Uniwersytet Technologiczno-Przyrodniczy w Bydgoszczy
Streszczenie
Istnieje ciągła koniecznoĞü poszerzania moĪliwoĞci zarządzania inwestycjami. DuĪy potencjał zabezpieczania siĊ przed ryzykiem inwestycyjnym oferują opcje eg-zotyczne i hybrydowe. Handel takimi produktami odbywa siĊ na rynku pozagiełdo-wym (OTC) i czĊsto są to produkty tworzone na zlecenie. Pewnych rodzajów opcji egzotycznych i hybrydowych nie moĪna wyceniü tradycyjnymi analitycznymi i nume-rycznymi metodami. W takich przypadkach warto uĪyü metody Monte-Carlo do wy-ceny instrumentów finansowych. W artykule prezentowana jest propozycja systemu ewaluacji wartoĞci instrumentów pochodnych metodą MC. Dodatkowo przedsta-wiona została efektywna wycena przykładowej opcji egzotycznej.
Słowa kluczowe: metody Monte-Carlo, systemy wspomagania decyzji, opcje egzotyczne i hybrydowe, inynieria finansowa, wycena kontraktów opcyjnych
1. Wprowadzenie
Ju od drugiej połowy dwudziestego wieku nastpuje szybki rozwój zastosowa kontraktów opcyjnych. Produkty te daj moliwo uzyskania ponadprzecitnych zysków z inwestycji niezalenie od koniunktury. Mog by one oparte o róne aktywa bazowe takie jak akcje, waluty, indeksy oraz surowce. Zgodnie z teori [11, 14], opcja jest to umow pomidzy nabywc a sprzedawc, dajca nabywcy prawo (lecz nie obowizek) do kupna (ang. call) lub sprzeday (ang. put) aktywów bazowych w okre lonym czasie w przyszło ci po zadanej cenie, w zamian za opłat zwan premi opcyjn. Cena opcji uzaleniona jest od warto ci aktywów pierwotnych (bazo-wych). Posiadanie opcji daje prawo, ale nie zobowizuje, a wic posiadacz opcji (ang. holder) wtedy skorzysta z tego prawa, gdy bdzie to dla niego opłacalne. Skorzystanie z prawa nazywa si wykonaniem opcji (ang. exercise) lub jej rozliczeniem. Posiadacz opcji amerykaskiej moe j wykona w dowolnym czasie od momentu jej nabycia do terminu wyga nicia. Opcj europejsk mona natomiast wykona jedynie w dniu wyga nicia opcji. A wic w przypadku opcji europej-skiej terminy wykonania i wyga nicia s jednakowe. Amerykaskie i Europejskie typy kontrak-tów opcyjnych nazywane s standardowymi lub waniliowymi. Wszelkie inne kontrakty opcyjne zwane s egzotycznymi lub hybrydowymi.
Instytucje finansowe dce do sprawniejszego i efektywniejszego zarzdzania kapitałami na rynkach finansowych zaczły powszechnie stosowa kontrakty opcyjnie wraz z pojawieniem si pierwszych analitycznych [1] i dyskretnych [6] modeli wyceny tych produktów finansowych. Jest wiele powodów, dla których opcje egzotyczne i hybrydowe s atrakcyjne dla inwestorów. W ród najwaniejszych mona wymieni , e zwykle ceny opcji egzotycznych i hybrydowych s nisze od opcji standardowych, a w wikszo ci przypadków daj one podobne i wystarczajce moliwo ci
inwestycji i zabezpiecze co opcje waniliowe (amerykaskie i europejskie). Poza tym, tworzone nowe kontrakty poszerzaj równie moliwo ci zarzdzania ryzykiem. Natomiast rozwój techno-logiczny, przejawiajcy si wzrostem mocy obliczeniowej komputerów, umoliwia rozwizywania skomplikowanych problemów numerycznych zwizanych z wycen produktów finansowych w czasie rzeczywistym.
