A C T A U N I V E R S I T A T I S
L O D Z I E N S I S
__ ' ,
FUL IA PHILQSQPHICA
7 , 1990
P h ilip p e de R o u ilh an SUR LA FORMATION OE LA NOTION OE VAUOITČ §_ K L^e p rem ia г H e u de la l ogique
La seu le d i f f i c u l t é de ce t expos^ tie n d ra sans doute a l ' a t
titu d e in h a b it u e lle dans la q u e lle i l a é té p repare e t dans la q u e l
le seu le t l peut é tr e entendu: l 'a t t i t u d e c a r a c t e r is t iq u e des peres
fond ateurs de la lo g iq u e moderne,
qüo,
s u iv a n t H e ije n o o r t 1, jec a r a c t é r is e r a i d'un mot;
ľ
ün iv e r a a lism e - a quói j'o p p o s e r a i,n a t u r e llem ent, le p a r t ic u la n s m e h a b itu e l des lo g ic ie n s contem-
p o ra in a , en p a r t i c u l í e r en th é o rie des modéles,
Q u elle e s t 1' lúée de la lo g iq u e ä l ' époque c la s s iq u e de la
lo g iq u e moderne, & i 1 époque de Freg a?
En prem ier l i e u , ľ idée eat tie d e v o ile r la s tr u c tu r e lo g iq u e
profonde du langage, c .- á - d . la s tr u c t u r e de la penade qui у tro u ve
e x p re ssio n , зоия le v o ile de sa s tr u c t u r e gram m aticale a u p e r fic ie l-
l e . U 'u u , n a t u r e lle m en t, l 'i d é e d 'a s s o c ie r a la tache d 'a n a ly s e
lo g iq u e de ce langage iogiquem ent im p a rfa it q u 'e s t le langage o r
d in a ir e la tS rh e de syn th é se , s i j e p u is d ir e , d'un langage extra-
- o rd in a ir a e t lugiquúmept p a r f a i t , dont la s tr u c t u r e r e f l a t e fid e -
lem ent, au lie u de la masquer, la s tr u c t u r e de la pensée, e t dans
le q u e l on p u isse " p a r a p h r a s e r ", comme on d i t , le s enonce's du la n
gage o r d in a ir e - j e d i r a t i un "lan g ag e de p a ra p h ra s e ".
Le
"langage o r d in a ir e " , c 'e s t le langage l n l -méme. tou t e n tle r,que
l'o r i p a r le , e tde теше
le "monde11 donton
p a r le . Au-delk, i ln 'y a r ie n , e t c 'e s t l e sa tile chose ttur i l m 'im porte de marquer en
J van H e i j e n o o r t , L o g ic as C a lc u lu s and L o g ic as
language, i'boston S tu d ie s in the Ph ilo so p h y o f S c ie n c e " 1967 , vol.
ce prem ier li e u : qu' i l n ' у a pas de metaiangage comme langage
au-delá du langage (e t c e la vaut a u ssi bien pour le langage de
p a ra p h ra s e ), pas de metalo g iq u e comme lo giq ue au-delá de la lo
g iq u e, pas ď engagement ontolog iq ue p o s s ib le á l'é g a r d d'un monde
au-delá du monde; b r e f, que la lo g iq ue e s t u n iv e r s e l l e . C 'e s t ęa,
ľ u n iv e rs a lis ro e , son noyau r a t ío n n e l.
§ 2. Le second lie u de la logique
En second lie u , ľ id e 'e e s t de d eterm iner le s In fe re n c e s (lo -
giquenien t) v a lid e s, e t c 'e s t ce second lie u que jé veux e x p lo re r.
La q u estio n e st de s a v o ir s i , de c e r ta in e s prém isses en nombre f i
n i, i l e st p o s s ib le de t i r e r une c e r t a in e co n clu sio n dont on s o it
assure de la v e r it é pour peu que 1 'on a i t reęu, pour une ra is o n ou
pour une a u tre , e t ä t o r t ou ä ra is o n , le s prém isses elles-memes
comme v r a ie s .
Une t e l l e e n tre p r is e e s t t n b u t a i r e de la p récád ente, car la
p o s s i b ili t é ď in fe re n c e en q u estion t ie n t , non au co n ten u , mais a
la forme (ou s tr u c t u r e ) lo g iq ue des prem isses e t de la c o n clu
s io n , c e tte forme, ord in airem en t la t e n t e , devenue p a tente dans le
langage de p arap h rase. C 'e s t de pre'misses de t e l l e e t t e llle forme
que la logique nous d ir a q u 'i l e s t p o s s ib le de t i r e r une co n clu
sio n de t e l l e a u tre form a. Comme i l e st f a c i l e de v o i r , la d e te r
m ination des in fe re n c e s v a lid e s r e v ie n t a c e l l e des énonces v r a is
en v e rtu de le u r s e u le forme lo g iq u e , b re f des énonces logiquement
v r a i s .
I I e st temps de remarquer qu'en tou te rig u e u r, on a non seule-
ment besoin d'un langage de p arap h rase, mais encore, dans ce la n
gage, d'une d is t in c t io n e n tre sig n es lo giq ues et e x tra lo g iq u e s .
C 'e s t seulement sur la base d ’ une t e l l e d is t in c t io n que la n o tio n
de forme logique d'un énoncé de си langage d e vie n t c l a i r e : i l suf-
f i t d ’ y rem placer le s signes e x tra - lo g iq u e s par des l e t t r e s sche'-
matiques (au sens de Quine) convenables (c .- a - d . re te n a n t le u rs
c a té g o rie s et le u rs id e n t it é s ou d if f e r e n c e s ) pour o b te n ir urf
sjsháraa, ou fprmcUe (c o n s t itu é e , done, de sig nes lo g iq u es et de
le t t r e s sch e m a tiq u es), rep re'sentant a u ssi cla ire m e n t que p o s s ib le
la forme lo giq ue de ľ dnoncé en q u e s tio n . H ais la d is t in c t io n entre
-réd u ctib lem e n t c o n v e n tio n n e l, e t sans doute c o n v ie n t - il de re la -
t i v i s e r la n o tio n de forme lo g iq u e , e t done c e l l e de v é r it é l o
g iq u e, a t e l l e ou t e l l e d is t in c t io n convenue e t reconnue comme t e i le .
