve instelling van de scheepsbouwer - een verkiaring, die

niet-scheepebouwers gaarne aanvoeren -; het kan ook zijn dat de noodzake-lijke hulpmíddelen ontbraken orn dit onderzoek met vrucht uit te

kun-nen voeren. Voor dit.laatste voel ik op het ogenblik het meeste, vooral ook omdat blijkt dat in de jaren 1860 - 1890 een grote

belang-stelling voor dit onderwerp in de scheepsbouwkundige literatuur heeft

bestaan. Voornaznelijk was dit een gevoig van de overgang van zell op stòoin, waardoor de schepen veel meer gingen slingeren (slingeren is de

rotatie rond een horizontale langsas van het schip). Pas de laatste

jaren is een afdoende oplossing voor dit slingeren gevonden in de vorm van kunsthatige etabilisatiemiddelen, die thans op praktisch alle nieùw

te bouwen passagiersechepen worden gebruikt.

De resultaten van het onderzoek aan het eind van de vorige

eeuw zijn echter niet groot geweest, vooral omdat de wiskundige huip-middelen ont'braken orn de onregelmatige beweging bevredigend .te

be-schrijven, en ook de meettechnische hulprniddelen nog zeer gering

Wa-ren orn de beweging te registreWa-ren en te analyseWa-ren.

Wat deze hulpmiddelen betreft, is de situatie thans meer belo-vend. In de cominunicatie theorie en de regeltéchniek zijn een antal nieuwe disciplines ontwikkeld, terwiji ook de moderne electronische hulpmiddelen onvoorstelbare registratie- en analyse mogelijkheden

geven.

In deze voordracht zal 1k een overzicht geven van de toepassing

vari deze ontwikkelingen1op de bestudering van het gedrag van een schip in onregeirnatige golven. Eerst zal een wiskundig model ter

prake komen, dat opgesteld is 0m het onregeirnatige zeeoppervlak te

beschrtjven; hierbij komt het begrip energiespectrum ter sprake.

Daarna zal het effect van dit onregeirnatige zeeoppervlak op de be-wegingen en de weerstandsverhoging van het schip behandeld worden, waarbij de begrippen co- en kwadratuurspectra _{een rol spelen.}

Ten-slotte zal in het kort de experimentele uitvoering

_{van proeven in}

onregelmatige golven, en de schatting van

_{e spectra uit de}

registra-tee

ehandeld wordeñ.

ARCE

,,. :)3.

NEDERLANDSCH SCHEEPSBOUWKUNDIG _Technsche PROEFSTATION WAGENINGEN _NO.

Dit laatste zal zeer surnmier zijn; over de invloed van de eindige

lengte van de registratie op de fout in de schatting van het spectrum

is de laatste jaren een uitvoerige literatuur aan het ontstaan[4[5J

die buiten het kader van deze voordrachtenreeks valt. Deze voordracht mag 00k maar een eindige lengte hebben; bovendien voel ik mj niet voldoende competent dit onderdee]. hier te behandelen.

Een model van het onreelmatige zeeoppervlak.

In het coordinatensysteem van fig. i wordt

een in de positieve richting van de x-as

voortlopende sinusvormige golf voorgesteld

door:

z

z

7

7

/

z

/7

z

z.z

_z

_/

_z

h =

cos ((x_/1t)

(i)

z

_/

_z

/

,-' waarin : golfamplitude Fie. X 21T : golfiengte ,- I-£11

- ;

T .: golfperiode T

Tussen golfierigte en golfperiode geldt vocr diep waer golven:

(2)

waarin

_{g: versnelling onder invloed van de zwaarekract.}

WJ beschouwen nu het volgende model van een onregeirnatig zeeoppervlak:

h = h coe( V x

t +

₍₃₎

waarin de frequent1es/I

_{dicht verdeeld zijrì, d.w.z. er zijn er een}

oneindig antal aanwezig in jeder gebied d

Verder zljn de fasehoeken E _{stochastisch verdeeld met gelijke}

waar-schljnlijkheid in het interval (0,2 I( ):

p

o<E <

2TrO'] = o( ; o<o <i (4)

Tenslotte zijn de amplitudes h zodanig gekozen, dat voor leder gebied

d,L geldt:

hfl2=fhh(/L)dp

(5)

Dit model vertoont de volgende eigenschappen:

Alle golfkammen zijn evenwijdig aan de y-as; het la dus een

lang-kammig systeern.

