Zagadnienia modelowania dynamiki chaotycznych systemów multiagentowych przy wykorzystaniu komputerowych eksperymentów symulacyjnych

Pełen tekst

(1)Zeszyty Naukowe nr. 770. Uniwersytetu Ekonomicznego w Krakowie. 2009. Jacek Wołoszyn Katedra Informatyki. Zagadnienia modelowania dynamiki chaotycznych systemów multiagentowych przy wykorzystaniu komputerowych eksperymentów symulacyjnych Streszczenie. W pracy przedstawiono możliwości wykorzystania koncepcji chaotycznych systemów multiagentowych do modelowania dynamiki systemów ekonomicznych. Obecność chaosu w dynamice agentów wzbogaca zachowanie systemu o element nieprzewidywalności i prowadzi do skomplikowanych zachowań, które mogą wynikać ze stosunkowo prostych, deterministycznych reguł ewolucji systemu. Dynamika systemu multiagentowego jest kształtowana przez wiele funkcji przekształcających stany agentów i środowiska, w którym agenty te działają. Jako przykład modelowanego systemu wybrano uproszczony model zbiorowości inwestorów giełdowych. Model ten został wykorzystany do przeprowadzenia serii komputerowych eksperymentów symulacyjnych. Słowa kluczowe: system multiagentowy, chaos deterministyczny, eksperyment symulacyjny.. 1. Wstęp Jedną z metod w dużym zakresie wykorzystywanych w badaniu zjawisk świata rzeczywistego jest modelowanie ich dynamiki. W większości rozważane systemy przedmiotowe z natury swojej są systemami złożonymi, w których występują nieliniowe zależności, a ich modele matematyczne nie poddają się badaniu metodami analitycznymi. Pozostaje zatem możliwość zastosowania metod symulacyjnych uwarunkowanych wykorzystaniem techniki komputerowej do prowadzenia obli-.

(2) Jacek Wołoszyn. 138. czeń numerycznych. Jednym z uwarunkowań dotyczących rozwijania się tych metod badawczych jest rosnąca moc obliczeniowa współczesnych komputerów oraz powstające przydatne oprogramowanie narzędziowe i aplikacyjne. Pojęcie systemu multiagentowego stanowi pojemną koncepcję [Ferber 1999], [Jain 2002], [Kisiel-Dorohinicki 2003], która z powodzeniem może być wykorzystana w modelowaniu różnorodnych systemów charakteryzujących się złożoną dynamiką. System multiagentowy należy rozpatrywać jako system dynamiczny złożony z wielu, identycznych pod względem funkcjonalnym, agentów posiadających własne stany zmieniające się zgodnie z pewnymi deterministycznymi regułami. Multiagentowy system dynamiczny może wykazywać cechy chaosu deterministycznego, co pozwala na wprowadzenie pojęcia multiagentowego systemu chaotycznego. Jednym z powodów poszukiwania i identyfikowania chaosu w zachowaniu systemu multiagentowego jest dążenie do uzyskania adekwatnego narzędzia modelowania zachowujących się chaot ycznie złożonych systemów, w tym również systemów ekonomicznych [Wołoszyn 2003] [Wołoszyn 2004], włączając w to systemy posiadające cechy szeroko pojmowanej inteligencji. Obecność chaosu w dynamice agentów wzbogaca zachowanie systemu o element nieprzewidywalności i prowadzi do skomplikowanych zachowań, które mogą wynikać ze stosunkowo prostych, deterministycznych reguł ewolucji systemu. 2. Wprowadzenie do systemów multiagentowych System multiagentowy można postrzegać nie tylko jako rozproszony w środowisku informatycznym zbiór autonomicznych i zarazem kooperujących procesów, lecz również jako system dynamiczny złożony z wielu, identycznych pod względem funkcjonalnym, agentów posiadających własne stany zmieniające się zgodnie z pewnymi deterministycznymi regułami [Wołoszyn 2004b]. Tego rodzaju ujęcie definiuje multiagentowy system dynamiczny jako parę:. S = {E, A}. (1). α = {a, jα, ρα}. (2). E = {e, jE, ρE, λ},. (3). złożoną ze zbioru agentów A oraz środowiska E. Elementami zbioru agentów są klony wzorcowego agenta α:. złożonego z wektora stanu a oraz funkcji jα i ρα określających jego dynam ikę. Funkcje dynamiczne wszystkich klonów są jednakowe, odrębne natomiast są ich wektory stanów. Drugim elementem całego systemu jest środowisko: które również posiada własny wektor stanu e oraz funkcje dynamiczne jE, ρE i λ..

