F O L I A O E C O N O M I C A C R A C O V I E N S I A
Vol. LIII (2012) PL ISSN 0071-674X
DWUW YMIAROW Y MODEL TYPU ZIP-CP
W ŁĄCZNEJ ANALIZIE ZM IENNYCH LICZNIKOWYCH
JE R Z Y M A R Z E C
Katedra Ekonometrii i Badań Operacyjnych Uniwersytetu Ekonomicznego w Krakowie e-mail: marzecj@uek.krakow.pl
JA C E K O S IE W A L S K I
Katedra Ekonometrii i Badań Operacyjnych Uniwersytetu Ekonomicznego w Krakowie e-mail: eeosiewa@cyf-kr.edu.pl
ABSTRACT
J. Marzec, J. Osiewalski. Bivariate ZIP-CP type model in the joint analysis of count variables. Folia Oeco- nomica Cracoviensia 2012, 53: 5-20.
In the paper a generalization of the Berkhout and Plug (2004) bivariate Poisson regression model is proposed; in the Berkhout and Plug model one of the variables has the marginal Poisson distribu tion, while the other follows the conditional Poisson distribution. In the new model the marginal distribution is of the ZIP type and has the same parameterization as the hurdle model. Bayesian estimation of the model and the formal Bayesian comparison of its two alternative specifications are presented. The empirical example concerns joint modelling of the number of cash payments and bank card payments in Poland as well as inference on their correlation.
S T R ESZC ZEN IE
W pracy zaproponowano uogólnienie modelu dwuwymiarowej regresji poissonowskiej, który wprowadzili Berkhout i Plug (2004), przyjmujący brzegowy rozkład Poissona dla jednej zmiennej i warunkowy rozkład Poissona dla drugiej. W nowym modelu rozkład brzegowy jest typu ZIP i ma taką parametryzację jak w modelu płotkowym. Przedstawiono bayesowską estymację tego modelu i formalne bayesowskie porównanie dwóch alternatywnych jego specyfikacji. Przykład empiryczny dotyczy łącznego modelowania i wnioskowania o korelacji między liczbą płatności kartą i gotówką w Polsce.
KEY WORDS — SŁOWA KLUCZOWE
bivariate Poisson regression model, zero inflated Poisson model, bank card and cash payments dwuwymiarowe modele regresji Poissona, model Poissona z nadwyżką zer,
6
1. W P R O W A D Z E N I E
R e g re sja p o is s o n o w s k a je s t p o d s t a w o w y m m o d e le m a n a liz y z m ie n n y c h licz n ik o w y c h (tj. o w a r to ś c ia c h c a łk o w ity c h n ie u je m n y c h ). Istn ie ją jej d w u w y m i a r o w e u o g ó ln ie n ia ; n ie k tó r e n a k ła d a ją o g ra n ic z e n ia n a k o re la c ję m ię d z y z m ie n n y m i, in n e p r o w a d z ą d o k o m p lik a c ji n a t u r y s ta ty s ty c z n o - n u m e r y c z n e j; zob. n p . K o c h e rla k o ta i K o c h e rla k o ta (1992), W in k e lm a n (2008). N a ty m tle o b ie c u ją c y je s t m o d e l, k tó r y z a p r o p o n o w a li B e r k h o u t i P lu g (2004) p r z y jm u ją c b r z e g o w y r o z k ła d P o isso n a d la je d n e j z m ie n n e j o ra z w a r u n k o w y r o z k ła d P o isso n a d la d ru g ie j ( p rz y u s ta lo n e j p ie rw s z e j). M o d e l P -C P (Poisson — conditional Pois son) je s t ła tw y w e sty m a c ji i d o p u s z c z a k o re la c ję r ó ż n e g o z n a k u ( d o d a tn ią albo u je m n ą ), ale z n a k t e n z a le ż y o d z n a k u je d n e g o p a r a m e tr u , a n ie o d z m ie n n y c h o b ja śn ia ją c y c h ; zob. ta k ż e M a rz e c (2012). M o d e l P-C P z o sta ł u ż y ty w Polsce d o b a d a n ia z a le ż n o ś c i m ię d z y lic z b ą tra n s a k c ji d o k o n y w a n y c h g o tó w k ą i liczb ą tra n s a k c ji d o k o n y w a n y c h k a r tą b a n k o w ą (zob. P olasik, M a rz e c , F iszed er, G ó rk a (2012)); w b r e w in tu ic ji k o re la c ja m ię d z y n im i o k a z a ła się d o d a tn ia , co s k ła n ia d o p o n o w ie n ia b a d a ń , ale p o r o z s z e r z e n iu o g ra n ic z o n e j sp ecy fik acji B e rk h o u ta i P lu g a . M o d e le re g re sji d la s k o k o w e j z m ie n n e j o b ja ś n ia n e j z n a d m i e r n ą lic zb ą z e r z o s ta ły s p o p u la r y z o w a n e p r z e d e w s z y s tk im p r z e z a r ty k u ł L a m b e rta (1992). C a m e r o n i T rivedi (1998, 2005) o ra z W in k e lm a n (2008) p r z e d s ta w ia ją e k o n o m e - tr y c z n e m o d e le d a n y c h lic z n ik o w y c h z p r z y k ła d a m i ic h z a s to s o w a ń w e k o n o m ii. W p r a c y r o z w a ż a m y u o g ó ln ie n ie m o d e lu P -C P p o le g a ją c e n a z a s tą p ie n iu b r z e g o w e g o r o z k ła d u P o isso n a p ie rw s z e j z d w ó c h z m ie n n y c h r o z k ła d e m t y p u Z IP (zero inflated Poisson), p r z y p o z o s ta w ie n iu w a r u n k o w e g o r o z k ła d u P o isso n a d ru g ie j z m ie n n e j. R o z k ła d t y p u Z IP m o ż e m ie ć u z a s a d n ie n ie w w ie lu sy tu a c ja c h p ra k ty c z n y c h , g d y ż b y w a ta k , że z e r o w a w a rto ś ć z m ie n n e j o b s e r w o w a n e j je s t ja k o ś c io w o o d m ie n n a o d in n y c h w a rto śc i. P r o p o n o w a n a w tej p r a c y p a r a m e tr y z a c ja o d p o w ia d a tzw . m o d e lo w i p ło tk o w e m u (a n g . h u rd le m odel). O sie w a lsk i (2012) w p r o w a d z ił s k o k o w y r o z k ła d d w u w y m ia r o w y , n a z w a n y Z IP -C P (Z IP — con d itio n a l P oisson) i p o d a ł je g o m o m e n ty . M o d e l d w u w y m ia r o w e j re g re sji p o is s o n o w s k ie j, o p a r ty n a r o z k ła d z ie ZIP-CP, p r o w a d z i d o z n a k u k o w a ria n c ji z a le ż n e g o o d w a rto ś c i z m ie n n y c h o b ja śn ia ją c y c h . G łó w n y m c e le m p r a c y je s t o m ó w ie n ie e sty m a c ji i e m p iry c z n e g o w y k o rz y s ta n ia te g o m o d e lu s ta ty s ty c z n e g o , n a z w a n e g o te ż Z IP -C P (tak, j a k le ż ą c y u je g o p o d s ta w ty p ro z k ła d u ).