Het is een stochastisch proces door de introductie van de

fasehoeken E

De waarschijnlijkheidsverdeling van de golfhoogte h (x1, t1) op een gegeven plaats en op een gegeven tijd Is normaal, d.w.z.

p[h1<h<h2

a

f::e

2

T=2Lth

_I-ao

il

»2y

_dAJ

Dit kan men bewijzen door de toepassing van een centraal lirniet theorema, dat, ruwweg gesproken, beweert dat de som van een groot aantal onafhanke1jke stochastische variabelen in de lirniet een proces met een normaal verdeling geeft.

a)

}Iet proces is stationair, d.w.z. voor

t2=t1 + , of voor x2=x1 +

geldt dezeifde waarschijnlijkheidsverdeiing

als voor t

of x1.

Het proces is ergodisch, d.w.z. ensemble gemiddelden én

tjdsgemid-delden zijn aan elkaar gelijk.

Thjvoorbeeld: de mathematische verwachting van h kan men bepalen doorte middelen voor gegeven tijdstip t1 en gegeven plaats X1:

E 1h] =f

( ) d , waarin _i ( ) de

waarschijnlijkheids-verdeling van (6) voorstelt.

Men kan oak middelen over de Ujd,

of over de plaats;

E Lhj = 11m 1--- _I

h (t) dt = um

_-L h (x) dx

T-*oc 2

_'-T

2 1

it beide formules voigt E =

.Voor de tweede orde eigenschappen

geldt hetzelfde.

Berekenen wj uit de tijdsgerniddelde de autocovariantiefunctie:

hh

(t ) = E[h (t) h

(t+T)] =

fT

h (t) h (t+r) dt=

T-.me 2 T _-T

h

coe/j= f

(f)

cosTd=

Zoals bekend geldt getransformeerd:

# o

=

jhh

cos/hTdT=

L0T e1/dr (9)

Wij zien ds dat f(,/ ) uit (5) bet

energiespectrum van het

stochastiech proces (3) voorstelt.

De resultaten van Rice(l4jgelden oak direct voor het bovenstaande model van het onregelmatige zeeoppervlak. Het gemiddelde van de

schjnbare perioden is rio]

(io)

De schijnbare periode 7

is het tijdsinterval tussen het passeren

van twee achtereenvolgende toppen.

Voor bet geval bet spectrum

f(/L ) nauw is, geldt voor de

X

met de

variantiea2

L

hh (/L ) a1.'- (7)

NEDERLANDSCH SCHEEPSBOUWKU NDIG BLZ.

waarschijnlijkheidsverdeling van de hoogte van de golftoppen[1OJ:

p[H1<H(H2] =-J--

(11),

waaruit men bijvoorbeeld voor de significante golfhoogte H1/3 (bet gemiddelde van de één derde hoogstetoppen) berekend:

4

6.

Een andere voorstelling dan (3) wordt oak wel gebruikt[1,[16J

h =f cas (x_pt) d41()

+

f sin (x-1Lt) d2(/)

(12)

waarin (/2 ) onafhanke1jke stochastische processen zijn met

JfÇLL

)dp. voor j = j en

_/

=/L q

EEd Ç1L ) d

(,i')

I O anders

Deze voorstelling ook wel genoemd met stochastische amplitude

-is identiek met (3), die een voorstelling met stochast-ische fase -is.

Zander moeite kunnen wij de voorstelling (3) uitbreiden voor een twee-dimensionaal zeeoppervlak:

h h cos (Wn x cas I9 _+k'

y sin l'

-/t

t + ¿)

(13)

waarint de hoek tussen d voortplantingsrichting van de golf en de

x-as voorstelt. Voor het gebied d/c dl) geldt:

h _{= hh} (,,u , ) d,,& d J (14)

Bepalen wij uit de in een punt (x, y) gemeten golfhoogte het

energiespectrum

74//

= (15),

dan is het duidelijk dat de informatle over de richting

verloren is

gegaan.

