GRAYNA PETRICZEK Instytut Bada Systemowych PAN
Streszczenie
Koncepcja komputerowego wspomagania zarzdzania przedsibiorstwem, reali-zowana od co najmniej kilkunastu lat w Instytucie Bada Systemowych PAN, polega na wykorzystaniu do tego celu modeli matematycznych zarzdzanych obiektów. Dla-tego tworzenie odpowiednich algorytmów, modeli i ich symulacja komputerowa s integralnymi elementami budowy systemów informatycznych wspomagajcych za-rzdzanie. Jednym z zada realizowanych obecnie w IBS PAN jest komputerowe wspomaganie zarzdzania systemem miejskiej sieci kanalizacyjnej. Zgodnie z przyj-t koncepcj realizacja tego zadania wymaga opracowania modelu hydraulicznego sieci kanalizacyjnej, umoliwiajcego komputerow symulacj jej pracy. W artykule przedstawiono algorytm obliczania sieci kanalizacyjnej podzielonej wzłami na seg-menty. Wyprowadzono równania opisujce napełnianie kanału, promienie hydrau-liczne oraz zmiany prdkoci przepływów. W wzłach połczeniowych spełnione s równania bilansu przepływów oraz warunek zgodnoci poziomów zwierciadła cie-ków.
Słowa kluczowe: modelowanie matematyczne systemów kanalizacyjnych, promie hydrauliczny, prdko przepływu
1. Wstp
W pracy przedstawiono podstawowe zagadnienia zwizane z modelowaniem sieci kanalizacyj-nej. Przedstawiono algorytm modelowania zarówno odcinków sieci jak i całej sieci. Zadaniem algorytmu jest (dla zadanej sieci oraz ustalonych nate dopływów cieków): okre lenie wysoko- ci napełnie wysoko- ciekami, ustalenie prdkowysoko- ci przepływu. Wyprowadzono równania opisujce napełnienie kanału, promienie hydrauliczne oraz zmiany prdko ci przepływów.
Rozpatrywany algorytm oblicze hydraulicznych dotyczy sytuacji sieci sanitarnej lub ogólno-spławnej, rozgałzionej, podzielonej wzłami na segmenty. Wzłami s punkty, w których nastpu-je: połczenie kilku segmentów lub gałzi sieci, zmiana parametrów sieci lub dopływ cieków do sieci (studzienka, wpusty deszczowe, studzienka połczeniowa). W wzłach połczeniowych spełnione s równania bilansu przepływów oraz warunek zgodno ci poziomów zwierciadła cieków.
Przyjto, e segmenty charakteryzuj si stałymi parametrami hydraulicznymi takimi jak: kształt, wymiar kanału, spadek dna oraz szorstko . Dopływ cieków odbywa si punktowo w
wzłach sieci. Ze wzgldu na przyjte załoenia wszystkie zaleno ci dotycz stanu ustalonego. Przyjto te, e w wikszo ci segmentów sie jest grawitacyjna, z wyjtkiem przypadków ist-nienia pompowni z przewodami tłocznymi (odcinki kanałów działajce po ci nieniem).
2. Charakterystyka sieci kanalizacyjnych
Ze wzgldu na projektowanie i eksploatacj mona wyróni nastpujce podstawowe rodzaje cieków:
• cieki bytowo - gospodarcze - powstajce w wyniku korzystania przez ludno z wody na codzienne potrzeby,
• cieki przemysłowe, powstajce w wyniku działalno ci produkcyjnej w zakładach przemy-słowych, wydobywczych, przetwórczych, itp.
• cieki opadowe, czyli wody deszczowe lub wody z topniejcego niegu, spływajce z po-wierzchni nieprzepuszczalnych, np. ulic, chodników, placów, dachów, itp.,
• wody drenaowe, odprowadzane do kanalizacji deszczowej z cigów drenarskich układa-nych wokół budynków w celu obnienia poziomu wód gruntowych i zabezpieczenia przed wpływem nadmiernej wilgotno ci gruntu,
• wody przypadkowe i wody gruntowe infiltrujce do sieci.