La d e te rm in a tio n des in fe re n c e s v a lid e s r e v ie n t , a i- J e d it
p lu s h au t, a c e l l e des епопсез logiquem ent v r a i s ; e i l e r e v ie n t aussi ä c e l l e des form ules qui re p ré še n te n t des formes d 'énoncés lo g iq u e
ment v r a ie (du langage de paraphrase e t , a t r a v e r s l u i , du langage
o r d in a ir e ) , autrement d it des formuje š v a l i d e s .
^ J v a l i d i t t i syh tax ig ue
et la complétude exp erim ental«
Les form ules é ta n t supposées données, la q u estio n e s t de savoir
le s q u e lle s sont v a lid e s , La réponse c la s s iq u e (F re g e , R u s s e ll) e s t
que le s form ules v a lid e s sont le s "théorem es" correspondent ä t e l
le ou t e l l e n o tio n de "d e m o n stra tio n “ , c.- a - d . ä la donnée de tels
e t t e ls “ axiomes" e t " r e g ie s ď in fe re n c e " ( l a re s e rv e des g u i l l e
mets s'im pose pour un t e l le x iq u e ё un t e l n iv e a u ). Ces choses sont
b ien confutes, e t ľ on s a it que p lu s ie u rs n o tio n s de "dem onstration"
ont eu co u rs, h is to riq u e m e n t, qui, to u te s , re v e n a ie n t p ra tiq u e a e n t
au méme.
Ľ une de ces n o tio n s é ta n t c h o ia ie , on d e f i n i t done:
(Of I ) val(_x) s s i h x,
en supposant évidemment, conformement a 1 'a t t it u d e u n iv e r s e lls t e ,
que s o ie n t d is p o n ib le s , dans le cadre de la lo g iq u e elle-m ém e,
C .- a - d . dans le langage de p arap h rase, le s Hloyens d 'e x p re s s io n de
c e t t e d e f i n it io n , et, dans le monde, le s e n t it é s correspondantes
(e n t r e a u tr e s , le s form ules Hlles-mémes - d is o n s: des ensembles
h é ré d ita ire m e n t f i n i s ) . Une s u p p o sitio n analogue accompagnera toute
r ié f in it io n en visag ée au cours de c e t expose. Sur ce p o in t , pour
c e t t e d e f in it io n , avec la lo g iq u e de Frege ou c e l l e de R u s s e ll,
p. e x ., pas de probléme.
R e s te , dans c e t t e o p tiq u e , une d e rn ie re q u e s tio n : c e l l e de la
com plétu d e : le s form ules a t t e in t e s de c e t t e faęon s o n t- e lle s to u
tes le s form ules v a lid e s ; c .- a - d . to u te s c e lle s qui re p re se n te n t
des formes d'énoncés logiquement v r a is du langage de p araphrase
e t , a t r a v e r s l u i , du langage o r d in a ir e (on ne remet pas en cause
Redoutable q u estio n , ä la q u e lle le s c la s s iq u e s , pour des
ra is o n s de p rin c ip e que J e d ir a i (§ I I ) , nu donneront Jam ais de
réponse th é o riq u e , a p r i o r i . I l e se co n ten te ro n t de c o n s ta te r
qu'on ne ren co n tre pas, ď e x p é r ie n c e , de form ule attendue comme
v a lid e qui ne s o it d^ja recensde comme t e l l e : c 'e s t la "com plétu-
de é x p é rim e n ta le ", selon le root de Herbrand, ou a p o s t e r i o r i . § 4. T r a n s it io n : q u estio n ď in t e r p r e t a t io n
Le v r a i probléme, dans to u t ęa, c 'e a t qu'on ne s a i t pas encore
de quoi on p a r le exactem ent: que c e r t a in e s form ules s o ie n t recon-
nues comme v a lid e s e st une chose, la q u estion de s a v o ir ce que l'on
veut d ir e quand on d it que t e l l e form ule par t ic u l i e r e e x p lic ite -
menjt donnée e s t v a lid e , a f o r t i o r i la q u estio n de s a v o ir ce que
c ’ e s t que la v a l i d i t é d'un e form ule p a r t ic u lie r e non e x p lic ite m e n t
dormtje ou la v a l i d i t é d'une form ule en gene r a l , en e s t une a u tre .
C ettp d e rn ié re q u estio n commande la p o s s i b i l i t é d'une réponse thé-
o riq u e , a pr i o r i , á la q u estio n de la comple'tude.
( D f l ) e st p lu tô t un c r it é r e qu'une d e f i n i t i o n ; ou, poür le
d ir e autrem ent: ľ a in s i nominee d e f in it io n e s t e x trin s é q u e ,' quand
i l nous f a u d r a it une d e f in it io n in tr in s é q u e . C e lie ä la q u e lle on
pense iromédiatement e s t la s u iv a n te : une form ule v a lid e e s t une for mule v r a ie pour to u te s le s in te r p r e t a t io n s de ses l e t t r e s schem ati- ques:
(O f2) v a l(x .j s s i v r ( x ) pour to u te s ^ le s in t e r p r e t a t io n s des
le t t r e s schematiques.
