1 Odwracanie macierzy

(1)

Wyk lad 4

Macierz odwrotna i twierdzenie Cramera

1 Odwracanie macierzy

I n jest elementem neutralnym mno˙zenia macierzy w zbiorze M n (R) tzn.

A · I n = I n · A = A

dla dowolnej macierzy A ∈ M _n (R). Ponadto z twierdzenia 3.9 mamy, ˙ze det(I _n ) = 1.

Powiemy, ˙ze macierz A ∈ M n (R) jest odwracalna, je˙zeli istnieje macierz B ∈ M n (R) taka,

˙ze

A · B = B · A = I n . (1)

W tej sytuacji m´ owimy, ˙ze B jest macierz a odwrotn _, a do macierzy A i piszemy B = A _, ⁻¹ . Je˙zeli macierz A ∈ M _n (R) jest odwracalna, to z twierdzenia Cauchy’ego wynika od razu, ˙ze det(A) 6= 0. Mo˙zna udowodni´ c, ˙ze zachodzi nast epuj _, ace _,

Twierdzenie 4.1. Macierz A ∈ M _n (R) jest odwracalna wtedy i tylko wtedy, gdy det(A) 6= 0.

Z twierdzenia 4.1 latwo mo˙zna wyprowadzi´ c nast epuj _, ace _,

Twierdzenie 4.2. Macierz B ∈ M n (R) jest macierz a odwrotn _, a do macierzy A ∈ M _, n (R) wtedy, i tylko wtedy, gdy A · B = I _n .

2 Algorytm wyznacznikowy odwracania macierzy

Krok 1: Obliczamy det(A). Je˙zeli det(A) = 0, to A ⁻¹ nie istnieje. Je˙zeli det(A) 6= 0, to przechodzimy do nast epnego kroku. _,

Krok 2: Dla i, j = 1, 2, . . . , n obliczamy det(A _ij ), czyli wyznaczniki macierzy powst aj _, acych _, z macierzy A przez wykre´ slenie i-tego wiersza i j-tej kolumny. Obliczamy te˙z dope lnienia algebraiczne d ij elementu a ij macierzy A: d ij = (−1) ^i+j · det(A _ij ).

Krok 3: Tworzymy macierz dope lnie´ n D(A)

D(A) =







d 11 d 12 . . . d 1n

d ₂₁ d ₂₂ . . . d _2n .. . .. . . .. .. .







. (2)

(2)

Krok 4: Wypisujemy macierz odwrotn a do macierzy A _, A ⁻¹ = 1

det(A) · D(A) ^T . (3)

Przyk lad 4.3. Wyznaczymy macierz odwrotn a do macierzy A = _,







1 a c 0 1 b 0 0 1





 nad cia lem liczb rzeczywistych. Z twierdzenia 3.9, det(A) = 1 · 1 · 1 = 1. Ponadto

d 11 = (−1) ¹⁺¹ ·

1 b 0 1

= 1, d 21 = (−1) ²⁺¹ ·

a c 0 1

= −a, d 31 = (−1) ³⁺¹ ·

a c 1 b

= ab − c,

d ₁₂ = (−1) ¹⁺² ·

0 b 0 1

= 0, d ₂₂ = (−1) ²⁺² ·

1 c 0 1

= 1, d ₃₂ = (−1) ³⁺² ·

1 c 0 b

= −b,

d 13 = (−1) ¹⁺³ ·

0 1 0 0

= 0, d 23 = (−1) ²⁺³ ·

1 a 0 0

= 0, d 33 = (−1) ³⁺³ ·

1 a 0 1

= 1.

Zatem D(A) =







1 0 0

−a 1 0

ab − c −b 1





 oraz A ⁻¹ = _det(A) ¹ · D(A) ^T , czyli A ⁻¹ =







1 −a ab − c

0 1 −b

0 0 1





 , bo det(A) = 1. 2

Przyk lad 4.4. Wyznaczymy macierz odwrotn a do macierzy _,

A =







2 5 7

6 3 4

5 −2 −3





 . Obliczamy najpierw wyznacznik macierzy A:

det(A) =

2 5 7

6 3 4

5 −2 −3

2 5

6 3

5 −2

= −18+100−84−105+16+90 = −1, czyli det(A) = −1 6= 0, wi ec A _, ⁻¹ istnieje.

Teraz obliczamy dope lnienia algebraiczne wszystkich wyraz´ ow macierzy A:

d 11 = (−1) ¹⁺¹ ·

3 4

−2 −3

= −9 + 8 = −1, d 12 = (−1) ¹⁺² ·

6 4

5 −3

= −(−18 − 20) = 38,

d ₁₃ = (−1) ¹⁺³ ·

6 3

5 −2

= −12 − 15 = −27.

d 21 = (−1) ²⁺¹ ·

5 7

−2 −3

= −(−15 + 14) = 1, d 22 = (−1) ²⁺² ·

2 7

5 −3

= −6 − 35 = −41,

d ₂₃ = (−1) ²⁺³ ·

2 5

5 −2

= −(−4 − 25) = 29.

