Sur la semi continuite qualitative

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-Z E S -Z Y T Y N A U K O W E W Y Ż S -Z E J S -Z K O Ł Y P E D A G O G IC -Z N E J W B Y D G O S Z C Z Y

P rob lem y M atem atyczne 1982 z.4

Z b ign iew G rande W S P B y d g o s z c z

SUR L A SEM I - C O N T IN U ITÉ Q U ALITA TIVE

Dans la prem ière part de cette note je ge'néralise un théorè­ me de S ierp iń sk i con cern an t la semi - continuité ( v o i r [ 1] ) » dans la deuxièm e - je démontre que toute fonction qualitativement semi - co ­ ntinue supérieurem ent sur l 'e s p a c e métrique, com pact admet le maximum qualitatif et dans la troisièm e - j'e x a m in e le s en sem b les d e s points de discontinuité d 'u n g en re sp éc ia l. E n finalement, dans la quatrième part je démontre un théorèm e su r la prop riété de B aire d e s fonctions de

deux v a r ia b le s ayant s e s s e ctio n s qualitativement semi - continues supérieurem ent par rapport a l 'u n e v a ria b le et qualitativement semi - continues inferieurem ent par rapport à l'a u tr e variables

I. Dans l'a r t ic le [ 1 ] S ierp iń sk i a démontré une gén éralisation suivante du théorèm e bien connu, d 'a p r è s leq u el toute fonction

continue dans un in terva lle fermé et born é e s t uniformément continue: TH É O R È M E 1 ( Sierp iń sk i [ 1 ] , C orolla ire ) . f : [ a .b] — >R (R d ésign e l'e n s e m b le d e s nom bres r é e l s ) étant une fonction semi - continue supérieurem ent et vp ; [ a.b] — >R étant une fonction semi - continue intérieurem ent te lle s que

^ ( x ) $ Vf/ ( x> pour tout x e £ * > 3 .

il e x is te pour tout nombre £ > О un nombre positif «J" tel que pour tous le s nom bres x et x 'd e f a , b } l'in é g a lit é

j x - x ' I <

S

entraîne l 'in é g a lité

S o it (X , j ) un e s p a c e métrique, compact, Une fonction f: X — > R e s t dite qualitativement seml - continue supérieurem ent (in térie­ urem ent) au point x Q £ X lo r s q u 'il e x is te un en sem ble A ( x o ) conte­ nant xq , résid u el dans certain en tou rage o u ve rt du point x et tel que la fonction partielle f/Y ( x Q) e s t sem i - continue supérieurem ent

(in férieu rem en t) au point x Q.

TH Ê O R E M E 2, S i une fonction ^ î X > R e s t qualitativement semi - continue supérieurem ent en tout point et une fonction ^ :X — >R e s t qualitativement semi — continue in férieu re ment en tout point e t si

- f ( * ) i ^ pour tout x e X,

il e x is te pour tout nombre g > О un nombre

J

> О tel que pour

tous le s élém ents x et x ' l 'in é g a lité j ( x ^ c ' ) < J

entraîne l'in é g a lit é

^ ) ( x ) < y ( x ' ) + € .

D É M O N S T R A T IO N . Démontrons d 'a b o r d q u 'il ex is te une fonction ftX ► R sem i - continue supérieurem ent et une fonction g tX ----^ R semi - continue Intérieurem ent telles que

( x ) $ f ( x ) $ g ( x ) < ^ (з с ) pour tout x e X.

En effet, le s fonctions -f et tp ayant la prop riété de B oire , il ex iste deux ensem bles résid u els A, В du type G j et tels que le s fonctions partielles /A et «f*/B sont continues. P o so n s

С » A n B. L 'e n s e m b le С e s t rés id u el et du type G j . P ix o n s un point x £ С e t p oson s f 1( x o ) “ Urn inf f ( x ) X —> X x e С ° et

21

--P ( x ) - Urn su p - p ( x )

x e C w

Pu isqu e Vf ( x ) £ - f ( x ) pour tout x с X e t le s fonctions v f e t . f sont qualitativement sem i - continues in férieu re ment et supérieurem ent

respectivem ent, on a donc

t ( * 0) > y . ( x 0)

> «fs (x0)

P o s o n s r” t ( x ) -et _ p ( x ) lo rsq u e x e С - p _ (x ) lorsq u e x ф С Vf ( x ) lo rsq u e x € С S ( x ) -Vp'j(x) lo rsq u e x 4 c

On v o it facilement que la fonction f e s t semi - continue su périeu re­ ment, la fonction g e s t sem i - continue intérieurem ent et que

- f ( x ) < f ( x ) < g ( x ) < Vf ( x ) pour tout X e X. F ix o n s un nombre g > О e t po son s

h ( x ) - g ( x ) + £ pour tout x 6 X.