W zaleno ci od sposobu odprowadzania cieków mona wyróni nastpujce systemy kana-lizacji:
a) system ogólnospławny, b) system rozdzielczy, c) system półrozdzielczy.
W systemie kanalizacji ogólnospławnej (Rys.1) wszystkie rodzaje cieków ( cieki bytowo- gospodarcze, przemysłowe oraz cieki opadowe) s odprowadzane wspólnymi kanałami.
Dodatkowo na sieci budowane s przelewy burzowe, czyli tzw. burzowce, którymi odprowa-dzany jest nadmiar wód deszczowych zmieszanych ze ciekami bytowo – gospodarczymi bezpo- rednio do odbiornika. Przelewy burzowe projektowane s w taki sposób, aby zapewni odpo-wiednie rozcieczenie cieków bytowo - gospodarczych przed zrzuceniem ich do odbiornika. Ze wzgldu na znaczne zanieczyszczenie rodowiska i wzrost wymaga dotyczcych ochrony wód przed zanieczyszczeniami, w chwili obecnej system kanalizacji ogólnospławnej nie jest projekto-wany. Mona go spotka jedynie w wikszych miastach, gdzie kanalizacja była wykonana stosun-kowo wcze nie.
Rys. 1. Schemat systemu kanalizacji ogólnospławnej
Obecnie powszechnie stosowany jest system kanalizacji rozdzielczej (Rys. 2), w którym wyst-puj dwie odrbne sieci kanalizacyjne:
a) sie ciekowa, przeznaczona do odprowadzania cieków bytowo – gospodarczych i przemysło-wych (nazywana take sieci sanitarn),
b) sie deszczowa, przeznaczona do odprowadzania cieków opadowych.
W kanalizacji ciekowej kanały wymiaruje si na maksymalny sekundowy odpływ cieków bytowo – gospodarczych i przemysłowych, czyli teoretycznie na napełnienie kanałów h/D=0,50 (50%). Drugie 50% przekroju kanału stanowi rezerwa przepustowo ci, która ma pomie ci wody infiltracyjne i przypadkowe oraz umoliwi przewietrzanie kanałów.
Przekroje kanalizacji deszczowej wymiaruje si na przepływ deszczu miarodajnego. Przy pro-jektowaniu tej sieci, ze wzgldów ekonomicznych nie mog by brane pod uwag rzadko pojawia-jce si deszcze nawalne. Kanały deszczowe projektuje si na 100% napełnienie.
W kanalizacji rozdzielczej stosowane s najcz ciej kanały o przekrojach kołowych. Jedynie kocowe, wylotowe kolektory do oczyszczalni mog mie inny przekrój. Obowizujcy wymóg podczyszczania cieków deszczowych, powoduje konieczno budowy na kocach sieci deszczo-wej, separatorów usuwajcych nadmiar zanieczyszcze przed odprowadzeniem ich do odbiornika.
Rys. 2. Schemat systemu kanalizacji rozdzielczej
Kanalizacja półrozdzielcza (Rys. 3) jest równie systemem kanalizacyjnym, w którym wystpu-j dwie sieci: sanitarna i opadowa.
W układzie tym sie ciekowa jest dodatkowo przystosowana do przejcia cz ci spływów deszczowych o okre lonym nateniu.
Pierwszy spływ najbardziej zanieczyszczonych cieków deszczowych kierowany jest do kanali-zacji ciekowej i odprowadzany do oczyszczalni cieków. Zadanie to realizowane jest przy uyciu dwóch rodzajów urzdze, które pomimo zbieno ci nazwy z separatorami wystpujcymi w kanalizacji rozdzielczej, maj inn budow i zasad działania. Nale do nich: separator kaskado-wy, separator z progiem spitrzajcym.
Urzdzenia te powinny by usytuowane w pobliu odbiornika cieków deszczowych, tak by przez separator przepływały cieki deszczowe z jak najwikszego odwadnianego obszaru.
Prowadzenie kanałów musi jednak uwzgldnia wzajemne ich usytuowanie i wymagane rónice wysoko ci. W przypadku separatora kaskadowego we wstpnej fazie deszczu, cieki o małym nateniu przepływu i najwikszym zanieczyszczeniu, trafiaj do kanału sanitarnego. Nastpnie po zwikszeniu si przepływu, przelewaj si nad progiem do kanału deszczowego.