(3)

d ₃₁ = (−1) ³⁺¹ ·

5 7 3 4

= 20 − 21 = −1, d ₃₂ = (−1) ³⁺² ·

2 7 6 4

= −(8 − 42) = 34,

d 33 = (−1) ³⁺³ ·

2 5 6 3

= 6 − 30 = −24.

Tworzymy macierz dope lnie´ n D(A) =







−1 38 −27

1 −41 29

−1 34 −24





 . Zatem A ⁻¹ = _det(A) ¹ · D(A) ^T =

(−1) ·







−1 1 −1

38 −41 34

−27 29 −24





 , czyli ostatecznie A ⁻¹ =







1 −1 1

−38 41 −34 27 −29 24





 . 2

3 Odwracanie macierzy przy pomocy operacji elementarnych

Z definicji mno˙zenia macierzy wynika, ˙ze dla dowolnej macierzy A ∈ M n (R): operacji ele- mentarnej na wierszach macierzy A odpowiada pomno˙zenie macierzy A z lewej strony przez macierz, kt´ ora powstaje z macierzy jednostkowej I n przez wykonanie na niej tej samej operacji.

Stosuj ac operacje elementarne na wierszach nieosobliwej macierzy A (tzn. _, takiej, ˙ze det(A) 6= 0) mo˙zemy j a przekszta lci´ _, c do macierzy jednostkowej I _n . Wynika st ad, ˙ze istniej _, a _, macierze B 1 , B 2 , . . . , B s takie, ˙ze

B _s · . . . · B ₂ · B ₁ · A = I _n . (4) Zatem A ⁻¹ = B _s · . . . · B ₂ · B ₁ , czyli A ⁻¹ = B _s · . . . · B ₂ · B ₁ · I _n . St ad macierz A _, ⁻¹ powstaje z macierzy I n przez wykonanie na niej tych samych operacji elementarnych, co na macierzy A.

W praktyce przy obliczaniu macierzy odwrotnej do macierzy nieosobliwej A przy pomocy operacji elementarnych na wierszach post epu-jemy w spos´ _, ob nast epuj _, acy. Z prawej strony ma- _, cierzy A dopisujemy macierz jednostkow a I _, _n tego samego stopnia. Na wierszach otrzymanej w ten spos´ ob macierzy blokowej [A|I _n ] wykonujemy operacje elementarne a˙z do uzyskania macierzy blokowej postaci [I n |B]. Macierz B jest wtedy macierz a odwrotn _, a do macierzy A, tj. _, B = A ⁻¹ .

[A|I _n ] operacje elementarne na wierszach

− − − − −− −→ [I _n |A ⁻¹ ]

Przyk lad 4.5. Stosuj ac operacje elementarne wyznaczymy macierz odwrotn _, a do macierzy _,

A =







1 2 3 4

2 3 1 2

1 1 1 −1

1 0 −2 −6







.

(4)

Mamy:







1 2 3 4 1 0 0 0

2 3 1 2 0 1 0 0

1 1 1 −1 0 0 1 0

1 0 −2 −6 0 0 0 1







w

1

−w

4

, w

2

−2w

4

, w

3

−w

4

≡







0 2 5 10 1 0 0 −1 0 3 5 14 0 1 0 −2

0 1 3 5 0 0 1 −1

1 0 −2 −6 0 0 0 1







w

1

↔w

4

≡







1 0 −2 −6 0 0 0 1

0 3 5 14 0 1 0 −2

0 1 3 5 0 0 1 −1

0 2 5 10 1 0 0 −1







w

2

−3w

3

, w

4

−2w

3

≡







1 0 −2 −6 0 0 0 1

0 0 −4 −1 0 1 −3 1

0 1 3 5 0 0 1 −1

0 0 −1 0 1 0 −2 1







w

2

↔w

₃

≡







1 0 −2 −6 0 0 0 1

0 1 3 5 0 0 1 −1

0 0 −4 −1 0 1 −3 1

0 0 −1 0 1 0 −2 1







w

3

−4w

₄

≡







1 0 −2 −6 0 0 0 1

0 1 3 5 0 0 1 −1

0 0 0 −1 −4 1 5 −3

0 0 −1 0 1 0 −2 1







w

3

↔w

₄

≡







1 0 −2 −6 0 0 0 1

0 1 3 5 0 0 1 −1

0 0 −1 0 1 0 −2 1

0 0 0 −1 −4 1 5 −3







(−1)w

3

, (−1)w

4

≡







1 0 −2 −6 0 0 0 1

0 1 3 5 0 0 1 −1

0 0 1 0 −1 0 2 −1

0 0 0 1 4 −1 −5 3







w

1

+6w

4

, w

2

−5w

4

≡







1 0 −2 0 24 −6 −30 19

0 1 3 0 −20 5 26 −16

0 0 1 0 −1 0 2 −1

0 0 0 1 4 −1 −5 3







w

1

+2w

3

, w

2

−3w

3

≡







1 0 0 0 22 −6 −26 17

0 1 0 0 −17 5 20 −13

0 0 1 0 −1 0 2 −1

0 0 0 1 4 −1 −5 3







. Zatem: A ⁻¹ =







22 −6 −26 17

−17 5 20 −13

−1 0 2 −1

4 −1 −5 3





 . 2

4 Wzory Cramera

Niech dany b edzie uk lad n r´ _, owna´ n liniowych z n niewiadomymi x 1 , x 2 , ..., x n :



