Tom 28 2012 Zeszyt 3
DOI 10.2478/v10269-012-0018-y
TADEUSZ TUMIDAJSKI*
Heurystyczne modele procesów rozdrabniania jako podstawa
symulacyjnej optymalizacji ich przebiegu
Wprowadzenie
Procesy rozdrabniania w przeróbce surowców mineralnych s¹ podstawowymi procesami, dziêki którym uzyskuje siê produkty koñcowe lub produkty przygotowane do stosowania procesów wzbogacania lub rozdzia³u. Modelowanie matematyczne tych procesów musi braæ pod uwagê dwa podstawowe czynniki wp³ywaj¹ce na ich przebieg, tzn. charakterystyki stosowanych maszyn oraz w³aœciwoœci rozdrabnianego materia³u.
W zale¿noœci od stosowanych maszyn oraz zakresu (celów) rozdrabniania mo¿na wy-ró¿niæ dwa sposoby modelowania procesów rozdrabniania:
— opis sk³adu ziarnowego produktu po przejœciu materia³u przez urz¹dzenie (zakoñ-czenie procesu rozdrabniania – podejœcie statyczne),
— opis sk³adu ziarnowego w trakcie trwania procesu (kinetyka procesu rozdrabniania). Heurystyczne podejœcie do budowy modeli rozdrabniania wymaga uzasadnionego lo-gicznie (w mniejszym lub wiêkszym stopniu) powi¹zania wyników rozdrabniania z para-metrami pracy (wielkoœciami technicznymi lub technologicznymi) maszyn lub ich uk³adów. Takie opracowanie modeli pozwoli³oby tak¿e na uzasadnione przeprowadzenie symulacji przebiegu procesów rozdrabniania, a nawet wskazanie optymalnych warunków (dobór pa-rametrów techniczno-technologicznych).
Przy tworzeniu modeli opartych na opisie sk³adu ziarnowego produktu warto zwróciæ uwagê, ¿e rozwa¿ane charakterystyki sk³adu powinny siê opieraæ na funkcjach rozk³adów
* Prof. dr hab., AGH Akademia Górniczo-Hutnicza, Wydzia³ Górnictwa i Geoin¿ynierii, Kraków; e-mail: tadeusz.tumidajski@agh.edu.pl
cenzurowanych lub uciêtych (Tumidajski, Saramak 2009), a modele kinetyki rozdrabniania (mielenia) na ogólnych prawach zachowania masy (bilansu sk³adników).
W kolejnych rozdzia³ach zostan¹ wiêc przedstawione ogólne zasady pos³ugiwania siê rozk³adami cenzurowanymi i uciêtymi, a nastêpnie próba powi¹zania ich parametrów z cha-rakterystykami kruszarek lub przesiewaczy. Zostanie tak¿e przedstawiony ogólny model kinetyki mielenia, a tak¿e próby konstrukcji funkcji celu, która by³aby podstaw¹ opty-malizacji procesów rozdrabniania.
1. Zastosowanie rozk³adów cenzurowanych i uciêtych w opisie procesów rozdrabniania i klasyfikacji
Jest rzecz¹ naturaln¹, ¿e sk³ad ziarnowy powinien byæ opisywany rozk³adami zmiennych losowych dla ziaren o wielkoœciach z przedzia³u (0, dmaxñ. Wiele powszechnie u¿ywanych
rozk³adów, np. rozk³ad Weibulla znany w przeróbce jako wzór Rosina-Rammlera, rozk³ad logarytmiczno-normalny stosuje siê do przedzia³u wielkoœci ziaren (0, +¥). Poprzez mo-dyfikacjê zmiennych mo¿na funkcjê gêstoœci i dystrybuanty rozk³adów okreœlonych na przedziale nieskoñczonym sprowadziæ do przedzia³u (0, dmaxñ.
Do dalszych rozwa¿añ przyjmiemy cztery najczêœciej stosowane rozk³ady do opisu krzywych sk³adu ziarnowego w wersji cenzurowanej wartoœci¹ dmax(King 2001).
