Przekrój czynny

(1)

VI.5 Zderzenia i rozpraszanie. Przekrój czynny.

Wzór Rutherforda i odkrycie jądra atomowego

(2)

Przekrój czynny

(3)

Zderzenia

Oddziaływania dwóch (lub więcej) ciał siłami

krótkozasiegowymi, w wyniku których te ciała zmieniają swoje czteropędy i/lub pojawiają się inne ciała w stanie końcowym nazywamy zderzeniami.

Krótkozasięgowe

siły zderzeniowe

(4)

Zderzenia cd.

Zderzenia cząstek przyspieszanych w akceleratorach są podstawowymi sposobami zdobywania informacji o materii na małych odległościach w fizyce jądrowej i fizyce cząstek

elementarnych

(5)

Zderzenia cd.

Jeżeli czas zderzenia jest mały, cząstki w nim uczestniczące możemy traktować jako układ odosobniony.

Do opisu procesu możemy użyć układu ŚM, w którym spełnione są (relatywistyczne) prawa zachowania pędu, energii i momentu pędu:

1 2

1

2

1 2 k

1

ʹ ; E=E

=

+ = ′

+ = + +

∑

G G G

N i i

N

i p

i

p p p

E E E E mc

(6)

Zderzenia cd. masa niezmiennicza

W wyniku zderzenia zachowany jest wprowadzony wcześniej niezmiennik s (c=1):

Masą niezmienniczą nazywamy:

(

¹ ²

)

²

⁽

1 2

⁾

²

⁽

1 2

⁾

²

2 2 2

1

ʹ

µ µ

µ

=

= + = + − +

⎛ ′ ⎞ ⎛ ′ ⎞ ⎛ ′ ⎞

= = ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟

⎝ ∑ ⎠ ⎝ ∑ ⎠ ⎝ ∑ ⎠ G G

G

N

i i

i

s p p E E p p

s p E p

(

1 2

)

²

(

1 2

)

²

2 2

1

1 = = + − + =

′ ⎛ ′ ⎞ ⎛ ′ ⎞

= = ⎜ ⎝ ∑ ⎟ ⎠ − ⎜ ⎝ ∑ ⎟ ⎠ G G

G

i i

M s E E p p

c c

s E p

c c

(7)

Zderzenia cd. Ciepło reakcji Q

Innym użytecznym niezmiennikiem jest ciepło reakcji Q.

Zasada zachowania energii przed i po zderzeniu , gdy cząstki wyszły już z obszaru krótkozasięgowych oddziaływań:

( )

1 2

= ′

′ ′

+ + + = +

′ − + = =

=

= ′

+ − =

−

′

∑ ∑

∑

k k ki i

ki k k k

i

Q

k

E E

E E m m E m

E E E

m m m inv

(8)

Zderzenia cd. Klasyfikacja zderzeń

Zderzenia klasyfikujemy ze względu na ciepło reakcji Q na:

• Elastyczne Q=0, zachowuje się osobno E_k i E_p

• Nieelastyczne I rodzaju (endoenergetyczne) Q<0, energia kinetyczna produktów jest mniejsza od energii kinetycznej cząstek początkowych, zwiększa się zaś energia potencjalna (w tym energia spoczynkowa).

Zderzenia te mogą zachodzić tylko powyżej pewnej energii‐ energii progowej (masy cząstek są skwantowane).

• Nieeleastyczne II rodzaju (egzoenergetyczne) Q>0, energia kinetyczna produktów jest większa od energii kinetycznej cząstek początkowych kosztem ich energii potencjalnej (w tym energii spoczynkowej).

Mogą zachodzić dla wszystkich energii.

(9)

Jak często zachodzą zderzenia?

Pojęcie przekroju czynnego

Idea: rozpraszamy małe pociski na dużych

centrach.

Czy możemy wyznaczyć rozmiary (promienie) centrów?

(10)

cd. Całkowity Przekrój Czynny

Musimy uwzględnić strumień padających pocisków Φ₀ i liczbę centrów rozpraszających na jedn.

powierzchni.

σ = πR

2

(11)

cd...

Rozważmy warstwę tarczy o grubości dx i powierzchni A. W objętości tarczy dV=Adx znajduje się ndV=nAdx centrów rozpraszających. Niech gęstość centrów wynosi n.

Niech strumień cząstek padających na warstwę dx wynosi cząstek na jednostkę powierzchni na jednostkę czasu.

Liczba rozproszonych cząstek, jeżeli centra mają powierzchnie wynosi:

Φ σ

( )

; d

1

− σ⋅ −

Φ ⋅ ⋅ σ Φ

Φ = − = − σ ⋅

Φ

^{n x}

= Φ

^x

λ = n Adx

A dx

x e e

Φ =

d n

(12)

Przekrój czynny- wymiary i jednostki

2

‐28 2 24 2 2

[ ] ;

1 barn=10 m 10

⁻

cm 100 σ =

= =

m

fm

R

1 5.64

σ = barn ⇔ = R fm

(13)

Pomiar przekroju czynnego przez pomiar strumienia przechodzącego dla cienkich tarcz

Zachodzi oczywisty wzór dla cienkich tarcz:

0

( )

0

Φ − Φ σ = Φ

x nx

Φ

0

^{Φ x} ( )

(14)

Rozkład kątowy i różniczkowy przekrój czynny

Całkowity przekrój czynny opisuje prawdopodobieństwo zderzenia pocisku z centrum.

Można zadać bardziej szczegółowe pytania np. :

•Jakie jest prawdopodobieństwo rozproszenia pocisku pod określonym kątem?