La fonction h e s t sem i - continue intérieurem ent et on a ( 1 ) f ( x ) < h ( x ) pour tout x 6 X.

S ' i l n 'e x is ta it pas un nombre S satisfaisan t aux conditions de notre théorèm e, il e x istera it pour tout n naturel d e s élém ents x _n e t x ' de_n l'e s p a c e X tels que

( 2 ) * ( x ; , x n ) < ---n et

( 3 ) f ( x n ) £ h ( x ń ) "

L 'e s p a c e X étant com pact, il e x is te une so u s - suite infinie (x )

к

, n - 1,2, 1

convergente vers un point x

0

* X. D 'a p r * i (2 ) on a

(4 ) Uni x - Um x ' - x . k - * * o " к к - * - » " k 0

Or, soit

*7

un nombre positif donné quelconque. La fonction f ôtant semi - continue supérieurement au point xq et la fonction g “ inférieu» rement, U résulte d* (

4

) que f ( x Q) ♦

r)

> , ( x rL ) et )

>

к

h(x0) - •? pour * > no,

ce qui donne, d 'a p rè s (3 ):

1

t ( x Q) + *? > ' K i J * h (X « k ) " “ % > h(X<>) “ ^ - . pour * > n o .

donc, en Umlte pour к — » < « t

( 5 ) * ( * 0 ) + t) ^ f» (x 0 ) -

9

.

Le nombre positif

У)

étant arbitraire, l'inégalité

(

5

)

prouve que f ( x Q) £ h (x # ), contrairement à ( l ) ,

U existe donc un nombre

J

>

О tel que l'inégalité

S

(x, x ' ) < «r entraîne l 'inégalité

f ( x ) < h ( x ' ) -

J

- g ( x ' ) +

g

-

J <

g ( x ' ) +

g ,

ce qui termine la démonstration.

REMORQUE 1. Pour obtenir le théorème sur la continuité uniforme d'une fonction continue dans X, U suffit de prendre dans le théorème

2

pour

Ÿ

une fonction continue et de poser ^ (x ) - - f > ( x) .

H. Dons cette part Je démontre que toute fonction fcX--- > R qualitativement semi - continue supérieurement admet le maximum qualitatif en certain point x Q e X.

On dit qu'une fonction fîX— ► R admet le maximum qualitatif au point

xo

lors4u ^ existe un ensemble A contenant x

q1

résiduel en certain entourage ouvert du point x q et tel que

23

-f ( x ) $ * ( x0) pour tout point x e A.

THÉORÈME 3. Toute fonction ftX

— *■

R qualitativement semi - continue supérieurement admet le maximum qualitatif en certain point x o € X .

DÉMONSTRATION, ba fonction f ayant la propriété de Balre, il existe un ensemble A résiduel dans X, du type

Gj.

et tel que la fonction partielle f/A est continue. Posons

^ f^ x ) lorsque x e A

S(x)

-11m sup f (t) lorsque x

4

A L t —>x

t e A

La fonction g est semi - continue supérieurement et g ( x ) $ f ( x) pour tout x e X. U existe donc un point x 0 с X tel que

s ( x ) $ в ( х 0 ) Pour teut x € X.

Mais f(acQ) i в ( х 0) et f ( x ) “ в ( х ) pour tout x e A, la fonction f admet donc le maximum qualitatif au point x0.

REMARQUE 2. Il existe une fonction ft [ O . l ] — * R qualita­ tivement semi — continue supérieurement n 'admettant pas le maximum absolu. En effet, telle est, par exemple, la fonction

Гх lorsque x est un nombre rationnel de l'interval-, 4 »• с ° д )

f ( x )

-О lorsque x est un nombre irrationnel de l 'intervai­ l l e [0 ,1 ] ou bien x • 1.

