Rachunek pstwa w6-2012

(1)

1

RACHUNEK

PRAWDOPODOBIEŃSTWA

WYKŁAD 6.

(2)

Funkcję ϕ : R → C (zespoloną zmiennej rzeczywistej) określoną wzorem

( )

e e dF x t R E t t = _X = itX =

∫

itx ∈ ∞ ∞ − , ) ( ) ( ) ( ϕ ϕ

nazywamy funkcją charakterystyczną

(3)

3

Zatem dla zmiennej losowej skokowej o funkcji prawdopodobieństwa P(X = xk ) = pk

R

t

e

p

t

itxk k k

∈

=

∑

,

)

(

ϕ

(4)

natomiast dla zmiennej losowej ciągłej o gęstości f(x) R t dx e x f t =

∫

itx ∈ ∞ ∞ − , ) ( ) (

ϕ

(5)

5

Powyższy szereg i całka są bezwzględnie zbieżne do 1 (bo wartości modułu zmiennej losowej eitX , t∈R_{są równe 1 i odpowiednio}

1 =

∑

k k p _,

∫

( ) =1 ∞ ∞ − dx x f _), _zatem _funkcja charakterystyczna zawsze istnieje.

(6)

Własności funkcji charakterystycznej.

a) ϕ(0) =1, ϕ (t) ≤1, t ∈R,

b) ϕ jest funkcją jednostajnie ciągłą, c) ϕ_aX₊_b(t) = eitbϕ_X(ta)_,

d)jeśli istnieje E X < ∞, k ≥1 k

, to ϕ jest funkcją klasy Ck oraz ϕ( )k (0) = ikEX k , czyli

( ) k k k k i m EX = =

ϕ

(0) ,

e) jeśli istnieje i jest skończona pochodna

( ) ) 0 ( 2k ϕ _to EX 2k < ∞, k ≥1 f) ϕX (t) = ϕX (−t) =ϕ−X (t)

g)jeśli X, Y - niezależne zmienne losowe to

) ( ) ( ) (t _X t _Y t Y X

ϕ

₊ = _,

h)funkcja charakterystyczna określa rozkład

(7)

7 Ad. b) ( )

(

)

(

1

)

(

1

) (

1

)

0 ) ( ) ( 0 → +

→

− = − ≤ − = = − = − + h ihX ihX itX ihX itX itX X h t i e E e e E e e E Ee Ee t h t ϕ ϕ

Ponieważ ostatnie wyrażenie nie zależy od t to zbieżność jest jednostajna.

(8)

Ad. c)

( ) ₍ ₎

)

(t Eeit aX b eitbEeiatX eitb _X ta

b

aX

ϕ

= + = =

(9)

9

Ad. d) dla zmiennej losowej ciągłej,

Ponieważ rozpatrywana funkcja jest jednostajnie ciągła to można różniczkować względem t pod znakiem całki i wtedy

dx e x xf i t

∫

itx ∞ ∞ − = ′( ) ( ) ϕ _{, stąd}ϕ′₍₀₎ = _i _EX

Przez indukcję można pokazać, że

( )k _t _ik _xk _f _x _eitx_dx

∫

∞ ∞ − = ( ) ) ( ϕ _{, stąd} ( )k k k EX i = ) 0 ( ϕ

(10)

Ad. g) ( )

(

)

) ( ) ( ) ( t t Ee Ee e e E Ee t Y X itY itX itY itX Y X it Y X ϕ ϕ ϕ = = = = = + +

Funkcje charakterystyczne podstawowych rozkładów zostały podane w ich zestawieniu, wyprowadzimy niektóre z tych wzorów.

(11)

11

Przykład.

Wyznaczymy funkcję charakterystyczną rozkładu dwumianowego. P X k n k p q k n k ( = ) =       − _{gdzie q = 1 – p} k = 0, 1, 2, ... , n.

( )

(

_it

)

n n k k n k it n k itk k n k q pe q pe k n e q p k n t _ = +      =       =

∑

= − = − 0 0 ) ( ϕ

(12)

Przykład.

Wyznaczymy funkcję charakterystyczną rozkładu wykładniczego.    ≤ > = − 0 0 0 ) ( x x ae x f ax ( ) it a a dx e a dx e ae t ax itx it a x − = = = ∞

_∫

− ∞

_∫

− 0 0 ) ( ϕ

(13)

13 Przykład.

Wyznaczymy za pomocą funkcji charakterystycznej moment rzędu 4 zmiennej losowej X o rozkładzie N(0, 1).

Mamy 2 2 ) ( t e t = − ϕ _{, zatem} 2 2 ) ( t te t = − − ′ ϕ _,

( )

2 2 2 1 ) ( t e t t = − − ′′ ϕ _,

(

3

)

2 2 3 ) ( t e t t t = − + − ′′ ′ ϕ _, ( )4

(

4 2

)

2 2 3 6 ) ( t e t t t = − + − ϕ _, ϕ( )4 (0) = 3_, stąd 3 3 4 4 = = i m _.

(14)

Własność 1.

Jeśli funkcja charakterystyczna ϕ zmiennej losowej X jest bezwzględnie całkowalna, to X jest zmienną losową ciągłą i gęstość jej wyraża się wzorem

dt e t x f −itx ∞ ∞ −

∫

= ( ) 2 1 ) ( ϕ π

(15)

15 Własność 2.

Jeśli funkcja charakterystyczna ϕ zmiennej losowej X jest okresowa o okresie 2π, to X jest zmienną losową skokową o wartościach całkowitych i jej funkcja prawdopodobieństwa wyraża się wzorem

dt e t k X P −itk −

∫

= = π π ϕ π ( ) 2 1 ) ( k - liczba całkowita

(16)

Przykład.

Wyznaczymy rozkład prawdopodobieństwa

zmiennej losowej, której funkcja charakterystyczna ma postać ϕ(t) = e3it .

(17)

17

Jest to funkcja okresowa o okresie 2π, zatem X jest zmienną losową skokową o wartościach całkowitych i jej funkcja prawdopodobieństwa wyraża się wzorem

   ≠ = = = = =

_∫

− − − − 0 gdy 3 3 gdy 1 2 1 2 1 ) ( 3 (3 ) k k dt e dt e e k X P it itk it k π π π π π π