Coraz wiksze i bardziej rónorodne zapotrzebowania inwestorów doprowadzaj do powsta-wania kolejnych instrumentów pochodnych. W ród ostatnio wprowadzanych kontraktów znaczc i coraz waniejsz rol odgrywaj opcje egzotyczne i hybrydowe. S to produkty o bardziej złoonej strukturze ni opcje standardowe. Obrót tymi instrumentami moe odbywa si na rynku pozagiełdowym (OTC) lub/i tworzone s na zamówienie. W przypadku wyceny instrumentów tworzonych na zamówienie czsto due znaczenie ma sprawno przygotowania modelu wyceny [5]. A biorc pod uwag, e pewnych rodzajów opcji egzotycznych i hybrydowych nie mona wyceni tradycyjnymi metodami, sensownym jest w takich przypadkach zastosowanie symulacji Monte Carlo do ewaluacji warto ci rozwaanych instrumentów finansowych.
2. Metoda Monte Carlo wyceny kontraktów opcyjnych
W biecym rozdziale przedstawiona zostanie efektywna metoda MC [8] wyceny opcji egzo-tycznych wraz z wycen przykładowego prostego kontraktu typu azjatyckiego. Metoda Monte Carlo moe by zastosowana w wielu rónych procesach stochastycznych, take w przypadku, gdy logarytm naturalny warto ci instrumentu bazowego zachowuje si zgodnie z geometrycznym ruchem Browna:
SdZ
dt
S
S
dS
µ
σ
¸
+
σ
¹
·
¨
©
§
+
+
=
22
1
1
Podej cie metodami Monte Carlo do wyceny opcji jako pierwszy zaprezentował Boyle [2, 10, 11]. MC s zazwyczaj wykorzystywane, gdy nie ma dostpnych wzorów analitycznych i modeli dyskretnych. Tzn. w przypadku, gdy cena instrumentu podstawowego S jest dana poprzez:
(
)
dt dZSe
dS
S
+
=
µ−σ /2 +σ2
gdzie dZ jest róniczk procesu Wienera [4, 12], o odchyleniu standardowym σ równym jeden i warto ci redniej (dryfu) µ równej zero. W celu zasymulowania procesu, dokonujemy podziału osi czasu na skoczon liczb n przedziałów czasowych o kocach t0, t1, t2, …, tn oddalonych od siebie o ∆t, wtedy
(
)
t t tSe
S
S
+
∆
=
µ−σ /2 ∆+σ ε ∆ 2gdzie ∆S jest przyrostem ceny S w zadanym przedziale czasowym ∆t, a εt niezalenymi warto- ciami losowymi wygenerowanymi ze standardowego rozkładu normalnego N(0,1). Wikszo jzyków programowania ma wbudowane funkcje zwracajce warto losow z rozkładu normal-nego. Jeeli jednak dostpne s jedynie liczby losowe Z z przedziału od 0 do 1, to mog one by w prosty sposób przekształcone w losow warto rozkładu normalnego. Zachodzi nastpujca relacja:
¦
=−
=
12 16
i iZ
ε
(
2/2)
( 1) 1 1 − − + − − − −=
tm tm t tm tm m mS
e
S
µ σ σ ε , dla m=1…nPrzyjmujc, e funkcja wypłaty opcji W zaley jedynie od warto ci instrumentu bazowego Sn mona zapisa wzór na cen opcji C dla pojedynczej trajektorii (rysunek 1) cen instrumentu podstawowego S0, S1, S2, …,Sn:
)
,...,
,
,
(
0 1 2 n rTS
S
S
S
W
e
C
=
−Rys. 1. Pojedyncza trajektoria cen S instrumentu podstawowego ródło: Opracowanie własne.
natomiast po przeprowadzeniu k eksperymentów (rysunek 2) premia opcyjna jest równa:
(
)
¦
= −=
k eks eks tn eks t eks t eks t rTS
S
S
S
W
k
e
C
1 2 1 0,
,
,...,
1
Przy czym naley mie na uwadze, e dla kadego rodzaju opcji warto funkcji wypłaty W jest liczona inaczej. Kada z trajektorii na rysunku 2 odpowiada jednemu eksperymentowi ze wzoru. Zaproponowana w pierwotnej wersji klasyczna metoda wyceny za pomoc symulacji Monte Carlo jest wzgldnie nieefektywna. Zadowalajca dokładno wyznaczania premii opcyjnej uzyskiwana jest dopiero po co najmniej dziesiciu tysicach prób k. Ponadto, do 10-krotnego zwikszenia dokładno ci oblicze potrzeba przeprowadzi a 100 razy wicej prób [8]. Opracowano jest wiele technik pozwalajcych przy pieszy opisywan metod. Najcz ciej stosowane s metody z wykorzystaniem redukcji wariancji [3, 11]. Zaliczamy do nich metody:
• zmiennych antytetycznych (ang. antithetic variates), • losowanie warstwowe (ang. stratified sampling), • redniej waonej (ang. importance sampling), • zmiennych kontrolnych (ang. control variates).