W n a s tę p n e j części p r a c y p r z e d s ta w ia m y z w ię ź le r o z k ła d y P -C P i Z IP -C P sk u p ia ją c u w a g ę n a m o m e n ta c h r z ę d u 1 i 2 o ra z w s p ó łc z y n n ik u korelacji. W tr z e ciej o m a w ia m y m o d e l s ta ty s ty c z n y t y p u Z IP -C P i je g o u ję cie b a y e s o w s k ie , zaś w c z w a rte j p r e z e n tu je m y p r z y k ła d e m p iry c z n y .
o
2. R O Z K Ł A D Y P -C P I Z IP -C P
O R A Z Z W IĄ Z E K M IĘ D Z Y I C H M O M E N T A M I
R o z w a ż a m y łą c z n y r o z k ła d p r a w d o p o d o b ie ń s tw a d w ó c h z m ie n n y c h lo s o w y c h (Y i , Y2) — p r z y jm u ją c y c h w a r to ści całk owi t e n i eu je m n e — i p r z e d s ta w ia m y go n a s t ęp u j ą co:
P r f f =
i, Y2
= j }=
P r{Yi = i}
P r { Y 2 =j
IYi = i} = g l h(j , Ą,
( ij " N
! { 0 } ) . ( 1 )Jeś0 r o z H a d b r a e g o w y z m io n nej j ^;[ ^ s t r o z I d a m m I^oi:^£^c^na o w a rto ś c i o czelOw a - n e j i w a r ia n g i - j , a r o z COed w nru n k o w y Yi p r z y u s Ia lo n e j w ccto ś d z m ie n n e i Yj j c r t r oz k te d e m P a iss o n c o w a rJości o c z e k iw a n ej i w a r ia n c ji m2e x p (a Y j), czyli
g ( i ) = e x p ( - p ) ( " ) ' /i!, h ( j , i) = e x p [- " e x p ( a) ] ( " " ) J e x p ( a j ) / j ! , (2)
to m a m y r o z k ła d d w u w y m ia r o w y P -C P (Poisson — conditional Poisson), k tó r y za- jcr o p o n o w a li Ber k h o u t i P lu g (2004) i u z y skali d l a n ie o a w^]^n il?ai m .in . w p o s t aci n a s t ęp u j ą cy c h m o m e n tó w :
E ( Y 2) = # exp[# ( e a - 1)], (3)
£[(72)2] = E ( Y 2) + [ E # exp[Ą (! - -1)2], (4)
V a r(Y 2) = i? - 1)2] - 1}, (5)
E { Y ^ e ^ E Y ) . (6)
Jeśli a ^ 0, to b e z w a r u n k o w a w a r i a n c ja (5) z m ie n n e j Y2 je s t w ię k s z a o d w a rto śc i o cz e kiw a n e j (3). Z a le ż n o ść m i ę d z y ob u z m ie n n y m i s p r a w ia , ż e b r z e g o w y r o z k ł a d zm i e n n ej Y2 o d p k w ia d a ęm p iry cz n i e c z ęst ej sy -u a c jj z w i ę k sz o n e j w a r ia n cji d a n y c h liez n ik o w y cW. lEOrj^tsg o w y eo z k ła d z m i e n waj Z - c:z y i:i r o e k łe d Poisaon e, n ie m a t ej w ła śyiw o ś e i. Jes t t o p ieaw s z y p o m 3 d u o g ó haie n ie d w u w y m iar ow eg o r o z r kłmd n P -C P p z r c z w p eow a d a y n i e co old a d o . 1 . o r m iej t y o b oz yg o w e g 0 r o olCad u Poiss o n a . N a l a i p te a z a u w a ż y ćj ż e z n a k P o w aria n c ji m ię d z y Wy i Yj, c z y l i z n ak w j n a ż en iy
C k K « ) = - £ ( % - № ) = b b “ - № h ) , (7)
z a le ż y je d y n ie o d z n a k u stałej rz e c z y w is te j a , a n ie o d w ie lk o ści X y A2, p a ra - m e tr y z o w a n y c h g łęb iej (u z a le ż n ia n y c h o d j)z m ie n n y c h o b ja śn ia ją c y c h ) )w s ta ty s ty c z n y c h z a s to s o w a n ia c h te g o m o d e lu p ro b a b ilis ty c z n e g o . W tej części k ró tk o p r z e d s ta w im y u o g ó ln ie n ie , k tó re w p r o w a d z ił O s ie w a lsk i (2012), d o p u s z c z a ją c e
z w ią z e k z n a k u k o w a ria n cji i w ie lk ości Z j, co w a n a liz a c h s ta ty s ty cz n y c h s tw a rz a m o żliw ość u z m ic n n ie n ia yeg o z n a k u , w z a leż n o śc i o d w a r to tc i z m i e n n y c h o b ja śn ia ją c y c h p ozi om io .
O b e cn ie zo a w a ż am n i n n o, it^ li'^:ii!ii5i;z:;;^ n iż (h) jośr;;^;^]p>r.cLek, w k ia c y m lą cwn y
m ąu jem n n n e (% j " -/V U -^(0}-) je i y z k r e ćlo n ą y zzzg Ikojti aoom w cou nO ow n hozleład Za p r c y u sJc io n d rn n t :
oeaz r o ąkWa n b c ś ś g - w y zm ie n nej Yw k tó r y o d m ie n n ie n i r w (1.C tr a k t u je w a rto ś ć 0:
g d z ie c je s t u st a ło n j licab ą z p r z e d zi ału (0, z s^ś0 f c n k zjo (s ta ld e sśene j a k w (a i. J e śli J m d?(z j ' to l-*]: e^U = p = g ( 0 = g( 0 = Pa 0 i j== z} i ob a r rz W a d]°i Ipcz n c są iś t n ty c z n e. Jeeh g s o W ) ii śu n k c jz g i h o c d a n e mą w z o t om i (Oj j eo^ i c- p oiaac - n z w skie, t o b r z e g o w y r oz k ła d z m ie n n ej Z je ssZ t y p u SOP (Z zro faf a t za Poisson)/ oaa w a e a n k oacy cżlc p o z osta je zozldtadzm P c irs a n y . R o + d a id ł a k) y n n a cyam y Z tP -C P, a j <2gdo> ^ ^ mt^ n -y m a ją o g ó ln ą p o s tmt