Im p ossib le ď e n r e s t e r l a , non seulement ä cause du c a r a c té re
d é jä problem atique ď u n e des n o tio n s q u 'im p liq u e une t e l l e d e f in i
t io n , la n o tio n de v é r i t é ; mais encore e t s u rto u t a cause de son
im p re c is io n : q u 'e s t- c e que ęa veut d ir e , precisem en t: "pour tou
tes le s in t e r p r e t a t io n s " ? ( 1 ' a lt e r n a t iv e s e ra : "pour to u tes 1ез
in t e r p r e t a t io n s dans not r e monde " ou “ pour to u te s le s in t e r p r e t a
tio n s dans tout monde p o s s ib le " ? ) . Tout ęa pour ne r ie n d ir e en
core d'une a u tre o b je c tio n que l 'o n a pu f a i r e a la d e f in it io n
ID Í 2 ) , fondée sur la c o n s id e ra tio n des form ules dépourvues dt l e t
t r e s schém atiques, e t dont j e rep o rte la fo rm u la tio n ( e t la le v é e )
§ 5. l a v a l i d i t y sém antique: prem ier e s s a i
Pour au tan t q u 'e lle im plique la n o tio n de v i í r i t é , c e l l e de v í
r i t e logique ou de v a l i d i t é e st au moins a u ssi problém atique q u 'e l
le . £n f a i t , e l l e ľ e s t bien davantage. La ilif f é r e n c e e n tre le
Probleme de la v é r it é e t c e lu i de la v é r it é lo g iq u e ou de la v a l i
d it é m érite d 'e t r e s o u lig n é e . La q u estion de s a v o ir ce que ľ on
veut d ir e quand on d it que t e l énoncé pa ^ r jtl^ i_ e г exp lic lt e m e nt
donné e s t v r a i admet (s a u f excep tio n s dues au paradoxe du Menteur
e t a u tre s sem b lab les) une réponse to u te sim p le: on ne veut r ie n
d ir e d 'a u tť e que ce que ľ on d i r a i t en énongant c e t énoncé lu i-
-meme. La s e u le q u estion d i f f i c i l e e st de s a v o ir ce que c 'e s t que
la v é r it é ď u n énoncé p a r t i c u l i e r non e x p lic ite m e n t donné ou la
v é n t é d'un énoncé en g é n é ra l2 . Avec la q u estio n de la v é r it é lo
gique d'un énoncé p a r t i c u l i e r e x p li c i tement donné ou de la v a } i d i t é
de la form ule qui en rep ré se n te la forme lo g iq u e , la d i f f i c u l t é
s u r g it íir.médi a tem ent, c e l i e de s a v o ir ce que veut d ir e : "pour toutes
le s in t e r p r e t a t io n s " . I n u t i l e ď a l l e r p lu s lo in pour commencer ô
ľ ex p o ser.
Admettant que co n n ecte u rs, q u a n t ific a t e u r s e t v a r ia b le s du
prem ier ordre sont des sig n e s lo g iq u e s , s o i t , p. e x ., la form ule:
( О (3 * ) -.P (x).
et s o it ä d ir e ce que l 'o n v o u d ra it d ir e s i l'o n d i s a i t que cette
form ule e s t v r a ie pour to u te s l es in t e r p r e t a t io n s de " P " ' 1 (en f a i t ,
on ne le d it pas, mais qu’ im p o rte ), J'e x a m in e ra i successivem ent
p lu s ie u rs réponses a u x q u e lle s on p o u rr a it songer..
La prem iére réponse que j 'e n v is a g e r a i e3t que la q u a n t if ic a
tio n u n iv e r s e lle en q u estio n s e r a it ä entendre comme n 'im p o rte qu
e l l e a u tre , done - s o it d it á 1 'adresse de qui a u r a it quelque id ée
de mondes p o s s ib le s d e r r ié r e la t e t e -, r e l a t ivement á n o trem o n d e;
on v o u d ra it d ir e tout simplement que la form ule en q u estio n e st
v r a ie pour tou tes le s in t e r p r e t a t io n s de " P " dans n o tre monde. P lu s p récisém en t, e t sans s o l l i c i t e r la n o tio n de v é r i t é :
(0 Í3 ) v a l ( ( l ) ) s s i (У ^ )(а x^»X(x).
2
C f. A. T a r s k i , P o ję c ie prawdy w jęz ykach nauk d e d u k cyj
forma-La prem iére o b je c tio n ä f a i r e ä c e tt e d e f in it io n dépend du
cadre lo giq ue c h o is i: e l l e e s t in e x p n m a b le , in d ic ib le - ou enco
re denue'e de sens - s i c 'e s t c e lu i de la logique du prem ier ordre,
qui e x c lu t la q u a n t if ic a t io n du second o rd re " ( V X ) " ; e l l e ne ľ e st
pas s i c 'e s t c e lu i d'une lo g iq ue d 'o r d re s u p é rie u r, mais a lo r s
d 'a u tr e s du méme genre, r e la t iv e s b d 'a u tre s form u les, le sqnt b
le u r tour - a morns q u 'i l ne s 'a g is s e d'une lo g iq ue d 'o rd re i n f i-
n i. C 'e s t dans ce d e rn ie r cas q u 'i l e st le p lu s te n ta n t de gene-
r a l i s e r :
(D f4 ) v a l( x ) s s i v r (x * ),
ou x* e st k x ce que Ч * £ ) ( З а ) - ,Х< а)и e st h и(- Э *Ь Р < а )": la c l o
tu re u n iv e r s e lle d'un c e r t a in enoncé o u ve rt canoniquement a s so c ié
(ou ce t énoncé méme, s ' i l n 'e s t pas o u v e r t ). Mais c e tt e d e fin itio n ,
fa u te d'une th é o rie u n iv e r s a lis t e s a t i s f a is a n te de la ver jt é 5 reste
i n u t i l i s a b l e .
Ľ idée de t e l i e s d e f in it io n s remonte á T a rs k i4 (q u i échappe ä
ľ o b je c tio n ď in d é f i n i s s a b i l i t é de ia v é r it é q u 'i l a lui-mémo dé-
montrée , non par 1 ' allégem ent des c o n tra in te s qui p e sa ie n t sur la
d e f in it io n " s a t is f a is a n t e " comme t e i l e de la v é r i t é , mais par
ľ abandon, en f a i t e t sans mot d ir e , des exigences u n iv e r s e lls te s ),
e t , d'une c e r ta ín e m aniére, é Bolzano (q u i ignore la d it e o b je c
t io n ) .
§ 6. La v a j j d j t é sémantig ue: deuxiéme e ss a i
Pour f ix e r le s id é e s , plaęon3-nous dans le cadre exem plaire de
la lo g iq u e du prem ier o rd re , avec le s signes lo giq q es q u e j ' a i dits.