tn-1 t3 t2 t1 Stn Stn-1
S
t t0 St2S
t t SS
t
Rys. 2. Losowe trajektorie cen instrumentu bazowego S po przeprowadzeniu k eksperymentów ródło: Opracowanie własne, [16].
3. Wycena opcji azjatyckich metod MC
Rozwaymy teraz efektywny sposób wyceny metod Monte Carlo przykładowego kontraktu egzotycznego - opcji azjatyckiej. Istniej dwa podstawowe typy opcji; kontrakt kupna (ang. call) lub sprzeday (ang. put). O warto ci wypłaty z opcji decyduje cena wykonania X. Funkcja wypłaty dla kontraktu azjatyckiego uzaleniona jest równie od redniej SA cen instrumentu podstawowe-go. W poniszej tabeli znajduj si funkcje wypłaty W opcji azjatyckich.
Tabela 1. Funkcje wypłaty opcji azjatyckich
Typ Funkcja wypłaty
azjatyckie opcja kupna (ang. asian average price call)
Wcall = max(0, SA-X) azjatyckie opcja sprzeday
(ang. asian average price put)
Wput = max(0, X- SA)
ródło: Opracowanie własne, [16].
Zgodnie z podej ciem zaproponowanym przez Broadie’go i Glasserman’a [3] do przeprowa-dzenia pojedynczego eksperymentu potrzebne bdzie utworzeniu grup obserwacyjnych wej cia w punktach twe oraz grup obserwacyjnych wyj cia w punktach twy. Ponisze wzory ukazuj sposób wyliczania warto ci opcji w momencie wyga nicia (funkcji wypłaty) za pomoc metody MC z uwzgldnieniem grup obserwacyjnych:
tn-1 tn St3 Stn-1 t3 t2 t1 Stn t0 St2 St1 t S St0
¸¸
¸
¸
¸
¹
·
¨¨
¨
¨
¨
©
§
−
=
¦
¦
= =X
)
S(t
m
1
)
S(t
n
1
,
0
max
W
m 1 j j we, n 1 i i wy, call ,¸¸
¸
¸
¸
¹
·
¨¨
¨
¨
¨
©
§
−
=
¦
¦
= =)
(t
S
m
1
)
(t
S
n
1
X
0,
max
W
m 1 j j we, k n 1 i i wy, k put gdzie:1 i m; 1 j p; twe,1 = t0; twe,1< twe,2< …< twe,m< tn; twe,m< twy,1< twy,2< …< twy,n; twy,n = tn; m+p n
Po przeprowadzeniu k eksperymentów oraz zdyskontowaniu Wcall (Wput) do warto ci obecnej otrzymujemy cen opcji:
¦
= −=
k eks eks rT callW
callk
e
C
11
,¦
= −=
k eks eks put rT putW
k
e
C
11
Wyznaczajc warto opcji, zwykle równie oblicza si współczynniki wraliwo ceny na zmian czynników, które t cen determinuj. Czynnikami, które wpływaj na cen opcji s: cena instrumentu pierwotnego S, cena wykonania X, zmienno cen instrumentu pierwotnego , długo okresu do terminu wyga nicia opcji t, oraz wolna od ryzyka stopa procentowa r. Odpowiednio współczynniki delta, gamma, lambda, teta i ro wskazuj w jaki sposób zmieni si cena opcji, gdy czynniki wpływajce na cen opcji zmieni si o jednostk. Współczynniki wraliwo ci stanowi z punktu widzenia inwestora bardzo cenn informacj. Dlatego s one niezbdn cz ci systemu wyceny. Szczegółowe rozpisanie metodologii wyznaczania współczynników wraliwo ci w metodzie MC przekracza ramy tego opracowania. Wicej na ten temat mona znale w opraco-waniu Michaela C. Fu i Jian Qiang Hu [9].
