W U T J o u r n a l o f T r a n s p o r t a t i o n E n g i n e e r i n g
P R A C E N A U K O W E - P O L I T E C H N I K A W A R S Z A W S K A . T R A N S P O R T
ISSN: 1230-9265 vol. 129
DOI: 10.5604/01.3001.0014.3417 2020
Article citation information:
Woźnica P., Zboiński K. (2020). Optymalizacja kolejowych krzywych przejściowych dla dużych promieni łuku kołowego, WUT Journal of Transportation Engineering, 129, 73–80, ISSN: 1230-9265, DOI:
10.5604/01.3001.0014.3417 *Corresponding author
E-mail address: piotr.woznica@pw.edu.pl (P. Woźnica)
ORCID iD: 0000-0002-3715-966X(P. Woźnica), 0000-0002-6967-4244 (K. Zboiński)
Received 18 January 2020, Revised 20 July 2020, Accepted 29 July 2020, Available online 30 July 2020.
Optimization of railway transition curves for large
circular arc radii
Piotr Woźnica
*, Krzysztof Zboiński
Warsaw University of Technology, Faculty of TransportAbstract. The current paper concerns the optimization of the shape of railway transition
curves (TCs). As transition curves, the authors used the polynomials of the 9th and 11th degree. In the optimization of the shape of the TCs, the model of a 2-axle rail vehicle was used. The mentioned objective function concerned the normalized value of the integral of the change of lateral acceleration of the vehicle body along the route. The authors used large cir-cular arc radii – R = 3000 m and 4000 m. The paper presents the results of the optimization - the types of curvatures of the optimum transition curves and the dynamical courses - the displacements and the accelerations both lateral and vertical of the vehicle body mass centers.
Keywords: railway transition curves, railway vehicle dynamics, simulation
1. Wstęp
Tematyką kolejowych krzywych przejściowych (KP) zajmują się badacze zarówno w kraju, np. [2], [9], jak i zagranicą, np. [1], [3]. W ostatnich latach można zaobserwować wzrost liczby publikacji dotyczących krzywych przejściowych kolejowych. Jest oczywiste, że znaczna liczba prac pochodzi z Chin (np. [3]–[5], [8]), co jest dowodem na to, że kraj ten ostatnich latach dominuje w zakresie budowy kolei dużych prędkości (KDP).
Przyczynkiem do niniejszej pracy były wcześniejsze prace autorów artykułu, np. [7], [9], [10]. W poprzednich pracach, przedmiotem badań ich autorów, była ocena właściwości dy-namicznych kolejowych wielomianowych krzywych przejściowych. Dotychczasowe bada-nia miały zawsze charakter zaplanowanych testów numerycznych. Wykonywano je za po-mocą programu do symulacji ruchu 2-osiowego towarowego pojazdu szynowego, połączo-nego z biblioteczną procedurą optymalizacyjną. Zastosowanie podejścia proponowapołączo-nego przez autorów artykułu prowadziło do wyników innych, niż te otrzymywane metodami tra-dycyjnymi (np. [2]). W nich kryteria oceny i wyznaczanie parametrów krzywych odnoszą się do: niezrównoważonego przyspieszenia poprzecznego na poziomie toru, prędkości zmiany przyspieszenia i prędkości podnoszenia się koła po rampie przechyłkowej [6].
We wszystkich wcześniejszych pracach autorów artykułu, maksymalną wartością pro-mienia łuku kołowego była wartość 2000 m. Z racji tego faktu, w niniejszym artykule sku-piono się na większych wartościach promienia, tj. 3000 m i 4000 m. Dla rozpatrywanych w pracy wartości promieni łuku można uzyskać prędkości pojazdu – odpowiednio 260 km/h i 300 km/h, ale ze względu na fakt, że wykorzystano model pojazdu towarowego maksy-malna analizowana prędkość to 120 km/h (33,5 m/s).
