Minimalizacja efektu katalizy w metodach doboru zmiennych

Elżbieta Maksymiak

Minimalizacja efektu katalizy w

metodach doboru zmiennych

Annales Universitatis Mariae Curie-Skłodowska. Sectio H, Oeconomia 29-30, 355-361

A N N A L E S U N I V E R S I T A T I S M A R I A E C U R I E - S K Ł O D O W S K A L U B L I N — P O L O N I A VOL. X X IX /X X X , 23________________ SECTIO H___________________________ 1995/1996 Z a k ł a d N a u k E k o n o m i c z n y c h F i l i i U M C S w R z e s z o w ie E l ż b i e t a M A K S Y M I A K

M inimalizacja efektu katalizy w metodach doboru zm iennych

M m im alization of the C atalysis Effect in the Methods of the Choice of Variables

Z agadn ien ie doboru zm ienn y ch w jedn oró w nan iow y ch liniow ych m o­ d elach eko n o m etry czn y ch było p rzedm iotem uw agi licznych autorów . S tąd w p iśm ien n ictw ie n a u k o w y m istn ieje w iele a rty k u łó w , jak też o p ra ­ cow ań książkow ych, z k tó ry c h n ajw ażniejsze to [4], [5], [11]. Do m etod doboru zm ien n y ch najczęściej stosow anych należą m iędzy innym i: m eto ­ da selekcji a posteriori, m etoda selekcji a priori, m etoda re g re sji k ro k o ­ w ej, m etoda A llena, m etoda H ellw iga (por. [4], m etoda su b o p ty m a ln e j w arto ści w spółczynnika in te g ra ln e j pojem ności in fo rm a c y jn e j (por. [9]), m eto d a Rogow skiego (por. [10]), m etoda G uzika ([6]). D ob ierając zm ienne do liniow ego jednorów n ani owego m odelu ekonom etryczn ego pow inno m ieć się na uw adze tak ie p o stu la ty jak:

1) m ak sy m alizację sto p n ia dokładności, z jak ą m odel opisuje dane zjaw isko,

2) istotność p a ra m e tró w s tru k tu ra ln y c h m odelu,

3) dokładność ocen p a ra m e tró w s tru k tu ra ln y c h m odelu, 4) k o in cy d en cję m odelu,

5) b rak zm ien n y ch w spółliniow ych,

6) b ra k e fe k tu k a ta liz y lu b m in im aln e jego natężen ie.

M etoda selekcji a posteriori, m etoda selekcji a priori, m etoda reg re sji k ro k o w ej, m etoda A llena, m etoda H ellw iga oraz m etoda G uzika nie z a ­ p e w n ia ją koincydencji m odelu. W p racy [2] przeprow adzono a d a p ta c ję c z te re c h pierw szy ch m etod w celu uzyskania przy ich pom ocy m odeli k o in cy d en tn y ch . A d a p ta cja ty ch m etod polegała n a w kom ponow aniu do a lo g ry tm ó w w łaściw ych tym m etodom w a ru n k u zap ew n iający m koincy- d en tn o ść m odelu. U zyskano to poprzez zastosow anie w spółczynników k o ­ re la c ji częstkow ej do bad an ia koincydentności, gdyż znak oszacow ania

pa-356 Elżbieta Maksymiak

ra m e tru s tru k tu ra ln e g o m odelu jest iden tyczn y ze znakiem w spółczynnika korelacji cząstkow ej.

Model o trzy m an y m etodą Rogowskiego oraz m eto dą su b o p ty m a ln e j w artości w spółczynnika in te g ra ln e j pojem ności in fo rm a c y jn e j jest koin- cy d en talny . Ż adna z w yżej w ym ienionych m etod nie uw zględnia p ro b le ­ m u e fek tu katalizy .

W n in iejszej p racy p rzed staw im y dw ie m etody doboru zm ien ny ch , w w yniku k tó ry c h o trzy m an y m odel jest k oin cy den tny o m in im aln y m n a ­ tężeniu efek tu katalizy. E fek t k atalizy został w y k ry ty i opisany przez Z. H ellw iga w p racy [7]. Poniżej p rzypom nim y d efinicję e fe k tu k atalizy.

