4 Prawa zachowania. Fale uderzeniowe
W niniejszych notatkach, oprócz literatury wymienionej na stronie interne-towej, korzystam te» z nast¦puj¡cych artykuªów:
A. Bressan, Hyperbolic conservation laws. An illustrated tutorial, no-tatki na stronie internetowej Pennsylvania State University.
P. D. Lax, The formation and decay of shock waves, Amer. Math. Month. 79 (1979) (3), 227241.
4.1 Prawa zachowania
Zaªó»my, »e u = u(t, x) jest miar¡ g¦sto±ci pewnej substancji w punkcie
x ∈ R i w chwili t 0. Zakªadamy, »e substancja ta nie powstaje ani nie
znika (czyli jest zachowywana), mo»e tylko przepªywa¢ (i te» nie dyfunduje). Ponadto, zakªada si¦, »e strumie« (ang. ux) substancji w danym punkcie (czyli chwilowa pr¦dko±¢ przepªywu substancji z lewa na prawo) zale»y tylko od g¦sto±ci substancji w tym punkcie (i zadany jest funkcj¡ f = f(u)).
Zmiana masy substancji na przedziale [x1, x2]od chwili t1 do chwili t2 jest
równa x2 Z x1 u(t2, x) dx − x2 Z x1 u(t1, x) dx = t2 Z t1 f (u(t, x1)) dt − t2 Z t1 f (u(t, x2)) dt.
Jako »e x1, x2, t1, t2 s¡ dowolne, otrzymujemy, przy zaªo»eniu »e wszystkie
funkcje s¡ na tyle regularne, »e mo»na zmienia¢ kolejno±¢ ró»niczkowania i caªkowania, itp., nast¦puj¡ce skalarne prawo zachowania w przestrzeni jed-nowymiarowej :
(PZ) ut+ (f (u))x = 0.
Jako przykªad mo»e sªu»y¢ ruch samochodów po autostradzie. Niech u =
u(t, x) b¦dzie g¦sto±ci¡ (w samochodach na kilometr). Oczywi±cie,
zakªada-my, »e samochody to substancja ci¡gªa (niew¡tpliwie jest to idealizacja). Na-st¦pne idealizuj¡ce zaªo»enie to takie, »e pr¦dko±¢ samochodów jest zale»na tylko od g¦sto±ci w danym punkcie, f = f(u).
W przykªadzie powy»szym naturalnym zaªo»eniem jest, »e zale»no±¢ pr¦d-ko±ci od g¦sto±ci ma ujemn¡ pochodn¡.
Zakªadamy odt¡d, »e w prawie zachowania (PZ) znana funkcja f : R → R jest klasy C1.
Przykªad. W ró»nych dziaªach zyki pojawia si¦ równanie
ut+ uux = 0,
zwane równaniem Burgersa(1) bez lepko±ci, równaniem Riemanna,
równa-niem Kortewega(2)-deVriesa(3) bez dyspersji, i in.
Warunek pocz¡tkowy dla (PZ) to
(PZ-WP) u(0, x) = u0(x), x ∈ RR,
gdzie u0: R → R jest znan¡ funkcj¡.
Rozwa»my zagadnienie pocz¡tkowe (PZ-ZP) ut+ (f (u))x = 0, t 0, x ∈ R u(0, x) = u0(x), x ∈ R,
gdzie f : R → R jest funkcj¡ klasy C1, a u
0: R → R jest funkcj¡.
Niech x = x(t), x(0) = x0, b¦dzie krzyw¡ klasy C1 tak¡, »e wzdªu» niej
rozwi¡zanie u zagadnienia (PZ-ZP) jest staªe. Musi zatem zachodzi¢ 0 ≡ d
dtu(t, x(t)) = ut+ dx
dtux,
wi¦c dx/dt jest stale równe f0(u). Z drugiej strony, u jest staªe na tej krzywej,
i równe u0(x0).
Póªprost¡ x = x0+ f0(u0(x0))t, t 0, nazywamy rzutem
charakterystycz-nym równania (PZ) przechodz¡cym przez punkt (0, x0)(4).