La seconde réponse que j ' e n v is a g e ra i a la q u estion de s a v o ir ce
que l'o n v o u d ra it d ir e s i l'o n d i s a i t que la form ule ( l ) e st v r a ie
pour to u te s le s in te r p r e t a t io n s de " P " c o n s is te h donner une
"ré-l i s i e r t e r i Sprachen, "S tu d ia P h i"ré-lo s o p b ic a " 1936, t . I , p p . 261-405
(P o s t- S c rip tu m ).
i Malgré S. K r i p k e , O u tlin e of a Theory of Truth. "The
Jo u rn a l o f P h ilo s o p h y ” 1975, v o l. 72, pp. 690-716.
A. T a r s k i , Über den B e g r if f der lo g isch e n Folgerung,
td a n s :j Actes du Congrés In t e r n a tio n a l de P h ilo s o p h ie S c ie n tifia u e
P a r is 1935, 1936. ■
p liq u e " dans le d ic i b l e de la reponse ln d lc ib le envisa g é e p re ce de-
т т nnt - e t , s i c 'e 3 t p o s s ib le , a g é n e 'r a lis e r . I I semble que c e la
p u isse se f a i r e de t r o i s faęons au moins.
1 ° ) On p o u r r a it punsor ä f a i r e jo u e r le r o le de monoe - ou uni-
v e rs - a une c e r t a in ensemble b convunablement c h o is i, e t done ä
ré d u ire au prem ier o rd re to u te s le s q u a n t i f ic a t io n s de (D f 3 ), á re-
l a t i v i s e r l e s q u a n t i f ic a t io n s r é d u ite s aux echelo ns con venab les de
l 'e c h e l l e d'ensem bles de base b, e t a rem placer le s subsomptions par des a p p a rte n a n ces:
(0Í5-) v a l C ( D ) s s i v a l ^ ( ( l ) ) s s i ( v у e X b ) y ) ( 3 № b x )(x fry )
2 ° ) On p o u r r a it penser h r e s t r e in d r e la q u a n t i f ic a t io n in d ic i-
b le de ( O f J ) aux v a le u r s de "X " qui c o r r e spondent á des
b 1 e s :
( 0 Í6 ) v a l ( ( I ) ) _ s s i ( v ena( ^ y y ) (3x)xf}£.
3 ° ) On p o u r r a it penser ä r e s t r e in d r e la q u a n t i f ic a t io n in d ic i-
b le de (D f3 ) aux v a le u r s de "X " d ó fi n l s s a b l e s : ä rem placer c e t t e
q u a n t i f ic a t io n r e f e r e n t i e l l e ' par une q u a n t i f ic a t io n s u b s titu tio n n e l- lu (n o t a tio n s e vid < ?n t«s):
(0 f 7 ) v a l ( ( D ) s s i < V p ^tí(jŕ)* ) v r ( г- ( З х Ь у ( х Г ) .
ta d e f in it io n (D f7 ) ne va pas sans d i f f i c u l t y , a cause du
p r é d ic a t de v í r i t e q u 'e l l e im p liq u e. Renonęons-y prudemment. Re-
s te r.t (U f S ) e t ( 0 f 6 ) : e l l e s ne sont pas é q u iv a le n t e s : (U f 5 ) rend
(1 ) non v a lid e , a lo r s que (O f ć ) la rend v a lid e - ce qui condarane
( Ü f 6 ) . Reste C O fS), qui e s t g é n á r a lis a b le sans d i f f i c u l t é de prin
c ip e :
(D f8 ) v a l ( x ) s s i v a l b (x ) s s i . . . ,
d e f i n i t i o n qui dünne dans tous le s cas l e r e 's u lta t a tte n d u ,
pourvu que b s o it i n f i m (c o n s ta t " e x p e r im e n ta l" ). S i b n 'a
q u 'u n element, (0 f5 ) rend la form ule:
( 2 ) (3 x )P Ix ) — ► (V x )P (x )
v a lid e de faęon in a tte n d u e . Oe fagon o é n é ra le , s i b e s t f i n i , on
c o n s id é re ra l a form ule (de Löwenheim):
(3 ) {(Vxjŕz) [(R (x , * ) Á R ( x , jt ) ) —* y - z] Л ( V y ) ( 3 * ) R ( x , j ; ) } " " *
Evidemment, on a im e ra it comparer la d e f in it io n (O fB ) á c e l i e ,
( D Í4 ) , dont e i l e e s t la r é p liq u e ,m a is , en toute r ig u e u r, c 'e s t im
p o s s ib le - ce s e r a it in een se. E t , de to u te fagon, dans le m e ilr
le u r des ca s, ou ö e s t i n f i n i , (0 f 8> n ' e a t pas p lu s in trin s ö q u e ,
fin a le m e n t, que ľ e x trin sé q u e ( D f l ) .
J ' a i f a i t remonter á T a rsk i 1 ' idée des d é fin it io n o o r ig in a le s
(D f3, Of4 ), je p o u rra is a u ssi bien le f a i r e de le u rs re p liq u e s
(D f 5, Df8 ) ; ou, mieux, des unes e t des a u tre s confondues dans
ľ abandon, dont j ' a i f a i t é t a t , des exigences u n iv e r s e lls t e s .
§ 7. Transi t io n : v a ria b lo e e t mondes p o s s ib le s
Indépendamment du c a r a c te re exprim able ou non des d e f in it io n s
o r ig in a le s , independammant du cadre lo g iq ue c h o is i, n 'á u r a i t - i l
pas f a l l u , de toute faęon, de'noncer en e l l e s , d é jä , le c a r a c te re
e x tn n se q u e que j ' a i dérioncé, a ľ in s t a n t , en le u rs ré p liq u e s ? Cette
seconde o b je c tio n p o u rr a it prendre la forme s u iv a n te ( j e d ir a i par
apres ce q u 'i l fa u t en p e n s e r).