D E FIN IC JA 1 (por. [7])

M ówimy, że w m odelu ekon o m etry czny m o kreślonym przez re g u la rn ą p a rę k o relacy jn ą (R, R0) w y stę p u je efe k t katalizy , jeżeli istn ieje tak a p a ra w skaźników (i, j), dla k tó re j

Ti

ru < 0 łu b rn > ‘ * rj

gdzie R = [r ij]k • k. Ro” {ri]kxi są odpow iednio m acierzą k o relacji dla z m ie n ­ nych ob jaśn iający ch i w ek to rem , którego i-tą w spółrzędną jest w spółczyn­ nik k o relacji m iędzy i-tą zm ienną o b jaśn iającą a zm ienną objaśn ian ą. P o ­ niew aż efe k t k atalizy może w ystępow ać w m odelu z różnym natężeniem , d latego został określo n y m ie rn ik (por. [7]).

* } = r* -H ,

gdzie r* jest k w a d ra te m w spółczynnika k orelacji w ielo rak iej, zaś H jest pojem nością in te g raln ą in fo rm acji służący do m ierzenia n atężen ia e fe k tu k atalizy . Na podstaw ie nierów ności

0 ^ r! < 1

w ykazan ej w [8] w idzim y, że w m odelu nie w y stę p u je e fe k t k atalizy gdy tj= 0, n a to m ia st natężen ie e fe k tu k atalizy osiąga w artość n ajw ięk szą, gdy r ) = l . W m etodach, k tó re zap ro p o n u jem y w n in ie jsz e j p racy w y k o rz y sta ­ m y n a stę p u jąc ą defin icję 2 oraz tw ierd zen ie 1.

D E FIN IC JA 2 (por. [3]).

F u n k c ję f określoną na p arze k o rela cy jn e j (R, R0) i p rz y jm u ją c ą w a r­ tość w przedziale < 0 ,1 > , k tó ra jest ciągła w zględem w szystkich e le m en ­ tów m acierzy R oraz w szystkich w spółrzędnych w e k to ra Rn oraz tak ą, że gdy R jest m acierzą jedn o stk ow ą sto p n ia k oraz XT,*=i r *2= 1, to f(R, Ro)— 1 n azyw am y m iern ik iem liniow ego jednorów naniow ego m odelu ekonom e- trycznego.

M inimalizacja efektu katalizy... ₃₅₇

TW IERD ZEN IE 1 (por. [3])

Jeżeli fj oraz U są m iern ik am i m odelu w snsie definicji 1. to dla do­ w o ln y ch liczb rzeczyw istych dod atn ich c t oraz c2 fu n k cja / = f V f ? jest m ie rn ik iem m odelu.

Z auw ażm y, że w sensie definicji 1 m iern ik am i m odelu są: — in te g ra ln y w spółczynnik pojem ności inform acji H,

— in te g ra ln y w spółczynnik koincydencji M2= r 2 d et R zdefiniow any po raz p eirw szy w [11,

— w spółczy n n ik K = 1 — rj=q)2+ ’H (ę’2:= ł — r 2 jest w spółczynniem in- d e te rm in a c ji) m ierzący natężen ie e fek tu k atalizy w ten sposób, że gdy w m odelu b ra k jest e fe k tu k atalizy to K = l , n a to m ia st w raz ze w zrostem n atężen ia k a ta liz y w spółczynnik K m aleje od 1 do 0; w artość 0 p rz y jm u je dla na jw iększego n atężen ia efek tu katalizy.

W m y śl tw ierd zen ia 1 z m iern ik ó w H, M2 i K tw o rzy m y n a stę p u ją c e dw a m iern ik i:

H K —H K, N = M2 ■ K

k tó re są m ie rn ik a m i m odelu. W iadom o, że m iern ik H przy doborze zm ien­ n y c h do m odelu uw zględ n ia zarów no k o relację m iędzy zm ienną o b jaśn ia ­ n ą a zm ien n y m i o bjaśn iający m i, jak też w zajem n ą k o relację m iędzy zm ien n y m i o b jaśn iający m i. W spółczynnik H = 1 w ted y i ty lko w tedy, gdy r 2 = l oraz R —I, gdzie I jest m acierzą jednostkow ą. W artość H = 0 ozna­ cza b ra k jak iejk o lw iek k o relacji m iędzy zm ienną o b jaśn ian ą a zm iennym i o b jaśn ia ją c y m i. Poniew aż w m odelu pow inny w ystępow ać tak ie zm ienne o b jaśn ia ją c e, dla k tó ry c h w artości H, K i M2 są m ożliw ie duże dlatego pożądana jest rów nież duża w arto ść m ie rn ik a H k oraz N.