Powy»sze rozwa»ania daj¡ oczywist¡ metod¦ szukania rozwi¡za« zagad-nienia pocz¡tkowego (PZ-ZP): dla x ∈ R bierzemy póªprost¡ przechodz¡c¡ przez (0, x), o wspóªczynniku kierunkowym f0(u
0(x)), i na tej póªprostej
za-dajemy warto±¢ u równ¡ u0(x).
Jednak mog¡ si¦ tutaj pojawi¢ pewne trudno±ci.
Je±li u0 jest funkcj¡ nieci¡gª¡, mo»e si¦ zdarzy¢, »e istniej¡ punkty na
otwartej prawej póªpªaszczy¹nie, i to dowolnie blisko prostej t = 0, które nie le»¡ na »adnym rzucie charakterystycznym. Zatem metoda powy»-sza nie daje nam przepisu na warto±ci rozwi¡zania w takich punktach. Nale»y zaznaczy¢, »e cz¦sto w zastosowaniach wyst¦puje zagadnienie Riemanna, polegaj¡ce na znalezieniu rozwi¡zania zagadnienia (PZ-ZP) gdy u0 jest funkcj¡ kawaªkami staª¡ maj¡c¡ tylko skok w x = 0.
(1)Jan (Johannes Martinus) Burgers (18951981), zyk holenderski (2)Diederik Johannes Korteweg (18481941), matematyk holenderski. (3)Gustav deVries (18661934), matematyk holenderski.
Gdy u0 jest funkcj¡ ci¡gª¡, dowodzi sie, »e dla ustalonego
przedzia-ªu [x1, x2] ⊂ R mo»na znale¹¢ takie T > 0, »e dla dwóch ró»nych x01, x02 ∈ [x1, x2] odcinki rzutów charakterystycznych przechodz¡cych
przez (0, x01) i (0, x02) odpowiadaj¡ce t ∈ [0, T ] s¡ rozª¡czne. Wynika
st¡d istnienie otoczenia prostej {0}×R w [0, ∞)×R na którym rozwi¡-zanie zagadnienia pocz¡tkowego PZ-ZP jest dobrze okre±lone. Je±li u0
jest C1, wtedy to lokalne rozwi¡zanie jest rozwi¡zaniem klasycznym.
Gdy f0◦ u
0 jest funkcj¡ niemalej¡c¡, wówczas rzuty charakterystyczne
odpowiadaj¡ce ró»nym punktom na prostej {0} × R nigdzie si¦ nie przecinaj¡. Zatem rozwi¡zanie mo»na wtedy dobrze okre±li¢ na caªej póªpªaszczy¹nie [0, ∞)×R (i b¦dzie to rozwi¡zanie klasyczne gdy f0◦u
0
jest klasy C1).
Natomiast gdy f0 ◦ u
0 jest funkcj¡ rosn¡c¡, rzuty charakterystyczne
odpowiadaj¡ce ró»nym punktom na prostej {0}×R zawsze si¦ przetn¡. W takim przypadku, nawet gdy u0 jest bardzo regularne, nie mo»na
mie¢ nadziei na istnienie rozwi¡zania klasycznego okre±lonego na caªej póªpªaszczy¹nie [0, ∞) × R. Trzeba wtedy szuka¢ rozwi¡za« sªabszych ni» klasyczne.
4.2 Rozwi¡zania sªabe
De nicja. Funkcj¦ istotnie ograniczon¡ u: Ω → R, gdzie Ω ⊂ 0, ∞) × R jest otwartym i spójnym podzbiorem [0, ∞) × R(5), nazywamy sªabym
rozwi¡za-niem zagadnienia pocz¡tkowego (PZ-ZP), gdy dla ka»dej funkcji ϕ: [0, ∞) × R → R klasy C1, o zwartym no±niku(6) zawartym w Ω, zachodzi
(4.1) ∞ Z −∞ ∞ Z 0 (u(t, x)ϕt(t, x) + f (u(t, x))ϕx(t, x)) dt dx + ∞ Z −∞ u0(x)ϕ(0, x) dx = 0.