? ( ¥ ? ¥ ] = (1 - ^ (0 ))-'^ (l - Y W m Y C a + -(?-- g { Q ) W E i Y 2n | Y = 0)], (10) g P zie w yZo rz y st u je i>ip z n t n ą p ost a ć m o m e n tó w r o z k ła d u P-C P W s z cz e g ólności:
E \ Y 22) = (1 - gCO))-1^ - y) E ( Y 22) + " - g ( 0 ) ) ! ( 1 + ! ) ] , (14)
E ( Y Y E = (1 - g ( 0 ) ) -1 (1 - yW # ) = (1 - (0(O))_1 (1 - # ) " e x p ( a ) E ( Y2) , (15) r a z k la d jzuTEiLti^ciojfj^cl^ltłi ^i^^ii^ci P r ezj = p Y2 = y} z m ts n n o cłr (h ), n y o w arżcń aircd
P r* {t 2 = o I g = a = n z i, ,) = P r{z, = a I n = p (g) m d /a i = 0, Pr*e a = /} = g*(0 = .| 1 - r g ( /) dZa i%%A j (9) 1 - g (0 ) £* Y = ( l - g ( o ) ) - 1 (l - yW t) = ( i - g ( o ) ) -1( i - y! (11) E *(Y l2) = (1 - g (0 ))-1(1 - " ) E (Yj2) = (1 - g (0 ))- 1(1 - " ) ! ( 1 + ! ) , (12) E \ Y 2) = (1 - g(0 ))-1 [(1 - r ) E ( Y 2) + ( r - g ( 0 ) ) ^ ] , (13)
(16)
V a / { Y 2) = {V ar{Y 2) + [E (Y 2) - ! # + (i 7) 1 - g ( 0 ) # - g (0 ) 1 - 1 C o y # J 2) = {C ov{Y x , Y 2) + Y- # " ± ! [ E ( Y 2) - A J }, (18) Y - g (0 ) 1 - g ( 0 ) co c r o w ydki d o w s p ó łcz y n n ik a k o relacji p o st a ci C o r r \ Y x, j = , 1 g W , (19) “ (1 + Ą ) {Var(Y 2;+ " E Y !i,,;( Y2) - ! ]2 +" Y ! } 0 ^ - JĘf(0]> S - &(0) 1 - "
g d zie E(Y2), Var(Y Z) i Cot^Y j, Y[) s v m o m e n t a m i r o z k ła d u P- C P d a n y m i w (3), (5) i (7). R ó w n o w a yn y z a p is k o w nsm n c j2 w r o z k ła d z ae Z IP-C P to (p o p r os ty c h p r z e k sz t a łc e n ia c h )
C ovX Y x, Y $ = (1 - g ( 0 ) $ 2(l - r m (1 - g(0)) exp(a)E (Y ,) - (1 - y)E (Y 2) - (y - g ( 0 ) ) ! ] = (1 - eop(- ! 1 ) - 2(1 - y) ! ! O1- exo( - ! ) V - (1 - y ) ] e x p ( ! i e a -1 )) - y + e x p (-C )} •
W i d z i m y , z e z m ie n n e lo so w e (Yj, Y 2) o łą c z n y m r o z k ła d o ie p r a w d o p o d o b ie ń s tw a 1) s ą sk or e lo w a a e u je m n j e, j e ś i
[(l - e x o ( - 0 - (1 - j # ) ] (e# - $ ) ) < " -ex p (- ! ), k) ką sk o ra (o w a n e d o dlat n io, j eśd
%(1 - e x p (—>2 " e # - (1 - ( ) ] e k p ( ! ( e a - - ) > o - e x p ( - ! 1) , 3) s ą n ie sk n r i 1o w a n e ,j o ś li
W - ex P( - ! ) ) C - (i -i - ) ] e0 p (a( (- “ - ) # = o - yx e ( - ! ) .
W p c z y p a d k u 1/ = 1j(0) = , czyli b r z e g o w e g o r o z k ła d u P o isso n a d la Y 1, k tó r y p rz y ję li B e r k h o u t i P lu g (2004), s k o m p lik o w a n a f o r m u ła k o w a ria n c ji (18) i (20) s p r o w a d z a się d o z n a c z n ie p ro s ts z e j p o s ta c i (7), g d z ie z n a k k o w a ria n c ji z a le ż y je d y n ie o d z n a k u stałej a . W p o z o s ta ły c h p r z y p a d k a c h , tj. g d y b rz e g o w y r o z k ła d d la Y 1 je s t t y p u Z IP z n a k k o w a ria n c ji (20) z a le ż y o d w a rto ś c i p r z y jm o w a n y c h p r z e z mi i a (a n ie ty lk o o d z n a k u tej d r u g ie j stałej). O c z y w iśc ie , k o n k r e tn a w a rto ś ć k o w a ria n c ji w r o z k ła d z ie Z IP -C P (a n ie s a m jej z n a k ) o ra z w a rto ś ć w s p ó łc z y n n ik a korelacji (19) z a le ż ą o d w s z y s tk ic h s ta ły c h w y s tę p u ją c y c h w f u n k cji p r a w d o p o d o b ie ń s tw a te g o r o z k ła d u , tj. o d y , X j, X 2 i a .
Z a u w a ż m y te ż , że z w ię k s z e n ie p r a w d o p o d o b i e ń s t w a z e ro w e j w a rto ś c i Y 1 (w s to s u n k u d o r o z k ła d u P o isso n a o w a rto ś c i o c z e k iw a n e j i w a ria n c ji Aj), czyli
10
p rz y ję c ie r o z k ła d u Z IP z y > g (0 ), p r o w a d z i d o w a ria n c ji (16) w ię k sz e j n iż w a r to ść o c z e k iw a n a (11). Z a te m ro z k ła d Z IP -C P u m o ż liw ia m o d e lo w a n ie z w ię k s z o n e j w a ria n c ji o b u o b s e r w o w a n y c h z m ie n n y c h lic z n ik o w y c h , c h o c ia ż n ie są o n e tr a k to w a n e sy m etry cz n ie.
