Oblicz nast¦puj¡ce caªki: Z 1 √−x2+ x + 1dx

Matematyka Komputerowa Lista 3. Pochodne, caªki, granice 1. Oblicz pochodne nast¦puj¡cych funkcji:

a) f(x) = ln((x − 1)²) − 3e^−5x, b) g(x) = arccos(√

6x⁴− 2 · sin 3x), c) h(x) = _esin 6x^tgπxx²,

d) k(x) = a(x) − 2b(x)/e^−3c(x2). 2. Oblicz nast¦puj¡ce caªki:

Z 1

√−x²+ x + 1dx,

∞

Z

0

e^−xsin xdx,

1

Z

0

e^x+exdx,

e^π

Z

1

sin(ln x).

3. Oblicz pochodne cz¡stkowe:

a) ^∂f_∂x, ^∂f_∂y dla f(x, y) = e^3x3y,

b) ^∂g_∂x, ^∂g_∂y dla g(x, y) = 2x⁴− 4 cos y. 4. Oblicz nast¦puj¡ce granice:

a) lim

n−→∞(9 − ⁸ⁿ_n²2⁺¹)⁷ⁿ², b) lim

x−→0(cos 2x)^x21 , c) lim

n−→∞

1

n(cos_2n^π + cos^2π_2n + . . . + cos^nπ_2n).

5. Rozwi« w szereg Taylora w punkcie 0 do 10. miejsca nast¦puj¡ce funkcje:

cos²x, ln(1 + x³), e^x x²+ 1.

6. Wyznacz najwi¦ksz¡ warto±¢ funkcji f(x) = x^−x na przedziale (0, +∞).

7. Napisz równanie stycznej do wykresu funkcji f(x) = ^ln(x)_x w jej punkcie przegi¦cia.

8. Oblicz dªugo±¢ krzywej f(x) = ¹₂(x√

x²− 1 − ln(x +√

x²− 1)) na przedziale [1, 101].

1