A C T A U N I V E R S I T A T I S L O D Z I E N S I S FO LIA O EC O N O M IC A 193, 2005
H a l i n a K l e p a c z *, E lż b ie t a Ż ó łt o w s k a * * O W Y Z N A C Z A N IU L IN II I M IA R Y U B Ó S T W A
Streszczenie. Jednym ze sposobów pom iaru nierówności dochodow ych jest m etoda oparta na wykorzystaniu linii ubóstwa z. W artykule omawia się różne m iary ubóstw a dla populacji. Rozważa się przypadek ciągły, przyjmując, że rozklad dochodów w populacji jest określony za pom ocą dystrybuanty rozkładu logarytm iczno-normalnego. M iary ubóstwa d la populacji określa się po przyjęciu indywidualnych m iar ubóstwa i linii ubóstw a oraz dystrybuanty rozkładu dochodów w populacji. Rozważa się szybkość reakcji łącznej miary ubóstw a dla populacji na zmianę linii ubóstwa z, miernik ten jest określony jak o w arunkow a w artość oczekiwana.
Słowa kluczowe: ubóstwo, indywidualna m iara ubóstwa, względna linia ubóstwa.
W problem ach badania ubóstw a m ożna wyróżnić kilka sposobów podejścia do za g ad n ien ia jeg o p o m iaru . Jedny m z nich je st k o n ce p cja p o m iaru nierówności dochodow ych, o p arta na wykorzystaniu linii ubóstw a z. W yróżnia się m .in. następujące m ierniki:
a) p ro cen t ubogich H - jest to stosunek liczby osób (m) o d o ch o d ach poniżej linii ubóstw a d o liczby osób (N ) całej populacji, pom nożony przez 100:
я - 5 . ioo%,
(i)
iloraz m nosi w literaturze także nazw ę w skaźnika headcount', N
b) luk a pom iędzy przeciętnym dochodem ubogich i linią ubóstw a:
r m 1 " x,
l = h ~n Z 1 - <2 >
m iern ik L byw a określany ja k o w skaźnik poverty gap-,
* D r, K ated ra Ekonom etrii Uniwersytetu Łódzkiego.
c) m iara ubóstw a F G T , zap ro p o n o w an a przez F o ste ra (1984):
(3)
d) m iara C H U , zap ro p o n o w an a przez C larka, H em m inga i U lp h a (1981):
= d la Ув (0 , 1); (4)
N N ! _ i \ z
e) m ia ra W attsa (1968):
Ж = ^ Ž ln" : (5)
1У ł-1 Л<
0 m ia ra ubóstw a C DS (C o n stan t D istrib u tio n Sensitivity) je st zbliżona d o m iary nierów ności, w prow adzonej przez K o lm a (1976):
C D S = 4 d la А > 0. (6)
N ,7i N
M ia ra u bóstw a CDS jest zbliżona do m iary nierów ności dochodow ej, w prow adzonej przez K o lm a (1976). T a m iara była sch a rak tery zo w an a przez Z henga (2000a) ja k o m ia ra ubóstw a, k tó ra p o siad a stałą w rażliw ość na rozkład n ierów ności d o ch o dow ych lub niechęci d o u b ó stw a. Pow yższe m iary pow inny być obliczane, gdy posiadam y inform acje dotyczące dochodów każdego elem entu badanej zbiorow ości. Zazwyczaj jed n ak m iary ubóstw a są w yznaczane n a p odstaw ie p róby w ylosow anej z b ad an ej p op ulacji, a otrzym ane w artości m iar są obarczone błędam i p o m iaru i próby.
R ozw ażm y tera z przy padek ciągły. Z akład am y, że rozkład doch od ów w populacji Я jest określony za p o m ocą d y stry b u an ty F (x) d la x e ( 0 , oc). N iech z będzie linią ubóstw a, czyli takim poziom em d o ch od ów , k tó ry dzieli populację П na dwie podpopulacje: П , zaw ierającą osoby o dochodzie x ^ z o raz П 2 - skupiającą osoby, który ch d och ó d x ) z . Zazw yczaj definiuje się linię ubóstw a ja k o określony procent (część) d o ch o d u przeciętnego, k tó ry m oże być m ierzony poprzez średni dochód d la populacji x n , lub m edianę d o chodów Хце. Z atem przyjm uje się, że:
z = c x n lub z = c x n e dla c e ( 0 , 1).
Najczęściej w różnych bad an iach przyjm uje się w artość p a ra m e tru с jako: 0,4; 0,5; 0,6.
