wykona¢ w nast¦puj¡cych krokach:

Zadania z mechaniki kwantowej (zestaw 2)

5. Prosz¦ znale¹¢ dopuszczalne warto±ci energii i odpowiadaj¡ce im funkcje falowe dla cz¡stki o masie m poruszaj¡cej sie w potencjale V (x) = ¹ ₂ mω ² x ² (oscylator harmoniczny raz jeszcze), rozwi¡zuj¡c stacjonarne równanie Schrödingera w reprezentacji poªo»e«. Zadanie proponuj¦

wykona¢ w nast¦puj¡cych krokach:

(a) zapisa¢ stacjonarne równanie Schrödingera w reprezentacji poªo»e«,

(b) wprowadzi¢ oznaczenie λ = ^2E _~ω i przej±¢ do bezwymiarowej zmiennej ξ = x/ q

~ mω , (c) odseparowa¢ asymptotyk¦ rozwiazania dla ξ → ±∞ przez podstawienie ψ(ξ) = e ^S(ξ) ,

S(ξ) = S ₀ (ξ) + S ₁ (ξ) + . . . i w ten sposób otrzyma¢, »e ψ(ξ) = H(ξ)e ^−ξ

^/2 ,

(d) otrzyma¢ równanie ró»niczkowe speªniane przez H(ξ) i rozwi¡za¢ je metod¡ szeregów, (e) badaj¡c zachowanie asymptotyczne (dla ξ → ±∞) szeregu reprezentuj¡cego H(ξ) zna-

le¹¢ warunek kwantowania λ (odp. λ = 2n+1, gdzie n jest nieujemn¡ liczb¡ caªkowit¡), a co za tym idzie warunek kwantowania E,

(f) pokaza¢, »e tak otrzymany szereg jest wielomianem stopnia n o parzysto±ci (−1) ⁿ , speªniaj¡cym równanie ró»niczkowe

H _n (ξ) ⁰⁰ − 2ξH _n ⁰ (ξ) + 2nH _n (ξ) = 0, (1) jest to jedna z denicji wielomianów Hermite'a.

6. Prosz¦ pokaza¢ równowa»no±¢ denicji wielomianów Hermite'a z poprzedniego zadania oraz zadania 4.h z poprzedniego zestawu. Mo»na to zrobi¢ w nast¦puj¡cych krokach:

(a) pokaza¢ »e

H _n (x) = e

 x − d

dx

 n

e ⁻

= (−1) ⁿ e ^x

d ⁿ

dx ⁿ e ^−x

, (2) i »e z tego wynika, »e H n (x) jest wielomianem stopnia n o parzysto±ci (−1) ⁿ

(b) pokaza¢ »e

H _n (x) = (−1) ⁿ e ^x

d ⁿ

dx ⁿ e ^−x

=⇒  H _n ⁰ (x) = 2nH _n−1 (x)

H n+1 (x) = 2xH n (x) − 2nH n−1 (x) , (3) (c) pokaza¢, »e z (3) wynika »e H n (x) speªniania równanie ró»niczkowe (1).

7. Jeszcze innym wygodnym sposobem zdeniowania wielomianów Hermite'a jest podanie ich funkcji tworz¡cej:

F (ξ, u) = exp(−u ² + 2ξu) = X

0≤n

u ⁿ

n! H _n (ξ). (4)

(a) Prosz¦ pokaza¢, »e jest to denicja równowa»na poprzednim denicjom. W tym celu

prosz¦ pokaza¢, »e wspóªczynniki H n (ξ) w rozwini¦ciu (4) (rozwini¦cie F (ξ, u) w szereg

pot¦gowy w u) s¡ wielomianami stopnia n o parzysto±ci (−1) ⁿ . Nast¦pnie ró»niczkuj¡c

(4) po ξ i po u prosz¦ pokaza¢, »e wspóªczynniki H n (ξ) speªniaj¡ (3).

(b) Jawn¡ posta¢ H n (ξ) mo»na ªatwo znale¹¢ ró»niczkuj¡c n-krotnie po u funkcj¦ tworz¡c¡:

H _n (ξ) = ∂ ⁿ F (ξ, u)

∂u ⁿ     u=0

.

Korzystaj¡c z tego wzoru prosz¦ wyliczy¢ jawn¡ posta¢ 3 pierwszych wielomianów Her- mite'a.

8. Przy pomocy funkcji tworz¡cej mo»na ªatwo wyliczy¢ warunek ortogonalno±ci dla wielomia- nów Hermite'a. W tym celu prosz¦ pokaza¢, »e

Z +∞

−∞

e ^−ξ

F (ξ, u)F (ξ, v) dξ = √ πe ^2uv .

Rozwijaj¡c obie strony tej równo±ci w szereg wzgl¦dem u i v prosz¦ pokaza¢, »e:

Z +∞

−∞

e ^−ξ

H n (ξ)H m (ξ) dξ = δ mn

√ π2 ⁿ n! . (5)

Wskazówki/rozwi¡zania wszystkich powy»szych zada« mo»na znale¹¢ w podr¦czniku L. Schi Mechanika kwantowa.

A. Rostworowski