Fakt 4.1. Ka»de klasyczne rozwi¡zanie u: Ω → R, gdzie Ω jest otwartym i spójnym podzbiorem [0, ∞) × R, zagadnienia (PZ-ZP) jest rozwi¡zaniem sªabym (PZ-ZP).
Dowód. Niech ϕ: [0, ∞) × R → R b¦dzie klasy C1, o zwartym no±niku
za-wartym w Ω. Wówczas zachodzi
∞ Z −∞ ∞ Z 0 (ut+ f (u)x)ϕ dt dx = 0.
(5)Przez otwarty podzbiór domkni¦tej prawej póªpªaszczyzny [0, ∞)×R rozumiemy zbiór postaci U ∩ ([0, ∞) × R), gdzie U jest otwartym podzbiorem R2.
Caªkuj¡c przez cz¦±ci, otrzymujemy, dla ka»dego x ∈ R, ∞ Z 0 ut(t, x)ϕ(t, x) dt = −u(0, x)ϕ(0, x) − ∞ Z 0 u(t, x)ϕt(t, x) dt, i dla ka»dego t 0, ∞ Z −∞ f (u)x(t, x)ϕ(t, x) dx = − ∞ Z −∞ f (u(t, x))ϕx(t, x) dx
(wykorzystujemy zwarto±¢ no±nika funkcji ϕ). Wystarczy teraz tylko zauwa-»y¢, »e mo»na zmienia¢ kolejno±¢ caªkowania.
Funkcje ϕ wyst¦puj¡ce w de nicji rozwi¡zania sªabego nazywamy funk-cjami próbnymi.
Niekiedy nie uwzgl¦dnia si¦ warunku pocz¡tkowego: mówimy o sªabym rozwi¡zaniu prawa zachowania (PZ), gdy
∞ Z −∞ ∞ Z 0 (u(t, x)ϕt(t, x) + f (u(t, x))ϕx(t, x)) dt dx = 0
dla ka»dej funkcji próbnej ϕ o zwartym no±niku zawartym w Ω∩((0, ∞)×R). Czasami w de nicji rozwi¡zania sªabego o funkcjach próbnych zakªada si¦, »e s¡ to funkcje klasy C∞ o zwartych no±nikach. De nicje te s¡ równowa»ne,
cho¢ dowód równowa»no±ci wymaga (»mudnego) wykazania, »e funkcj¦ klasy
C1 o zwartym no±niku da si¦ w odpowiedni sposób (w sensie normy C1)
przybli»a¢ funkcjami klasy C∞ o zwartych no±nikach.
4.2.1 Fale uderzeniowe. Warunek Rankine'aHugoniota Wprowadzamy nast¦puj¡ce zaªo»enie:
(FU) u: Ω → R, gdzie Ω jest otwartym i spójnym podzbiorem [0, ∞) × R, jest sªabym rozwi¡zaniem równania (PZ), oraz nast¦puj¡ce warunki s¡ speªnione:
(FU1) Ω = Γ ·∪ Ω+∪ Ω· −, z
Γ = { (t, x) : t ∈ I, x = ξ(t)} Ω+ = { (t, x) ∈ Ω : t ∈ I, x > ξ(t)}
Ω− = { (t, x) ∈ Ω : t ∈ I, x < ξ(t)},
(FU2) u jest klasycznym rozwi¡zaniem równania (PZ) na Ω+, i na Ω+;
(FU2) dla ka»dego t ∈ I istniej¡ granice jednostronne
u−(t) := lim
x→ξ(t)−u(t, x), u+(t) :=x→ξ(t)lim+u(t, x),
i zachodzi u−(t) 6= u+(t).
Powy»sze rozwi¡zanie u nazywa sie fal¡ uderzeniow¡. Krzywa Γ to czoªo fali uderzeniowej , ξ0(t) to pr¦dko±¢ fali uderzeniowej.