Niech p(x, z) będzie indyw idualną m ia rą ubóstw a d la osoby o dochodzie x i przyjętej linii u bóstw a z, spełniającą założenia:
1) P ( x , z ) = 0 d la x > z , co oznacza, że m iara u b ó stw a d la osoby nieubogiej jest ró w n a zeru o ra z w zrost d o c h o d u o so b y nieubogiej nie zm ienia jej m iary ubóstw a;
ö p
(jc z)
2) Px(x > z ) = x ^ ® x ^ z ’ co ° d p ° w ia d a założeniu, że m iara ubóstw a nie w zrasta, gdy rośnie dochód osoby ubogiej;
dp
(jc z)
3) Pz(x > z) = ^ co o dpow iada w arunkow i, że m ia ra ubóstw a nie m aleje, gdy rośnie w artość linii ubóstw a;
^2 p ^
4) pxx(x, z) = — > 0 dla x < z, czyli m iara ub óstw a m aleje w tem pie co raz to wolniejszym , gdy w zrasta dochód osoby ubogiej.
B iorąc p od uw agę, p o d a n e pow yżej, m iary u b ó stw a d la p opu lacji i przyjętą linię u bó stw a z, m o żn a określić następu jące indyw id ualn e m iary ubóstw a p(x, z) dla osoby o dochodzie x < z:
a) in d yw idualna m ia ra ubóstw a, odp o w iad ająca w skaźnikow i headcount:
b) indyw idualna m iara ubóstw a, odpow iadająca w skaźnikow i poverty gap:
c) in d yw idualna m iara ubóstw a, od p o w iad ająca w skaźnikow i FGT:
d) ind yw idualn a m ia ra ubóstw a, od p o w iad ająca w skaźnikow i C H U \
e) indyw idualna m iara ubóstw a, od p o w iad ająca w skaźnikow i W attsa: P(x, z) =
1;
p(x, z) =1
(8) (9)(
10)
p(x, z) = l n —; xOD
O indyw idualna m iara ubóstw a, o dpow iadająca w skaźnikow i CDS:
p ( x , z) = eX(z'x) — 1, dla A > 0 . (12)
Indyw idualne m iary ubóstw a p ( x , z), określone wzoram i (7)—(12) spełniają założenia 1-4. Z wyjątkiem m iary (7) są one m alejącym i funkcjam i d o c h o d u x, ich wykresy różnią się jed n ak tem pem sp ad k u ich w artości, co ilustrują rysunki 1-4.
л
Rys. 1. Indyw idualne miary ubóstw a p( x, z) = 1 — - (linia ciągła)
2
i p (x , 2) = l n - (linia przerywana) d la z — 500
x
Źródło: opracowanie własne
Rys. 2. Indyw idualna m iara ubóstwa p (x dla: /i = 2,5 (linia ciągła),
ß = 3,5 (linia ... ), ß = 5 (lin ia ...), ß — 10 ( l in i a ---) dla 2 = 500 Źródło: opracowanie własne
Rys. 3. Indyw idualna m iara ubóstwa p( x, z) = 1 — f j dla: у = 0,1 (linia ciągła), у = 0,2 (linia ...), у = 0,5 (linia ...), у = 0,8 ( l i n i a --- ) dla z = 500
Źródło: opracowanie własne
Rys. 4. Indywidualna m iara ubóstwa p (x, z) = el(,'x) — 1 dla: Я = 0,001 (linia ciągła), A = 0,002 ( l in ia ...), A = 0,003 (linia ... ), A = 0,004 ( l i n i a --- ) dla z = 500
Źródło: opracowanie własne
Ł ączną m iarę ubóstw a P ( F , z) dla populacji П , zależną od linii ubóstw a z o ra z typ u rozkładu dochodów , określonego przez d y stry b u a n tę F ( x ) , definiuje się jak o :
Przy w arun ku: p ( x , z) = O dla x ^ z m ia ra u b ó stw a d la popu lacji P ( F , z) przyjm uje postać:
m iary ubóstw a ze względu na zm ianę linii ubó stw a z. Z ałóżm y, że funkcja pz(x, z) dla x < z jest ciągła i ograniczona w przedziale (0, oc). D la danej d y stry b u an ty ro z k ła d u doch odów F (x ) w populacji definiuje się funkcję A (F, z) = E ( p 1( X , z)\ X < z ) , której w artości o k re śla ją szyb ko ść reakcji łącznej m iary ubóstw a dla populacji P ( F , z) na zm ianę linii ubóstw a z. Poniew aż p ( x , z) = 0 dla x ^ z, to:
Z m ian a linii ubóstw a z o Az, przy tym sam ym rozkładzie d ochodów , p o w o d u je p rz y ro s t łącznej m iary u b ó stw a d la p o p u la c ji p rzeciętn ie o A P ^ A ( F , z)Az.
