Macierze - odwracanie

(1)

(2)

Definicja:

Niech A będzie macierzą kwadratową ustalonego stopnia.

Macierz A jest odwracalna, jeśli istnieje taka macierz B że zachodzi

A B = B A = I

gdzie I jest macierzą jednostkową.

Macierz B nazywa się wówczas macierzą odwrotną do macierzy B

i oznacza się przez A-1 A A-1 _{= A}-1 _{A = I}

https://pl.wikipedia.org/wiki/Macierz_odwrotna

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

https://www.matmana6.pl/dzialania-na-macierzach#

Jeżeli macierz jest macierzą kwadratową

(liczba kolumn i liczba wierszy są sobie równe) oraz

(8)

http://www.naukowiec.org/wiedza/matematyka/macierz-odwrotna_607.html

Przykład:

Dana jest macierz

Znaleźć A-1

Ponieważ macierz dołączona jest transponowaną macierzą dopełnień,

to pierwszym krokiem jaki należy wykonać to znaleźć macierz dopełnień algebraicznych. Wykonujemy to w następujący sposób...

(9)

Najpierw dla każdego elementu a_ij macierzy musimy wyznaczyć minor mu odpowiadający ( M_ij ).

Dla elementu a_ij , minor tworzymy tak,

(10)

Każdy element a_ij macierzy zastępujemy przez jego dopełnienie algebraiczne, tzn.

odpowiadający mu minor pomnożony przez ( –1i+j ₎

Jeżeli wszystkie elementy macierzy zastąpimy przez ich dopełnienia algebraiczne to otrzymujemy macierz dopełnień:

(11)

Teraz, aby w końcu uzyskać macierz dołączoną, musimy tą macierz dopełnień transponować:

Ostatni krok to obliczenie wyznacznika macierzy A,

(12)