Ces d é f in it io n s o r ig in a le s font dépendre in te n s iu n n e lle m e n t,
sinon e x te n sio n n e lle m e n t, la v a l i d i t é de n otre monde au lie u de
ľ e n lib é r e r comme e ll e s le d e v ra ie n t. torsq u e T a rs k i demande s i
le s énoncés a n a ly tiq u e s en son sens, c.- á - d . le s enoncés logiquc-
ment v r a is au sens i c i e n visa g é , sont bien ceux qui "ne d is e n t rien
sur le monde", la réponse á l u i f a i r e e s t quo, de toute faęon, la
d é f in it io n q u 'i l en donne, pour la ra is o n que nous venons de d ir e ,
ne s a u r a it nous s a t i s f a i r e . Ces d e f in it io n s o r ig in a le s re v ie n n e n t
á in t e r p r e t e r "pour to u te s le s in t e r p r e t a t io n s " comme: "pour toutes
le s in t e r p r e t a t io n s dans n o tre monde" , a lo r s qu’ i l f a u d r a it 1 i n
t e r p r e t e r comme: "pour to u te s le s In t e r p r e t a t io n s dans to u t monde
p o s s ib le " .
P e u t- e tre , mais a lo r s i l fa u t é tr e coh erent. Car i l у a un
c e r t a in g e ste , passé in aperęu ta n t i l se m b la it a l l e r de s o i, et
qui p o u rta n t commandait la prem iére in t e r p r e t a t io n , e t ce g e ste ,
c 'e s t 1 ' a s s ig n a tio n des v a r ia b le s comme sig n es lo g iq u e s . En toute
r ig u e u r , e i l e im p liq u a it 1 'a s s ig n a tio n du r é e l comme é p u is a n t á
l u i to u t se u l tout le champ du p o s s ib le ; s i e l l e e s t m aintenue,
ľ a b je c tio n ne t ie n t pas. La c o n s id e ra tio n des form ules dépourvues
de le t t r e s schem atiques le c o n firm e ra . Pour p o u vo ir f a i r e d r o it a
la seconde in t e r p r e t a t io n , c e l i e en termes de mondes p o s s ib le s , i l
f a u t , en to u te r ig u e u r, a ssig n o r des ľ o r i g i n e , le a v a r ia b le s com
me sig n es e x tra - lo g iq u e s , e t in tr o d u ir e c o rré la tiv e m e n t (c e que
personne ne se so u cie jam ais de f a i r e expressám ent) des le t t r e s
schem atiques de v a r ia b le s .
Admettons done que con n ecteurs e t q u a n t ific a t e u r s du prem ier
ordre sont des sig n es lo g iq u e s , mais que le s v a r ia b le s du prem ier
o rd re son t des sig n es e x tra - lo g iq u e s . Une consequence immediate est
que la form ule ( l ) n 'e n e st p lu s une, e t que leg énoocés auxquels
e l l e c o r t esp u nd ait ont changá de forme lo g iq u e : c e l l e - c i e s t main
tenant rep ré se n te e p ar la form ule:
^ 2) (3v )->P( v ),
oú " v " e s t une l e t t r e schéraatique de v a r ia b le du prem ier o rd re .
La v é t i té lo giq ue des enoncôs en q u estio n ne r e v ie n t p lu s h la
v a l i d i t é de ( 1 ) , mais a c e l i e de ( 2 ) . La q u estio n e s t a lo r s de
s a v o ir ce que l ’ on vo u d ro it d ir e s i l ‘ on d i s a i t que la form ule
(2 ) e s t v r a ie pour to u te s le s In t e r p r e t a t io n s de ses l e t t r e s sché-
m atiques, c .- á - d . de " P " , mais au ssi de "V й . E t i l s e r a i t pra-
tiquement absurde, en e f f e t , dans ces c o n d itio n s e t ju s q u 'é p lu s
ample in fo rm é, de repondre dans la lig n e de (D f3 ), méme en tenant
compte, de quelque fagon, de la n o u v e lle l e t t r e schém atique " v " .
La prem iére rtíponse qui s'intpose e s t bien c e l i e en termes de mondes
p o s s ib le s : que la form ule (2 ) e s t v r a ie pour ťoutes le s in t e r p r e
t a tio n s de "P* e t de " v " dans tou t monde p o s s ib le :
(D f9 ) v a l( ( ? > ) s s i pour tout monde p o s s ib le W, v a l w( ( 2 ) ) ,
avec; v a l ^ ( ( 2 ) } s s i ( ^ X X a ^ x b X i x ) , “
le s r e l a t i v i s a t i o n s a W, e t d 'ab ord la n o tio n méme de monde p o s s i
b le , demandant ä é tr e p r é c is é e s .
I n u t i l e de d ir e que (0 f 9 ) e s t encore p lu s in ex p rim ab le que ne
1 'é t a i t , e'ventuel lam ent, ( 0 Í 3 ) : Г id ée c la s s iq u e de monde p o s s i
b le , pour n np récise q u 'e lle demeure, rend précisém ent c e t t e d e 'fin i-
tio n in exp rim ab le q u el, que s o it le cadre lo g iq u e c h o is i ( f u t - i l
(O flO ) v a l ( x ) s s i pour tou t monde p o s s ib le W, v a ly íx ),
ave c: v a l w(x ) s s i v r w(x * ),
ou i * e s t , comme pour (D f4 ), la c lS t u r e u n iv e r s e lle d 'un c e r t a in
énoncé' ou vert canoniquement a s so c ié (ou c e t énoncé méme, s ' i l n 'e s t
pas o u v e r t ). Ces d e f in it io n s donnent ä la v a l i d i t é .son sens attendu
(c la s s iq u e m e n t), mais ce sens e s t un non-sens.
Ľ idée de t e l i e s d e f in it io n s remonte, de quelque facon, au
7 /
prem ier W ittg e n s te in , á R o s s e il et ju s q u 'á L e ib n iz .