System zbierania cieków składa si z wielu elementów, które powinny by ze sob połczone w sposób zapewniajcy grawitacyjny przepływ cieków.
Kanalizacja sanitarna składa si z nastpujcych elementów:
instalacje kanalizacyjne wewntrzne w budynkach, przewody kanalizacyjne zewntrzne na terenie nieruchomo ci (działki budowlanej), sie kanalizacyjna, układana najcz ciej w cigach komunikacyjnych pod jezdni, pompownie cieków bytowo – gospodarczych i przemysłowych, oczyszczalnia cieków, jako kocowy element usuwania cieków.
W kanalizacji deszczowej mona wyróni nastpujce elementy: wpusty deszczowe dachowe, podwórzowe i uliczne, instalacje kanalizacyjne w budynkach, odprowadzajce wody deszczowe z dachów i szczelnych terenów przyległych do budynków, sie kanalizacyjna, układana w cigach komunikacyjnych pod jezdni, jednak przy załoeniu najkrótszej drogi do odbiornika cieków, pompownie cieków deszczowych, separatory cieków deszczowych.
Rys. 3. Schemat systemu kanalizacji pó³rozdzielczej
3. Algorytm obliczania sieci kanalizacyjnej
Przedstawiony w pracy algorytm obliczania sieci kanalizacyjnej przeprowadzony jest na pod-stawie nastpujcych podstawowych danych:
typ sieci – ogólnospławna, sanitarna
• struktura sieci kanalizacyjnej – liczba odcinków, typy kanałów: grawitacyjne i ci nieniowe, liczba i rodzaj wzłów,
• maksymalny sekundowy przepływ cieków na danym odcinku sieci, • spadek dna kanału.
• wymiary kanału
Zadaniem algorytmu jest (dla zadanej sieci oraz ustalonych nate dopływów cieków): • okre lenie napełnie ciekami,
• ustalenie prdko ci przepływu.
Zmienne warunki przepływu i rónorodno zjawisk wystpujcych podczas przepływu cieków, wymuszaj konieczno przyjcia pewnych załoe upraszczajcych. Nale do nich:
• stały spadek na wybranym odcinku sieci, • stała chropowato ,
• niezmienna rednica.
Przedstawiony poniej algorytm oblicze hydraulicznych dotyczy sytuacji sieci sanitarnej lub ogólnospławnej przedstawionej na Rys.1, rozgałzionej, podzielonej wzłami na segmenty. Wzłami s punkty, w których nastpuje: połczenie kilku segmentów lub gałzi sieci, zmiana parametrów sieci lub dopływ cieków do sieci (studzienka, wpusty deszczowe, studzienka połcze-niowa). W wzłach połczeniowych spełnione s równania bilansu przepływów oraz warunek zgodno ci poziomów zwierciadła cieków.
Przyjto, e segmenty charakteryzuj si stałymi parametrami hydraulicznymi takimi jak: kształt, wymiar kanału, spadek dna oraz szorstko . Dopływ cieków odbywa si punktowo w wzłach sieci. Ze wzgldu na przyjte załoenia wszystkie zaleno ci dotycz stanu ustalonego.
Przyjto, e w wikszo ci segmentów siec jest grawitacyjna, z wyjtkiem przypadków istnienia pompowni z przewodami tłocznymi (odcinki kanałów działajce po ci nieniem).
Przy znanych wymiarach kanałów tzn. spadkach dna kanału i rednicach obliczenia hydrauliczne sieci kanalizacyjnej dotycz prdko ci przepływów vi w poszczególnych segmentach oraz
wysoko- ci napełnie tych segmentów Hi.
Poniej przedstawimy podstawowe składowe algorytmu symulacyjnego oblicze dla kanałów o przekroju kołowym.