Ш. Soit f:R —» R une fonction. On sait que les ensembles ■[ x € R: liro f(t) existe et est jf * ( X)J •

t—* x”

Xx e R: llro f(t) existe et est

/

f ( x ) j , t —» x +

I x 6 Rt f e s t continue à gauche au point x et n 'e s t pas conti­ nue à droite au point x }

et

{ x e R: f e s t continue à droite au point x et n 'e s t p a s continue à gauche au point x }

sont dénom brables. ( [ 4 ] )

S olen t (U , T ) un e s p a c e topologiqu e de H ausdorfl à b a se d in­ nombrable et fcR V U une fonction. P o s o n s

C“ ( f ) - { x e R: il existe un ensem ble ou vert V С ( - oo , x~] ayant la densité su périeu re p o sitive au point x et

tel q u 'il e x is te la limite lim f ( t ) et t—

t e V que lim f ( t ) 4 f ( x ) j

t—*x t « V

D“ ( f ) - { x f Ri il e x is te un en sem ble ou vert V С ( - o o , xQ de deuxièm e c a tég o rie au point x et tel q u 'il ex iste la limite Um f ( t ) 4 f ( x ) } ;

t — t e V

E “ ( f ) - { x

e

R; U e x is te un en sem ble ou vert V

с

( - ад , x ] ayant la densité su périeu re p o sitive au point x et tel que la fonction partieUe f/V <j { x ^ e s t continue au point x et la fonction f n 'e s t p a s continue à droite au point x }

et

P - ( f ) - { x € R: il ex iste un en sem ble ou vert V

с

( - o o , x ] de deuxièm e c a tég o rie au point x e t tel que la foncUon partieUe f/V w { x } e s t continue au point x et quel que soit l 'en sem b le ou vert Z t [ « , o o )

de deuxièm e c a tég o rie au point x , la fonction partieUe f/Z \j ^ x j n 'e s t pas continue à droite au point x j

- 25

-TH É O R È M E 4. L 'e n s e m b le C ~ (f) e s t de m esure z é r o , q u elle que so it la fonction ftR — > U.

D É M O N S T R A T IO N . S u pp oson s, au con traire, q u 'il ex is te une fonction f:R — *U telle que l'e n s e m b le C ~ (f) n 'e s t pas de m esure z é r o . Il e x is te donc un en sem b le A с С ( f ) d e m esure ex térieu re p o sitive et un ensem ble ou vert V de l 'e s p a c e U tels que, quel que so it x e A , il e x is te un ensem ble ou vert G ( x ) С U contenant f ( x ) et un ensem ble ou vert B ( x ) c ( - oo , x 3 ayant s a den sité su p érieu re au point x positive tels que lim f ( t ) € V et V л G ( x ) - ф.

t - » x t e B ( x )

Soit x Q € A^un point de d e n s ité ex té rie u re de l'e n s e m b le A . L 'e n s e ­ mble A С f (U - , V ) et la den sité e x té rie u re d e l'e n s e m b le A au point x Q e s t é g a le à 1, en contradiction a v e c le fait que la den sité su périeu re de l'e n s e m b le B ( x o ) au point x q e s t p o sitive et

lim f ( t ) 6 V t - » x

“ B ( x o )

et la démonstration e s t a c h e v é e .

TH É O R È M E 5. L 'e n s e m b le D ~ (f) e s t de prem ière ca té g o rie , qu elle que soit la fonction f:R —> U.

D É M O N S T R A T IO N . Supposons, au con traire, q u 'il e x is te une fonction ftR — ► U telle que l 'en sem b le D ( f ) soit d e deuxièm e

ca té g o rie . Il ex is te donc un en sem ble A С D ( f ) de deuxièm e c a té g o ­ rie et un ensem ble ou vert V de l 'e s p a c e U tels que, quel que so it

x <£ A , on a f ( x ) # V et il ex is te un en sem ble ou vert B ( x ) С ( - ^ Л ^ de deuxièm e c a té g o rie au point x et tel que

Um f ( t ) 6 V. t -*x

t « B ( x )

S oit J un intervaUe ou vert tel que tout so u s - ensem ble de l'in te r v a lle J d e deuxièm e c a tég o rie et ayant la proprie'té de В aire coupe l 'e n

-sem ble A . F ix o n s un point x Q € J л A . L 'e n s e m b le B ( x Q) e s t ouvert* il a d on c la prop riété de B o ire et e s t de deuxièm e c a té g o rie au point

Um f ( t ) € y ,

pour tout x e A .

TH E O R E M E 6. S i A С R e s t un en sem ble de prem ière c a té g o ­ rie (d e prem ière c a té g o rie et de m esure z e r o ) , U ex is te un fonction ftR — >R teUe que D " ( f ) - A

(c “(f)

- A ) .