 

 

 

 

a 11 x 1 + a 12 x 2 + . . . + a 1n x n = b 1

a ₂₁ x ₁ + a ₂₂ x ₂ + . . . + a _2n x _n = b ₂ . . . . . . . . a _n1 x ₁ + a _n2 x ₂ + . . . + a _nn x _n = b _n

. (5)

Wyznacznikiem g l´ ownym uk ladu (8) nazywamy

(5)

W =

a ₁₁ a ₁₂ . . . a _1n a ₂₁ a ₂₂ . . . a _2n .. . .. . . .. .. . a _n1 a _n2 . . . a _nn

.

Oznaczmy przez W i (dla i = 1, 2, . . . , n) wyznacznik powstaj acy z W przez zast _, apienie i-tej _,

kolumny W kolumn a wyraz´ _, ow wolnych





 b 1

b ₂ .. . b _n







. Zatem

W 1 =

b ₁ a ₁₂ . . . a _1n b ₂ a ₂₂ . . . a _2n .. . .. . . .. .. . b _n a _n2 . . . a _nn

, W 2 =

a ₁₁ b ₁ . . . a _1n a ₂₁ b ₂ . . . a _2n .. . .. . . .. .. . a _n1 b _n . . . a _nn

, . . . , W n =

a ₁₁ a ₁₂ . . . b ₁ a ₂₁ a ₂₂ . . . b ₂ .. . .. . . .. ...

a _n1 a _n2 . . . b _n .

W´ owczas zachodzi nast epuj _, ace _,

Twierdzenie 4.6 (Cramera). Je˙zeli wyznacznik g l´ owny uk ladu (6) jest r´ o˙zny od zera, to uk lad ten posiada dok ladnie jedno rozwi azanie dane wzorami Cramera: _,

x 1 = W 1

W , x 2 = W 2

W , . . . , x n = W n

W . (6)

Je˙zeli za´ s W = 0, ale W _i 6= 0 dla pewnego i = 1, . . . , n, to uk lad (6) jest sprzeczny (a wi ec nie _, posiada rozwi azania). _,

Przyk lad 4.7. Stosuj ac wzory Cramera rozwi _, a˙zemy uk lad r´ _, owna´ n:



 

 

 

 

x ₁ + 2x ₂ − x ₃ − x ₄ = −2 2x 1 − 3x ₂ − x 3 + 2x 4 = 1 4x ₁ − 5x ₂ + 2x ₃ + 3x ₄ = 5 x ₁ − x ₂ − x ₃ − x ₄ = −2

.

Obliczamy najpierw wyznacznik g l´ owny naszego uk ladu. Stosujemy kolejno: operacje k ₄ +k ₁ , k 3 +k 1 , k 2 +k 1 , rozwini ecie Laplace’a wzgl _, edem czwartego wiersza, operacj _, e k _, 2 −3k ₁ , rozwini ecie _, Laplace’a wzgl edem pierwszego wiersza: _,

W=

1 2 −1 −1

2 −3 −1 2

4 −5 2 3

1 −1 −1 −1

=

1 3 0 0

2 −1 1 4 4 −1 6 7

1 0 0 0

= (−1) ⁴⁺¹ · 1 ·

3 0 0

−1 1 4

−1 6 7

= (−1) · 3 · (−1) ¹⁺¹ ·

1 4 6 7

= (−3) · (7 − 24) = (−3) · (−17) = 51. St ad W = 51 6= 0, wi _, ec z twierdzenia Cramera _,

(6)

wiersza, operacj e k _, 2 + k 3 , rozwini ecie Laplace’a wzgl _, edem drugiego wiersza: _,

W ₁ =

−2 2 −1 −1

1 −3 −1 2

5 −5 2 3

−2 −1 −1 −1

=

0 2 0 −1

−2 −3 −3 2

0 −5 −1 3

−3 −1 0 −1

=

0 0 0 −1

−2 1 −3 2

0 1 −1 3

−3 −3 0 −1

= (−1) ¹⁺⁴ ·(−1)·

−2 1 −3

0 1 −1

−3 −3 0

=

−2 −2 −3

0 0 −1

−3 −3 0

= 0, bo w ostatnim wyznaczniku mamy dwie identyczne kolumny. Post epuj _, ac podobnie obliczamy: W _, ₂ = 0 i W ₃ = 51. Zatem ze wzor´ ow Cramera:

1 Odwracanie macierzy

Wyk lad 4

Macierz odwrotna i twierdzenie Cramera