3. M O D E L S TATYSTY C Z N Y T Y P U Z I P- C P
R o z w a ż a m y T s to c h a s ty czn ie m e a a le ż n n c h d w y w y m ia ro w y oh z ieue n n ^ łi lo s o w y ch (Y1;, Y 2t', t = 1,2, ... T) o r óż rty c h r c stłcł ^diic^ t y p u Z IP-U P p o s ta d
Pr* % - /, — = j } = g* ( J i) j " N U { 0 } ), (21) P
t
* Y = /} = # = ) = 'jn d l a i = 0, .^)(i) 1 - g t (0 ) d l a i G A%; g 0 ) ) = e x p ( - " () ( " ) ’ / i\ , (2^ P r * {} = = P I = 0 = ! U " ) = « p i — ex]f<aaf)^(,Pj()-/' e x p ( c a j ) / j ! (23) = u = « p O o A ) ^ = e x p (+ c A X ° ( = e x p ( - e <5/l11m) = « P C - e x p ( <5 -I- n j A n (24) g d z ie x; i s ą w ie rs z a m i w a rto ś c i z m ie n n y c h o b ja ś n ia ją c y c h , k tó re m o g ą się p o k r y w a ć (w części lu b w całości). Z m ie n n e o b ja śn ia ją c e o k re śla ją p r a w d o p o d o b ie ń s tw a p o ja w ie n ia się p o s z c z e g ó ln y c h w a rto śc i z m ie n n y c h Y1; i Y2t, a w p ły w z m ie n n y c h o b ja śn ia ją c y c h n a te p r a w d o p o d o b ie ń s tw a je s t d e te r m in o w a n y w ie l k o ścią p o s z c z e g ó ln y c h s k ła d o w y c h k o lu m n b 1 i b 2 o ra z w ie lk o śc ią p a r a m e tr u 5, p r z y c z y m p a r a m e tr 5 d e c y d u je o w ielk o ści o d c h y le n ia p r a w d o p o d o b ie ń s tw a , że Y1;= 0 , o d w a rto ś c i w y n ik a ją c e j z r o z k ła d u P o isso n a. W t a k o k r e ś lo n y m p a r a m e tr y c z n y m m o d e lu s ta ty s ty c z n y m w e k to r p a r a m e tr ó w 6 je s t k o lu m n ą g r u p u ją c ą 5 , a , b i b 2. Z a u w a ż m y , że m o m e n ty r o z k ła d u łą c z n e g o p a r y (Y1;, Y2t), p o d a n e w p o p r z e d n ie j części p racy , z a le ż ą te ra z o d z m ie n n y c h o b jaśn iając y c h .W lite r a tu r z e sp e c y fik a c ja o p a r ta n a w z o r z e (22) je s t n a z y w a n a m o d e le m p ło tk o w y m — an g . h u rd le model; zob. C a m e r o n i T rivedi (2005), s. 680. P o r ó w n a n ie tej sp e cy fik acji z o r y g in a ln y m m o d e le m Z IP p o d a je W in k e lm a n (2008). G łó w n y m i z a le ta m i n a sz e j p ro p o z y c ji s ą p r o s to ta p a ra m e try z a c ji i s tą d w z g lę d n a ła tw o ś ć e sty m acji, a z w ła s z c z a p r o s to ta te s to w a n ia z a s a d n o ś c i re d u k c ji n o w e g o
l l
m o d elu d o st a n d a i d o w e g o m o d e lu Poiss o m . Por ó w n y w e n ie o r ogan a lo eg o m o d e lu Z l P z e s ta n d a r d o w y m m o d e le m P o isso n a n a s trę c z a p r o b le m y z w ią z a n e ze s p ecuPkaoj a m i (hip o t e z a m i) n i e z a g n ie ż d ż o n y r m ; z o b .W (n k alm a n (O 0 080, sOr. 180 .
Jeśli z a o b s e r w o w a n o Y1; = y 1t i Y2; = y 2t (t = 1,2,...,T), to o d p o w ia d a ją c a ty m w a rto ś c io m fu n k c ja w ia ry g o d n o ś c i m a p o sta ć
g d z ie y o z n a c z a m a c ie rz (2xT) z a w ie ra ją c ą z a o b s e r w o w a n e w a rto ś c i z m ie n n y c h
W e m p ir y c z n y c h z a s to s o w a n ia c h te g o m o d e lu w a ż n e je s t n ie ty le w n io s k o w a n ie o 6 = (5, a , b 1' b 2') ', ile raczej o w ie lu n ie lin io w y c h f u n k c ja c h p a r a m e tr u 6 — ta k ic h , j a k p r a w d o p o d o b ie ń s tw a łą c z n e , b r z e g o w e i w a r u n k o w e r ó ż n y c h w a rto ś c i p a r y (Y1t, Y2t) o ra z m o m e n ty i in n e c h a ra k te ry s ty k i jej r o z k ła d u . M ało - p r ó b k o w e w n io s k o w a n ie z a r ó w n o o 6, j a k i n ie lin io w y c h f u n k c ja c h 6, m o ż liw e je s t n a g ru n c ie s ta ty s ty k i b a y e s o w s k ie j, k tó re j p o d s ta w y i p r z y k ła d y z a s to s o w a ń w e m p ir y c z n y c h b a d a n ia c h e k o n o m ic z n y c h p r e z e n tu ją n p . O s ie w a ls k i (2001), O sie w a lsk i i P a jo r (2010). J a k w ia d o m o , p o d e jś c ie b a y e s o w s k ie s p r o w a d z a się d o o k re ś le n ia n a p r z e s trz e n i p a r a m e t r ó w m ia r y p ro b a b ilis ty c z n e j (lu b p r z y n a jm n ie j v - s k o ń c z o n e j) z w a n e j r o z k ła d e m a priori, a n a s tę p n ie w y k o r z y s ta n ia fu n k c ji w ia r y g o d n o ś c i d o u z y s k a n ia r o z k ła d u a posteriori p a r a m e tr ó w ( w a r u n k o w e g o w z g lę d e m d a n y c h i r e p r e z e n tu ją c e g o k o ń c o w ą w ie d z ę o 6). W s z c z e g ó ln o śc i w a ż n y m za- d a n i e m j e s t okr e ślen i e k i e r u n k u i siły k o re la c ji m ię d z y Y 1; ii Y2;, czy li p o d a n ie (d la d a n e g r i) p r nw d o p o d o b ee ń n t w a a / i z s ienorz u je m n e j k o relacji, tj . w a r u n k u [(1 - e x p (- ! 1t))e# - (1 - " t)] e x p ( ! t( e a - 1)) < " t - e x p ( - ! j t ) ., o ra z p r e z e n ta c ja p e ł n e g o r o z k ła d u a posteriori w s p ó łc z y n n ik a k o re la cji o o g ó ln e j p o s ta c i (19). D o d a tk o w ą m o ż liw o śc ią je st fo rm a ln e b a y e s o w s k ie p o r ó w n a n ie e m p iry c z n e j a d e k w a tn o ś c i d w ó c h n ie z a g n ie ż d ż o n y c h m o d e li Z IP-C Ę o d p o w ia d a ją c y c h z a m ia n ie k o lejn o śc i z m ie n n y c h o b ja ś n ia n y c h (czyli ic h n u m e ra c ji). S tw a rz a to n o w e p o le b a d a ń s ta ty s ty c z n y c h . B a d a n ie a d e k w a tn o ś c i p r o s ts z e g o m o d e lu P -C P k tó r y z a p r o p o n o w a li B e rk h o u t i P lu g (2004), s p r o w a d z a się w ra m a c h specyfikacji (21)-(24) d o te s to w a n ia p ro s te j h ip o te z y 5 = 0; m o ż n a to p r z e p r o w a d z ić fo rm a ln ie — p o r ó w n u ją c c z y n n ik i B ay esa d w ó c h n ie z a g n ie ż d ż o n y c h m o d e li z 5 = 0 i 5 ^ 0 — lub u ż y ć n ie f o rm a ln e g o , ale p r o s ts z e g o , te s tu t y p u L in d le y a w o g ó ln ie js z y m m o d e lu , d o p u s z c z a ją c y m d o w o ln ą rz e c z y w is tą w a r to ś ć 5. D o d a jm y , ż e 5 > 0 (5 < 0 ) o z n a cza p r a w d o p o d o b ie ń s tw o z e ro w e j w a rto śc i z m ie n n e j Y 1t m n ie js z e r(w ię k sze) n iż w m o d e lu P o isso n a. Z a te m w a ż n ą k w e s tią je s t o b licze n ie p r a w d o p o d o b ie ń s tw a a posteriori takiej sytuacji.