Twierdzenie 4.2. Zaªó»my, »e u = u(t, x) speªnia zaªo»enie (FU). Wówczas s¡ speªnione warunki Rankine'a(7)Hugoniota(8):
(RH) ξ0(t) = f (u+(t)) − f (u−(t))
u+(t) − u−(t)
∀ t ∈ I.
Dowód. Niech ϕ b¦dzie funkcj¡ próbn¡ tak¡, »e ϕ(t, x) = 0 dla t = 0. Waru-nek (4.1) przybiera teraz posta¢
ZZ Ω− (uϕt+ f (u)ϕx) dt dx + Z Z Ω+ (ϕt+ f (u)ϕx) dt dx = 0.
Stosuj¡c do pierwszej z caªek po lewej stronie twierdzenie o dywergencji otrzy-mujemy ZZ Ω− (uϕt+f (u)ϕx) dt dx = − ZZ Ω− (ut+f (u)x)ϕ dt dx+ Z Γ (u−ϕν1+f (u−)ϕν2) ds,
gdzie (ν1, ν2)oznacza jednostkowy wektor normalny skierowany na zewn¡trz.
Stosuj¡c do drugiej caªki twierdzenie o dywergencji (i pami¦taj¡c, »e jednost-kowy wektor normalny skierowany na zewn¡trz to teraz −(ν1, ν2))
otrzymu-jemy ZZ Ω+ (uϕt+f (u)ϕx) dt dx = − ZZ Ω+ (ut+f (u)x)ϕ dt dx− Z Γ (u+ϕν1+f (u+)ϕν2) ds.
Jako »e u jest rozwi¡zaniem klasycznym na Ω+ i Ω−, zachodzi
ZZ Ω− (ut+ f (u)x)ϕ dt dx = ZZ Ω+ (ut+ f (u)x)ϕ dt dx = 0.
(7)William John Macquorn Rankine (18201872), in»ynier i zyk szkocki (8)Pierre-Henri Hugoniot (18411887), in»ynier i zyk francuski
Ostatecznie otrzymujemy, »e Z Γ (u−ν1+ f (u−)ν2) − (u+ν1+ f (u+)ν2) ϕ ds = 0.
Poniewa» ϕ byªo dowolne, musi zachodzi¢
f (u+) − f (u−) u+− u− = −ν1 ν2 . Ale −ν1 ν2 = ξ0(t), co ko«czy dowód.
Uwa»na analiza powy»szego dowodu wykazuje, »e warunki Rankine'a Hugoniota s¡ w istocie te» warunkami wystarczaj¡cymi. Mówi¡c dokªadniej, je±li funkcja ograniczona u speªnia (FU1), (FU2), (FU3) oraz warunki (RH), to jest rozwi¡zaniem sªabym równania (PZ) na Ω.
Rzecz¡ naturaln¡ jest spyta¢, co si¦ stanie, gdy we wszystkich (czy nawet niektórych) punktach krzywej Γ zachodzi u− = u+. Dokªadnie
przygl¡da-j¡c si¦ powy»szemu dowodowi mo»na zauwa»y¢, »e niepotrzebne s¡ »adne warunki na pochodn¡ ξ0 w takich punktach.
4.3 Przykªady
Rozwa»my zagadnienie pocz¡tkowe dla równania Burgersa bez lepko±ci
ut+ uux = 0, t > 0, x ∈ R, u(0, x) = u0(x), x ∈ R, gdzie u0(x) = 1 dla x < 0, 1 − x dla 0 < x < 1, 0 dla x > 1. Zagadnienie powy»sze ma, dla t ∈ [0, 1), rozwi¡zanie
u(t, x) = 1 dla x < t, 1 − x 1 − t dla t < x < 1, 0 dla x > 1.
Rozwi¡zanie to jest jednoznaczne. Chcieliby±my je przedªu»y¢ dla t 1. Rzecz jasna, skoro rzuty charakterystyczne si¦ przecinaj¡, nie b¦dzie to ju» funkcja ci¡gªa. Jednak chcemy, by to sªabe rozwi¡zanie byªo rozwi¡zaniem klasycznym przyjmuj¡cym stale warto±¢ 1 poni»ej pewnej krzywej Γ, i war-to±¢ 0 powy»ej tej krzywej. Ponadto, punkt (1, 1) powinien le»e¢ na krzywej Γ.