P oniżej p rze d staw im y p ierw szą z zapow iedzianych m etod. Niech

X = { X !, X 2, . . . , X k} będzie zbiorem p o ten cjaln y ch zm ienn ych o b jaśn ia ­ jących. P rzez Xi (i—1, 2 , . . . , 2k—1) oznaczm y i-ty podzbiór zbioru %■ Dla każdego podzbioru Xi (i— 1, 2 , . . . , 2k—1) obliczam y w spółczynnik Hk oznaczając go sym bolem Hk (xi). N astęp n ie p o stęp u jem y w edług algo­ ry tm u :

1) Z n a jd u je m y zbiórX ń sp ełn iający w a ru n e k

H k { X i i ) =

max

x}

l^t<2*~l

2) S p raw d zam y , czy m odel o zm iennych o b jaśn ia ją c y ch należących do zbioru Xń jest k o in cy d en tn y . Jeśli tak to p ro ce d u ra jest zakończona i do m odelu zo stają w y b ra n e zm ienne o b jaśn iające ze z b io ru Xi\- Je śli nie to

358 Elżbieta M aksymiak 3) W yznaczam y zbiór x»ataki, że

Hk(xta) = max i H k(Xi) : Xi / Xu » Xi C x)

4) S praw dzam y, czy m odel, w k tó ry m zm ienne o b jaśniające należą do zbioru Xh jest koin cy d en tn y. Jeśli tak, to kończym y alg o ry tm i za zm ien ­ ne o b jaśn iające do m odelu p rz y jm u je m y zm ienne ze zbioru x«2 J e śli nie, to

5) W yznaczam y zbiór x»3 sp ełn iający w a ru n e k

H k i xta) = max { H k i X i ) '■ X i Ź X m i X i Ź X h i X i c x )

6) P o stęp u je m y analogicznie jak w 4) itd.

K oincydentność m odelu spraw d zam y w y k o rz y stu ją c n a stę p u jąc y w a ­ ru n e k konieczny i w y starczający na to, by dow olna zm ienna o b jaśn iająca m iała w łasność koincydencji.

TW IER D ZEN IE 2 (POR. [9])

Z m ienna o b jaśn iająca X* jest k o in cy d en tn a w m odelu określo ny m przez re g u la rn ą p a rę k o rela cy jn ą (R, R0) w ted y i tylk o w tedy, gd y

n > m T[Rii]-lK

gdzie R) oznacza i-tą k o lu m n ę m acierzy R z pom inięciem i-te j w sp ó łrzęd ­ n e j, R ‘a p o w staje z w ekto ra R0 przez odrzucenie i-te j w sp ó łrzęd n ej, n a ­ to m iast Ra oznacza podm acierz o trz y m an ą z m acierzy R przez skreślen ie w iersza oraz k o lu m n y o n u m erze i-tym .

M odel jest ko in cy d en tn y , jeżeli każda zm ien na o b jaśn iająca tego m o­ delu m a w łasność koincydencji. W celu łatw iejszeg o k o rzy stan ia z tw ie r ­ dzenia 2 p ro p o n u je m y w yk orzy stać n astę p u jąc e .

TW IER D ZEN IE 3 Jeżeli n a e lem en tach m acierzy Ai postaci

/1, - A f ]

1“ 9T z

gdzie A ^ J a j j ] , f = [ f |] , g = [gi] (i, j = l , 2 , ... k), z e R (R jest zbiorem liczb rzeczyw istych) w y ko n am y tak ie p rze k sz ta łce n ia e le m e n ta rn e (roz­ poczynając od ele m en tu an), k tó re spro w ad zają ją do postaci g ó rn e j m a ­ cierzy tró jk ą tn e j D = [d ij], to zachodzi rów ność