A b y o k reślić b a y e s o w s k i m o d e l ty p u Z IP -C P n a le ż y p rz y ją ć r o z k ła d a priori w e k to r a 6. W p ie rw s z e j p r a c y d o ty c z ą c e j ta k ie g o m o d e lu p r o p o n u je m y z a ło ż y ć
12
n ie z a le ż n o ś ć a priori p a r a m e tr ó w i d la k a ż d e g o in d y w id u a ln ie p rz y ją ć s ta n d a r d o w y r o z k ła d n o r m a ln y N ( 0 , 1). Z e ro w e w a rto ś c i o c z e k iw a n e a priori o z n a c z a ją , że n a jw ię k s z ą s z a n s ę d a je m y w s tę p n ie n a jp r o s ts z e m u m o d e lo w i, w k tó r y m {Y1t} i {Y2t} są n ie z a le ż n y m i o d siebie p ró b a m i lo so w y m i p ro s ty m i z d w ó c h ro z k ła d ó w P o isso n a. J e d n o s tk o w e o d c h y le n ia s ta n d a r d o w e a priori d a ją g w a ra n c ję , że s p e c y fikacje o d le g łe o d tej n a jp ro s ts z e j m a ją b a r d z o is to tn e w s tę p n e s z a n se . W y d aje się, ż e ta k i p r o s ty łą c z n y r o z k ła d a p rio ri n ie sie s ła b ą ty lk o w ie d z ę w s t ę p n ą (nie je s t b a r d z o in fo rm a c y jn y ) i g w a r a n tu je ła tw o ść sy m u la c ji M o n te C arlo z r o z k ła d u a posteriori, ale je g o k o n k r e tn a ro la in fo rm a c y jn a (w s to s u n k u d o fu n k c ji w ia r y g o d n o śc i) o ra z w ra ż liw o ść r o z k ła d u a posteriori są k w e s tia m i e m p iry c z n y m i, k tó re n a le ż y b a d a ć o d rę b n ie d la k a ż d e g o a n a liz o w a n e g o z e s ta w u d w u w y m ia r o w y c h d a n y c h lic z n ik o w y c h .
4. P R Z Y K Ł A D E M P IR Y C Z N Y
W celu ilu stra cji e m p iry c z n e j p r z y d a tn o ś c i z a p r o p o n o w a n e g o m o d e lu sta ty s ty c z n e g o t y p u Z IP -C P o ra z m o ż liw o śc i, ja k ie d a je je g o a n a liz a b a y e s o w s k a , w y k o rz y s ta m y d a n e , k tó re P olasik, M a rz e c , F isz e d e r i G ó rk a (2012) b a d a li s to su ją c m o d e l p r o s ts z y (P-CP), s z a c o w a n y m e to d ą n a jw ię k sz e j w ia ry g o d n o ś c i. D a n e p r z e d s ta w ia ją liczb ę p ła tn o ś c i g o tó w k ą i k a r tą p ła tn ic z ą d o k o n a n y c h (w m ie sią c u ) p r z e z T = 1190 o só b , k tó re w p a ź d z ie r n ik u i lis to p a d z ie ro k u 2010 o ra z w s ty c z n iu r o k u 2011 a n k ie to w a ł Pentor. W y m ie n ie n i a u to r z y u z y sk a li i a n a liz o w a li te d a n e w r a m a c h p r o je k tu b a d a w c z e g o fin a n s o w a n e g o p r z e z N a r o d o w y B a n k Polski w r o k u 2010. W y n ik i te w s k a z y w a ły n a d o d a t n i ą k o re la c ję m ię d z y lic z b ą p ła tn o ś c i g o tó w k ą i k a r tą p ła tn ic z ą . O b e c n ie s p ra w d z im y , cz y z a s tą p ie n ie b r z e g o w e g o r o z k ła d u P o isso n a je d n e j z m ie n n e j r o z k ła d e m ty p u Z IP je s t e m p iry c z n ie z a s a d n e , a u z m ie n n ie n ie w t e n s p o s ó b m o ż liw e g o z n a k u k o relacji m ię d z y z m ie n n y m i w s k a ż e n a u je m n ą k o re la c ję m ię d z y liczb ą p ła tn o ś c i g o tó w k ą i k a r tą (d la p r z y n a jm n ie j części r e s p o n d e n tó w ) . W n in ie js z y c h b a d a n ia c h , o c h a ra k te rz e p r z e d e w s z y s tk im m e to d y c z n y m , w y k o r z y s tu je m y d a n e s u r o w e , tz n . b e z i n d y w i d u a ln y c h w a g u w z g lę d n ia ją c y c h r e p r e z e n ta ty w n o ś ć p o s z c z e g ó ln y c h o b s e rw a c ji ( r e s p o n d e n tó w ) w c h o d z ą c y c h w s k ła d p ró b y ; P olasik, M a rz e c , F is z e d e r i G ó rk a (2012) u ż y li d a n y c h w a ż o n y c h .
W Tabeli 1 p o d a je m y z m ie n n e o b ja śn ia ją c e i ic h ty p o w e w a rto śc i, tj. śre d n ie w p r z y p a d k u z m ie n n y c h c ią g ły c h i n a jc z ę s ts z e d la z m ie n n y c h d y c h o to m ic z - n y c h .
W Tabeli 2 p r z e d s ta w ia m y d w u w y m ia r o w y r o z k ła d e m p ir y c z n y liczby p ła t n o śc i g o tó w k ą i k a r tą o ra z je g o r o z k ła d y b r z e g o w e . Ś re d n ia liczb a p ła tn o ś c i g o tó w k ą w y n o s i 20,5 (w a ria n c ja je s t r ó w n a 299), ś r e d n ia liczb a p ła tn o ś c i k a rtą w y n o s i 5 ( p rz y w a ria n c ji 45), k o re la c ję e m p ir y c z n ą z a ś c h a r a k te r y z u je w s p ó ł c z y n n ik r ó w n y 0,008, w s k a z u ją c y n a b r a k lin io w e j z a le ż n o śc i m ię d z y licz b ą p ła
t-13
Tabela 1 Informacje sumaryczne o zmiennych objaśniających
Zmienna objaśniająca Średnia/ modalna
Płeć (1-mężczyzna, 0-kobieta) 0
Wiek (w latach) 40
Stan cywilny (1-żonaty lub zamężna, 0-nie) 1
Miejsce zamieszkania (1-miasto, 0 — wieś) 1
Miesięczny dochód w rodzinie (w tys. zł) 3,5
Wykształcenie (lata nauki) 12,5
Czy posiada internet (1-tak, 0-nie) 1
Źródło: opracowanie własne.