D E M O N S T R A T IO N . U e x is te une suite (p eu t - être fin ie) d 'e n s e m b le s non - d e n s e s A ^ , disjoints deux à deux et tels que

A - У A n (v o ir O l ) E n posant

*

lorsq u e x € A ^ , n - 1,2,...

lo rsq u e x e R - A,

qui satisfait à toutes le s conditions e x ig é e s . TH É O R È M E 7. L 'e n s e m b le F ~ ( f ) e s t dénom brable, queUe que so it la fonction ftR * U.

-D É M O N S T R A T IO N . Su pposons, au contraire, q u 'il e x is te une fonction ftR > U teUe que l'e n s e m b le F ~ (f ) n 'e s t p a s dénom brable. Il e x is te un ensem ble indénom brable A C R et un ensem ble ou vert V tels que f ( x ) € V pour tout x e A et l'e n s e m b le f 1 (U - V ) e s t d en se dans certain In terva lle [ x,x + J * ( x ) } ( J ( x ) > O ), quel que so it le point x € A . D ésign on s par A l'e n s e m b le de tous le s

dL

points x « A tels que J* ( x ) ^ > ---. On a n r 1 n f ( x ) - •

o

on obtient la fonction f

- 27

-A -

U

A n. n -1

L 'e n s e m b le A étant Indénom brable, U e x is te un in d ice nQ tel que l'e n s e m b le A e s t au ssi Indénom brable. S oit x £ A un point de

n o no

condensation ^ la té r a le d e l 'en sem b le A . U e x is te un point x « с A

1 Ö 1 1 o

n ( x Q, x Q + _____ ) . D 'u n e part, l'e n e e b le C (U - V ) e s t d e n se dans l 'in te r v a lle no ( x Q, x ^ ) л ( x Q, x Q +

S

( x Q) ) e t d 'a u tre part, f ( x ^ ) e V et 11 e x is te un en sem ble o u ve rt B ( x ^ ) С ( - oo, x^J de deuxièm e c a té g o rie au point x^ e t tel que la fonction partielle f/ B (x ^ ) yj { j- e s t continue au point x ^ . Il en résu lte une contradi­ ction qui termine la démonstration.

T H É O R È M E 8. S i A с H e s t un en sem ble dénom brable, il e x is te

> .

une fonction f:R — ► H telle que l 'en sem b le F4 ( f ) — A .

D E M O N S T R A T IO N . R a n geo n s tous le s points d e l'e n s e m b le A en une suite (xj^, *,x^,... ) , Xj ft Xj lo rsq u e i ^ j et p o son s, pour n - 1,2,..., 4 -П et * ( * ) - Л e ( * n ) . x n < x

L a fonction f satisfait à toutes le s conditions e x ig é e s .

RE M ARQ U E 3. Il e x is te une fonction f:R — >R telle que l'e n s e m ­ ble E - ( f ) e s t indénom brable. T e lle est, par exem ple, la fonction

in d ica trice de l'e n s e m b le qui s e com p ose de tous le s c e n tre s d e s com posantes du com plém entaire de l'e n s e m b le d e Cantor à l'In te r v a lle

îV. E n finalement, dém ontrons e n c o re le théorèm e suivant:

TH É O R È M E 9, S oien t ( Y , e t ( Z , g 2 ) d e s e s p a c e s métri­ ques, com plets e t f:Y * Z — > R une fonction. S u p p oso n s e n c o r e sur l 'e s p a c e Z q u e , q u els que so ien t la s p h è re ou verte S ( z q1 ot ) de centre z Q et de rayon o( , le point z^ de la sp h ère s ( z Q, o( ) et

la distan ce du point z^ a la fron tière de la sp h ère S ( zq , et ) j on a 6 S ( z , « ( ) pour tout z e s ( * 0t fi )•

Si toutes le se c tio n s f ^ ( z ) - f ( y , z ) ( y £ Y et z « Z ) sont sem i-continues supérieurem ent et s i toutes s e s s e c tio n s f * ( y ) - f ( y , z )

( z С Z e t y s Y ) sont qualitativem ent semi - contin ues inférieu re ment, la fonction f a la propriété de В a ire.

D É M O N S T R A T IO N , S a n s restrein d re la g én é ra lité on peut su­ p p o se r que la fonction f so it born ée, sinon on peut c o n s id é re r la fonction a rc tg f.