i 9. La v a l i d i t é sém antique: quatriém e e t d e rn ie r e s s a im i — — и д i im i w i ni l i ■ »in Hf щ i —t i m ľ -fannPľ jrc^ w r iniiHagriw. m n i w i u i n . -- -"rr*— ... mi
Pour f ix e r le s id é e s , plagons-nous dans le cadre exem plaire de
la lo giq ue du prem ier o rd re , comme nous ľ avons d éjá f a i t au para-
graphe 7, sauf q u 'i c i , rap p elo n s-lc, le s v a r ia b le s sont deá signes
non p lu s lo g iq ues, mais e x tra - la g iq u e s , e t que ce n 'e s t done plus
de la form ule ( I ) q u 'i l s ' a g i t , mais de la form ule ( 2 ) . La seconde
réponse que j'e n v is a g o r a i a la q u estion de s a v o ir ce que l'o n vou
d r a it d ir e s i l'o n d is a i t que la form ule (2 ) e s t v r a ie pour tou
tes le a in te r p r e ta t io n s de " P ” e t de "w" c o n s is te ä donner une
" r é p liq u e " dans le d ic ib le de la réponse in d ic ib le envisag ée précé- deminent - e t, s i c 'e s t p o s s ib le , з g é n é r a lis e r . Ľ idee e s t de f a ir e
jo u e r le r o le de mondes p o s s ib le s aux ensembles non vid e s (c e t t e
c o n d itio n de n on-vacuité n 'é t a n t d 'a i l l e u r s раз e s s e n t ie l le ) de
n o tre monde, et done á ré d u ire to u te s le s q u a n t if ic a t io n s de (D f9 )
au prem ier o rd re , p u is a r e l a t i v i s e r l a prem iere a la c la s s e des
ensembles у non vid e s e t le s s u iv a n te s aux échelons convanables
de l 'é c h e l l e ď ensembles de base y, e t ä rem placer le s subsomptions
par des ap p arten an ces:
( O f l l ) v a l ( ( 2 ) ) s s i (V e n 3 (i)A ^ , ^ ) v al r ( ( 2 ) ) f
avec: v a l ^ ( ( 2 ) ) s s i ( V? e r ( y ) z ) ( 3 xeyx )x fz .
C e tte d e f in it io n e s t g é n é ra lis a b le sans d i f f i c u l t é de p r in c ip e :
( 0 П 2 ) v a l (x ) s s i (V e n s(^ )A y^ ľ ) v a l y ( i ) ,
avec: v a l (д ) s s i . . . ,
d e f in it io n qui donne to u jo u rs le méme r é s u lt a t (a tte n d u ) que (O fB )
7 B. R u s s e l 1, In tro d u c tio n fo M athem atical P h ilo s o p h y ,
C ä la s u b s t it u t io n p res de l e t t r e s schem atiques au v a r ia b le s dans
le s form ules c o n s id é ré e s ) s ' i l e x is te des ensembles i n f i n i s , dont
h . Evidemment, on a im e r a it comparer la d e f i n i t i o n (D fT 2 ) a c e l l e ,
(D f lO ) , dont e l l e e s t la r é p liq u e , m ais, en tou te r ig u e u r , c 'e s t
im p o ssib le - ce s e r a i t in sen sé.
La ré p liq u e donne une id ée de ce que v o u d ra it d ir e ľ o r ig in a le
s i e l l e v o u la it d ir e 'iuelque chose. I I fa u t d ir e que le s deux ne
sont pratiquem ent jam ais d is tin g u é e s , le u r d is t in c t io n n 'a y a n t de
sens que dans ľ horizon u n iv e rs a l is t e c la s s iq u e , ou peut se poser
la q u estio n du d ic ib le e t de I ' i n d i c i b l e , et qui n 'e s t p recisem ent
pas c e lu i do la contem poroine tb é o rie des m odeles. C ’ e s t dans la
co n fu sio n des deux (e t ľ o b s c u rity quant au caractfere lo g iq u e ou
non des v a r ia b le s ) que se c o n s titu e la réponse contem poraine ha
b it u e lle ä la q u estio n de la d é f in it io n de la v a l i d i t é . C e tte re-
ponse remonte, en-de^a de T a rs k i, ä H ilb e r t et Ackermann . Mais
pour nous qui le s d is tin g u o n s , (O f 12) donne b ien un sens a la va
l i d i t é de ( 2 ) , p. e x ., ce que (D flO ) ne f a i s a i t pas, mais tombe
malheureusement sous le coup de la meme c r it i q u e que (D fB ).
l e p o in t n 'e s t pas, f a u t - il le p r e c is e r , que (D f 12) suppose,
comme déjb ( O f l ) , une o n to lo g ie i n f i n i e d'ensem bles h é r é d ita ir e -
munt f i n i s , ne s u r a it- c e que pour p o u vo ir p a r ie r des form u les:
c é t t e dépenda.nce ä 1' égard de n o tre monde n 'a r ie n , a mes yeux, de
d ir im a n t; n i seulement que, pour é t r e e x te n s io n n e llenient atte n d u e,
e l l e suppose davantage, ä s a v o ir l'e x is t e n c e d'ensem bles in f i n is ;
mais que, supposant to u t c e la , e l l e f a i t dépendre in te n s io n n e lle -
ment la v a l i d i t é de n o tre monde, e l l e n 'e s t pas p lu s in tr in s é q u e
que 1 'e x trin sé q u e ( O f l ) .
D 'o ii, en somme, s i ori en re s te ä (O flO ) e t ..(Of 12), le dilenme:
s o i t la v a l i d i t é a son sens atte n d u , mais ce sens e s t un nori-sens;
s o it e l l e a un sens qui en e s t un, mais ce sens e s t in a tte n d u .
§ 10 Co n tro - é p r e u v e:_ ré s o lu t i on d 'u n p a ra d o x e
J ' a i évoque p lu s haut (§ 4) une o b je c tio n que ľ on a v a it pu
f a i r e á la d e f in it io n (D f2 ), fondée sur la c o n s id e ra tio n des formu
le s dépourvues de l e t t r e s schem atiques. Ces form ules sont des
епол-Ь . H i l b e r t , W. A c k e r m a n n , Grundzüge der the
cés c o n s titu é a á p a r t i r des s e u ls sig n es lo g iq u es e t qui représen-
te n t le u r propre forme lo g iq u e - je le s «»p p ellerai énoncés lo g i-
que£; pour e l l e s , pour eux, la v a l i d i t y c o in c id e avec la v e r í t e
logique. Exemple d 'un t e l énoncé, form ule dans le cad re de la l o g i
que du prem ier ordre avec id e n t it e dont tous le s s ig n e s , у compris
C e lu i d 'id e n t it e , s o ie n t réputés lo g iq u e s:
(3 ) ‘ • (3 * )(3 y )x t y.