n o śc i k a r tą (Y1) i g o tó w k ą (Y2). D la o b u z m ie n n y c h o b s e r w u je m y e m p ir y c z n ą w a ria n c ję z w ię k s z o n ą w s to s u n k u d o śre d n ie j. P o n a d to m o ż n a z a u w a ż y ć r ó ż n ic e m ię d z y r o z k ła d a m i b rz e g o w y m i, tj. e m p ir y c z n y r o z k ła d Y2 je s t p r z e s u n ię ty n a p r a w o (n a osi n o ś n ik a r o z k ła d u ) w z g lę d e m p emp(y1), tz n . w a rto ś ć m o d a ln a i m e d ia n a d la liczby tra n s a k c ji g o tó w k ą s ą w ię k sz e n iż d la p ła tn o ś c i k a rtą . D la tej o sta tn ie j fo rm y p ła tn o ś c i o b s e rw u je się d u ż ą fra k c ję z e r (34%), k tó r a k o n tr a stu je z n is k im (o k o ło 0,007) p r a w d o p o d o b ie ń s tw e m z e ra , o b lic z o n y m z r o z k ła d u P o isso n a o w a rto ś c i o c z e k iw a n e j r ó w n e j ś re d n ie j z p r ó b y (czyli 5). D la p ł a t n o ści g o tó w k ą frak cja z e r w y n o s i o k o ło 2% , co p r z e w y ż s z a p r a w d o p o d o b ie ń s tw o z r o z k ła d u P o isso n a r ó w n e z a le d w ie 10-9. W o b u p r z y p a d k a c h w s k a z u je to n a p o tr z e b ę z a s to s o w a n ia r o z k ła d ó w z n a d w y ż k ą zer. U w z g lę d n ia m y te s a m e z m ie n n e o b ja śn ia ją c e d la o b u z m ie n n y c h lic z n ik o w y c h , a z a te m (b io rąc p o d u w a g ę w y r a z y w o ln e w r e g re s ja c h p o is s o n o w s k ic h ) b i i b 2 s ą k o lu m n a m i 8 -w y m ia ro w y m i, n a to m ia s t w e k to r w s z y s tk ic h p a r a m e tr ó w 6 je s t k o lu m n ą 1 8 -w y m ia ro w ą . P rz y p o m n ijm y , ż e 6 m a łą c z n y n o r m a ln y r o z k ła d a priori o w a rto ś c ia c h o c z e k iw a n y c h 0 i je d n o s tk o w e j m a c ie rz y k o w a ria n c ji. P ró b ę z a le ż n ą z 1 8 -w y m ia ro w e g o r o z k ła d u a posteriori s y m u lu je m y z a p o m o c ą s e k w e n c y jn e g o ła ń c u c h a M e tro p o lis a i H a s tin g s a (M -H ), tj. m e to d y z g r u p y M C M C (M a rk o v C hain M o n te Carlo). W p r z y p a d k u o b u m o d e li (M 1: Y1t o z n a c z a liczbę p ła tn o ś c i k a r tą a Y 2t — liczb ę p ła tn o ś c i g o tó w k ą , M 2: n a o d w r ó t) p r z e p r o w a d z o n o 500 ty się c y lo s o w a ń tr a k to w a n y c h ja k o p r ó b a z r o z k ła d u a posteriori. W cze śn iej w y k o n a n o k ilk a m ilio n ó w lo s o w a ń w s tę p n y c h (s p a lo n y c h ), b a d a ją c m .in. w ra ż liw o ś ć a lg o r y tm u M -H n a je g o p u n k t y s ta r to w e w p r z e s tr z e n i p a ra m e tró w .
N a W y k resie 1 p r z e d s ta w io n o z b ie ż n o ś ć p r z y ję te g o ła ń c u c h a M -H d o r o z k ła d u a posteriori w m o d e lu M1, k tó ra je s t z a d a w a la ją c a z u w a g i n a sz y b k o sta b ili z u ją c y się d la w s z y s tk ic h p a r a m e tr ó w p r z e b ie g tzw . s ta n d a r y z o w a n y c h s ta ty s ty k s u m s k u m u lo w a n y c h (C u S u m ), tz n . ś r e d n ic h a r y tm e ty c z n y c h (z p o s z c z e g ó ln y c h
Tabela 2 E m piryczny łączny rozkład liczby płatności gotów ką i k artą oraz jego ro zk ład y brzegow e
Transakcje k artą (Yj)
Transakcje g o tó w k ą (Y 2)
Pemp(yi,y2) 0 (0/5] (5; 10] (10;15] (15;20] (25;30] >30 pemp(y2) stru k tu ra
0 0 2 l i 6 2 2 1 24 2% (0;5] 13 46 39 18 6 1 3 126 11% (5;10] 69 114 38 16 8 3 0 248 21% (10;15] 76 55 38 9 7 8 3 196 16% (15;20] 57 52 27 5 4 2 1 148 12% (20;25] 40 36 19 6 3 2 2 108 9% (25;30] 46 20 9 7 3 0 0 85 7% (30;35] 26 17 12 5 4 1 1 66 6% (35;40] 21 17 7 3 1 1 5 55 5% (40;45] 13 8 3 4 4 0 0 32 3% (45;50] 11 9 5 4 1 1 1 32 3% >50 37 15 3 4 4 2 5 70 6% pemp(yi) 409 391 211 87 47 23 22 1190 stru k tu ra 34% 33% 18% 7% 4% 2% 2%
lo s o w a ń ) s ta n d a r y z o w a n y c h k o ń c o w y m i w a rto ś c ia m i ś r e d n ic h i o d c h y le ń s ta n d a r d o w y c h . W p r z y p a d k u d r u g ie g o m o d e lu z a s to s o w a n y a lg o ry tm ta k ż e o k a z a ł się e fe k ty w n y m n a r z ę d zi e m n u m e r ycz n y m .
15
0,2 0,15 0,1 0,05 0 -0,05 -0,1 -0,15 -0,2 Liczba losowań x 10 Źródło: opracowtn ie własne.Wykres 1. Zbieżność statystyk CuSum w modelu Mj
P ie aw s z ą k w e stią, Istóną n a le ż y p o d d ać em p ir y c z n ej w e r y fika c ji, je s t w y t ó r j e d n ej z d w ó c h aleer n key w ą y ćh s p e cyfikacji (M y M t ) m r d e l u sta y e rty c z n ć go t y p u n iP - ć E W ypdo o r z y p o m n i eż, że p r a w d o p o d o b ie ń s tw o p posteriori m o d e lu M g j ż o k,P) w okrZa , z g o d n ie z w z or e m B ay esa, fo rm u ła
(
M \)
_
p (y K -) •
p{
M ,)
n ,
y
M(y
p)
-n(M
i ) -+ ^ (y
|bó2)
‘ p ( M 2)(26)
M o ż n a p r z y j ą ć r e w n e e s a n s e r p r i ożi, ji,( ^ yi ) = 0,5, b o b r a k je s t te o r e ty c z n y c h p r z żs ła n ek d o fa w o r y z o w z n i a k tór e g o ś m o d e lu . D o p o r ó w n a n ia w y s ta r cz y w ięe coy n n i k Ba y e sa , cz y li ilo r az b r z e g ow y c h g ęsto ści w e k to r a o b se rw a c ji
B F = wiy |-AS2) / /oW yM j); zob. O sie w a lsk i (2001), W ró b le w sk a (2009). W y n ik i p r e z e n tu je m y w Tabeli 3.