4. System informatyczny wyceny opcji egzotycznych i hybrydowych
Według Turbana systemy wspomagania decyzji [15, 7, 13] s przeznaczone dla decydentów na rónych poziomach organizacji i zajmuj si decyzjami pół-ustrukturalizowanymi. Z takim problemem styka si analityka finansowego przy podejmowaniu decyzji, czy dany moment jest dobry do zainwestowania i zakupu/sprzeday kontraktów opcyjnych. Automatyzacja procesu przetwarzania danych prowadzca do jednoznacznej decyzji inwestycyjnej nie jest moliwa. Gdyby metoda dała si wyrazi jako algorytm, wówczas proces decyzyjny byłby ustrukturalizo-wany i mógłby by rozwizany automatycznie. Mamy tu jednak do czynienia z problemem słabo lub le ustrukturalizowanym, w którym nie ma algorytmu jednoznacznie wskazujcego prawidło-wy prawidło-wybór. Mona jedynie poprzez wskazówki takie jak warto teoretyczna opcji oraz współ-czynniki wraliwo ci wspomóc procesy decyzyjne.
Projekt systemu powinien koncentrowa si zarówno na ulepszaniu obecnie dostpnych roz-wiza jak i wikszej oferty dostpnych instrumentów. Schemat pogldowy systemu przedstawio-no na rysunku 3.
Rys. 3. Schemat poglądowy systemu wyceny opcji egzotycznych ródło: Opracowanie własne.
Dane do systemu wprowadzane s przez uytkownika do arkusza kalkulacyjnego stanowice-go interfejs graficzny. Warto nadmieni , e arkusze kalkulacyjne, a szczególnie Excel, s standar-dem w ród analityków finansowych. GUI w arkuszu powinien by oparty na intuicyjnym podej- ciu i uniemoliwia wprowadzenie nieprawidłowych danych. Przykładowo wprowadzone warto ci dla opcji z nierealistycznymi danymi np. niewła ciwymi datami naley odrzuci . Po przefiltrowaniu i przygotowaniu danych wej ciowych, za pomoc kodu VB, s one przesyłane z arkusza do aplikacji ewaluacyjnej. Wyznaczona warto opcji moe by nastpnie uyta do wyliczenia współczynników wraliwo ci. Dodatkow funkcjonalno ci systemu, nie opisywan w tym dokumencie ze wzgldu na obszerno , powinny by : wyznaczanie implikowanej zmienno ci [3, 11], moduły podpowiedzi oraz przygotowanie wykresów funkcji wypłaty. Wszystkie rezultaty s zwracane do arkusza kalkulacyjnego. Teoretyczne warto ci instrumentów finansowych i współczynniki wraliwo ci mog by przekazywane do zewntrznego systemu czasu rzeczywiste-go kontrolujcerzeczywiste-go otwarte pozycje w kontraktach.
Obecnie na rynku oprogramowania mona znale bardzo wiele narzdzi umoliwiajcych proste i szybkie tworzenie aplikacji (np. .Net). Aplikacja ewaluacji warto ci opcji i współczynni-ków wraliwo ci powinna by utworzona z pomoc najszybszych obiektowych jzywspółczynni-ków progra-mowania i zarazem jzyków czwartej generacji (np. c++, c#),. Najwiksz ich zalet jest moli-wo tworzenia skomplikowanych bibliotek bez pisania nadmiernej ilo ci kodu, w sposób automatyczny bazujc na standardowych komponentach i funkcjach.
Uytkownik Aplikacja i biblioteki do wyznaczanie warto ci opcji.
System monitoringu
instrumentów finansowych.
GUI, Arkusz kalkulacyjny
Implikowana zmien-no , moduły podpo-wiedzi. Wyznaczanie współ-czynników wraliwo- ci. System wyceny opcji
5. Podsumowanie
System wyceny opcji egzotycznych i hybrydowych musi spełnia wysokie wymagania stawia-ne przez inwestorów. Obecna technika umoliwia stworzenie takiego systemu w oparciu o metody Monte Carlo. Rozwaany system wyceny powinien by zaprojektowany w ten sposób, by zapew-niajc dokładno ewaluacji produktów finansowych oraz umoliwiał wspomaganie podejmowa-nia inwestycyjnych decyzji giełdowych i pozagiełdowych.