Niech u d d = max oraz w u u d d d d d d d = - = - = -1 1 max max max gdzie: (0, dmaxñ.
Okreœlmy zmodyfikowane dystrybuanty rozk³adów:
— rozk³ad potêgowy (wzór Gaudina-Schuhmanna-Andreyeva)
F d u d d k k ( ) ( ) max = - = -æ è çç öø÷÷ 1 1 (1) gdzie: k – parametr;
— rozk³ad Weibulla (wzór Rosina-Rammlera-Bennetta) F d w w c d d d n ( ) exp , exp max = - -æ è çç öø÷÷ ö ø ÷ ÷÷= - - -æ è çç 1 2 1 63 ö ø ÷÷ æ è ç ç ö ø ÷ ÷ n (2) gdzie: c, n – parametry, w63,2 – kwantyl rzêdu 63,2; — rozk³ad logarytmiczno-normalny F d G w w ( ) ln = æ è çç öø÷÷ æ è ç ç ç ç ç ö ø ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ 50 s (3) gdzie: G x x e dt t ( )=
-ò
1 2 0 2 2 p , s =1 -2(lnw84 lnw16), w16, w50, w84 – kwantyle wskazanych rzêdów; — rozk³ad logistyczny F d w w a d d ( ) max = +æ è çç öø÷÷ = + æ è ç ö ø ÷ -1 1 1 1 50 l t (4) gdzie: a, l – parametry, w50 – kwantyl.Przedstawione wzory okreœlaj¹ce dystrybuanty rozk³adów cenzurowanych zawieraj¹ jeden podstawowy parametr dmaxoraz – z regu³y – dwa parametry nazywane czêsto
paramet-rami kszta³tu i skali. Jest rzecz¹ oczywist¹, ¿e wartoœæ dmaxmo¿e byæ wi¹zana z gabarytami
maszyny (wielkoœci¹ szczeliny wypustowej, skokiem szczêki ruchomej, wielkoœci¹ oczka rusztu kruszarki m³otkowej itp.), a parametry kszta³tu i skali z w³aœciwoœciami materia³u, a tak¿e charakterystykami maszyn decyduj¹cych o krotnoœciach kruszenia (czasie przeby-wania materia³u w kruszarce, mo¿e to byæ np. czêstotliwoœæ wahañ szczêki ruchomej).
Uszczegó³owienie wymienionych zale¿noœci mo¿e byæ przeprowadzone albo precyzyjn¹ analiz¹ pracy danej maszyny i struktury rozdrabnianego materia³u albo eksperymentalnie. Sytuacje prowadz¹ce do uzyskiwania przewagi ziaren drobnych (druga pochodna dystrybu-anty rozk³adu potêgowego lub Weibulla – dodatnia dla dÎ (0,dmaxñ lub wzglêdnej symetrii
udzia³ów klas drobnych i grubych (rozk³ady log-normalny i logistyczny) mog¹ byæ pomocne przy konstruowaniu zale¿noœci, których postacie mog¹ byæ tak¿e uzyskiwane metodami doœwiadczalnymi i zwi¹zanymi z nimi procedurami obliczeniowymi (Michalewicz 2003; Tumidajski i in. 2009).
Z rozk³adami uciêtymi w opisie procesów przeróbczych mamy do czynienia przy roz-wa¿aniu przebiegu idealnego rozdzia³u (przesiewania, klasyfikacji, wzbogacania). Je¿eli przyjmiemy, ¿e rozdzielany materia³ charakteryzuje dystrybuanta F(d), to idealny rozdzia³ (zw³aszcza na sicie) opisuj¹ dystrybuanty:
— dla produktu dolnego
F d F d F d d s ( ) ( ) ( ) = dÎ( , )0 ds (5a)
— dla produktu górnego
F d F d F d F d g s s ( ) ( ) ( ) ( ) = -1 dÎ áds, dmaxñ (5b)
gdzie dsjest wymiarem oczka sita przesiewacza (granic¹ rozdzia³u).