M o d e l M j je st k ilk aset r z ę d ó w w ielkości le p sz y o d M 2 i sk u p ia p ra w ie całą m a sę p r a w d o p o d o b ie ń s tw a a posteriori; p r a w d o p o d o b ie ń s tw o a posteriori m o d e lu M 2
16
w y n o si p ra k ty c z n i e z e r o . Pr z ew ag a m o d e lu M 1 w o p isie b a d a n e g o z ja w is k a je s t z d e c y d ow a n a. W u e u p e łn i e n i u pociaje m y d la o b u m o d e li w a rto ś c i fu n k c ji w ia ry g o d n ości L {0NW; y ) , z o b . wz ó r (25), d la o c e n n a jw ię k sz e j w ia ry g o d n o ś c i, k tó re z o sta ły w y e n nczo n a w eom a c h n u m e zy ozn ej realizacji a lg o r y tm u M -H . D la m o d e lu M i o lr z y m a n o L ( ! . ; je;) = 55 235, a d la d ru g ie j sp ecy fik acji n a jw ię k s z a w a rto ś ć fu n k c ji w ia ry g o d n o ś c i b y ła n iż sz a , b o w ie m w y n io s ła 54 161. Z n ie b a y e s o w s k ie g o p u n k t u w id z e n ia w y n ik p o r ó w n a n ia m o d e li o p a r ty n a k r y te r iu m in f o r m a c y jn y m (k tó ry m k o lw ie k ) ta k ż e w s k a z u je n a a d e k w a tn o ś ć m o d e lu M i (w k o n te k śc ie M 2). W a rto w s p o m n ie ć , ż e z u w a g i n a n i e s t a n d a r d o w ą p o s ta ć m o d e lu (21)-(24) z a s to s o w a n ie d e te r m in is ty c z n y c h p r o c e d u r o p ty m a liz a c ji fu n k c ji w ia ry g o d n o ś c i s p o tk a ło się z o g ro m n y m i p r o b le m a m i o b lic z e n io w y m i. N u m e r y c z n e n a rz ę d z ia a n a liz y b a y e so w sk ie j o k a z u ją się z a te m p r z y d a tn e ta k ż e w e sty m a c ji m e to d ą n a j w ię k sz e j w ia ry g o d n o ś c i.
Tab ela 3
Brzegowe gęstości wektora obserwacji i prawdopodobieństwa a posteriori obu modeli
Model M1: Y1t liczba płatności kartą,
Y2f — gotówką
M2: Y 1t liczba płatności gotówką, Y2l — ]^£^rł;ą ln p(y\M t) 55218,3 i4152,1 Logio BI5 - - 467 CzynniO Bayesa (BF) - <4 0 pBM ,) a,5 a,5 p{M i \y ) «1 «0
Źródło: opracowanie własne.
Z u w a g i n a w y n ik i p o r ó w n a ń m o d e li, d a ls z e r o z w a ż a n ia n a t u r y in te r p r e ta cy jn ej b ę d ą o p ie ra ć się n a M 1, a w y n ik i d la d r u g ie g o m o d e lu b ę d ą m ia ły c h a r a k te r u z u p e łn ia ją c y . W Tabeli 4 p o d a n o w a rto ś c i o c z e k iw a n e i o d c h y le n ia s ta n d a r d o w e a posteriori p a r a m e tr ó w n a sz e j d w u w y m ia r o w e j re g re s ji ty p u Z IP -C P W M 1 w s z y s tk ie z m ie n n e o b ja śn ia ją c e is to tn ie w p ły w a ją n a liczb ę p ła tn o ś c i g o tó w k ą , n a to m ia s t ty lk o p o s ia d a n ie in t e r n e t u , iw y k s z ta łc e n ie i d o c h ó d p o w o d u ją z n a c z ą c e z r ó ż n ic o w a n ie licz b y p ła tn o ś c i k a rtą . O c e n y p a r a m e tr ó w i b łę d y s z a c u n k u , k tó re p o d a ją P olasik, M a rz e c , F is z e d e r i G ó rk a (2012), s ą b a r d z o z b liż o n e d o b a y e s o w s k ic h w a rto ś c i o c z e k iw a n y c h i o d c h y le ń s ta n d a r d o w y c h a posteriori p r e z e n to w a n y c h w tej p ra c y — m im o , ż e w n a s z y c h b a d a n ia c h liczba z m ie n n y c h o b ja śn ia ją c y c h je s t p o n a d d w u k r o tn ie m n ie jsz a . B rz e g o w y r o z k ła d a posteriori p a r a m e tr u 5 (W y k res 2) p o k a z u je , ż e re d u k c ja m o d e lu Z IP -C P d o P -C P je s t b e z z a
17
s a d n a , g d y ż p r a w d o p o d o b ie ń s tw o z e ro w e j liczby p ła tn o ś c i g o tó w k ą je s t is to tn ie w ię k s z e n iż w y n ik a ło b y to z r o z k ła d u P o isso n a. W arto ść o c z e k iw a n a a posteriori d la 5 w y n o s i -1,876 p r z y o d c h y le n iu s ta n d a r d o w y m 0,041.
Tabela 4 Wartości oczekiwane i odchylenia standardowe a posteriori parametrów modeli
Model M 1 M2
Zmienna/parametr E(i|y) D(0|y) E(i|y) D(0|y)
rt a k ci ś o tn JG „1" 0,909 0,098 -0,259 0,101 Płeć -0,045 0,025 0,006 0,026 Wiek -0,002 0,001 -0,007 0,001 Stan cywilny -0,047 0,029 0,056 0,031 Miejsce zamieszkania -0,007 0,028 0,077 0,030 Dochód 0,051 0,010 0,094 0,011 Wykształcenie 0,056 0,006 0,089 0,006 Internet 0,360 0,039 0,558 0,042 p ła tn o śc i gotów ką „1" 2,826 0,049 2,803 0,048 Płeć -0,102 0,013 -0,093 0,013 Wiek 0,008 0,001 0,008 0,001 Stan cywilny -0,158 0,015 -0,152 0,014 Miejsce zamieszkania 0,145 0,015 0,133 0,015 Dochód 0,016 0,006 0,019 0,005 Wykształcenie -0,008 0,003 -0,004* 0,003 Internet -0,085 0,016 -0,066 0,016 a 0,004 0,001 0,0023 0,0007 5 -1,876 0,041 -1,638 0,053
Źródło: opracowanie własne.
Z a te m r o z k ła d t e n u le g ł z n a c z n e m u p r z e s u n ię c iu w s to s u n k u d o r o z k ła d u a priori i je d n o c z e ś n ie z m n ie js z y ło się je g o ro z p ro s z e n ie . D la a c h a ra k te ry s ty k i te w y n o s z ą o d p o w ie d n io 0,004 i 0,001, w s k a z u ją c n a is to tn ie d o d a tn ią z a le ż n o ś ć w a r u n k o w e j ś re d n ie j lic zb y p ła tn o ś c i k a r tą o d lic zb y p ła tn o ś c i g o tó w k ą . B rz e g o w y r o z k ła d a posteriori p a r a m e t r u a (W y k res 3) je s t p ra k ty c z n ie o g ra n ic z o n y d o p r z e d z ia łu (0,0006; 0,0076), czyli z a w ie ra się w p rz e d z ia le o w y so k ie j g ęsto śc i a priori, je d n a k ż e in fo rm a c je z p r ó b y s p o w o d o w a ły u z y s k a n ie r o z k ła d u o z n a cząco m n ie js z y m r o z p ro s z e n iu .