Krok 1. Naley wczyta dane dotyczce struktury sieci tzn.: liczb wzłów NW, liczb
odcin-ków NO, zbiór wzłów W = {j} zbiór odcinodcin-ków U = {i}, zbiór rednic kanałów {di}, długo ci
odcinków Li, spadki dna dla poszczególnych odcinków Li i=1,…,NO, chropowato ki i-tego
odcinka, oraz warto ci pocztkowe: natenia przepływów Qi w poszczególnych segmentach
i=1,…,NO, kinematyczny współczynnik lepko ci cieków n, przy pieszenie ziemskie g, maksy-malne i minimaksy-malne rednie prdko ci.
Krok 2. Obliczy natenia dopływów cieków do poszczególnych wzłów sieci.
Do danego odcinka sieci dopływaj zarówno cieki bytowo – gospodarcze i przemysłowe jak i deszczowe. W zaleno ci od rodzaju cieków natenie dopływajcych cieków wyraa si rónymi zaleno ciami.
Dla cieków bytowo – gospodarczych i przemysłowych rozwaa si maksymalny godzinowy dopływ cieków Q do danego odcinka i moe by wyraony nastpujc zaleno ci:
24 q M N max h hmax r
Q
=
⋅ (1)gdzie: M – liczba mieszkaców przypadajca na dany odcinek sieci
q r – redni jednostkowy odpływ cieków zaleny od wielko ci jednostki
osadni-czej
Nhmax – współczynnik nierównomierno ci dobowej
Dla cieków opadowych dopływ moe by wyraony:
ϕ
⋅
⋅
ψ
⋅
=
q
F
Q
d (2) gdzieQ - spływ cieków deszczowych ze skanalizowanego terenu, [dm3l/s],
F - powierzchnia zlewni, powierzchnia terenu skanalizowanego tzn. powierzchnia, z której cieki spływaj do okre lonego odcinka kanału, [ha],
H
r
ij
Ψ
- współczynnik spływu powierzchniowego, wyraajcy stosunek ilo ci cieków desz-czowych, które spłynły do kanalizacji, do ilo ci cieków deszdesz-czowych, które spadły na dany teren,ϕ
- współczynnik opó nienia dq
- natenie deszczuKrok 3. Dla ustalonych warto ci nate przepływów Qi w poszczególnych segmentach i=1,
NO wyznaczy dla tych segmentów nastpujce warto ci: napełnie Hi , promieni hydraulicznych
Rh , rednich prdko ci przepływów vi .
Podane w tym kroku obliczenia dotycz odcinków kanalizacji grawitacyjnej.
1. Jak wynika ze wzorów Manninga zarówno prdko przepływu v jak i natenie przepływów Q zale od promienia hydraulicznego Rh , który z kolei zaley od wysoko ci napełnienia H.
Przy obliczaniu spływów w sieciach kanalizacyjnych zazwyczaj mamy do czynienia z sytuacj, w której dla zadanych przepływów Q naley wyznaczy wysoko napełnienia kanału H.
Przyjmujc oznaczenia jak na Rys.4
Rys.4 Zalenoci midzy wielkociami w kanale o przekroju kołowym gdzie: H – wysoko napełnienia
r – promie kanału kołowego d – rednica kanału
- kt rodkowy
otrzymujemy nastpujce zaleno ci:
¸¸ ¸ ¹ · ¨¨ ¨ © § − − ⋅ = ϕ 2 d 2 H H Hd tg arc 2 (3)
Ze wzoru Manninga na wielko natenia przepływu, uwzgldniajc geometri przewodu otrzymuje si nastpujc zaleno :
0 2 d 2 360 2 d 2 2 d 2 360 n Q 4 H H Hd arctg 2 H H Hd arctg 2 sin 2 1 H H Hd arctg 2 d J 3 3 5 2 5 8 2 3 = ⋅ ⋅ − π • • π ⋅ ⋅ ¸ ¸ ¸ ¹ · ¨ ¨ ¨ © § ¸¸ ¸ ¹ · ¨¨ ¨ © § − − ⋅ − π ¸ ¸ ¸ ¹ · ¨ ¨ ¨ © § ¸ ¸ ¸ ¹ · ¨ ¨ ¨ © § ¸¸ ¸ ¹ · ¨¨ ¨ © § − − + ¸¸ ¸ ¹ · ¨¨ ¨ © § − − ⋅ − π − (4)
Rozwizujc to równanie mona otrzyma wysoko napełnienia H jako funkcj natenia przepływu Q. Otrzymujemy równanie w postaci f(H)=0.