Tak idealny rozdzia³ materia³u przy przesiewaniu mo¿na przyjmowaæ tylko w warunkach laboratoryjnych (przy d³ugim czasie przesiewania). W warunkach przemys³owych, przy rozdziale materia³u stosuje siê tzw. krzywe rozdzia³u, które okreœlaj¹ prawdopodobieñ-stwa przejœcia ziarna o wielkoœci d do produktu górnego lub dolnego. Je¿eli przyjmiemy, ¿e j(d) jest w³aœnie tym prawdopodobieñstwem, to mo¿emy napisaæ
Fg d x f x dx d ( )=
ò
j( ) ( ) 0 , 0,dmaxñ (6a) Fd d x f x dx d ( )=ò
(1- ( )) ( ) 0 j , 0,dmaxñ (6b)gdzie f(d) jest pochodn¹ F(d), czyli funkcj¹ gêstoœci prawdopodobieñstwa zmiennej loso-wej D dla rozdzielanego materia³u. Takie podejœcie jest powszechnie stosowane w kla-syfikacji przep³ywowej (klasyfikatory zwojowe, hydrocyklony, wirówki itp.), przy czym
przyjmuje siê z regu³y, ¿e j(d) ma postaæ dystrybuanty rozk³adu normalnego lub jej przybli¿eñ (Tumidajski 1997). Dla przesiewania krzywe (funkcje) rozdzia³u musz¹ mieæ inn¹ postaæ, uwzglêdniaj¹c¹ uciêcie rozk³adu wyjœciowego w d = ds, czyli:
— dla produktu górnego
j( ) j ( ) ( , ( , max d d d d d d d s s = Î Î ì í ï îï 1 0 1 (7a)
— dla produktu dolnego
j( ) j ( ) ( , ( , max d d d d d d d s s = - Î Î ì í ï îï 1 0 0 1 (7b)
Zgodnie z ostatnimi wzorami nale¿y wprowadziæ poprawki do wzorów (5). Otrzy-mujemy wiêc
— dla produktu dolnego
F d x f x dx d f d dd d d ds ( ) ( ( )) ( ) ( ( )) ( ) =
-ò
ò
1 1 1 0 1 0 j j dÎ( , )0ds (8a)— dla produktu górnego
F d x f x dx x f d dd d g d x d s s ( ) ( ) ( ) ( ( )) ( ) ( ( = - --
-ò
jò
j j 1 1 0 1 1 1 1 )) ( )f d dd ds 0ò
(8b)Rozk³ad wielkoœci ziaren dla produktu górnego mo¿na potraktowaæ jako klasyczny rozk³ad uciêty ze zniekszta³ceniem (Benjamin, Cornell 1977; Tumidajski 1997), polega-j¹cym na przypisaniu wielkoœci dsnieprzesianej iloœci (wzglêdnej) ziaren o wielkoœciach
mniejszych od ds.
Zaprezentowane krzywe sk³adu ziarnowego mog¹ byæ podstaw¹ modeli matematycz-nych procesów rozdrabniania i klasyfikacji, je¿eli ich parametry zostan¹ uzale¿nione od charakterystyk technicznych i technologicznych maszyn czy procesów.
2. Parametry techniczne i technologiczne kruszarek
Z punktu widzenia projektanta uk³adów rozdrabniania i klasyfikacji modele matema-tyczne pracy maszyn stosowane tak¿e w procedurach symulacyjnych powinny pozwoliæ na okreœlenie najlepszych (najlepiej dostosowanych do realizacji zadanych celów pracy uk³adu) parametrów technicznych urz¹dzeñ, zwi¹zanych tak¿e z ich wydajnoœci¹.
