Wykad 15

MECHANIKA 2

Wykład Nr 15

Moment gn

ą

cy, siła

tn

ą

ca, siła normalna

Prowadzący:

WPROWADZENIE

Działanie odrzuconej w myśli części pręta zastępujemy

siłą wypadkową W i parą sił o momencie M

₀

(rys. 1a).

Wypadkową W rozkładamy na dwa prostopadłe kierunki:

•

kierunek normalnej do przekroju (składowa normalna N);

•

kierunek styczny (składowa styczna T) (rys. 1b).

Dowolny

przestrzenny

układ

sił

mo

ż

na

zredukowa

ć

do jednej siły wypadkowej i do

jednej pary sił wzgl

ę

dem obranego bieguna.

WPROWADZENIE

Wektor M

₀

rozkładamy na dwie prostopadłe składowe:

• składową M

_g

styczną do przekroju poprzecznego,

• składową normalną M

_s

do przekroju poprzecznego.

Moment M

_s

powoduje skręcanie pręta.

Moment M

_g

powoduje zginanie pręta.

Rys. 1. Rozkład wektora głównego W na składową normalną N i tnącą T oraz momentu głównego M₀ na moment gnący M_g i skręcający M_s

z W M₀ y x 0 z W N y x 0 T z M_g M₀ y x 0 Ms c)

ROZKŁAD WEKTORA SIŁY I MOMENTU

Zginanie czyste

- jeżeli w danym przekroju układ sił zewnętrznych sprowadza się do jednej składowej M_g (rys.2a).

Zginanie z udziałem sił poprzecznych

– przy zginaniu czystym występuje równocześnie siła tnąca T (rys.2b).

Zginanie proste (płaskie)

– występuje, gdy siła tnąca (poprzeczna) T oraz para sił powodująca zginanie pręta działają w jednej płaszczyźnie zawierającej osie główne centralne przekrojów poprzecznych pręta (rys.2c).

z M_g=|M_y| T y x 0 c z M_g y x 0 a M_z M_y b _{z M} g y x 0 M_z M_y T T_y T_z

Rys. 2. Typowe przypadki zginania: a) zginanie czyste, b) zginanie z udziałem sił poprzecznych, c) zginanie proste (płaskie)

RODZAJE ZGINANIE

Jeżeli siły czynne (obciążenia) działające na pręt zginany leżą w jednej płaszczyźnie, to płaszczyznę tą nazywamy

płaszczyzną zginania.

• Momentem gnącym M_g w danym przekroju belki nazywamy sumę momentów (względem środka ciężkości tego przekroju) wszystkich sił zewnętrznych działających na część belki odciętą tym przekrojem.

MOMENT GNĄCY

x M_g M_g y 0 x M_g M_g y 0

Rys. 3. Określenie znaków momentów gnących M_g

Moment gnący M_g będzie dodatni, jeżeli wycięty w myśli element belki stara się wygiąć wypukłością do dołu.

• Siłą tnącą T w danym przekroju poprzecznym belki

nazywamy rzut na płaszczyznę tego przekroju wypadkowej wszystkich sił zewnętrznych działających na część belki odciętą tym przekrojem.

SIŁA TNĄCA

x T x T dx x T x T dx

Rys. 4. Określenie znaków sił tnących T

Siła tnąca T będzie dodatnia, jeżeli ma wycięty w myśli element

belki siła ta będzie się starała obrócić zgodnie z ruchem wskazówek zegara.

•

Siłą normalną N

w danym przekroju poprzecznym belki nazywamy rzut na kierunek normalnej, wypadkowej wszystkich sił zewnętrznych działających na część belki odciętą tym przekrojem.

x N x N dx normalna zewnętrzna x N x N dx normalna zewnętrzna

Rys. 5. Określenie znaków sił normalnych N: a) rozciągających (+), b) ściskających (-)

Siła normalna N

będzie dodatnia, jeżeli ma zwrot zgodny ze zwrotem normalnej zewnętrznej danego przekroju belki.