Étant fix é un point ( y o , z q ) £ Y x Z , d é sig n o n s par М к (У 0> z 0 ) borne su p érieu re d e la s e ctio n f sur la sp h ère ou verte S ( z q1 1 ) de cen tre z et de rayon , T o u te s le s s e c tio n s f étant k

°

~ k "

y

semi - continues supérieurem ent, on a f ( y , z ) - Um M k (y . z )

к —>oo

pour tout point (y , z ) 6 Y * Z . Il suffit donc de dém ontrer que toutes le s fon ction s M k ont la prop riété de B aire. D ans c e but nous démon­ treron s q u 'e U e s sont qualitativem ent sem i - continues inférieu re ment. F ix o n s un in d ice к et un point ( y Q. s q ) € Y x Z et un nombre a tels que M k ( y o . ZQ) > » . S oit f - M k^y o ’ z o^ “ ** П résu lte de la definition d e M k ( y o» z 0 ) q u 'i l e x is te un point z^ e s ( z 0> 1 )

tel que k

( 6 ) f ( y o, z t ) > M k ( y o , z o ) - •

z-L a fonction f étant quaUtaivement sem i - continue inférieruem ent au point y , il ex is te un ensem ble E С Y rés id u el dans certain entou rage

- 29

-ou vert du point y Q et tel que pour tout point y e E on a ( 7 ) f ( y , xx ) > t ( y Q, xx ) - _____ .

D ésig n on s par p la distan ce du point z . à la fron tière d e la sp h ere

1 1

S ( * ■ ) . Comme z . e S ( z , ) pour tout point

° к 1 к

z € S ( z o , p ) , on a

( 8 ) M k ( y * * ) > f (y* * i ) P ° u r tout P °* nt * « s ( * 0■#*)•

De ( 6 ) , ( 7 ) et ( 8 ) il vien t

Mk (y , * ) > м к (У 0> z 0 ) “ £ - a pour tout point (y , z ) e E X S ( y , P ) « A .

* °

M a is l'e n s e m b le A e s t rés id u el dans certain entou rage ou vert du point ( y Q, z 0 ) . 3® démonstration e s t d on c a c h e v é e .

REMORQUE 4, L 'h y p o th è s e du continu implique l'e x is t e n c e d 'u n e fonction f: С0,3.1 * £ о , з ] — *■ R n 'a y a n t p a s la p rop riété de B aire, dont toutes le s s e c tio n s f^, sont qualitativem ent semi - continues supérieurem ent et toutes le s s e c tio n s fy sont qualitativement sem i - continues intérieurem ent. T e lle est, par exem ple, la fonction In dicatrice d 'u n ensem ble A С £ О Д ]х С о д ] dont toutes le s s e ctio n s A X «

{ y € СОД] t ( y , z ) 6 A } sont dénom brable s et le s com plém entaires de tous le s en sem b les A ^ - £ z e

£o,lJ

: (y , z ) € A ^ sont dénom brab-le s (v o ir [ 2 ] ) .

O U V R A G E S C T T Ê S :

[1] W. Sierpiński; Su r une prop riété d e s fonctions s e mi - continues Eund. Math. 9 (1 9 2 7 ), p. 1-2.

[ 2 ] W. Sierp iń sk i; L 'h y p o th è s e du continu. W a rs z a w a - Lw ów 1934. [ 3 ] W. Sierp iń sk i; S u r une prop riété d e s en sem b les E lin éa ires,

Fu nd. Math. 1 4 ( 1 9 2 9 ), p. 216-220.

M W. Sierp iń sk i; F u nkcje przed staw ialne a n alityczn ie. W a rs z a w a - Lw ów - K ra k ó w 1925.

O P ÓŁC IĄ G Ł O Ś C I J A K O Ś C IO W E J S T R E S Z C Z E N I E

W p ie rw s ze j c z ę ś c i tego artykułu u ogóln ia s ię pew ne tw ie rd ze­ nie S ie rp iń s k ie g o [ 1 ] d o ty c z ą c e p ó łc ią g ło ś c i i c ią g ło ś c i jednostajnej, w dru giej - d ow od zi s ię , ż e k a ż d a fu nkcja ja k o ś c io w o p ó łcią g ła z g ó r y na p rz e s trz e n i m etryczn ej, zw artej przyjm uje maksimum ja k o ś cio w e, w tr z e c ie j - b a d a s ię z b io r y punktów n ie c ią g ło ś c i s p e c ja ln e g o rodzaju i w c zw a rtej - dow od zi s ię pew n ego tw ierd zen ia o w ła sn o ś ci Вa ire 'a funkcji dw óch zm iennych.