Deze informatie kunnen wij wel krijgen door bivoorbeeld op een

schip dat met sneiheid V in de richting ç vaart, de golThoogte te registreren, en daarvan het spectrum te bepalen:

F2

hh'

dw=fffi,) dd

. (16)

De integraal moet daarbij genomen worden

over het opperviak tussen de kromrien

Zie hiervoor verder

[23.

De overgang van W - spectrum naar bet ,L1 - spectrum vereist

enige zorg, omdat de "Doppler - versehuiving" (17) tweewaardig is: bj achterinkomende golven kan in het algemeen dezelfde

ontmoe-tingsfrequentie W oritstaan voor een karte

golf, die door bet

schip ingehaald wordt ale voor een

lange golf, die bet schip inhaált.

De statistische eigenschappen van een stochastisch twee-dimensionaal opperviak (13) zijn onlangs uitvoerig onderzocht[8].

Dit onderzoek is ook van belarg voor andere verschijnselen: bijvoorbeeid

reflectie van eleetromagnetische golven of geluidsgolven, verstoringen

van de irìosfeer;onder meer wordt daarin bestudeerd de verdeling van de

tappen per opperviakte; de gerniddelde lengte en beweging van contouren,

de sneiheden van nulpunten lange een ltjn.

Een uitvoerige informatle over een twee-dimensionaal spectrum kan men verkrijgen uit een stel stereo-foto's. Hiervan kan men een

twee-dimensionale autocovariantiefunctie bepalen, waaruit door middel van een twee-dimensionale cos-transformatie bet spectrum bepaald kan

worden. Dit is onlangs in de 'Ierenigde Staten uitgevoerd

[3] ,

waarbij

het volgende spectrum gevonden werd:

1 1

fhh( ce-2q2

-= 46

L

i + (0,50 + 0,82e ) cas 2 + (0,32e ) cos 4 (18)

Hierin: e = 3,O5.10 (cgs eenheden)

q = g/

y = windaneiheid.

Andere voorstellingen zijn ondermeer gegeven door Darbyshire ,

Roll en Fisher: Hierover is nag niet bet

laatste woord gesproken[ 131

Het schip in een langkamniige onregelmatige zee.

In een langkammige zee recht op de kop vari het schip, kan men de bewegingen van het schip voorstellen

door een stelsel van 3

diffe-rentiaalvergeljkingen, die in het algemeen onderling gekoppeld zullen

zljn, maar die voor de volgende uiteenzetting ongekoppeld worden ver-oridersteld te zijn.

Het blijkt dat het in het algemeen geoorloofd is de

bewegingsvergelij-kingen te lineariseren, zodat men kan schrijven:

=

«

L [}

(is)

['J=r J

waarin: : horizontale verplaatsing van het zwaartepunt van het sch1..

rotatie rond het zwaartepunt van het schip

) :

verticale verplaatsing van bet zwaartepunt van het schip.

NEDERLANDSCH SCHEEPSBOUWKUNDIG BLZ.

De operatoren L zijn dif±erentiaa1 operatoreri van de gedaante

L M(w) ---- + N(W )

-

+ o( ) (20),

dt2 dt

dus met coefficienten, die een functie

ztjn van de ontmoetingsfrequentieaJ

(21)

De opwekkende krachten en momenten

( ,, en

zijn afhankeltjk van

de goiffrequentie, de golfhoogte, en in mindere mate van de scheepsne1-held. In eerte benadering vindt men bijvoorbeeld, door aan te nemen

dat de aanwezigheid van het schip de golfstructuur niet beinvloedt, en

dat het schip rechte zijwanden heeft:

= 2f

g f hf(x) dx

2 g

fcos

(kx

- w t)

w)= Cyh (w)

(w) =

(22)

waarin een complexe grootheid voorstelt, die afliankelijk is van de

vorm van de waterltjn van het schip - f(x), en van de frequentie &

Soortgelijke uitdrukkingen kunnen voor en afgeleid worden.