(3) Zagadnienia modelowania dynamiki…. 139. Dla opisu własności dynamicznych systemu multiagentowego wprowadzić można pojęcie F-systemu oznaczające system dynamiczny o skończonej przes trzeni stanów, którego zmienne stanu przybierają postać skwantowaną i w którym czas upływa w dyskretnych krokach. Zarówno poszczególne agenty, jak i środo wisko oraz cały system są F-systemami. Przestrzeń stanów systemu jest określona jako:. Ω = F n. (4). A = { α i : 0 ≤ i < n A } ,. (5). gdzie n jest liczbą wszystkich zmiennych stanu w systemie, zaś F oznacza pewien skończony podzbiór liczb rzeczywistych. Podzbiorem tym może być w szczegól ności przestrzeń liczb w zapisie zmiennopozycyjnym w systemie komputerowym, w którym prowadzone są eksperymenty symulacyjne. Umiejscowienie dyskretnej dynamiki już w samej definicji systemu multiagentowego podyktowane jest dążeniem do utożsamienia ideowej postaci systemu z jego eksperymentalną informatyczną realizacją, bez dodatkowych zabiegów dyskretyzacji narzucanych przez specyfikę obliczeń komputerowych. Dynamika systemu multiagentowego w opisywanej koncepcji jest kształtowana przez wiele funkcji przekształcających stany agentów i środowiska. Agent wyposażony jest w funkcję przejścia jα, która odpowiada za jego wewnętrzną iteracyjną dynamikę, jak również w funkcję recepcji ρα przekształcającą bodźce docierające z otoczenia agenta na zmiany jego wektora stanu. Środowisko oprócz analogicznych funkcji przejścia jE i recepcji ρE posiada także funkcję reakcji lokalnej λ, której rolą jest wyznaczanie warunków środowiskowych panujących w bezpośrednim otoczeniu poszczególnych agentów. Sygnały dochodzące z zewnątrz systemu oraz wpływy od innych agentów docierają w pobliże danego agenta wyłącznie za pośrednictwem środowiska pełniącego rolę medium transmitującego bodźce. Zasadniczym składnikiem strukturalnym multiagentowego systemu chaotycz nego jest wieloelementowy zbiór agentów: gdzie nA jest liczbą agentów. Agenty są swoimi klonami, a zatem posiadają jednakową dynamikę determinowaną przez jednakowej postaci funkcje przejścia i recepcji. Stany poszczególnych agentów mogą być różne, gdyż każdy z nich posiada odrębny zestaw zmiennych stanu, co więcej, jedynie odmienne stany pozwalają odróżniać agenty od siebie. Pojedyncze agenty iterują swoją funkcję przejścia, co jest szczególnie wyraźnie widoczne w sytuacji, w której na stan agentów nie wpływają żadne lokalne bodźce (funkcja ρα ignoruje wektor reakcji lokalnej). W takim wypadku ewolucja wewnętrzna stanu agenta zadana jest następująco:.