Powtórzenie

Belki proste maja podparcia w postaci:

podpory przegubowej stałej

podpory przegubowej przesuwnej

utwierdzenia całkowitego

R

_x

R

_y

R

_y

R

_x

R

_y

M

_u

Zginanie czyste

można

zaobserwować

w

przypadku zginania belki pryzmatycznej obciążonej

jak na rys. 6. Część CD tej belki jest obciążona

tylko momentem gnącym.

Rys. 6. Belka obciążona siłami poprzecznymi P w sposób symetryczny

Belka poddana czystemu zginaniu

1. Wyznaczenie reakcji w podporach belki 2. Wyznaczenie momentów gnących w poszczególnych przedziałach belki

Rys. 6. Belka obciążona siłami poprzecznymi P w sposób symetryczny

Rys. 6. Belka obciążona siłami poprzecznymi P w sposób symetryczny

3. Wyznaczenie sił tnących w poszczególnych przedziałach belki

4. Wyznaczenie sił normalnych w poszczególnych przedziałach belki

Na pryzmatycznym pręcie o przekroju prostokątnym na jego powierzchni bocznej narysujmy siatkę utworzoną z linii równoległych do osi pręta oraz linii obwodowych leżących w płaszczyznach przekrojów poprzecznych pręta (rys.7a).

Rys. 7. Część CD belki z naniesioną siatką: a) przed obciążeniem, b),c) po obciążeniu

Belka poddana czystemu zginaniu

a’ d c b a b’ c’ d’ z y x M_g Mg z D C a) b b h oś obojętna z y c) b) Mg Mg D C z d c b b’ c’ d’ a’ a warstwa obojętna

1. Krzywizna belki na odcinku CD jest stała i belka

wygina się w kształt koła.

2. Płaskie

przekroje

prostopadłe

do

osi

belki

po

odkształceniu

pozostają

płaskie

i

prostopadłe

do

zakrzywionej osi belki (hipoteza płaskich przekrojów).

3. Wskutek obrotu przekrojów wzdłużne włókna doznają

odkształceń.

4. Przyjmujemy

założenie

o

braku

nacisków

włókien na siebie.

5.

Zakładamy

że

włókna

podlegają

tylko

rozciąganiu lub ściskaniu (wydłużeniu lub skr.)

6. Między tymi włóknami istnieje warstwa, której

włókna nie ulega ani wydłużeniu, ani skróceniu

(warstwa obojętna)

Reakcja:

Moment gnący:

Moment gnący:

Siła tnąca:

Wniosek!

Siła tn

ą

ca belki T(x) jest pochodn

ą

momentu

gn

ą

cego belki M

_g

(x) po zmiennej x.

gdzie:

E – moduł Younga;

I – geometryczny osiowy moment bezwładności przekroju belki; y(x) – ugięcie belki;

M_g(x) – moment gnący belki.

W poprzednim przykładzie:

Warunki brzegowe:

Linia ugięcia:

Przykład

Narysować wykres momentu gnącego, siły tnącej i siły normalnej belki.

Dane liczbowe: a = 2 m, F = 100 N, α = 30°, M = 100 Nm, q = 50 N/m.

Reakcje:

Przykład

Narysować wykres momentu gnącego, siły tnącej i siły normalnej belki.

Dane liczbowe: a = 2 m, F = 100 N, α = 30°, M = 100 Nm, q = 50 N/m.

a q Qρ = ρ

M

_g

T

Równia pochyła

Narysować wykres momentu gnącego, siły tnącej i siły normalnej belki,

opartej końcem B o gładką równię pochyłą.

Dane : a, G, α = 60°.

Obliczyć momenty gnące, siły tnące i siły normalne ramy w poszczególnych

przedziałach i narysować wykresy dla danych liczbowych: a = 1 m, b = 2 m,

α = 45°,

F₁ = F₂ = 20 N.