Najwiksz zalet systemu jest umoliwienie nieskomplikowanego i niedługotrwałego doda-wania algorytmów wyceny kolejnych złoonych produktów finansowych. W wikszo ci przypad-ków, do wprowadzenia nowego produktu niezbdna bdzie jedynie przygotowanie i implementa-cja funkcji wypłaty kontraktu. Funkimplementa-cja wypłaty moe korzysta ze wspólnego generatora MC i powizanych bibliotek. Szeroki wachlarz dostpnych instrumentów finansowych w bibliotece pozwoli sprosta rosncym wymaganiom inwestorów. System powinien równie posiada mechanizmy zabezpiecze przed wprowadzaniem nieprawidłowych danych, wylicza implikowa-n zmienno , współczynniki wraliwo ci i posiada moduł podpowiedzi. Aplikacja dziki swoim moliwo ci stanowi praktyczne i unikalne na polskim rynku narzdzie wspomagania inwestycyj-nego.
Bibliografia
1. Black F., Scholes M.: The valuation of option contracts and a test of market efficiency, Journal of Finance, 1972 May.
2. Boyle P.: Options: A Monte Carlo Approach, Journal of Financial Economics, 4, 1977. 3. Broadie M., Glasserman P.: Monte Carlo methods for security pricing, Journal of
Economic Dynamics and Control 21, s. 1267–1321.
4. Cerny A.: Mathematical Techniques in Finance, Princeton University Press, 2004. 5. Chorafas D.: Financial models and simulation. McMillan Press, London 1995.
6. Cox J., Ross S., Rubinstein M.: Option pricing. A simplified Approach. Journal of Financial Economics, 1979 March.
7. Czermiski J.: Systemy wspomagania decyzji w zarzdzaniu przedsibiorstwem, TNOiK, Toru 2002.
8. Duffie D., Glynn P.: Efficient Monte Carlo estimation of security prices, Ann. Applied Probability 5, 1996.
9. Fu, M., Hu, J.Q.: Sensitivity analysis for Monte Carlo simulation of option pricing. Probability in the Engineering and Information Sciences Vol 9, s. 417-446, Sept.1994, revised June 2005.
10. Haug E.: The complete guide to option pricing formulas, McGraw Hill, 1998.
11. Hull, J.C. Options, Futures and Other Derivatives (Upper Saddle River, NJ), 6th Edition, Prentice Hall 2006.
12. Jakubowski J., Palczewski A., Rutkowski M, Stettner Ł.: Matematyka finansowa, Wydawnictwa Naukowo-Techniczne 2003.
13. Radosiski E.: Systemy informatyczne w dynamicznej analizie decyzyjnej. PWN 2001. 14. Tarczyski W., Zwolankowski M.: Inynieria Finansowa, Agencja Wydawnicza
15. Turban E.: Decision Support Systems and Expert Systems, Prentice Hall, Englewood Cliffs 1995.
16. Zarzycki H.: Wspomaganie decyzji w informatycznym systemie zarzdzania inwestycjami na rynkach terminowych, Praca doktorska, Politechnika Szczeciska, Wydział Informatyki 2006.
COMPUTER SYSTEM FOR VALUING OPTIONS WITH MONTE CARLO APPROACH
Summary
There is continuous necessity to widen the possibilities of the investment man-agement. The exotic and hybrid options have large potential to hedge against the investment risk. Trading of such products is conducted in over-the-counter (OTC) markets. These are often custom tailored products. It is not possible to evaluate some kinds of exotic and hybrid options with traditional analytical and numerical pricing methods. In such cases, it makes perfect sense to price financial instruments with Monte - Carlo method. The article introduces a proposal of derivatives pricing system with MC approach. Additionally, the effective valuation of an exemplary ex-otic option has been presented.
Keywords: Monte Calro methods, decision support systems, exotic and hybrid options, financial engineering, option pricing
Hubert Zarzycki Wydział Zarzdzania
Uniwersytet Technologiczno-Przyrodniczy w Bydgoszczy