M inim alizacja efektu katalizy... 359

dla m acierzy Ai postaci

. _ r «U

K

1

Na e le m en ta c h m acierzy Ai zgodnie z tw ierdzeniem 3 w y ko n u jem y od ­ pow iednie przek ształcen ia e le m e n ta rn e sp ow adzające ją do postaci m a ­ cierzy tró jk ą tn e j D i— (p, g = 1 , 2 , . . . , k). Jeżeli d.^1 > 0 to zm ien­ na Xi jest k o in cy d en tn a w m odelu określonym przez p arę k o rela cy jn ą (R, R c). Jeżeli n a to m ia st d^l < 0 to zm ienna Xj nie jest koin cyden tna. Mo­ del, k tó ry o trz y m am y w w yn iku opisanej w yżej p ro ce d u ry m a n a jw ię k ­ szą w a rto ść m iern jk a H k w śród m odeli k o in cy d en tn y ch o zm iennych o b ja ś­ n iają cy c h należący ch do podzbiorów Xi 0~ 1, 2, . . . , 2k —1).

D ruga prop on o w an a m eto da w y k o rz y stu je in te g ra ln y m iern ik k o in­ cyden cji M2 oraz n astę p u jąc e

TW IER D ZEN IE 4 (POR. [1])

Z m ien n a o b jaśn iająca X, ( i= 1, 2 ,. . . „ k) w m odelu określonym przez re g u la rn ą p a rę k o relacy jn ą (R, R 0) jest k o in cy d en tn a, jeśli spełniona jest nierów ność

M'1 > M j

gdzie M? jest in te g ra ln y m m ie rn ik iem koincydencji m odelu, k tó ry p ow ­ s ta je z w yjściow ego m odelu przez odrzucenie j-te j zm ienn ej o b ja ś n ia ją ­ cej. W m etodzie te j n a jp ie rw w yznaczam y w szystkie podzbiory zbioru

X ~ (X i, X 2, . . . , Ęk} (jest ich 2k —1) i dla każdego z nich obliczam y w a r ­

tość m ie rn ik a N. W artość m ie rn ik a N dla i-tego podzbioru Xł oznaczam y sym bolem N

(xi)-P ro c ed u ra p o stępow ania jest n astę p u jąc a :

1) spośród w artości N (x0 (i = 1, 2 . . . , 2h —1) w y b ieram y w artość n a j­ w iększą. Pod zb ió r zbioru Xi k tó re m u odpow iada ta najw ięk sza w artość oznaczam y sym bolem xi czyli m am y nierów ność

N { x u ) Z N { Xi), i = 1 , 2 ... 2 * - l

2) S p raw d zam y , czy zachodzi nierów ność

/ \ M 2( x i t ) > gdzie M 2( x i 1)

jest in te g ra ln y m m iern ik iem koincydencji

dla m odelu o zm iennych o b jaśn iejący ch należących do zbioru x»i n a to ­ m iast M j ( x n ) jest in te g raln y m m iern ik iem k o incyd en cji obliczonym dla m odelu o zm iennych o b jaśn ia ją c y ch ze zbioru x u bez j-te j zm ien nej ob ­ jaśn ia ją c ej. Jeżeli tak, to p ostępow anie kończym y i za o p ty m aln y zbiór

360 Elżbieta Maksyrruak

zm iennych ob jaśn iający ch u z n a je m y zbiór Xm O trzy m any m odel m a w ła s­ ność koincydencji w m yśl tw ierdzen ia 4, Jeżeli nie, to

3) Spośród w artości N (xi) dla i = 1, 2 , . . . , 2k—2 oraz i i! w y b ieram y oznaczam y sym bolem Xh

w artość najw iększą. Podzbiór, k tó rem u odpow iada ta najw ięk sza w arto ść 4) S praw dzam y, czy zachodzi nierów ność

(»)•

/

Jeżeli tak , to za optymalny zbiór zmiennycn oDjasmających przyjmu­

jemy zbiór Xi2 Je śli nie, to znów wybieramy podzbiór xi3itd.

Model, k tó ry otrzy m am y w w y n ik u opisanej m etody jest m odelem o n ajw iększej w artości m iern ik a N spośród m odeli ko incydentnych.

Poniżej p rzed staw im y p rzy k ład ilu stru ją c y d rug ą z zap ro ponow anych m etod.