Do podstawowych urz¹dzeñ rozdrabniaj¹cych stosowanych w warunkach przemys³o-wych nale¿¹ kruszarki szczêkowe, sto¿kowe i m³otkowe, prasy walcowe i m³yny. Najwa¿-niejszymi parametrami konstrukcyjno-eksploatacyjnymi kruszarek szczêkowych s¹: sze-rokoœæ szczeliny wylotowej, skok szczêki ruchomej, profil poprzeczny i pod³u¿ny p³yt, prêdkoœæ obrotowa wa³u mimoœrodowego (czêstotliwoœæ wahañ szczêki ruchomej), k¹t nachylenia p³yty rozporowej. W warunkach przemys³owych regulowane s¹ tylko pierwsze dwa parametry, pozosta³e ustalane s¹ projektowo dla danego typoszeregu kruszarki (Ga-wenda 2010).
Generalnie najwa¿niejszymi parametrami kruszarki sto¿kowej s¹: k¹t uchwytu (profil szczêki), prêdkoœæ obrotowa g³owicy oraz wielkoœæ szczeliny wylotowej i wlotowej maj¹ce tak¿e wp³yw na wydajnoœæ.
Sk³ad ziarnowy produktu kruszarek m³otkowych, a tak¿e wydajnoœæ zale¿y od liczby obrotów wirnika, jego wymiarów, kszta³tu i masy m³otków, a tak¿e wymaganego stopnia rozdrobnienia (wielkoœci otworów stosowanego rusztu).
Parametrami pracy wysokociœnieniowych pras walcowych, które mog¹ byæ regulowane przez operatora s¹: ciœnienie robocze oraz prêdkoœæ obrotowa walców. Kluczowym jest ciœnienie robocze, które (przy jego wzroœcie) zwiêksza stopieñ rozdrobnienia materia³u (zmniejsza szerokoœæ szczeliny wylotowej), ale zmniejsza wydajnoœæ urz¹dzenia (Nazie-miec, Saramak 2009; Saramak 2011a, b). Wydajnoœæ prasy walcowej zale¿y tak¿e od prêdkoœci obrotowej walców oraz gêstoœci sprasowanego produktu rozdrabniania.
M³yny zaliczane s¹ do najmniej sprawnych i najbardziej energoch³onnych urz¹dzeñ rozdrabniaj¹cych i dlatego przy projektowaniu uk³adów rozdrabniania trzeba zak³adaæ jak najwiêkszy stopieñ rozdrobnienia w kruszarkach poprzedzaj¹cych mielenie. W³aœciwie dobrane parametry technologiczne m³yna decyduj¹ o jego efektywnoœci, tzn. sk³adzie ziar-nowym i wydajnoœci. Nale¿y do nich zaliczyæ: wzglêdn¹ czêstoœæ obrotów m³yna, wzglêdne zape³nienie m³yna mielnikami, kszta³t i wielkoœæ mielników, profil wyk³adzin m³yna, wy-pe³nienie m³yna nadaw¹, w³aœciwoœci nadawy.
3. Zasady optymalizacji wyników procesów rozdrabniania
Przedstawiona do tej pory koncepcja tworzenia modeli pracy maszyn przeróbczych i ich uk³adów zak³ada uzale¿nienie parametrów krzywych sk³adu ziarnowego produktów oraz krzywych rozdzia³u od parametrów techniczno-technologicznych urz¹dzeñ rozdrab-niaj¹cych.
