7 listopada 2019: rownanie transferu promieniowania i transport energii przez promieniowanie we wnetrzach gwiazd

Wykład 6 - równanie transferu promieniowania i

transport energii przez promieniowanie we

wnętrzach gwiazd

Gęstość energii i ciśnienie promieniowania

I We wnętrzach gwiazd promieniowanie może być traktowane, z bardzo dobrym przybliżeniem, jako relatywistyczny gaz

bozonów, pozostający w równowadze termodynamicznej z pozostałymi składnikami materii.

I Stopień obsadzeń stanów kwantowych dla bozonów w przypadku zerowego potencjału chemicznego

dn(p) = gd 3_p h3

1 exp (_kTE ) − 1 Dla E = hν i p = hν/c, g =2 (ze względu na dwie

polaryzacje), wzór na gęstość energii promieniowania da nam

Erad = 8πk4_T4 c3_h3 Z ∞ 0 x3_dx exp (x ) − 1 = 8π5_k4 15c3_h3T 4 _{= aT}4_, a na ciśnienie promieniowania Prad = 1 3Erad

Podstawowe wielkości opisujące promieniowanie

I Podstawową wielkością służącą do opisu promieniowania jest natężenie promieniowania (Iν). Jest to ilość energii Eν

emitowana w jednostce czasu dt, na przedział częstości d ν, przez jednostkę powierzchni ds w jednostkę kąta bryłowego

d Ω wokół osi tworzącej kąt θ z normalną do tej powierzchni. dEν = Iνdtd νd~s · ~nd Ω (1)

I Średnie natężenie promieniowania:

Jν = 1 4π

I

Iν(~n)d Ω. (2)

W przypadku płasko - równoległym i azymutalnie niezmienniczym, gdzie µ = cos (θ)

Jν = 1 4π I Iν(θ)d Ω = 1 2 Z π 0 Iνsin (θ)d θ = 1 2 Z 1 −1 Iν(µ)d µ (3)

Podstawowe wielkości opisujące promieniowanie c.d.

Fν =

I

Iν~nd Ω. (4)

W przypadku płasko - równoległym i azymutalnie niezmienniczym:

F_ν = 2π Z 1

−1

Iν(z, µ)µd µ (5)

I Drugi moment pola promieniowania Kν =

1 4π

I

(~n~n)Iνd Ω (6)

W przypadku płasko - równoległym i azymutalnie niezmienniczym wprowadzamy skalarny drugi moment promieniowania Kν = 1 2 Z 1 −1 Iν(z, µ)µ2d µ (7)

Związek momentów pola promieniowania z wielkościami

termodynamicznymi

Gęstość energii pola promieniowania Uν, to energia

promieniowania, w zakresie ν + d ν, zawarta w elemencie objętości

dV = ds cos θdl = ds cos θ c dt, zsumowana po wszystkich

kierunkach.

Poprzez porównanie ze wzorami (1) i (2) otrzymujemy:

Uν = 1

c

I

Iνd Ω = 4π

c Jν (8)

Analogicznie rozpatrując ciśnienie, mamy związek z drugim momentem promieniowania. Zapiszemy go w przypadku skalarnym

Prad ,ν = 2π c Z Iνµ2d µ = 4π c Kν (9)

Natężenie promieniowania w stanie lokalnej równowagi

termodynamicznej

We wnętrzach gwiazd promieniowanie jest bliskie lokalnej równowadze termodynamicznej z gazem. W przybliżeniu zatem rozkład natężenia jest izotropowy, a zależność natężenia od częstotliwości dana jest funkcją Plancka

Iν = Bν(T ) ≡

2hν3

c2

1

exp_kThν − 1 (10)

W tym przypadku gęstość energii promieniowania przypadająca na jednostkę częstotliwości dana jest

Uν = 4π

c Bν (11)

Z kolei gęstość energii promieniowania

Urad = 4π c Z ∞ 0 Bνd ν = 4π c B(T ) = aT 4 _{= u} radρ (12)

Wielkość a nazywa się stałą promieniowania a σ stałą Stefana-Boltzmana a = 4σ c = 8πk4 c3_h3 Z ∞ 0 x3dx exp x − 1 = 8π5k4 15c3_h3 Ciśnienie promieniowania Prad = aT4 3 (13) Z izotropii Iν wynika Fν = 0.

Niezerowa wartość strumienia wynika z niewielkiej anizotropowości pola promieniowania

Równanie transferu

Zmiany natężenia promieniowania zapiszemy na razie w najprostszym przypadku.