(4) Jacek Wołoszyn. 140. a t+1 = ϕ α ( a t ) ,. a λ = λ ( e, A, a k ) ,. a t+1 = ρα (ϕ α ( a t ) , λ ( et , A t , a t )) ,. a t+1 = ρα (ϕ α ( a t ) , λ ( ρ E ( et , s t ) , A t , a t )) .. (6). . gdzie t numeruje kolejne chwile dyskretnego czasu. Podobnie także i środowisko posiada własną dynamikę iteracyjną, choć dodatkowo komplikowaną przez powiązania z agentami, których stan oddziałuje na środowisko, uczestnicząc w wyznaczaniu wartości funkcji jE. Oprócz oddziaływań zachodzących w kierunku agent–środowisko istnieje drugi, przeciwny kierunek przepływu bodźców wynikający z generowania przez środowisko lokalnych wpływów w otoczeniu agentów. Przyjmują one postać wektora reakcji lokalnej a λ mającego taką samą postać, jak wektor a stanu agenta i wyznaczanego według zależności: (7). . gdzie a k jest stanem k-tego agenta, dla którego określany jest lokalny wpływ, zaś A oznacza stan całego zbioru agentów będący macierzą złożoną z wektorów stanu wszystkich agentów systemu. Obecność środowiska, odbierającego poprzez funkcję jE informacje o stanie elementów systemu oraz wytwarzającego poprzez funkcję λ lokalne warunki wokół poszczególnych agentów, stwarza możliwość rozprzestrzeniania się sygnałów wewnątrz systemu. Złożone drogi przepływu sygnałów pomiędzy agentami i środowiskiem tworzą pętle doprowadzające, za pośrednictwem środowiska, informację o stanie agenta do niego samego bezpośrednio lub poprzez łańcuch obejmujący także inne agenty. Świadczy o tym zależność: (8). . wyrażająca udział poprzedniego stanu agenta w procesie wyznaczania stanu tego samego agenta w następnej chwili. Dzięki wyposażeniu środowiska w funkcję recepcji i funkcję reakcji lokalnej sygnały docierające do systemu z zewnątrz mogą wpłynąć na stan środowiska, jak również zostać rozdystrybuowane do wszystkich agentów w systemie. Wektor e stanu środowiska występujący w (8) przenosi bowiem efekt recepcji bodźca zewnętrznego s przez środowisko: . (9). Złożenie funkcji ρE → λ → ρα umożliwia oddziaływanie bodźca s na stan każdego agenta. System multiagentowy może wykazywać cechy chaosu deterministycznego, co pozwala na wprowadzenie pojęcia multiagentowego systemu chaot ycznego (MultiAgent Chaotic System, MACS) [Wołoszyn 2004c]. Powodem poszukiwa-.

(5) Zagadnienia modelowania dynamiki…. 141. nia chaosu w zachowaniu systemu multiagentowego jest dążenie do uzyskania adekwatnego narzędzia modelowania złożonych systemów zachowujących się chaotycznie, włączając w to systemy posiadające cechy szeroko pojmowanej inteligencji. Obecność chaosu w dynam ice agentów i środowiska wzbogaca zachowanie systemu o element nieprzewidywalności i prowadzi do skomplikowanych zachowań, które mogą wynikać ze stosunkowo prostych, deterministycznych reguł ewolucji systemu. Uwzględnienie chaosu deterministycznego w dynamice systemu jest konieczne zwłaszcza przy rozważaniu ogólnych, nieliniowych postaci funkcji jα, ρα, jE, ρE oraz λ. 3. Multiagentowy model giełdy Przykładami spotykanych w obszarze ekonomii systemów multiagentowych mogą być modele zbiorowości inwestorów giełdowych, klientów firmy czy oddziałów przedsiębiorstwa. Opisywane dalej komputerowe eksperymenty symulacyjne przeprowadzone zostały przy wykorzystaniu prostego multiagentowego modelu giełdy papierów wartościowych zbudowanego zgodnie z przedstawioną wyżej koncepcją systemu MACS. Modelowany system został poddany z jednej strony idealizacji, z drugiej – znacznemu uproszczeniu, co ułatwiło skonstruowanie modelu, umożliwiając równocześnie obserwację złożonych zachowań systemu i formułowanie interesujących wniosków już na tym wczesnym etapie badań. Zbliżenie modelu do realiów rynku papierów wartościowych wymaga znacznej jego rozbudowy i może stanowić dalszy etap prac badawczych. W modelu założono, że na rynku giełdowym znajduje się tylko jeden rodzaj papierów wartościowych – akcje jednej spółki. Akcje te mają pewną cenę p. Agentem w prezentowanym modelu jest inwestor giełdowy kupujący lub sprzedający akcje. Oferta kupna lub sprzedaży zgłaszana przez agenta przybiera postać jednej wielkości ω reprezentującej chęć nabycia akcji. Dodatnie wartości ω oznaczają ofertę kupna, ujemne ofertę sprzedaży. Agenty są zróżnicowane pod względem wielkości zgłaszanych ofert i każdy z nich posiada własny parametr ωmax ograniczający wielkość ofert:. −ωmax ≤ ω ≤ ωmax .. (10). Agenty podczas ewolucji modelu reagują na dynamikę kształtowania się cen akcji, dostosowując odpowiednio swoje oferty. Oprócz ceny p pod uwagę brana jest także jej zmiana Δp w ostatniej iteracji. Agent podtrzymuje swoją ofertę (kontynuuje zakup lub sprzedaż) do momentu, w którym zajdą okoliczności skłaniające go do zmiany oferty na przeciwną. Opisuje to zmienna d stanu agenta przyjmująca wartości –1 dla kupna oraz 1 dla sprzedaży akcji..