Je¿eli oznaczymy przez dmax, n, c – parametry wzorów opisuj¹cych krzywe sk³adu
produktów, a przez r, s – parametry maszyn, to mo¿emy zapisaæ ogólnie
F d( )- =F d r s( ; , )=F d d( ; max( )rs , ( , ), ( , ))n r s c r s (9) Je¿eli mamy do czynienia z produkcj¹ kruszyw mineralnych (rys. 1) mo¿na zapropo-nowaæ nastêpuj¹c¹ funkcjê celu, która bêdzie stanowiæ podstawê optymalizacji (maksyma-lizacja wartoœci). Jest to uogólnienie funkcji celu zaprezentowanej w pracy (Svedensten, Evertsson 2005). Z n m i p C h hi i godz i Q i p = å¯ = º å¯ = º ¯ - ¯ ¯ + ¯ -¯ ¯ ( 1) ( 1) ( m ( , ) ( ocz Q i) ¯ ¯g hi (10) gdzie:
Ch – cena produktu bêd¹cego h-t¹ klas¹ (przy przyjêtym podziale materia³u na
klasy), której wychód wyznacza siê na podstawie równania (9),
Rys. 1. Uproszczony szeregowy schemat technologiczny produkcji kruszyw bazaltowych ród³o: Nowak, Gawenda 2006
kgodz,i– koszt sta³y na godzinê w i-tej operacji,
ki – koszt sta³y w i-tej operacji,
kpocz – koszt pocz¹tkowy,
mh – mno¿nik korekcyjny,
Q – wydajnoœæ w i-tej operacji [Mg/godz.], ghi – wychód h-tej klasy w i-tej operacji.
Wyprecyzowanie poszczególnych równañ krzywych sk³adu ziarnowego wymaga szcze-gó³owej analizy pracy urz¹dzeñ lub przeprowadzenia badañ empirycznych. Proponowana metoda modelowania nie ma charakteru ogólnego. Rozwa¿my mo¿liwy schemat przygo-towania nadawy rud (np. miedzi) do procesów wzbogacania (flotacji) (rys. 2).
Najczêœciej stosowanym modelem pracy m³yna kulowego jest model kinetyki
dm dt S m b s m i i i ij j j j i = - + =
å
1 , dla i = 1, 2, …, n (11)gdzie mi, Si, bij to odpowiednio masa materia³u i-tej klasy (przechodz¹cej przez sito),
wartoœæ funkcji selekcji oraz wartoœæ funkcji rozdrabniania dla i-tej klasy, gdy ziarna na kruszarce pochodz¹ z j-tej klasy (Prasher 1987).
Parametry techniczne m³yna (za wyj¹tkiem czêstoœci obrotów) praktycznie nie wp³ywaj¹ na sk³ad ziarnowy produktu. O sk³adzie ziarnowym decyduj¹ parametry technologiczne: gêstoœæ mêtów, wydajnoœæ m³yna (przerób), iloœæ i rodzaj mielników i ich wp³yw mo¿na okreœlaæ tylko empirycznie w powi¹zaniu z w³aœciwoœciami materia³u rozdrobnionego.
Rys. 2. Przyk³adowy uk³ad przygotowania rud do flotacji ród³o: Opracowanie w³asne
Celem pracy prezentowanego uk³adu jest uzyskanie drobnouziarnionego przelewu hy-drocyklonu kierowanego do flotacji. Funkcj¹ celu mo¿e byæ uzyskanie odpowiedniego stopnia uwolnienia minera³ów u¿ytecznych (odpowiednich klas ziarnowych). Rolê wspó³-czynników Ch(wzór 10) mog¹ spe³niaæ stopnie uwolnienia (na podstawie rozpoznania rudy),
przy zmienionej postaci funkcji celu.
Uwagi koñcowe
Zarysowane dwie drogi pozyskiwania modeli matematycznych procesów rozdrabnia-nia tworz¹ ró¿ne mo¿liwoœci ich wykorzystarozdrabnia-nia (prognoza, symulacja, optymalizacja). Dok³adna analiza pracy urz¹dzeñ rozdrabniaj¹cych powinna daæ mo¿liwoœæ okreœlenia potrzebnych zale¿noœci miêdzy parametrami wzorów a parametrami technicznymi maszyn. Procedury symulacyjno-optymalizacyjne mo¿na realizowaæ za pomoc¹ algorytmów gene-tycznych (Goldberg 1998; Michalewicz 2003) lub innych procedur obliczeniowych. Dalsze badania bêd¹ polegaæ tak¿e na eksperymentalnym poszukiwaniu potrzebnych zale¿noœci.
Artyku³ zosta³ opracowany w ramach projektu pracy statutowej nr 11.11.100.276.