2. Cel pracy
Celem niniejszego artykułu była optymalizacja kształtu kolejowych wielomianowych krzywych przejściowych stopnia 9. i 11. z wykorzystaniem modelu 2-osiowego pojazdu szy-nowego (autorstwa jednego z autorów artykułu) oraz kryterium dynamicznego. W pracy jej autorzy dążyli do tego, aby minimalizować wartości przyjętej funkcji celu. Model 2-osiowy wybrano dlatego, gdyż, w porównaniu z modelem wagonu 4-osiowego, charakteryzuje się on dużo krótszymi czasami obliczeń [10]. Jako wspomniane kryterium oceny (funkcję celu) zastosowano tu znormalizowaną po długości drogi wartość całki z wartości bezwzględnej zmiany przyspieszenia poprzecznego nadwozia, tzw. zrywu
𝐹𝐶1 = 𝐿−1𝐶 ∫ |𝑦⃛ |𝑏 𝐿𝐶
0 dl (1)
We wzorze (1) przyjęto następujące oznaczenia:
𝐿𝐶 – długość drogi uwzględnianej w obliczeniu funkcji celu [m], 𝑦⃛ – zmiana przyspieszenia poprzecznego środka masy pojazdu [m/s𝑏 3].
Każda pojedyncza symulacja, wchodząca w skład procesu optymalizacji, polegała na przejeździe pojazdu po trasie, składającej się z: toru prostego TP (długość – 50 m), KP (dłu-gość – l0) i łuku kołowego ŁK (długość – 100 m). W efekcie otrzymywano wyniki symulacji ruchu pojazdu po trasach, zawierających krzywe przejściowe oraz optymalne kształty krzy-wych, ze względu na wielkości dynamiczne układu, w tym dotyczące oddziaływań na pojazd i pasażera
3. Typ krzywej przejściowej, model pojazdu oraz schemat
przyjętego programu
Jak np. w [7], tak i w tym artykule, krzywą przejściową przestawiono w postaci następują-cych równań: 𝑥 ≅ 𝑙 𝑦 = 1 𝑅( 𝐴𝑛′𝑙𝑛 𝑙0𝑛−2+ 𝐴𝑛−1′ 𝑙𝑛−1 𝑙0𝑛−3 + 𝐴′𝑛−2𝑙𝑛−2 𝑙0𝑛−4 + 𝐴𝑛−3′ 𝑙𝑛−3 𝑙0𝑛−5 + … + 𝐴5′𝑙5 𝑙03 + 𝐴4′𝑙4 𝑙02 + 𝐴3′𝑙3 𝑙01 ) 𝑧 =𝐻 2[𝑛(𝑛 − 1) 𝐴𝑛′𝑙𝑛−2 𝑙0𝑛−2 + (𝑛 − 1)(𝑛 − 2) 𝐴𝑛−1′ 𝑙𝑛−3 𝑙0𝑛−3 + ⋯ + 5 ∙ 4 𝐴5′𝑙3 𝑙03 + 4 ∙ 3 𝐴4′𝑙2 𝑙02 + 3 ∙ 2 𝐴3′𝑙1 𝑙01 ] (2) gdzie:
𝑥 - współrzędna wzdłużna krzywej, 𝑦 - współrzędna poprzeczna krzywej, 𝑧 - współrzędna pionowa krzywej,
𝑅 - promień łuku kołowego,
H - przechyłka w łuku,
𝑙0- całkowita długość krzywej, 𝑙 - bieżąca długość krzywej.
Symbole 𝐴𝑖′ są współczynnikami wielomianu (i = n, n-1,…., 4, 3), gdzie n jest stopniem wielomianu. W pierwszym z równań (2) przyjęto przybliżoną wartość 𝑥. Odniesienie do ta-kiego postępowania znajduje się w [11]. Dla długości KP stosowanych w praktyce, różnicę wartości 𝑥 i 𝑙 uznać można w tym miejscu za pomijalną.