Ze wzgldu na posta zaleno ci (4) do obliczania napełnienia kanału stosuje si iteracyjn metod Newtona.
Przyjmujc warto pocztkow napełnienia np.H0 = 0,7d otrzymujemy nastpujcy schemat
iteracyjny do obliczenia wysoko ci napełnienia H: (dla k-tej iteracji)
(
)
(
k)
k k 1 k H f H f H H ′ − = + (5a)gdzie: poszczególne czynniki maj posta :
¸ ¸ ¸ ¹ · ¨ ¨ ¨ © § − − ⋅ = ϕ 2 d k 2 k k k H H d H tg arc 2 (5b)
(
)
sin
( )
(
)
4
Q
n
2
1
d
J
5 3 3 2 5 8 k 360 k k 360 k H f 2 3 ⋅ ⋅ − π ⋅ π ⋅ ⋅ =¸
π
−
⋅
ϕ
¹
·
¨
©
§
ϕ
+
ϕ
⋅
−
π
− (5c)( )
(
)
(
( )
)
(
)
( )
( )
¸¸ ¹ · ¨ ¨ © § ¸ ¹ · ¨ © § ϕ + ϕ ⋅ π − π ⋅ ϕ ⋅ π − π ⋅ π − ¸ ¹ · ¨ © § ϕ − π ⋅ • • ϕ ⋅ π − π ⋅ ϕ ϕ ⋅ π − π ⋅ − + − ⋅ ⋅ = ′¸
¹
·
¨
©
§
+
− − k k k 1 k 2 2 4 2 k k 2 k 2 k 2 2 k sin 2 1 360 360 180 2 cos 180 d 5 k 360 k sin 2 1 k 360 H d H d d H 3 H 3 d H fJ
2d
3Warunkiem zbieno ci tej metody jest spełnienie zaleno ci:
(
) (
)
(
)
(
f H)
K 1 H f H f 2 k k k ≤ < ′ ′′ ⋅ (5d)Kryterium stopu dla iteracji ma posta :
α
<=
−
+1 k
k
H
H
α<1 - przyjty parametr zbieno ci (5e)Iteracje obliczania wysoko ci napełnienia H wykonywane s dopóty dopóki nie zostanie spełnione kryterium zbieno ci (5e).
2. Dla obliczonego napełnienia H obliczamy promie hydrauliczny Rh według wzoru: ¸ ¸ ¸ ¹ · ¨ ¨ ¨ © § ¸¸ ¸ ¹ · ¨¨ ¨ © § − − ⋅ π − π ⋅ ¸ ¸ ¸ ¹ · ¨ ¨ ¨ © § ¸¸ ¸ ¹ · ¨¨ ¨ © § − − ⋅ + ¸¸ ¸ ¹ · ¨¨ ¨ © § − − ⋅ − π = = π 2 d 2 2 d 2 2 d 2 d 2 180 d U A h H H Hd tg arc 180 4 H H Hd tg arc 2 sin H H Hd tg arc d R (6)
gdzie: A – pole powierzchni przekroju czynnego U – obwód zwilony
3. Obliczanie prdko ci v według wzoru: 2 1 3 2
J
R
v
h n 1⋅
=
(7) gdzie: n – współczynnik Manninga J – spadek dna kanałuZe wzgldu na brak warto ci współczynnika Manninga dla kanałów wykonanych z rónego rodzaju tworzyw sztucznych naley przelicza warto tego współczynnika w zaleno ci od współczynnika chropowato ci bezwzgldnej k zgodnie z zaleno ci:
( )
( )
3,k7d d 32log
g
4
K
6 1 ⋅⋅
⋅
=
(8)Obliczenia s realizowane kolejno dla kadego odcinka sieci, zaczynajc od połoonego najda-lej od wylotu sieci, a koczc na obliczaniu odcinka najbliszego oczyszczalni cieków