De oplossing van de differentiaalvergelijkingen (19) kan men in de volgende gedaante schrijven [7]

a) Met behuip van de responsie van bet systeem ten tjde t op een

eenheidsirnpuls ten tijde r : W(t -

r

3(t)

=

fwil t )(t

- T ) d (23)

Fi 3.

o

b) Met behulp van de responsie up een sinuevormige input

3 =

3(L4i) =

(i)

₍₂₄₎

Y3j( W ) noemt men de overdrachtsfunctie; verder geldt

3r'

=/

r ) dT (25)

Voor de autocovariantiefunctie van ₃ kan men afleiden[7

Ø33(rJE

_{C3(tJt#zJJ= EI}

L3 r,J1(t-z1

J er,.

.w3

(T2J

(t

t - 2)

=f

W(T,J drif

W3t (J 2

(26) Indien het schip vaart in een onregelmatige zee zullen de

opwekkende krachten

etc een energiespectrum f, ,

etc hebben

Voor het energiespectrurri van voigt dan [7 X _¿z, Ç dc / e

drf31/)

d

f

W31/J1(T-,)dt

JWT

I Tr. // -00 i-AO o 'O pdO . tA)Z OO =6

fr)e''dr/

3/(rz)e

dr2f

rrt

= o

=x1J

= ¡ Y3w) 2 H Y3k

)I2h

)

()

=

De relatie (27) geeft aan hoe bet energiespectrum van de domp-beweging door rniddel van de overdrachtsfunctie afhangt van het ener-giespectrurn vari de inkomende golven.

Deze uitdrukking kan gebruikt worden, o uit twee van de factoren

de dere te berekenen:

a' Stel

33 (4.) ) gerneten op een schip en ' )

2 _{bekend uit een}

rnodt1proef. Dan kan men f ( ) bepalen.

Stel

¡3

_h )

bekend evenals fhh(w ) - f3 (u.i ).

Dan kan men bet energiespectrum van het schip bepalen.

Terislotte stel en f35 (u. ₎ gemeten, waaruit

. bepaald kan worden.

De bovengenoemde berekeningen vinden alle drie practische toepas-sing. De eerste orn uit bet spectrum van de bewegingen bij bekend gedrag

van het schip bet spectrum van de golfhoogte te bepalen. De tweede orn

het spectrum van de bewegingen te berekenen voor een willekeurig spectrum van de gol±'hoogte.De laatete orn uit het spectrum van de golfhoogte en de bewegingen het gedrag van het schip te bepalen.

De laatste methode is van belang voor het modelonderzoek omdat men nu met een betrekkelijk korte proef in onregelmatige golven bet gedrag

van het schip voor een groot gebied van regelmatige goven kan bepalen. Het spectrum van de opgewekte golven moet dan bij voorkeur zo viak mo-gelijk zijn.

Toch zijn er enkele bezwaren aan deze methode, orndat men het

ener-giespectrum moet bepalen uit een registratie van eindige lengte.

Daardoor worden fouten geintroduceerd, die men kan verrnjden door ge-bruik te maken van het begrip kruisspectrurn.

Voor de kruiscovariantiefunctie tussen 5 en vindt men:

E [5 t)y (E r]

_{E { f} =

LW()ÌTt1

(28)

3((} _EL

(tJ 3(tr)J

E

29)

NEDERLANDSCH SCHEEP$BOUWKUNDIG BLZ.

Analoog met (9) en (27) is het kruisspectrum:

-'.«,T - r

f () = _¡00 r7tJ e r =

WJ d

(T

j

(w) = y

)*

_r

= f +

( ) = Y(w) f

()

f

C(,)

+

Bet blijkt dat de kruisspectra f3y

en f15 complexe grootheden

zijn, waarvan men het reële deel co-spectrum noemt, en het imaginaire kwadratuur-spectrum. E15]{16].