Jak wspomniano, w badaniach wykorzystano jeden model wagonu 2-osiowego z jednym stopniem usprężynowania. Model ten wykorzystywany był w wielu poprzednich pracach au-torów i jest szczegółowo opisany np. w [10]. Jak każdy wagon tego rodzaju ma on nadwozie (pudło) połączone z dwoma zestawami kołowymi za pomocą elementów sprężysto – tłumią-cych. Struktura modelu i jego parametry swoim zakresem odpowiadają typowemu 2-osio-wemu wagonowi rzeczywistemu.
Schemat oprogramowania składa się z dwóch pętli iteracyjnych. Pierwsza jest pętlą całko-wania równań (symulacji). Jest ona przerywana, gdy długość llim, będąca długością bieżącą drogi, osiągnie założoną wartość. Druga zaś jest pętlą procesu optymalizacji. Jest przerywana, gdy liczba iteracji osiągnie wartość ilim. Wartość ta oznacza, że aby zakończyć proces optyma-lizacji, należy wykonać ilim symulacji. Jeśli optymalne rozwiązanie zostanie znalezione wcze-śniej (i<ilim), wtedy proces optymalizacyjny zostanie automatycznie zatrzymany.
4. Krzywe przejściowe początkowe oraz optymalne
W badaniach, jak poprzednio [9], wykorzystano dwie KP początkowe stopnia 9. i 11. Są to KP przedstawione za pomocą wzorów:
𝑦 = 1 𝑅(− 5 18 𝑙9 𝑙07+ 5 4 𝑙8 𝑙06− 2 𝑙7 𝑙05+ 7 6 𝑙6 𝑙04) (3) 𝑦 = 1 𝑅( 7 11 𝑙11 𝑙09 − 7 2 𝑙10 𝑙08 + 15 2 𝑙9 𝑙07− 15 2 𝑙8 𝑙06+ 3 𝑙7 𝑙05) (4)
Na funkcję krzywizny krzywej przejściowej nałożono podstawowy warunek, jaki musi ona spełniać w punktach początkowym i końcowym, tj. k(0) = 0 i k(l0) = 1/R [6]. Analogiczny warunek powinna spełniać też rampa przechyłkowa, tzn. h(0) = 0 i h(l0) = H. Dodatkowo, w przypadkach, gdzie optymalną krzywą przejściową nie była parabola 3. stopnia, jako krzywą przejściową początkową wykorzystywano wspomnianą parabolę 3. stopnia.
Założono, że każda KP uzyskana w pracy ma krzywiznę oraz rampę przechyłkową, która zostanie zakwalifikowana do jednej z 5 grup. Rozróżnienie miało charakter jakościowy, tzn. wybrano krzywizny z i bez styczności w skrajnych punktach oraz z punktami przegięcia. Wspomniane 5 grup (typów) to:
typ 1 – krzywizna jest w praktyce zbliżona do krzywizny (3) i (4),
typ 2 – krzywizna ma kształt pośredni pomiędzy krzywizną wzorcową [5], a krzywizną paraboli 3. stopnia, krzywizna ta ma styczność typu G1 w skrajnych punktach krzywej, typ 3 – krzywizna quasi-liniowa, bardzo zbliżona do krzywizny powszechnie stosowanej
typ 4 – krzywizna ma wklęsły charakter, jest ostra (4a) lub ma ciągłość typu G1 (4b) na początku KP i zawsze ostra na końcu KP,
typ 5 – krzywizna ma wypukły charakter i styczność typu G0 na początku i końcu krzy-wej.
Krzywizny wspomnianych typów 1-5 przedstawiono na rysunku 1. Jako wartość krzywi-zny w punkcie końcowym przyjęto 1/600 [1/m].