(6) Jacek Wołoszyn. 142. Zmiana oferty następuje, gdy p przekroczy pewien ustalony przez agenta próg τ, przy czym próg ten może mieć dwojakie znaczenie. Jeśli efektem zmiany ma być rozpoczęcie zakupów akcji, cena musi spaść poniżej τ. Przeciwnie, jeśli agent ma zacząć sprzedawać kupowane do tej pory akcje, cena musi wzrosnąć powyżej τ. Zachowanie takie odzwierciedla dążenie agenta do wykorzystania wahań kursu akcji i osiągnięcia zysku poprzez kupno akcji po niższej cenie i ich sprzedaż po odpowiednio wyższej. Wartość progu τ jest ustalana przez agenta na nowo za każdym razem, gdy następuje zmiana jego polityki, zgodnie z zależnością:  p (1+ωmax cτ ) ,  τ = p ,   1+ωmax cτ. gdy d = 1. (11). gdy d = −1 . gdzie cτ jest pewną stałą. Równocześnie nowa oferta agenta w czasie t wyznaczana jest następująco:  ωt−1 , gdy d = 1 ωt =  − ωt−1 , gdy d = −1. (12). Jeżeli cena nie przekracza progu τ w danej iteracji, wówczas agent koryguje swoją dotychczasową ofertę zależnie od wartości Δp. W przypadku gdy cena rośnie i jednocześnie agent kupuje akcje, oferta kupna jest zwiększana; analogicznie do sytuacji, gdy cena spada i jednocześnie agent sprzedaje akcje, zwiększana jest oferta sprzedaży:.  ωt−1 +ωmax  ωt =   ωt−1 −ωmax  δ δ =  p − τ  max δmin δ m ax. przy czym zapis [⋅]. δ m in. ∆p δ, p. gdy. ∆p > 0 ∧ d = −1. ∆p δ, p. gdy. ∆p < 0 ∧ d = 1. (13). . oznacza zawężenie wartości do przedziału [δmin, δmax].. Takie zachowanie agenta odzwierciedla zachowanie się zbiorowości ludzi ulegających presji ogółu, a w skrajnych wypadkach poddających się wpływowi paniki. Wzrost kursu akcji skłania inwestorów kupujących je do jeszcze szybszego nabywania kolejnych akcji do momentu, w którym cena przekroczy.

(7) Zagadnienia modelowania dynamiki…. 143. próg τ. Podobna reakcja pojawia się w modelu w wypadku obniżki cen akcji, która sprzyja jeszcze większej podaży do chwili, gdy cena będzie na tyle niska, aby inwestorzy uznali kupno akcji za opłacalne. W pozostałych sytuacjach, które nie zostały wymienione wyżej, agenty dążą do stabilizacji, zmniejszając swoje oferty w kolejnych krokach iteracji:. ωt = ωt−1 (1−ωmax cω ) ,. a = {ω, ωmax , τ, d } .. (15). e = { p, ∆p,ω} .. (16). 1 ∑ ωk , nA k=1 . (17). (14). . gdzie cω jest pewną stałą. Wektor stanu agenta w opisywanym modelu określony jest zatem następująco: Z kolei wektor stanu środowiska dany jest jako:. Środowisko pełni w opisywanym modelu rolę giełdy, jego zadaniem jest więc ustalanie ceny akcji będących przedmiotem ofert agentów. Czynnikiem wpływającym na cenę jest średnia oferta wszystkich agentów wyznaczana przez środowisko:. ω=. nA. gdzie ωk jest ofertą k-tego agenta. Uproszczony algorytm wyznaczania ceny akcji na giełdzie, przyjęty w tym modelu, naśladuje zachowanie realnej giełdy w taki sposób, że przy przewadze popytu nad podażą cena akcji ulega wzrostowi, w przeciwnej sytuacji zaś obniża się, przy czym zmiana jest tym większa, im większa jest dysproporcja ofert kupna i ofert sprzedaży. Środowisko wykorzystuje w tym celu formułę:. ⎧ ⎪ pt −1 (1 + ω c p ) , gdy ω > 0 ⎪ ⎪⎪ pt = ⎨ pt −1 , gdy ω = 0 ⎪ ⎪ p t −1 ⎪ , gdy ω < 0 ⎪⎩1 + ω c p. ∆pt = pt − pt−1 .. (18). . gdzie cp jest pewną stałą. Równocześnie środowisko wyznacza zmianę ceny akcji:. (19).