Mogą być one powodowane przez pochłanianie i przez emisję powodowaną przez gaz w danej częstości i danym kierunku

dIν

dl = −κρIν+ jνρ (14)

κ - współczynnik pochłaniania na 1 gram, jν - współczynnik

emisyjności na jeden gram.

W ogólnym przypadku równanie to można zapisać jako:

1 c ∂Iν ∂t + ∂Iν ∂l = −κρIν+ jνρ (15)

Równanie transferu w przypadku płaskorównoległym,

azymutalnie niezmienniczym

Jeżeli będziemy rozpatrywać stan stacjonarny w przypadku płaskorównoległym i azymutalnie niezmienniczym, to wartości termodynamiczne będą zależały tylko od zmiennej z skierowanej przeciwnie do lokalnego przyspieszenia grawitacyjnego, a natężenie promieniowania Iν będzie zależało od z i θ.

dl = dz/cos(θ) = dz/µ

Równanie transferu będzie wówczas zapisane jako: µdIν

Równanie transferu c.d.

Wprowadzamy głębokość optyczną zależną od z

d τν = −κνρdz (17)

Równanie transferu w przypadku płaskorównoległym ma wtedy postać

µdIν d τν

= Iν − Sν (18)

Funkcja źródłowa

Współczynnik nieprzezroczystości κν możemy podzielić na część

związaną z absorbcją κa,ν i część związaną z rozpraszaniem κs,ν (

κν = κa,ν+ κs,ν). Tak samo możemy podzielić funkcję źródłową,

która w ogólnym przypadku będzie miała postać

Sν = κa,νBν κa,ν+ κs,ν + κs,ν κa,ν+ κs,ν Z ∞ 0 I 4π R(ν, ν0, ~k, ~k0)Iν0(~k0)d Ω0d ν0 (19) Funkcja redystrybucji R(ν, ν0, ~k, ~k0) opisuje prawdopodobieństwo, że foton o częstotliwości ν0 nadbiegający z kierunku ~k0 po

rozproszeniu będzie miał kierunek ~k i częstotliwość ν. W przypadku

rozpraszania izotropowego i koherentnego Sν ma prostą postać

Sν = κa,νBν κa,ν+ κs,ν

+ κs,νJν κa,ν+ κs,ν

Formalne rozwiązanie równania transferu

Równanie

µdIν d τν

= Iν − Sν

można rozwiązać mnożąc obie strony równania przez czynnik całkujący exp (−τν

µ), dzięki czemu otrzymamy równanie w postaci

exp (−τν µ)( µdIν d τν − Iν) = −Sνexp (− τν µ)

z której po podzieleniu obu stron równania przez µ otrzymamy

d d τν  Iνexp (− τν µ)  = −1 µ Sνexp (− τν µ)

Na początku zobaczymy jak zmieni się natężenie promieniowania pomiędzy dwoma watrościami τν,2 i τν,1 ( τν,2> τν,1). Znak “-” po

prawej stronie został uwzględniony przy zmianie granic całkowania

Iνexp (− τν µ)     τν,1 τν,2 = Z τν,2 τν,1 Sνexp (− τν µ) d τν µ (21)

Formalne rozwiązanie równania transferu c.d.

Dla promieniowania skierowanego w górę (µ > 0, promieniowanie od τν,2 do τν,1) Iν(τν,1, µ) = Iν(τν,2, µ) exp ( τν,1− τν,2 µ )+ Z τν,2 τν,1 Sνexp (− τν − τν,1 µ ) d τν µ

Dla promieniowania skierowanego w dół (µ < 0, promieniowanie od τν,1 do τν,2) Iν(τν,2, µ) = Iν(τν,1, µ) exp ( τν,1− τν,2 −µ )+ Z τν,2 τν,1 Sνexp (τν− τν,2 −µ ) d τν −µ

Głębokość optyczna szybko rośnie z głębokością i w atmosferach gwiazdowych (a tym bardziej we wnętrzu) dla promieniowania skierowanego w górę (µ > 0) uprawnione jest przejście τν,2→ ∞,

wtedy: Iν(τν,1, µ) = Z ∞ τν,1 Sνexp (−τν− τν,1 µ ) d τν µ

Formalne rozwiązanie równania transferu c.d.