Z ałóżm y, że do ch o d y są zm ienną losow ą X o rozkładzie logarytm iczno- -norm alnym :
(14)
(15)
X ~ L N ( a, a), (16)
to znaczy fu n k cja gęstości jest postaci:
ч 1 r ( l n x - a ) 2, „ f ( x ) = —= e x p [ ---— j— ], d la x e ( 0 , + c o ) , a x J l n 2cr a X s j l n (17) gdzie 0L = E ( l a X ) , o 2 = D2(\aX ).
D la zm iennej losowej X m am y następujące p aram etry rozkładu:
E ( X ) = ex p [a + ^ff2], (18)
Biorąc pod uwagę przyjętą funkcję gęstości ro zk ład u d o ch od ów , linię ubóstw a z i indyw idualne m iary ubóstw a p ( x , z), m o żn a określić reakcję m iary u bóstw a dla populacji A (F, z) na zm ianę linii ubóstw a z. I tak:
a) dla indyw idualnej m iary ubóstw a odpow iadającej w skaźnikow i head count:
A ( F , z) = 0; (20)
b) dla indyw idualnej m iary ubóstw a, odpow iadającej w skaźnikow i poverty gap'.
A ( F , z ) = — — = z a y j l n
( l n x —a) 2
e*p [ ---2^ ---] d x \ (21)
c) dla indyw idualnej m iary ubóstw a, odpow iadającej w skaźnikow i F G T :
Z
^ <22)
o
d) dla indyw idualnej m iary ubóstw a, odpow iadającej w skaźnikow i CHU:
< * > o
e) dla indyw idualnej m iary ubóstw a, odpow iadającej w skaźnikow i W attsa:
A ( F , z) = 1 - e x p [ ---= 1 ( l n x — a )2 F (z ) (24)
0 dla indyw idualnej m iary ubóstw a, odpow iadającej w skaźnikow i CDS:
Z
* t r \
1 f i r ( l n x— a)2
Z atem aby stosow ać m ierniki ubóstwa: F G T , С H U i CDS, należy określić w artości dla param etró w ß , y i L Inform acje n a tem at in terpretacji tych param etrów znaleźć m ożna w pracach Zhenga (1997a, 2000b). Przyjęcie funkcji określającej rozkład dochodów o raz indyw idualnych m iar ubó stw a wym aga tak że określenia jej param etrów . Stąd ważnym i zagadnieniam i jest wybór:
a) postaci funkcji p ( x , z) oraz oszacow anie jej p aram etró w na podstaw ie próby;
b) typu m iary ubóstw a P( F, z), który m oże być d o k o n an y po analizie własności tych m iar i relacji między nimi oraz prędkości ich reakcji A ( F , z) n a zm ianę linii ubóstw a z.
Z agad n ien ia te będą przedm iotem dalszych bad ań .
LITERATURA
C hakravarty S. R. (1990), Ethical Social Index Numbers, Springer-Verlag, New York. C lark S., Hem m ing R ., U lph D . (1981), On Indices fo r the Measurement o f Poverty,
„Economic Jo u rn al” , 91, 515-526.
Foster J. (1984), On Economic Poverty: A Survey o f Aggregate Measures, [w:] Basmann R. L, R hodes G . F. (eds), Advances in Econometrics 3, JAI Press, Connecticut.
Foster J., G reer J., T horbecke E. (1984), A Class o f Decomposable Poverty Measures, „Econom etrica” , 761-766.
K olm S. C. (1976), Unequal Inequalities, „Journal of Economic T heory” , 416 442.
Watts H. (1968), An Economic Definition o f Poverty, [w:] M oynihan D. P. (ed.), On Understanding
Poverty, Basic Books, New York.
Zheng B. (1997), Aggregate Poverty Measures, „Journal o f Economic Surveys” , 123-163. Zheng B. (2000a), Minimium Distribution-sensitivity, Poverty Aversion and Poverty Orderings,
„Journal of Econom ic T heory” , 116-137.
Zheng B. (2000b), Poverty Orderings, „Journal o f Economic Surveys” , 427-466.
Zheng B. (2001), Statistical Inferences fo r Poverty Measures with Relative Poverty Lines, „Journal o f Econom etrics” , 337-356.
Halina Klepacz
,
Elżbieta ŻółtowskaON EVALUATION O F POVERTY LIN E AND ITS M EA SURES Summary
Am ong m ethods of m easuring income inequalities there is one based on poverty line z. In the article, various poverty measures for population are discussed. A continuous case is taken into consideration, where income distribution for population is defined with use of cumulative lognorm al distribution. Poverty measures for population are defined, assuming individual poverty measures, poverty line and income cumulative distribution for population. Reaction rate o f the composite poverty measure versus poverty line z changes is examined, this factor being defined as a conditional expected value.