P rzykład

Niech x?= {X lt X2, X 3}. Załóżm y, że dla zm iennych o b jaśniający ch i z m ien ­ n e j o bjaśn ian ej m acierze R i R0 m ają postać:

1 0,3 0,5 0,6 R — 0,3 1 0,8 R0— 0,2 0,5 0,8 1 0,3 Zbiór x m a 7 n a stę p u jąc y c h podzbiorów: X i = { X 1, X 2, X 3}, X 2 = { X ł > X s } , X 3 = { X 1, X 3}, X4 = { X S, X , } , X 5 = U , X « = { X , } , X7 = { X 3}.

Dla każdego podzbioru zbioru x obliczam y w artość m iern ik a N i o trz y ­ m ujem y:

N(xt ) = 0,08, N ( X2) - 0 ,3 0 , N ( X3)= 0 ,2 5 , N (x 4) - 0 ,0 4 , N (x5)= 0,36 , N (x«) —0,04, N (x7) = 0,09.

Spośród w artości N (x0 (i = 1, 2, . . . , 7) w yb ieram y w arto ść n a jw ię k ­ szą czyli

N ( X i i ) = N ( x s ) > N ( Xl) ( i * 1 , 2 ...7 ) .

Poniew aż podzbiór xs m a ty lk o jedną zm ienną o bjaśn iającą X lt więc m o ­ del opisyw any przez tą zm ienną jest k o in cy den tny (model o jed n e j z m ie n ­ n e j o b jaśn iającej zawsze jest k o in cyd en tny por. ([2}). S tąd za o tp y m a ln y zbiór zm iennych o b jaśn iający ch p rzy jm u je m y zbiór

xs-M inim alizacja efektu katalizy., ₃₆₁

LITERATURA

[1] A. B o r o w i e c k i , M etody doboru zm ien nych a proble m koincydencji, Praca doktorska, SG PiS 1983.

[2] A. B o r o w i e c k i , J. K a l i s z y k, M. K o 1 u p a, Koincydencja i efe k t k a ta ­

lizy w linio w ych modelach ekon om etryczn ych, PWN, W arszawa 1986.

[3] A. B o r o w i e c k i , M. P ę c z k o w s k i , Ocena jakości m ode lu ek o n o m e try cz-

nego, PWE, W arszawa 1984.

[4] T. G r a b i ń s k i , S. W y d y m u s , A. Z e 1 i a ś, M eto dy doboru zm iennych w

modelach ekon om e try czn yc h , PWN, W arszawa 1982.

[5] M. G r u s z c z y ń s k i , M. K o 1 u p a, E. L e n i e w s k a, G. N a p i ó r k o w - s k i, Miary zgodności, m e to d y doboru zm iennych, p r o b le m y wspólliniowości, PWN, W arszawa 1979,

[6] B. G u z i k , Propozycja k ry te riu m zm o d y fik o w a n e g o w sp ó łczy n n ik a d e t e r m i­

nacji dla doboru zm ien nych objaśniających do m odelu ekonom etrycznego,

„Przegląd S tatystyczny" 1979, z. 1/2.

[7] Z. H e 11 w i g, Efekt k atalizy w m odelu e ko n o m e try c zn y m , jego w y k r y w a n i e

i usuwanie, „Przegląd Statystyczn y” 1977, z. 2.

[8] M. K o ł u p a , Macierze brzegow e w badaniach ek o n o m e try czn yc h PWE, W ar­ szaw a 1982.

{9] M. K o l u p a , O k r y te r iu m d o ty c zą c y m badania koin cyden cji dan ej zm ien nej

objaśn iającej, „Przegląd Statystyczn y” 1986, z. 4.

[10] J. R o g o w s k i , W aru ne k konieczny i do sta tec zn y na zachodzie koin cydencji

w m ode lu e k o n o m e tr y c z n y m oraz o p e w n y m sposobie doboru zm ien nych o b ja ś ­ niających, „Przegląd S tatystyczn y” 1980, z. 3/4.

[11] H. S m i t h, Analiza re gresji stosowana, PWN, W arszawa 1973.

S U M M A R Y

The paper presents a proposition of such tw o methods of the choice of varia­ bles to the linear on e-eq uation econom etric model w hich ensure the model coin­ cidence, a m inim um in tensification of the catalysis effect, a strong correlation betw een the exp lan atory variables and the exp lain ed variable as w ell as a poor correlation betw een the explanatory variables.