Dla promieniowania w atmosferze skierowanego w dół (µ < 0), kiedy mamy do czynienia z pojedyńczą gwiazdą naturalny jest wybór Iν(τν = 0) = 0 Rozwiązanie dla promieniowania

skierowanego w dół ma wtedy postać:

Iν(τν,2, µ) = Z τν,2 0 Sνexp ( −τν −µ) d τν −µ

Choć formalne rozwiązanie ma prostą postać to Sν zależy od Iν

Warunek równowagi promienistej

Jeżeli przyjmiemy, że bolometryczny strumień energii promieniowania przechodzący przez warstwę jest stały

Frad = Z ∞ 0 F_νd ν = 2π Z ∞ 0 Z 1 −1 Iνµd µd ν (22) dFrad dz = 2π Z ∞ 0 µdIν dz d µd ν = 2πρ Z ∞ 0 Z 1 −1 (jν − κνIν)d µd ν = 0 (23) Przyjmiemy, że całkowity współczynnik pochłaniania określony jest jako suma współczynników emisji i rozpraszania (κν = κa,ν+ κs,ν)

i że emisyjność gazu będzie izotropowa i określona wzorem

jν = (κa,νBν+ κs,νJν), wtedy:

4π Z ∞

0

κa,νBν+ κs,νJν− κνJνd ν = 0 (24)

i otrzymamy warunek równowagi promienistej

Z ∞

0

Przybliżenie dyfuzyjne dla wnętrz gwiazdowych

Bardzo krótka droga swobodna fotonów we wnętrzach gwiazd powoduje, że średnie natężenie promieniowania Jν i funkcja

źródłowa Sν są bardzo zbliżone do lokalnej funkcji Plancka Bν(T )

Anizotropia pola promieniowania we wnętrzach gwiazdowych jest bardzo mała co pozwala na rozwinięcie funkcji źródłowej w postaci szeregu Taylora wokół τν, gdzie można założyć równość Sν = Bν

Sν(˜τ ) = ∞ X j =0  dj_B ν d τνj  (˜τ − τν)j j ! (26)

Podstawienie pierwszych wyrazów szeregu do formalnego rozwiązania równania transferu daje szereg potęgowy na µ

Iν = Bν(τν) + d Bν d τν µ +d 2_B ν d τ2 ν µ2+ ... (27)

Przybliżenie dyfuzyjne dla wnętrz gwiazdowych c.d.

Ocenę stosunku kolejnych wyrazów szeregu daje nam

 = d ln Bν d τν ∼ d ln B d τν ∼ d ln T dr 1 κνρ = lp,ν HT ,

(lp,ν oznacza średnią drogę swobodną), który pod fotosferą staje

się szybko << 1.

Ograniczając się do wyrazu liniowego po podstawieniu do wzoru na strumień energii promieniowania otrzymujemy:

F_ν = 2π Z 1 −1  B_νµ + d Bν d τnu µ2  d µ = 4π 3 d Bν d τν = 4π 3κνρ d Bν dr i dalej Fν = 4π 3κνρ d Bν dT dT dr

Całkowity strumień promieniowania i średni współczynnik

nieprzezroczystości Rosselanda

Z twierdzenia Leibnitza o różniczkowaniu pod znakiem całki możemy skorzystać z wyniku całkowania Bν z podstawieniem x = hν/kT , dzięki czemu otrzymujemy

Frad = −

4acT3 3κRρ

dT

dr (28)

W powyższym wzorze Wprowadzony został średni współczynnik

nieprzezroczystości Rosselanda κR, określony wzorem

1 κR = dB dT −1Z ∞ 0 1 κν d Bν dT d ν (29) gdzie B ≡ Z ∞ 0 Bd ν = ac 4πT 4₌ σ πT 4 ₍₃₀₎

Całkowity strumień energii promienistej, gradient

temperatury

W przypadku, gdy cała jasność gwiazdy przenoszona jest przez promieniowanie możemy zapisać

Lr = −

16πacr2T3

3κρ

dT

dr (31)

Można zapisać to równanie jako równanie różniczkowe na pochodną temperatury w obszarach gdzie nie ma

produkcji/pochłaniania energii i nie występują makroskopowe ruchy gazu

dT dr =

−3κρLr

16πacr2_T3 (32)

Pochodna temperatury po bierzącej masie Mr (dMr = 4πρr2dr )

dT dMr

= −3κLr

Gradient promienisty

Gdy podzielimy obie strony równania (32) przez równanie równowagi hydrostatycznej (dP = −GMrρ/r2dr ) otrzymamy

dT dP =

3κLr

16πGacMrT3

(34)

Równanie to możemy zapisać w postaci logarytmicznej, a wielkość ∇_rad nazywa się gradientem promienistym. Jest to logarytmiczna pochodna temperatury po ciśnieniu jaka panowałaby we wnętrzu gwiazdy, gdyby cała energia przenoszona była przez promieniowanie