LITERATURA
B e n j a m i n J.R., C o r n e l l C.A., 1977 – Rachunek prawdopodobieñstwa, statystyka matematyczna i teoria decyzji dla in¿ynierów. WNT, Warszawa.
G a w e n d a T., 2010 – Rozdrabnianie surowców skalnych w kruszarce szczêkowej typu L44.41. Surowce i Maszyny Budowlane, nr 2, pp. 37–42, Wydawnictwo BMP, Racibórz 10.
G o l d b e r g D.E., 1998 – Algorytmy genetyczne i ich zastosowania. Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, Warszawa.
K i n g R.P., 2001 – Modeling and Simulation of Mineral Processing Systems. Butterworth Heinemann, Boston Oxford Auckland Johannesburg Melbourne New Delhi.
M i c h a l e w i c z Z., 2003 – Algorytmy genetyczne + struktury danych = program ewolucyjne. Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, Warszawa.
N a z i e m i e c Z., S a r a m a k D., 2009 – Analiza zmian obci¹¿enia materia³u w strefie zgniotu pras walcowych. Górnictwo i Geoin¿ynieria, vol. 33, z. 4.
N o w a k A., G a w e n d a T., 2006 – Analiza porównawcza kruszarek w wielostadialnych uk³adach rozdrabniania ska³ bazaltowych. Górnictwo i Geoin¿ynieria, z. 3/1, pp. 267–278, Kraków.
P r a s h e r C.L., 1987 – Crushing and Grinding Process Handbook. John Wiley & Sons Ltd.
S a r a m a k D., 2011a – Technological Issues of High-Pressure Grinding Rolls Operation in Ore Comminution Processes. Archives of Mining Sciences, vol. 56, iss. 3, Wyd. IMG PAN.
S a r a m a k D., 2011b – The influence of chosen ore properties on efficiency of HPGR-based grinding circuits. Gospodarka Surowcami Mineralnymi, z. 4, pp. 33–44.
S v e d e n s t e n P., E v e r t s s o n C.M., 2005 – Crushing plant optimisation by means of a genetic evolutionary algorithm. Minerals Engineering, vol. 18, pp. 473–479.
Tumidajski i in. 2009 – T u m i d a j s k i T., F o s z c z D., J a m r ó z D., N i e d o b a T., S a r a m a k D., 2009 – Niestandardowe metody statystyczne i obliczeniowe w opisie procesów przeróbki surowców mineralnych. Wyd. IGSMiE PAN, Katowice.
T u m i d a j s k i T., 1997 – Stochastyczna analiza w³asnoœci materia³ów uziarnionych i procesów ich rozdzia³u. Wydawnictwo AGH, Rozp. M. nr 57, Kraków.
T u m i d a j s k i T., S a r a m a k D., 2009 – Metody i modele statystyki matematycznej w przeróbce surowców mineralnych. Wydawnictwa AGH, Kraków.