Warunki Rankine'aHugoniota przyjmuj¡ posta¢: Dla ka»dego t 1 zachodzi
ξ0(t) = (u+(t))2 2 − (u−(t))2 2 u+(t) − u−(t) = u+(t) + u−(t) 2 = 1 2.
Zatem Γ to póªprosta przechodz¡ca przez (1, 1), o wspóªczynniku kierunko-wym 1/2.
Jako nast¦pny przykªad, rozwa»my zagadnienie pocz¡tkowe Riemanna dla równania Burgersa bez lepko±ci
ut+ uux = 0, t > 0, x ∈ R, u(0, x) = u0(x), x ∈ R, gdzie u0(x) = 0 dla x < 0, 1 dla x > 0.
Jako »e »aden z rzutów charakterystycznych startuj¡cych z prostej t = 0 nie przechodzi przez klin t > 0, 0 < x < t, nie mamy jednoznacznego przepisu na znalezienie warto±ci rozwi¡zania w tym klinie.
Mo»emy spróbowa¢ fal¦ uderzeniow¡ (podobn¡ do tej z poprzedniego przykªadu): u1(t, x) = 0 dla x < t 2, 1 dla x > t 2.
Jest to rozwi¡zanie sªabe zagadnienia, speªniaj¡ce warunek Rankine'aHugoniota. Jednak funkcja ci¡gªa
u2(t, x) = 0 dla x < 0, x t dla 0 < x < t, 1 dla x > t,
(fala rozrzedzeniowa) te» jest rozwi¡zaniem sªabym.
Otrzymali±my wi¦c dwa ró»ne rozwi¡zania naszego zagadnienia Rieman-na. Powstaje kwestia, które z tych rozwi¡za« (je±li w ogóle) ma interpretacj¦ zyczn¡. Tutaj pomocne s¡ rozwa»ania wi¡»¡ce si¦ ze strzaªk¡ czasu, co w literaturze zycznej zwane jest te» zasad¡ wzrostu entropii. Nie wchodz¡c w szczegóªy, chodzi o to, by czoªo fali uderzeniowej byªo miejscem przeci¦-cia rzutów charakterystycznych wychodz¡cych z punktów odpowiadaj¡cych chwilom wcze±niejszym. Natomiast pozbawiona interpretacji zycznej jest sy-tuacja, gdy rzut charakterystyczny przechodz¡cy przez pewien punkt przeci-na czoªo fali uderzeniowej w chwili wcze±niejszej.
Matematycznie przybiera to posta¢ warunku wzrostu entropii:
f0(u−(t)) > ξ0(t) > f0(u+(t)).
Wracaj¡c do rozwi¡zania u1, zauwa»my »e w klinie t > 0, 0 < x < t
rzuty charakterystyczne to póªproste o pocz¡tku w (t/2, t/2) i wspóªczynni-ku kierunkowym 0, oraz póªproste o pocz¡twspóªczynni-ku w (t/2, t/2) i wspóªczynniwspóªczynni-ku kierunkowym 1.
Teoria rozwi¡za« praw zachowania jest bardzo rozbudowana. Okazuje si¦, »e gdy f jest funkcj¡ jednostajnie wypukª¡ i klasy C2, to istnieje dokªadnie
jedno tzw. rozwi¡zanie entropijne zagadnienia pocz¡tkowego (PZ-ZP) okre-±lone na caªej domkni¦tej prawej póªpªaszczy¹nie [0, ∞) × R. Wyra»a si¦ ono wzorem Laxa(9)Olejnik(10), zbyt skomplikowanym by go przytacza¢ tutaj.
(9)Peter David Lax (ur. w 1927), matematyk ameryka«ski pochodzenia w¦gierskiego. (10)Olga Arseniewna Olejnik (19252001), matematyczka rosyjska.