Men ziet verder dat

(32)

(w) = - ff1, ()

Uit (30) kan men dus ook Y(w ) bepalen door ge1ijktjdige meting

van f ,

f

en f . Ret blijkt dat nu de fout door de eindige lengte

van de registratie wel is waar de schatting van

de spectra beinvloedt,

maar in veel mindere mate Y(Q ). Tevens kan hiermede het arg Y() ) bepaald worden, dat met (27) niet mogelljk is. [12]

Eenvoudi-heidshalve is bet kruisspectrum bepaald voor twee

functies .3 en ¿' , die door middel van een differentiaalvergelijking

gekoppeld zjn.

s2

Dan geldt voor de koherentie K + f(3 = i

f,, _. fil,

d.w.z. de functies

5 en zijn volledig afhankelljk. Door de fouten,

die door de analyse van de registratie geintroduceerd worden, vindt men echter in de regel k <1.

Voor twee functies ₃

_{en r}

die geheel onafhankelijk zijn geldt -( = 0. Ret bovenstaande kan men toepassen op de berekening van de

bewe-ging van een willekeurig punt vari het schip. Stel bjvoorbeeld gevraagd bet energiespectrurn van de verticale verplaatsing van een punt op

een horizontale afstand a van bet zwaartepunt;

u = 3

+ a,'.

Dan ( ) =

Efu (t)

u

(t)] =Øyy (Z)

+

a[Ø(Z )

_+Ø

(r )] + a24,.(r

(33), waaruit:

Ç(

) = f5 ( ) +

a{f

(W) + f

+ a

= f3

(a)) + 2a f, (w) +

a2 (w) (34).

Dit is van belang orn de plaats van het schip te vinden met

minimale verticale beweging, of minimale verticale versnelling etc

iJ

i

j

f;

(

()

) (30) (31)

Eveneens kan bljvoorbeeld het energiespectruin van de verticale

beweging van het voorschip t,o.v. het wateropperviak _{bepaald worden:}

fi =3 + ay'- h waarin

ha de golfhoogte ter plaatse van bet voorschip voorstelt.

fig. 4

Het is duidelLjk dat:

2 c C c

f

=f33 +a fL1fl/±fhh

+2afj11

_{_2fFha_2afY1a}

Dit is van belang orn de waarschjn1jkheidsverdeling van bet over-nemen van water in bet voorschip, of bet .open van

paaltjes" te

bepalen. Het "paaltjes lopen" is een verschijnsel dat samenhangt met

bet uit bet water komen van het voorchip, dat dan even daarna met

een kiap op bet water siaat. Hierdoor worden plaatseljk grote

belas-Ungen opgewekt, terwiji ook het schip in een verticale 2 knoops

buigingstrilling geraakt,die de spanningen in de hoofdverbanddelen

aanzienlijk kunnen verhogen.f19]

Een andere toepassing ugt bij de weerstandsverhoging van eeri schip door de golven.

'In regelmatige golven is deze weerstandsverhoging in eerste bena-dering als voigt saniengesteid(6J:

w di3

g / dt

rr

(36)

Voor de gerriiddelde weerstandsverhoging per periode 277,

vindt men:

R

=-_-3

sin3,

+fl

sin _(37.)

waarin:

= arg Y3, (/) ;

_{= arg}

In de gemiddelde weerstandsverhoging speelt dus _{een rol bet} product van de dompamplitude met de amplitude van de bijbehorende

opwekkende kracht, verinenigvuidigd met de fasehoek daartussen.

Dit in analogie met de arbeid door een wisseistroom verricht,

waarin de cos

_{f -}

_{factor een rol speelt.}

Dit resuitaat kan men generaliseren voor een onregelmatige

beweging met energiespectrurn

hh Over de verdeling van de

weerstands-verhoging kan men niet direct wat _{zeggen. 7ei kan men de gemiddeide} weerstandsverhoging bepalen.

Men vindt:

w

W =

ER]=

E[-4-_4+ --7i

-J

(]+

E--V

-j

NEDERLANDSCH SCHEEPSBOUWKUNDIG BLZ.