HEURYSTYCZNE MODELE PROCESÓW ROZDRABNIANIA JAKO PODSTAWA SYMULACYJNEJ OPTYMALIZACJI ICH PRZEBIEGU
S ³ o w a k l u c z o w e
Cenzurowane krzywe sk³adu ziarnowego, modele procesów rozdrabniania, symulacyjne okreœlenie optimum S t r e s z c z e n i e
Modelowanie matematyczne procesów przeróbczych jest zadaniem bardzo z³o¿onym ze wzglêdu na losowy charakter rozdrabnianych materia³ów, pozwalaj¹cy jednak na zastosowanie ogólnie obowi¹zuj¹cych praw za-chowania i transportu mas. Podstawow¹ metod¹ opisu efektów procesów rozdrabniania jest okreœlenie krzywych sk³adu ziarnowego produktów. W artykule przedstawiono koncepcjê stosowania cenzurowanych rozk³adów wielkoœci ziarna, tzn. wzorów na dystrybuanty rozk³adów: potêgowego, Weibulla, logarytmiczno-normalnego i logistycznego jako podstawy opisu prac kruszarek (wzory 1, 2, 3, 4). Cenzurowanie rozk³adów realizowane jest poprzez przyjêcie rozmiaru maksymalnego ziarna dmax, a kszta³t ich dystrybuant zale¿y od parametrów kszta³tu i skali. Powi¹zanie parametrów technicznych urz¹dzeñ rozdrabniaj¹cych z parametrami wzorów okreœlaj¹cych dystrybuanty produktów pozwala na stworzenie satysfakcjonuj¹cych modeli procesów rozdrabniania. Po za-stosowaniu uogólnionych krzywych rozdzia³u mo¿liwy jest opis procesów przesiewania (wzory 6a i 6b), a w dal-szej kolejnoœci uk³adów procesów rozdrabniania. Optymalizacjê procesów produkcji kruszyw mo¿na oprzeæ na wprowadzeniu funkcji celu okreœlaj¹cej zysk w zale¿noœci od iloœci poszczególnych sortymentów. W przypadku analizy uk³adów rozdrabniania (wzór 10) w przygotowaniu nadawy do procesów wzbogacania, funkcjê celu nale¿a³oby oprzeæ na poziomach ods³oniêcia minera³ów u¿ytecznych w klasach. W artykule pokazano mo¿liwoœæ symulacji przebiegu procesów rozdrabniania, prowadz¹cej do okreœlenia warunków optymalnych pracy uk³adów z³o¿onych z procesów rozdrabniania i przesiewania. Zwrócono uwagê na koniecznoœæ budowy empirycznych modeli procesów mielenia, które bêd¹ stanowi³y uzupe³nienie modeli wynikaj¹cych z heurystycznej analizy zjawisk. Omówiono tak¿e elementarne zasady doboru postaci modeli oraz ich modyfikacji polegaj¹ce na uza-sadnieniu zale¿noœci parametrów rozk³adu od podstawowych parametrów technicznych maszyn oraz w³aœciwoœci rozdrabnianych materia³ów. Artyku³ jest wstêpem do zamierzonych szerszych badañ uogólnionego podejœcia do powi¹zania w³aœciwoœci materia³ów uziarnionych z efektami rozdrabniania.
HEURISTIC MODELS OF COMMINUTION PROCESSES AS THE BASIC OF SIMULATIVE OPTIMISATION OF THEIR COURSE
K e y w o r d s
Censored particle size curves, models of comminution processes, simulative determination of optimal point A b s t r a c t
The mathematical modeling of mineral processing is a very complex task because of random character of comminuted materials. However, it allows applying of standard laws of mass preservation and mass transport. The basic method of description of comminution processes is determination of particles size distribution curves for products. In the paper, the concept of applying so-called censored distribution functions was presented,
what means equations of exponential, Weibull, log-norm and logistic distribution functions as the basis of crushers work description (formulas 1, 2, 3 and 4). The censoring of distribution functions is being realized through acceptation of maximum particle size dmaxand the shape of them depends on shape and scale parameters. The joining of technical parameters of comminuting devices with parameters of equations describing distribution functions of products allows creating of satisfying models of comminution processes. After application of general forms of separation curves the description of sieving processes is possible (equations 6a and 6b) and then also of comminution systems. The optimization of aggregates production may be based on introduction of goal function determining profit dependably on amount of individual assortments. In case of analysis of comminution systems (formulae 10) in preparation of feed to beneficiation the goal function should be based on levels of useful minerals exposure in individual fractions. The paper shows the possibility of simulation of comminution processes course leading to determination of optimal conditions of systems containing comminution and sieving processes. Furthermore, the necessity of creation of empirical models for grinding processes was shown as they would be the compensation of models being result of heuristic analysis of phenomena. Also, the elementary rules of selection of models forms and their modifications based on justification of relations between distribution function parameters and basic technical parameters of devices as well characteristics of comminuted materials were discussed. The paper is the introduction to further research of general approach to joining grained materials characteristics with comminution effects.