(8) Jacek Wołoszyn. 144. Dla uniknięcia spadku ceny akcji do 0, co spowodowałoby zatrzymanie dynamiki modelu w punkcie stałym, środowisko ogranicza wartość ceny akcji:. p ≥ pmin ,. (20). gdzie pmin jest minimalną ceną przyjętą w modelu.. Przedstawiony model giełdy jest dalece uproszczonym systemem, który naśladuje jedynie kilka aspektów zachowania się inwestorów i dynamiki kształtowania się cen akcji: – cena akcji zmienia się zależnie od proporcji między popytem i podażą i rośnie w wypadku przewagi ofert kupna, a maleje przy przewadze ofert sprzedaży, – wzrost ceny akcji w pewnych granicach wzmacnia tendencję do ich kupna, a spadek nasila tendencję do sprzedaży poprzez mechanizm dodatniego sprzężenia zwrotnego, – agenty dążą do osiągnięcia zysku poprzez kupno akcji po niskiej cenie i sprzedaż po wysokiej cenie, co powoduje przełamanie dodatniego sprzężenia zwrotnego. 4. Komputerowe eksperymenty symulacyjne. Multiagentowy model giełdy opisany powyżej został wykorzystany do przeprowadzenia serii komputerowych eksperymentów symulacyjnych. Symulacje były wykonywane na systemie złożonym ze 100 agentów. Jako parametry symulacji przyjęto następujące wartości stałych modelu: cτ = 1.5 δmin = 0.005 δmax = 0.1 cω = 0.1 c p = 1.0. (21). pmin = 0.01 Jako wartości początkowe zmiennych stanu agentów przyjmowane były wartości losowe z następujących przedziałów: ω ∈ [−1, 1]. τ ∈ [ 5, 15 ]. ωmax ∈ [1, 2 ] . (22).

(9) Zagadnienia modelowania dynamiki…. 145. StockWorld 100 cells/Environment/price. Początkowa wartość d wynosiła losowo 1 lub –1, natomiast początkowa cena akcji ustalona została na poziomie 10. 37 36 35 34 33 32 31 30 29 28 27 26 25 24 23 22 21 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 0. 100 000. 200 000. 300 000. 400 000. 500 000. 600 000. StockWorld 100 cells/Time. 700 000. 800 000. 900 000. Rys. 1. Przebieg zmian ceny akcji p w multiagentowym modelu giełdy złożonym ze 100 agentów. Przedstawiono początkowe 1 000 000 iteracji Źródło: opracowanie własne.. Podczas eksperymentów symulacyjnych system nie był poddawany żadnym zewnętrznym bodźcom wpływającym na wartość ceny akcji lub oferty agentów. Modelowane było zatem zachowanie giełdy odizolowanej od zewnętrznych czynników ekonomicznych i ograniczonej jedynie do wymiany akcji pomiędzy inwestorami. Oferty składane przez agenty uzależnione były od wahań kursu, nie uwzględniały natomiast czynników pochodzących spoza modelu, takich jak kondycja finansowa spółki czy zachowanie innych giełd..