•Jakie jest prawdopodobieństwo określonej straty energii pocisku w zderzeniu nieelastycznym? Itp.

Wielkościami, które wykorzystujemy w odpowiedziach na te i podobne pytania są różniczkowe przekroje czynne.

( ^d )

;

d E‐Eʹ

σ σ

Ω

d

(15)

Różniczkowy przekrój czynny cd.

(16)

Różniczkowy przekrój czynny cd.

Całkowity przekrój czynny otrzymujemy całkując różniczkowy przekrój czynny po całym kącie bryłowym:

4 2 cos

π cos

σ σ

σ = = π θ

Ω θ

∫ _d ^d ∫ _d ^d ^d

(17)

Różniczkowy przekrój czynny cd.

Przykład: rozpraszanie małej kulki (punktu materialnego) na sprężystej kuli o promieniu R

Wszystkie cząstki padające przechodzące przez pierścień o parametrach zderzenia pomiędzy b a b+db rozpraszają się do kąta <θ, θ+d θ>. Związek między

Kątem a parametrem zderzenia:

b db

dθ

(18)

cd... Rozpraszanie na kuli

Niech strumień padających punktów materialnych wynosi N.

Wtedy:

Całkowity przekrój czynny jest, zgodnie z intuicją, przekrojem poprzecznym kuli

2 2 2

2

2 2 2 cos sin

2 2 2

sin ; d

2 4 d 4

d 2 cos 2

d 2

= π

θ ⎛ ⎞ θ

σ = = π = π ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ θ =

π σ

= θ θ = Ω = =

Ω

σ π

σ = π θ = = π

∫ Ω

dN bNdb

dN R

d b db R d

N

R R R

d d const

d R R

Rozkład

kątowy jest

izotropowy

(19)

Rozpraszanie w polu siły centralnej +k/r

²

Doświadczenie Rutherforda, Geigera i Marsdena 1911, rozpraszanie czastek alfa na cienkiej folii złotej.

Oddziaływania kulombowskie, odpychająca siła centralna +k/r²

(20)

Rozpraszanie w polu siły centralnej +k/r

²

Podobnie jak dla kuli, znajdziemy związek między db i dcosθ.

Z całki momentu pędu:

2 2

; r

2

∞

= µ α = µ

= α =

α

L r bv

r bv

b v

(21)

cd...

Związek kąta rozproszenia z parametrem zderzenia znajdujemy całkując pionową składową siły F_y w granicach od 0 do v_∞ sinα:

( )

[ ] ( )

2

sin

0 0

sin sin

sin

sin cos 1 cos

0

∞

θ π−θ

∞

∞ ∞

α α α

µ = = =

θ = π − α ∞

= α α

µ

π − θ

θ = − α = + θ

µ µ

∫ ∫

y

v

y

dv k k

dt F r v b

dv k d

v b

k k

v v b v b

(22)

F=k/r

²

cd...

Niech gęstość jąder atomowych w folii wynosi n. W tarczy o grubości x znajduje się nx jąder na jednostkę powierzchni.

Strumień cząstek padających na folię: N.

Mamy:

2 2

2 2 2

2

2 4

2 2

2 1 1

1 ; 2 sin 2

1 1

2 2 2 sin 2

2 cos

4 sin 2

; 1

∞

∞ ∞

∞

= ⋅ π = θ

µ θ

= ⋅ π θ ⋅ θ =

µ µ θ

⎛ ⎞ π

=⎜⎝µ ⎟⎠ θ θ

⎛ ⎞

= ⎜ ⎟ σ ⎛ ⎞

= ⎜ ⎟

nx b db

dN k

db d

N v

k k

dN Nnx ctg d

v v

k Nnx d

v

dN k Nnx d k

(23)

Ile wynosi stała?

2

0 , ,

15

2 2

2 79

4 2 2

~ 227.6

20.3 10 11.2

~ 4.13

α

α α

−

⎛ ⎞ = = ⋅ ⋅α =

⎜ µ ⎟ πε

⎝ ⎠

≈ ⋅ = ⋅

⎛ ⎞

= ⋅ =

⎜ µ ⎟

⎝ ⎠

Au

=

k k

k q q c

v E E

MeV fm MeV m

k b

v

Dostajemy rząd wielkości rozmiarów jądra atomowego ~ 1fm.

(24)

Rutherforda

Na pocz. XX w. uważano, że atomy

zbudowane są z dodatnio naładowanej cieczy, w której jak rodzynki tkwią elektrony (model atomu Thomsona).

Rozmiary atomu oceniano na 10^‐10 m.

Prawdopodobieństwo zaobserwowania rozproszenia do tyłu cząstki alfa w tym modelu jest 10¹⁶ za małe, żeby

wytłumaczyć wyniki GMR, dlatego

w 1911 Rutherford postulował istnienie jądra atomowego o rozmiarach 10^‐15 m.

Policzymy pole elektryczne w obu

(25)

cd.

W modelu Thomsona maksymalne pole:

Pole elektryczne na pow. jądra jest 2.10⁸

( )

19

9 2 13

2 10 2

0

10 2

21 15 2

1 79 1.6 10

9 10 / 1.1 10 /

4 1 10

1 10 2.3 10 / 1 10

−

⋅ ⋅

= = ⋅ = ⋅

πε ⋅

= ⋅ = ⋅

⋅

Th Au

Ru th

Z e C

E Nm C N C

r m

E E m N c

m

E

_th

/10

¹³

1.1