Krok 4. W kadym w le sieci oblicza si równania bilansu przepływów
0 Q i j j= ¦ ≠ oraz waru-nek zgodno ci poziomów zwierciadła cieków.
Krok 5. Dla kanałów tłocznych przy zadanym przepływie Q oblicza si straty ci nienia z
zale-no ci: 2 i i 4 i 2 2 i i 5 i 2 s
Q
g
d
8
Q
L
8
g
d
h
⋅
ξ
⋅
⋅
π
+
⋅
⋅
⋅
π
λ
=
(9) gdzie: iλ
- współczynnik strat liniowych dla i-tego odcinka obliczany przy pomocy wzoru Co-lebrooka-White’a lub WaldenaLi – długo rozpatrywanego odcinka i
ξ
- współczynnik strat lokalnych w przewodzieZ uwagi na uwikłan zaleno współczynnika λ we wzorze Colebrooka-White’a do obliczenia przyblionej warto ci współczynnika λ stosuje si wzór Waldena postaci:
¸¸ ¹ · ¨¨ © § ε ⋅ + ⋅ − = λ Re 0,268 1 , 6 log 2 1 915 , 0 (10)
gdzie : ε- chropowato c wzgldna d k
=
ε
Re – liczba Reynoldsaυ
⋅
=
v
d
Re
υ- kinetyczny współczynnik lepko ci
Krok 6. Zmieniajc dopływy cieków do kanałów ponownie przelicza si cał sie . Przy
zało-eniu, e przepływy wzdłu segmentów sieci s stałe mona przeprowadza symulacj sieci dla zadanych odcinków czasu np. godzinowym lub dobowym i w ten sposób uwzgldni zmian w czasie nate dopływów cieków
Naley zauway , e w przedstawionym algorytmie analizowane zmienne tzn. wysoko na-pełnienia, promie hydrauliczny i prdko przepływu zale od nate dopływów cieków. Przy ciekach pochodzcych z opadów istotne jest uwzgldnienie zmian natenia dopływów i powta-rzanie oblicze zgodnie z czstotliwo ci tych zmian.
Przedstawiony algorytm moe stanowi cz całkowitego modelu obliczania sieci kanaliza-cyjnych.
W przyszło ci naleałoby uwzgldni take sie kanalizacji typu półrozdzielczego i roz-dzielczego uwzgldniajcych sie deszczow oraz takie elementy sieci jak separatory, pompownie oraz zbiorniki retencyjne.
Bibliografia
1. S.Biedugnis: Metody informatyczne w wodocigach i kanalizacji. Oficyna Wydawnicza Politechniki Warszawskiej, Warszawa 1998.
2. J.Chudzicki, S.Sosnowski: Instalacje kanalizacyjne. Wydawnictwo „Seidel-Przywecki” Sp. Z o.o, Warszawa 2004.
3. P.Mizgalewicz, K.Knapik, A.Wieczysty: Analiza pracy sieci kanalizacyjnych przy zastosowaniu EMC. Ochrona rodowiska nr 434/3-4 (20-21), 1984.
4. J.Wartalski: Komputerowe metody projektowania i analizy hydraulicznej sieciowych układów kanalizacyjnych. Ochrona rodowiska, nr 434/3-4 (20-21), 1984.
5. M.Serek: Zastosowanie mikrokomputerów do obliczania sieci kanalizacji deszczowej. Ochrona rodowiska, nr 488/1-2 (27-28), 1986.
6. WILO Polska- producent pomp i urzdze sanitarnych: Podstawy odprowadzania i pompowania cieków. Oferta handlowa.
PROBLEMS OF MODELLING OF A SEWERAGE NET
Summary
The algorithm of calculation of sewerage net divided for segments is presented. In the nodes the flow balance equation and the condition of levels accordance hold. The equations describing the canal filling as well as hydraulic radius and changes of the flow velocity are shown.
Keywords: mathematical modeling of communal sewerage systems, flow velocity, hydraulic radius
Lucyna Bogdan Grayna Petriczek
Instytut Bada Systemowych PAN, 01-447 Warszawa, Newelska 6 e-mail: bogdan@ibspan.waw.pl