(10) Jacek Wołoszyn. StockWorld 100 cells/Environment/price. 146. 5,5 5,0 4,5 4,0 3,5 3,0 2,5 2,0 1,5 500’040 500’060 500’080 500’100 500’120 500’140 500’160 500’180 500’200 500’220 500’240 500’260. StockWorld 100 cells/Time. Rys. 2. Faza stabilizacji eksperymentu. Powiększony fragment wykresu z rys. 1 przedstawia cykliczne zmiany ceny akcji p w ciągu kilkuset iteracji. SW 100 b/Environment/price. Źródło: opracowanie własne. 35 34 33 32 31 30 29 28 27 26 25 24 23 22 21 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2. 0. 10’000. 20’000. 30’000. 40’000. 50’000. SWorld 100 b/Time. 60’000. 70’000. 80’000. 90’000. Rys. 3. Zmiany ceny akcji p w fazie chaotycznej eksperymentu. Powiększono początkowe 100 000 iteracji poprzedzające osiągnięcie przez system dynamiki regularnej Źródło: opracowanie własne..

(11) Zagadnienia modelowania dynamiki…. 147. SW 100 b/Environment/price. Ogólny przebieg eksperymentów ilustruje rys. 1, na którym zobrazowano wartość p w ciągu pierwszego miliona iteracji jednego z doświadczeń. Po początkowym okresie nieregularnych zmian system osiąga stan równowagi, w którym cena akcji p ulega regularnym, okresowym wahaniom utrzymującym się do końca symulacji (rys. 2). Obserwowane zachowanie modelu świadczy o dążeniu do stabilizacji giełdy, które przy braku czynników zewnętrznych zaburzających stan systemu, doprowadza do dynamiki regularnej. Faza początkowa eksperymentu ma jednak charakter chaotyczny i należy oczekiwać, że poddawanie systemu zewnętrznym zaburzeniom będzie utrzymywać tę nieregularność. 35 34 33 32 31 30 29 28 27 26 25 24 23 22 21 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 25’000 25’200 25’400 25’600 25’800 26’000 26’200 26’400 26’600 26’800 27’000 27’200 27’400 27’600 27’800 28’000. SWorld 100 b/Time. Rys. 4. Incydent krótkotrwałego gwałtownego wzrostu ceny akcji p podczas fazy chaotycznej eksperymentu. Przedstawiono powiększony fragment wykresu z rys. 3 Źródło: opracowanie własne.. Charakterystyczne dla zachowania systemu w fazie chaotycznej są gwałtowne zmiany ceny akcji p przyjmujące postać ostrych szczytów znacznie odbiegających od przeciętnego poziomu ceny (rys. 3). Podczas takich krótkotrwałych incydentów.

(12) Jacek Wołoszyn. 148. cena akcji p wzrasta kilkukrotnie, a następnie po pewnej liczbie iteracji powraca do poprzedniej dynamiki, a więc do nieregularnych oscylacji wokół przeciętnego poziomu. Przebieg pojedynczego incydentu ilustruje w powiększeniu rys. 4. 0 0 0 0 0. SW 100 b/Environment/price. 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0. 20’000 40’000 60’000 80’000 100’000 120’000 140’000 160’000 180’000 200’000 220’000 240’000 260’000 280’000. StockWorld 100 cells/Time. Rys. 5. Zmiany ofert agentów w multiagentowym modelu giełdy. Przedstawiono przebieg zmiennej stanu ω dla 20 spośród 100 agentów modelu. Wykres obejmuje fazę chaotyczną eksperymentu Źródło: opracowanie własne.. Nieregularne przebiegi ceny akcji p w początkowej fazie eksperymentu związane są z aktywnością agentów, których zachowanie także jest nieregularne (rys. 5). Analizując dynamikę agentów można zauważyć, że występuje zróżnicowanie pod względem ich polityki ofert. Część agentów przyjmuje stabilny, długookresowy wzorzec zmian oferty, przechodząc od kupna do sprzedaży akcji w okresach rzędu tysięcy iteracji. Inne agenty z kolei wykazują dużą zmienność oferty zmieniając ją radykalnie bardzo często, nawet w kolejnych iteracjach (rys. 6)..