Aangezien _EEu.vj

= (0) =

f

f (&)d, voigt na enige

herleiding Dv =

ff3

())

+ /

!

ç' ()

dw. Q Jo (38)

Het schip in een kortkammige onregelmatige zee.

Het gedrag van een schip in een regelmatige schuininvailende sinusgoif is nu niet alleen bepaald door de ontmoetingsfrequentie

w , maar ook door de hoek tussen golfrichting en scheepsrichting (fig, 2). De relatie (24) moet dus gegeneraliseerd worden door het invoeren van een twee-dimensionale overdrachtsfunctle Y3, ):

= y, (w,

Analoog met (22) geldt voor het verband tussen goiÍ'hoogte en

opwek-kende kracht: = Crh LJ,P . (w,2)) (40) z od at

=h

(41) met h ₌ ( t.i', ) ( , ) (42)

Vaart het schip in een kortkarnmige onregelmatige zee met

energie-spectrum hh4' ,2Y), dan is het duideljk dat het enèrgiespectrum van

0)

= 3h ('-i''

)j 2

'hh ()

,V)

(43)

waaruit voor het energiespectrum van (L),Ç) voigt:

( ,) d (44)

Evenzo geidt bijvoorbeeld voor het kruisspectrum tussen dompen

en goifbeweging:

(w,) - f(0) + i (&',ø)

=f

M

hh'°' d1' (45)

Inhet algerneen zal nu de koherentie kleiner ztjn dan 1:

If5(4),)2 +

Í'hh (&)

omdat de golÍ'hoogte en de dompverdeling niet volledig afhankelijk

zijn (ii]

In het bovenstaande geval is het kruisspectrum bepaald voor het dampen en de golfhoogte. Men kan het natuurlijk tussen de

bewe-gingen onderling evenzo uitvoeren.

Zo zal men bijvoorbeeld tussen het slingeren en stampen bij een onregeintige zee recht van voren inkomend een geringe koherentie

vinden. Ookbij dwarsinkomende golven bestaat er een gering& koherentie.

Bi golven schuin van varen inkornend is er een aanzienlijk grotere

koherentie. Er is dus een vaster verband tussen de stamphoek en de slingerhoek. Dit kan in bepalde omstandigheden gunstig zjn voor het overnernen van water. Uit de praktjk bljkt dat bij siecht weer de

kapitein in sornnige gevallen liever de zee schuin van varen binnen krijgt, dan recht van varen, hetgeen met de grotere koherentie

samenhangt.

Modeiproeven in onregelmatige golven.

Door een gol±'opwekker een variabel toerental en/of variabele amplitude golven te laten uitzenden volgens een bepaald programma, verkrijgt men een onregelmatig patroon. Viak bj de golfopwekker zijn

het discrete golfvelden van verschillende frequentie en richting,

die door de disperde van de watergolven zich op grotere afetand

van de golfopwekker vermengen.

In het zeegangslaboratorium van het N.S.P. te Wageningen kan men op deze wijze een zeer onregelmatig patroon opwekken. Uit het

spectriam van de golf, opgemeten in een punt, blijkt dat men een aantal

gevarieerde spectra kan opwekken. Het is nag niet gelukt een analyse van de richtingsstructuur van het spectrum te maken.

In principe kan dit gedaan worden door de golfhoogte gelijktijdig

in een aantal punten te registreren, en van deze registráties

onderling kruisspectra te bepalen. Over de optimale positie van de registratiepunten en de methode van analyse is echter nog geen

besluit genomen.

Het schatten van Let spectrum uit een registratie kan men via

een analogon rekenmachine of via een digitaal rekenmachine doen. Voor de analogon rekenmachine moet vrij omvangrjke apparatuur

ge-bouwd worden[17j , voorl wannc-er deze oak een richtingsspectrum

moet bepalen. Opeen be$taande digitale rekenmachine kan men vrij

gemakkelijk de spectra en kruisspectra bepalen, indien een

digitali-NEDERLANDSCH SCHEEPSBOUWKUNDIG BLZ.

seerinrichting aanviezig is orn de signalen in discrete vorm op een

papierstrook of magnetische band vast te leggen.

ot nu toe worden de spectra op het N.S.P. bepaald met een digi-tale rekenmachine, waarvoor een programma op de ARMAC van het

Mathematisch Centrum is gereed gernaakt. Ret digitaliseren moet,

wach-tende op de aanschaffing van een digitaliseerinrichting, nog met

de hand geschieden. De schatting van het spectrum geschiedt voigens

de method e van Tukey

_{E 3}

_[5] Besluit.