18
alfa
1,6
t1,4
1,2
1
+
0
,:
0,6
+
0,4
0,2
0
H 1--- 1---1 O O ^ H ^ H ^ H C N C N C O C O C O ^ t ^ t ^ n ^ n ^ s O ^ s O ^ s O t ^ t ^ O © o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o 2 , 6 , o , o , o , o , o , o , o , o , o , o , o , o , o , o , o , o , o , o , o" 0 , 1 1 d <Z2 CD o" CD CD CD CD CD CD CD CD CD CD CD CDŹródło: opracowanie własne.
Wykres 2. Brzegowy rozkład a posteriori parametru a
delta
o ac <N <N Źródło: opracowanie własne.
19
Źródło: opracowanie własne.
Wykres 4. Rozkłady a posteriori próbkowych korelacji dla wybranych obserwacji
O s ie w a lsk i (2012) d o w o d z i, że w m o d e lu t y p u Z IP -C P d o d a tn io ś ć p a r a m e t r u a n ie m u s i o z n a c z a ć d o d a tn ie j k o relacji p ró b k o w e j z m ie n n y c h o b ja ś n ia n y c h (ja k to je s t w m o d e lu P-CP). R o z k ła d y a posteriori p r ó b k o w y c h korelacji trz e c h p a r (Y1t, Y 2t) — ty ch , d la k tó r y c h w a rto ś ć o c z e k iw a n a a posteriori w s p ó łc z y n n ik a k o relacji je s t n a jm n ie js z a , p r z e c ię tn a w se n sie m e d ia n y i n a jw ię k s z a — są p o k a z a n e n a W y k resie 4. D o w o d z ą o n e słabej, ale je d y n ie d o d a tn ie j k o relacji m ię d z y licz b a m i p ła tn o ś c i g o tó w k ą i k a rtą . Z a s to s o w a n ie m o d e lu b a rd z ie j a d e k w a tn e g o , tj. t y p u Z IP -C P z a m ia s t P -C P n ie z m ie n ia (p o d ty m w z g lę d e m ) w y m o w y w y n ik ó w , k tó re p o d a li Polasik, M a rz e c , F is z e d e r i G ó rk a (2012). 5. P O D S U M O W A N I E Z a p r o p o n o w a n e u o g ó ln ie n ie m o d e lu P -C P o k a z a ło się u z a s a d n io n e w p r z y p a d k u w s tę p n y c h b a d a ń d o ty c z ą c y c h p re fe re n c ji p o ls k ic h k o n s u m e n tó w w w y b o rz e m e to d p ła tn o śc i. W sk a z u je to n a a d e k w a tn o ś ć m o d e li t y p u Z IP -C P w sy tu a c ja c h , g d y o b s e rw u je się n a d w y ż k ę (b ą d ź deflację) o b se rw a c ji z e r o w y c h lub g d y d w ie z m ie n n e lic z n ik o w e , o d d a ją c e r e z u lta ty d e c y z ji k o n s u m e n tó w , są ze s o b ą p o te n c ja ln ie s k o re lo w a n e (u je m n ie a lb o d o d a tn io ). P od e jście b a y e s o w s k ie p o z w o liło n a e sty m a c ję p a r a m e tr ó w r o z w a ż a n y c h m o d e li b e z o d w o ły w a n ia się d o a p ro k s y m a c ji a s y m p to ty c z n y c h . B ay eso w sk ie p o r ó w n y w a n ie m o c y w y j
a-20
śn iającej k o n k u r e n c y jn y c h ( n ie z a g n ie ż d ż o n y c h ) m o d e li fo r m a ln ie p o tw ie rd z iło w s tę p n e w n io s k i u z y s k a n e w e w c z e ś n ie js z y c h b a d a n ia c h , a d o ty c z ą c e w y b o r u je d n e j z d w ó c h a lte r n a ty w n y c h sp ec y fik acji s ta ty s ty c z n y c h w k o n te k ś c ie z a o b s e r w o w a n y c h d a n y c h .
I n te r e s u ją c y m k ie r u n k ie m d a ls z y c h b a d a ń je s t z a s to s o w a n ie d w u p a r a m e tr o - w ej r o d z in y r o z k ła d ó w P o isso n a (generalized Poisson distribution; zob. C o n s u l i Jain (1973), F a m o y e i S in g h (2006)) d la b r z e g o w e g o r o z k ła d u z m ie n n e j Yj b ą d ź ta k ż e d la r o z k ła d u w a r u n k o w e g o d ru g ie j z m ie n n e j.
B IB L IO G R A F IA
Berkhout P, Plug E. (2004), A bivariate Poisson count data model using conditional probabilities, "Statis- tica Neerlandica" vol. 58, 349-364.
Cameron A. C., Trivedi P K. (1998), Regression Analysis of Count data, Cambridge University Press, New York.
Cameron A. C., Trivedi P L. (2005), Microeconometrics: Methods and Application, Cambridge Univer sity Press, New York.
Consul P C., Jain G. C. (1973), A Generalization of the Poisson Distribution, "Technometrics" 15, s. 791-799.
Famoye F., Singh K. P (2006), Zero-Inflated Generalized Poisson Regression Model with an Application to Domestic Violence Data, "Journal of Data Science", 4, s. 117-130.
Kocherlakota S., Kocherlakota K. (1992), Bivariate Discrete Distributions, Marcel Dekker, New York. Lambert D. (1992), Zero-inflated Poisson regression, with an application to defects in manufacturing,
"Technometrics" 34, s. 1-14.
Marzec J. (2012), Wybrane dwuwymiarowe modele dla zmiennych licznikowych w ekonomii, „Zeszyty Naukowe Uniwersytetu Ekonomicznego w Krakowie — Metody Analizy Danych" nr 884, s. 59-70.
Osiewalski J. (2001), Ekonometria bayesowska w zastosowaniach, Wydawnictwo Akademii Ekonomic znej w Krakowie, Kraków.
Osiewalski J. (2012), Dwuwymiarowy rozkład ZIP-CP i jego momenty w analizie zależności między zmien nymi licznikowymi, [w:] „Spotkania z królową nauk (Księga jubileuszowa dedykowana Profeso rowi Edwardowi Smadze)", red. A. Malawski i J. Tatar, Wydawnictwo Uniwersytetu Ekonom icznego w Krakowie, Kraków 2012, s. 147-154.
Osiewalski J., Pajor A. (2010), Bayesian Value-at-Risk for a Portfolio: Multi- and Univariate Approaches Using MSF-SBEKK Models, "Central European Journal of Economic Modelling and Economet rics" 2, s. 253-277.
Polasik M., Marzec J., Fiszeder P, Górka J. (2012), Modelowanie wykorzystania metod płatności detalic znych na rynku polskim, „Materiały i Studia" nr 265, NBP, Warszawa.
Winkelman R. (2008), Econometric Analysis of Count Data, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg. Wróblewska J. (2009), Bayesian Model Selection in the Analysis of Cointegration, "Central European