(13) A4/offer. A5/offer. Zagadnienia modelowania dynamiki…. 149. 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 –0.0 –0.1 –0.2 –0.3 –0.4 –0.5 –0.6 –0.7 –0.8 –0.9 –1.0 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 –0.0 –0.1 –0.2 –0.3 –0.4 –0.5 –0.6 –0.7 –0.8 –0.9 –1.0 0. 20’000 40’000 60’000 80’000 100’000 120’000 140’ 000 160’000 180’000 200’000 220’000 240’000 260’000 280’000. StockWorld 100 cells/Time. Rys. 6. Zróżnicowanie zachowania agentów. Przebiegi zmiennej stanu ω dwóch agentów z rys. 5 Źródło: opracowanie własne.. Interesujące wydaje się zbadanie okoliczności towarzyszących wspomnianym wcześniej incydentom gwałtownych zmian ceny akcji p. Czynnikiem wpływającym na cenę p jest średnia oferta wszystkich agentów ω. Wielkość ta również podlega szczególnym zmianom (rys. 7) i w okresie wspomnianych incydentów ω , zazwyczaj wykazująca złożone oscylacje, ulega wyraźnej stabilizacji i utrzymuje się przez kilkadziesiąt iteracji w obszarze wartości dodatnich. Powoduje to ciągły wzrost ceny p. Po pewnym czasie ω wkracza z kolei w przedział wartości ujemnych, wywołując spadek ceny. W tym samym czasie bardzo charakterystycznym zmianom ulega dynamika agentów, które samorzutnie uzgadniają swoje oferty i utrzymują je niezmienne przez stosunkowo długi okres kilkudziesięciu iteracji (rys. 8). Zanikają wówczas nieregularne oscylacje typowe dla chaotycznej fazy eksperymentu, aby po krótkotrwałej stabilizacji powrócić następnie w podobnym do wcześniejszego rytmie..

(14) SW100 b/Environment/price. 0. SW 100 b/Time. 25’000 25’200 25’400 25’600 125’800 26’000 26’ 200 26’400 26’600 26’800 27’000 27’200 27’400 27’600 27’800 28’000. Źródło: opracowanie własne.. Rys. 7. Zmiany średniej oferty agentów podczas incydentu krótkotrwałego wzrostu ceny akcji. Zobrazowano ten sam przedział iteracji, który przedstawiony został na rys. 4. 0.36 0.34 0.32 0.30 0.28 0.26 0.24 0.22 0.20 0.18 0.16 0.14 0.12 0.10 0.08 0.06 0.04 0.02 –0.00 –0.02 –0.04 –0.06 –0.08 –0.10 –0.12 –0.14 –0.16 –0.18 –0.20 –0.22 –0.24 –0.26 –0.28. 150. Jacek Wołoszyn.

(15) A4/offer A5/offer A6/offer A7/offer A8/offer A9/offer. A3offer. 0.5 0.0 –0.5. 0.5 0.0 –0.5. 0.5 0.0 –0.5. 0.5 0.0 –0.5. 0.5 0.0 –0.5. 0.5 0.0 –0.5. 0.5 0.0 –0.5. 0.5 0.0 –0.5. 0.5 0.0 –0.5. 0 SW 100 b/Time. 25ʼ000 25ʼ200 25ʼ400 25ʼ600 25ʼ800 26ʼ000 26ʼ 200 26ʼ400 26ʼ600 26ʼ800 27ʼ000 27ʼ200 27ʼ400 27ʼ600 27ʼ800 28ʼ000. Źródło: opracowanie własne.. Rys. 8. Przebieg zmian zmiennej stanu ω agentów podczas incydentu krótkotrwałego wzrostu ceny akcji p. Zobrazowano ten sam przedział iteracji, który przedstawiony został na rys. 4. Zwraca uwagę zachowanie agentów rozpoczynające się w pobliżu iteracji 26 400. A0/offer A1/offer A2/offer. 0.5 0.0 –0.5. Zagadnienia modelowania dynamiki… 151.