'k hoop in het bovenstaande een korte indruk gegeven te hebben van enkele toepassingen van de moderne bestudering van de onregelmatige verschijnselen in het onderzoek van het gedrag van het schip in zeegang.

Het overzicht heeft meer de principes dan de praktische consequenties voor het ontwerp vn het schip behandeld. Dat valt

enigszins buiten het karakter van deae voordrachtenreeks; bovendien zijn de proefnemingen nog te incidenteel geweest, orn algemene

conclu-sies te kunnen trekken.

Ook zijn een aantal punten- zoals bjvoorbeeld de voorspelling van de beweging, hetgeen in verband met vuurleiding en kunstmatige

stabilisatiemiddelen van beThng is - buiten beschouwing gebleven.

Lit erat uur.

{ i] A. Blanc - Lapierre et R. .?ortet - Théorie des fonctions a1atoires

-Paris 1953.

- On determining the directions of waves from a ship

at sea - PRS _{234, 1956, p 382-387.}

The directional spectrum of a wind generated sea -New-York University, 1957.

On the joint estimation of the spectra, cospectrum and quadrature spectrum of a too-dimensional

stationary Gaussian process - Paper 10, ing. stat. Group, New-York University, 1957.

[ s] u. Grenander en L Rosenblatt - tatistica1 analysis of stationary

time series - stockholm 1956.

[ o] T.H. Havelock - The drifting force on a ship among waveà. Phil

Mag 1942.

[ '7] J.H. 1.antng eri R.H. Battin Random processes in automatic control

-New-York 1956.

Lal M.3. Longuet - Higgins - The statistical analysis of a random-moving

-surface - Phil Trans. Royal 3oc, 249, 1957, p 321-387.

L

j

N.S.F. - Numerieke bepaling van spectrale dichtheden. .O.-Rapport

No. 9-65-1, 'Yageningen, 1957.

Floi_- Pierson Tr. - Vind generated gravity waves - advances in Geophysics, II, 1955, p 93-18?.

ii] N.J. Pierson Jr. - On the phasesof the motions of ships in confused

- seas - Tech. Rep.9, Departm. of Met, and Ocean.,

New-York University, 1957.

H. Press en T.. Tukey - Power spectral methods of analysis and

application in airplane dynamics - Bell

Telephone $ystern Monograph 2606, 1956.

Proceedings Jymposium on the Behaviour of Jhips in a $eaway, Jection I Ap1ioations of the power spectrum method - 1ageningen 1957, p l-17?.

114] 3.0. Rice - Mathematical analysis of random noise - ifl: N. Wax

-3elected papers on noise and stochastic processes

-New-York 1954, p 133-294.

[sl

M. Rosenblatt - stimation of the cross spectra of stationary vector

processes - Paper 2, ing. 3tat. Group, New-York University, 1955.

Llol M. Rosenblatt - Cospectra and quadrature spectra Paper 3, ng.

Jtat. Group, New-York University, 1955.

[17] _{F.B. Smith - Analogue equipment for processing randomly fluctuating}

data - Aeron. ng. Riew, '55, p 113-119.

Liai M. $t. Danis en W.J. PIerson Jr. - On the motions of ships in

con-fused seas - Tr. JNAMS 1953. E191 L.J. Tick - Certain probabilities associated with bow submergence

and -ship slamming irA irregular seas - Paper 1, ing. Jtat. Group, New-York University, 1954.

[ 2] D.S. Cartwright

[ 3j I. Chase e.g.

[ 4] N.R. Goodman

-NEDERLANOSCH SCHEEPSBOUWKUNDIG BLZ.