S i l'o n s 'e n t e n a it rigoureusem ent ä la d é f in it io n (Ü f2 ) (pour
im p recise q u 'e lle demeure) - t e i l e e st ľ o b je c tio n en q u estio n -,
i l f a u d r a it d ir e que, puisque la form ule e s t sans l e t t r e schém ati-
que e t que ľ énoncé e s t v r a i to u t c o u rt, la formule-énoncé (3 )
e s t , d»> faęon in a tte n d u e , valide-logiquernent v r a ie . Que to u t enonce
lo g iq u e v r a i s u it logiquem ent v r a i , c 'e s t ce qu'un R u s s e ll p o u vait
c r o ir e ä ľ epoque des P r i n c i p le s , mais q u 'i l denonca p lu s tard
comme une e rre u r au vu, p récisém en t, de cuntre-exeiiiples du méme
4 10
genre . A quelques excep tio n s prés , le a c la s s iq u e a pensęnt
comme ce. d e rn ie r: un énoncé t e l que (3 ) e s t tuen v r a i dans notre
monde, mais n 'e n e s t pas logiquement v r a i pour a u ta n t: tous leu
énoncés lo g iq ues v r a is ne sont pas logiquement v r o is , et la d é fim -tio n (D f2) (quelque p r ó c is io n qu'on у a p p o rte ) e s t in a c c e p ta b le 1' .
I I fa u t c h o is ir : ou b ien rertoncer ä la d é f in it io n (0 f2 ) pour
sauver le s t a t u t de v é r i t é e x tra - lo g iq u e de ľ énoncé ( 3 ) , ou bien
reriormer ä ce s t a t u t pour sauver c e tt e d é f in it io n . , Et ľ a ou qua-
siraent tous le s c la s s iq u e s c h o is is s e n t la prem iére é c o le , je p ro
pose de c h o is ir la seconde. Mis ä p a rt la n é c e s s ité ďe p r é c is e r de
faęon s a t i s f a is a n te le sens de ľ e x p ressio n : "pour tou tes le s in
t e r p r e t a t io n s " , la d é f in it io n (D f2 ) me p a r a lt in a tta q u a b le . Ce
n 'e s t pas en tout cas le p e t it paradoxe des énoncés lo giq ues qui
me fe~a changer d 'a v is . Je tie n s au c o n t r a it e que le s e'nqnces
lo-5 0. R u s s e l l , The P r in c ip le s of M athem atics, 2 e d ., G.
A lle n and Unwin, London 1937, In tr o d u c tio n , pp. v i i - v i i i .
10 L . W i t t g e n s t e i n , L o g isch - p h ilo so p h isch e Abhan
dlung (T ra c ta tu s lo g ic o - p h ilo s o p h ic u s ), "Annalen der N a tu rp h ilo s o
p h ie 1' 1921 ( L e i p z i g ) : , P. R a m s e y, The Foundations of Mathe-t
m a tic s , "Pro ceed in g s of the London M athem atical S o c ie ty " 1926, s e r.
2, pp. 338-384 (p a p ie r lu devant la L .M .S . en 1925).
11 C f. p. ex. H. U a n g, L o g ic a l Tru th , [d a n s :] From Mathe
m atics to P h ilo so p h y , Routledge and Kegan P a u l, London 1974, pp.
giques v r a is sont bien des énoncés logiquem ent v r a i s , par exemple ľ énoncé ( 3 ) .
Ľ énoncé (3 ) e st logiquement v r a i ; ou p lu t ô t , c a r c 'e s t le
moment d 'e t r e p r e c is : i l l ' e s t s* i l e s t b l en un __énoncé lo g iq u e ,
c.- ä - d . s i ses sig n e s sont bien lo g iq u e s , en p a r t i c u l i e r le s v a
r ia b le s . C 'e s t le p o in t: la d é c is io n de t e n lr le s v a r ia b le s pour
des sig n es lo g iq u e s semble a l l e r de s o i, nous voyons ce qu’ e l l e s i-
g n if ie , ce q u 'i l en co u te. S i l'o n ne peut sup p o rter la v é r it é
lo g iq u e de ľ énoncé ( 3 ) , ce n 'e s t pas la d e f in it io n (D f2 ) q u 'i l
fa u t rem ettre en cau se, mais la l o g i c i t é des v a r ia b le s . I I fa u t
s a v o ir ce que l'o n ve u t: ou b ien que le s v a r ia b le s s o ie n t logiques,
ou bien que la v é r it é de l ' énoncé (3 ) s o it e x tra - lo g iq u e .
De tou te faęon, que le s v a r ia b le s s o ie n t lo g iq u es ou non, c e la
ne change r ie n a c e c i que le s énoncés logiqueß v r a is sont bien des
énoncés logiquement v r a i s . Oans le prem ier ca s , la these e s t pa
rad o x a le , mais jo v ie n s de m'en e x p liq u e r; dans le second, e l l e
ea t t r i v i a l e , ca r i l д 'у a p lu s d'énonce' lo g iq u e ( v r a i ou n on).
Dans ce c a s , ľ énoncé ( 3 ) , p. e x ., n 'e s t p lu s lo g iq u e ; sa forme
logique n 'e s t p lu s rep ré se n té e par lui-meme, mais par la form ule:
(4 ) ( 3 v ) ( 3 v ') v i v',
ou " v " e t “ v / " soot des le t t r e s schém atiques de v a r ia b le s du
prem ier o rd re ; e t i l e s t encore v r a i , bien s u r, mats i l n 'e s t plus
logiqueaatnt v r a ir i l ne le s e r a it que s i la form ule (4 ) é t a i t v a
lid e , c .- ä - d ., s u iv a n t la d e f in it io n ( 0 f l 2 ) , s i l'o n a v a it :
ce qui n 'e s t evidemment pas le cas.