∇rad ≡ d ln T d ln P = 3κLrP 16πGacMrT4 (35)

Rozpraszanie na swobodnych elektronach

Przekrój czynny na rozpraszanie fotonów na elektronach opisany jest wzorem Kleina - Nishiny. Jeżeli prędkości elektronów można traktować jako nierelatywistyczne (kT << mec2, co odpowiada

T << 6 · 109 K), to wzór redukuje się do wzoru Thompsona

σe= 8π 3  e2 mec2 2 = 6.65 · 10−25cm2 (36)

Przy założeniu pełnej jonizacji pierwiastków

ne =

(1 + X )ρ 2mH

mamy prosty wzór na współczynnik nieprzezroczystości wynikający z rozpraszania na nierelatywistycznych swobodnych elektronach

Ograniczenie na średnią drogę swobodną fotonów

Ponieważ rozpraszanie jest tylko jednym z procesów

ograniczających drogę swobodną fotonów lp to mamy ważne

ograniczenie

lp<

5

Współczynnik absorbcji Kramersa dla przejść swobodno

-swobodnych

Zarys wyprowadzenia Kramersa

Swobodny elektron może zyskać energię podczas oddziaływania z jonem dzięki absorbcji fotonu.

I Czas kiedy jest na tyle blisko aby absorbcja mogła zajść jest odwrotnie proporcjonalny do prędkości i v−1∼ T−1/2

I Liczba oddziaływań jest proporcjonalna do gęstości ∼ ρT−1/2

I Pojedyńcze oddziaływanie proporcjonalne do Z2ν−3, więc κν ∼ Z2ρT−1/2ν−3

I Średnia Rosselanda po częstościach i wkład od poszczególnych jonów daje zależność

κf −f ≈ 4 · 1022(1 + X ) X + Y + X i >4 XiZi2 Ai ! ρT−3.5cm2/g (39)

Współczynnik absorbcji dla przejść związano-swobodnych.

Ujemny jon wodorowy

Przekrój czynny na jeden atom i jeden związany elektron (o głównej liczbie kwantowej n) dany jest w przybliżeniu wyrażeniem

σb−f = ( Cb−fZj4 n5_ν3 dla hν > Θj ,n 0 dla hν < Θj ,n (40)

Θj ,n - jest energią jonizacji

W zakresie temperatury od 4 do 6 kK dominującym źródłem nieprzezroczystości jest fotojonizacja ujemnego jonu wodorowego (H−). Potencjał jonizacji H− wynosi 0.75 eV (potencjał jonizacji H to 13.6 eV). Wolne elektrony pochodzą z obfitych pierwiastków o niskim potencjale pierwszej jonizacji: Na, K, Ca, Al. Bardzo przybliżony wzór na współczynnik absorbcji dla H− w zakresie

T ∼ 3 − 6 kK i ρ ∼ 10−10− 10−5g /cm3 ma postać

κH−≈ 2.5 · 10−31

Z

0.02ρ

Przejścia związano-swobodne dla cżęściowej jonizacji H,

HeI i HeII. Wzór Kramersa

I Przy wyższych temperaturach w κ dominują kolejno efekty jonizacji H, HeI i HeII. Wykładnik w zależności κ(T ) może osiągnąć duże dodatnie wartości. Wynika to z szybkiego wzrostu z temperaturą liczby fotonów zdolnych do fotojonizacji i liczby elektronów.

I Dla warstw głębszych gdzie wodór i hel można uznać za całkowicie zjonizowane istnieje przybliżenie znane jako wzór Kramersa dla przejść związano-swobodnych

Przejścia związano-związane

Wyliczenie współczynników nieprzezroczystości związanych z przejściami związano-związanymi jest trudne i nie istnieje na nie żadne proste oszacowanie.

Skomplikowane obliczenia numeryczne a ostatnio prace

doświadzalne pokazały, że zaniedbanie ich prowadzi do znacznego zaniżenia nieprzezroczystości materii we wnętrzach gwiazd.

Zależność współczynnika nieprzezroczystość od logarytmu

temperatury przy różnych logarytmach gęstości gazu o

składzie słonecznym

Przebieg wykładników w zależności κ ∼ ρ

_T

_{, gęstości i}

współczynnika nieprzezroczystości dla trzech modeli

Wartość współczynnika nieprzezroczystości przyjmowana w

kodzie MESA (Paxton i inni 2011)