(16) 152. Jacek Wołoszyn. 5. Zakończenie Modelowany system niepoddawany zewnętrznym bodźcom dąży do stabilizacji, jednak wykazuje początkowo zachowanie chaotyczne. Obserwować można samoistnie występujące gwałtowne i krótkotrwałe zmiany cen akcji wynikające z deterministycznej dynamiki agentów. Pomimo że system nie podlega przypadkowym oddziaływaniom z zewnątrz, jego zachowanie przerywane jest nieprzewidywalnymi incydentami. Należy spodziewać się, że incydenty te będą występować także wówczas, gdy na system będą wpływać bodźce zewnętrzne, tak jak ma to miejsce w wypadku realnej giełdy. Na podstawie eksperymentalnych obserwacji można jednak przypuszczać, że nieprzewidywalna i chaotyczna dynamika kursów akcji na rzeczywistym rynku papierów wartościowych wywołana jest nie tylko losowymi czynnikami ekonomicznymi, ale także samymi własnościami dynamicznymi agentów–inwestorów. Agenty systemu, jakkolwiek identyczne pod względem reguł działania, spontanicznie ulegają podziałowi na grupy o odmiennych cechach dynamiki. Jedne agenty prowadzą długoterminową politykę zakupów lub sprzedaży akcji, inne są w swoich decyzjach bardzo zmienne. Nasuwa to skojarzenie z różnorodnymi osobowościami graczy giełdowych, wśród których można wyróżnić długodystansowych inwestorów oraz spekulantów. Obie grupy agentów posługują się identycznymi regułami postępowania, a o odmienności ich zachowania decydują specyficzne konfiguracje wartości zmiennych stanu. Podczas ewolucji systemu w zachowaniu agentów dochodzi do spontanicznych reakcji będących przyczyną incydentów gwałtownych zmian ceny. Agenty bez wyraźnie widocznych objawów zapowiadających taką sytuację samorzutnie przerywają rytm zmian stanu i przez pewien czas wykazują bardzo zgodną dynamikę. Należy zauważyć, że agenty nie dysponują żadnym wyspecjalizowanym mechanizmem wzajemnej komunikacji i funkcjonują w pełnej niezależności od siebie. W regułach rządzących ich zachowaniem nie został uwzględniony fakt istnienia wielu agentów, dlatego też pojedynczy agent nie jest nawet w stanie ocenić, czy oprócz niego obecne są także inne agenty. Pomimo to agenty potrafią prezentować synchroniczne zachowanie bez potrzeby uzgadniania go między sobą. Obserwacja ta prowadzi do interesującej hipotezy, zgodnie z którą zbiorowe reakcje paniczne obserwowane na rynkach giełdowych nie muszą być powodowane rozpowszechniającą się informacją zmieniającą postępowanie inwestorów, lecz mogą być charakterystyczną cechą systemu wpisaną na stałe w jego dynamikę i mogą powstawać także w warunkach braku komunikacji między inwestorami..

(17) Zagadnienia modelowania dynamiki…. 153. Literatura Ferber J. [1999], Multi-Agent Systems. An Introduction to Distributed Artificial Intelligence, Addison-Wesley, Boston. Jain L., Chen Z., Ichalkaranje N. [2002], Intelligent Agents and Their Applications, Physica-Verlag, New York. Kisiel-Dorohinicki M., Dobrowolski G., Nawarecki E. [2003], Agent Populations as Computational Intelligence [w:] Neural Networks and Soft Computing, Physica Verlag, Heidelberg. Wołoszyn J. [2003], Zjawiska chaosu deterministycznego w modelach systemów ekonomicznych, Zeszyty Naukowe Akademii Ekonomicznej w Krakowie, nr 547, Kraków. Wołoszyn J. [2004a], Chaotyczne systemy multiagentowe w badaniach ekonomicznych, Zeszyty Naukowe Akademii Ekonomicznej w Krakowie, nr 641, Kraków. Wołoszyn P. [2004b], System multiagentowy jako dyskretny system dynamiczny o skończonej przestrzeni stanów – ujęcie formalne, materiały seminarium „Przetwarzanie i analiza sygnałów w systemach wizji i sterowania”, Słok k. Bełchatowa. Wołoszyn P. [2004c], Modelowanie dynamiki chaotycznych systemów biologicznych z użyciem metod multiagentowych, rozprawa doktorska, Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie. Modelling of Chaotic Multi-agent Systems Dynamics with Application of Computer Simulation Experiments The paper discusses possibilities of application of chaotic multi-agent systems to modelling of economic systems dynamics. The existence of chaos in agents dynamics enriches system behaviour with factor of unpredictiveness and leads to a complicated functioning that can derive from relatively simple and deterministic rules of system evolution. A multi-agent system dynamics is formed by a number of functions transforming states of agents and states of an environment that is an area of agents activity. A simplified model of a stock market investors group has been selected as an example of a modelled system. Next, the model has been applied to a series of computer simulation experiments. Key words: multi-agent system, deterministic chaos, simulation experiment..

(18)