§ 11. La complétude th é o riq u e
Ľ id ée c la s s iq u e de v a l i d i t é e s t c e l i e qui suppose obscurément
que le s v a r ia b le s sont e x t r a - lo g iq u es (é preuve la p o s it io n c la s
sique sur des énoncés t e ls que ( 3 ) , e t la thése c o r r é la t iv e ab
surde q u 'i l , y a des énoncés lo g iq u e s v r a is qui ne sont pas l o g i
quement v r a i s ) . Oans ce paragraphe, je le sup p o serai c la ire m e n t
L a comparaison foridamentale e st c e l l e qui rap p o rte la d e f i n i
t io n syntaxique de la v a l i d i t é ( U f l ) а за d é f in it io n sémantique
en termes de modéles (Of 10) - (D f 12). Ľ é q u iva le n ce exten sionn elle
•
des deux fu t co n je c tu re e par H ilb e r t e t Ackermann en 192B ,
prouvée par Gödel en 1929^ e t p u b lié e en 1930*4 .
C 'e s t a in s i qu'on raconte ľ h i s t o i r e , qui s e r a it donč f i n i e
depuis longtemps. On ne s 'e n étonnera pas, je n 'e n c r o is r ie n .
Toute ma mise en scéne é t a i t destirtée ä f a i r e a p p a ra ltre le thé-
oréme de complétude dans sa d u p lic it e cachée, ä j u s t i f i e r a in s i
ľ une des d e rn ié ré s q u estion s de H e ije n o o rt: "que démontre la de
m onstration du théoréme de com p létud e?", e t b l u i donner une r é
ponse a u ssi peu ta u to lo g iq u e que p o s s ib le .
Pour moi, de deux choses Г une: ou b ien ce théoréme a son
sens (cľ a ssiq u e m e n t) attend u (Equivalence da (O fl) et de (0 f 10 ) ) , mais
се "se n s" e st un non-sons, e t sa "dem o n stratio n " ne démontre r ie n
du to u t j qu_bien ce théoréme e st bieri doué de sens, mais ce sens n*est
pas le sens attend u , mais seulement sa " r é p liq u e " (e q u iv a le n c e de
( D f l ) e t de (0 fl2 > )- ce qui n 'e s t pas r ie n , e st méme ad m irab le,
meis n 'e s t pas ce qu'on a t t e n d a it .
On comprend, m aintenant, pourquoi le s peres fond ateurs ne pou-
v a ie n t répondre á la q u estio n de la complétude th é o riq u e : parce
q u 'en tou te rig u e u r, i l s ne pouvaient méme pas la p oser. Et l'o n
ne peut p lu s s 'é to n n e r que, dans le s gnnées 20, un Herbrand ou un
Skolem a ie n t pu, pour ra is o n s "p h ilo s o p h iq u e s ", passer b côté
d 'un théoréme "techniquem ent" á le u r p o rtée .
Par la s u it e , done, (O flO ) e t ( 0 f l2 ) fu re n t confondues, la
d e f in it io n equivoque de la v a l i d i t é sémantique et le théoréme de
complétude qui va avec purent p a r a t tr e a la f o is sensés e t atten-
dus, et la th é o rie des modeles prendre la p la ce que l'o n s a i t dans
une "lo g iq u e " devenue in d is c e rn a b le de son double.
12 D. H i l b e r t , W. A c k e r m a n n , op. c i t .
K, G ö d e 1, Ueber d ie V o lls tä n d ig k e it des L o g ik k a lk ü ls ,
Thése, U n iv e r s it é de Vienne, 1929., 1
14 . I .d e m, Die V o ls ta n d ig k e it der Axiome des logischen Funktio-
n e n k a lk ü ls , "M onatshefte fü r Mathematik und P h y s ik " 1930, rir. 37,
§ 12. C o n clu sio n : la v é r it é lo g iq u e , probléme o u ve rt
Que co n clu re de tou t ęa? R e p ris e dans ľ h orizo n u n iw e rs a lis tę ,
la d e 'fin it io n de la v é r it é lo g iq ue en termes de modeles a p p a ra ít
dans sa d u p l ic it e , e t avec e l l e la th é o r ie des modéies elle-méme
e t la lo g iq u e moderne-contem poraine, qui l u i accorde la p la c e que
ľ on s a i t .
Que í a i r e ? Renoncer, i c i comme a i l l e u r s , h penser 1 '
impensa-b le , ne p lu s r é v e r , tro u v e r a u tre chose. Ma c o n c lu sio n n 'e s t pas
que l 'i d é e de v é r it é lo g iq u e e s t en elle-méme in d é fe n d a b le , mais
que sa d e f in it io n sém antique o r d in a ir e , e l l e , l ' e s t , pas m oins, en
tou t c a s , que sa d e f in it io n syn ta x iq u e . 4 ce p o in t, " v é r i t é lo g
i-que“ e s t le t i t r e ď u n probléme o u v e rt.
P e u t- e tre une bonne d é f in it io n en e s t - e lle p o s s ib le . Apres
to u t, depuis quelque temps, la th é o rie de la v é r it é a p r is un
l b
nouveau départ , pourquoi pas, m aintenant, la th é o rie de la vé
r i t é lo g iq u e ? C entre N a tio n a l de la Recherche S p ie n t if iq u e P a r i s , France P h ilip p e de Ro uilhan 0 TWORZENIU PO JfC IA "TAUTOLOGICZNOŚCI"
Na g ru n cie m yśli w spółczesnej próbowano o k r e ś lić p o ję c ie w yn i
kania lo g ic z n ie poprawnego. Odsyła to do p o ję c ia form (lo g ic z n y c h )
wypowiedzi lo g ic z n ie prawdziwych, a w ięc do form uł tau to lo g iczn ych .
W d y s k u s ji na ten temat jedno ze stanow isk ma c h a ra k te r s yn tak ty cz -
ny i zewnętrzny (F re g e , R u s s e ll) , inna ma c h a ra k te r semanty
czny i wewnętrzny. Formuła ta u to ło g ic z n a to ż d e f i n i c j i form uła
prawdziwa d la w szystk ich in t e r p r e t a c j i l i t e r schem atycznych.
Ja k rozumieć p o ję c ie "w s z y s tk ie in t e r p r e t a c j e ” ? I s t n i e j e w tym
w zględzie k ilk a p ro p o z y c ji; jedna z n ich pochodzi od T a rs k ie g o ,
inna od H ilb e r t a i Ackerraanna. P o k azu jąc, dlaczego te d e f in ic j e są
n iew ystaroz-jjg ce, au to r t r a k tu je problem jako o tw a rty .