Rys. 1. Krzywizny typu: a) 1, 2 i 3, b) 4, 5 (źródło: opracowanie własne)
5. Wyniki optymalizacji kształtu krzywych przejściowych
Celem niniejszego rozdziału jest przedstawienie wyników badań uzyskanych podczas op-tymalizacji kształtu KP z wykorzystaniem opisanego modelu pojazdu i kryterium FC1. Tra-dycyjnie na wyniki z poszczególnych procesów optymalizacji kształtu KP składały się: op-tymalne współczynniki wielomianu, wartości funkcji celu, graficzna reprezentacja KP i krzywizny oraz przemieszczenia i przyspieszenia (poprzeczne, pionowe, kątowe) środka masy nadwozia.
W niniejszej pracy prezentacje wyników optymalizacji ograniczono do przedstawienia: typów krzywizn optymalnych krzywych przejściowych,
krzywizny optymalnej KP,
przebiegów dynamicznych – przemieszczeń i przyspieszeń środka masy nadwozia po-jazdu.
W tabelach 1 i 2 dla każdego promienia łuku kołowego i przyjętych: niezrównoważonego przyspieszenia poprzecznego alim,
prędkości pojazdu v, przechyłki H,
stopnia wielomianu n
przedstawiono wyniki procesów optymalizacji – typy krzywizn optymalnych KP. Liczba poszczególnych typów krzywizn krzywych przejściowych kształtowała się więc następująco:
typ 1 – 3, typ 2 – 1, typ 3 – 12, typ 4 – 0, typ 5 – 0.
Zatem procedura optymalizacyjna nie znalazła ani jednej krzywej przejściowej o krzywi-znach typu 4 i 5. Już na początku badań widać więc, że parabola 3. stopnia, powszechnie stosowana krzywa przejściowa w inżynierii kolejowej, wykazuje korzystne właściwości względem innych typów krzywych przejściowych. Miało to jednak miejsce tylko dla długo-ści krzywych przejdługo-ściowych nie większych niż 120 m. Krzywe przejdługo-ściowe o długodługo-ściach większych niż 120 m posiadały krzywizny typu 1 oraz 2.
Tabela 1. Wyniki optymalizacji – R = 3000 m
alim [m/s2] v [m/s] H [mm] n l0 [m] FC 1 1 -0,6 29,10 135 9 153,45 2 11 172,57 1 2 -0,3 29,40 90 9 103,35 3 11 116,23 3 3 0 31,30 50 9 61,13 3 11 68,74 3 4 0,15 30,66 25 9 29,94 3 11 33,67 3
Tabela 2. Wyniki optymalizacji – R = 4000 m
alim [m/s2] v [m/s] H [mm] n l0 [m] FC 1 1 -0,6 29,45 125 9 143,79 1 11 161,71 1 2 -0,3 29,85 80 9 93,28 3 11 104,90 3 3 0 30,24 35 9 41,34 3 11 46,49 3 4 0,15 33,50 20 9 26,17 3 11 29,43 3
W niniejszym rozdziale autorzy przedstawili wybrane wyniki badań w postaci krzywizny KP i charakterystyk dynamicznych dla jednego procesu optymalizacji krzywych przejścio-wych 9. stopnia (tabela 1, przypadek nr 1, v = 29,10 m/s, l0 = 153,45 m). Wspomnianymi wynikami były:
krzywizna optymalnej KP (rys. 2),
przemieszczenia i przyspieszenia poprzeczne środka masy nadwozia (rys. 3), przemieszczenia i przyspieszenia pionowe środka masy nadwozia (rys. 4), przemieszczenia i przyspieszenia kątowe nadwozia wokół osi x (rys. 5).
Optymalna krzywa przejściowa miała, zgodnie z tabelą 1, krzywiznę typu 2.
Analizując przebiegi dynamiczne z rysunków 3–5 widoczne jest, że optymalizacja kształtu krzywych przejściowych dla dużych promieni łuku kołowego przyniosła wymierne efekty. Jest to szczególnie zauważalne dla łagodniejszych przemieszczeń i przyspieszeń – tak poprzecznych, jak i kątowych nadwozia (rys. 3 i 5). Krzywe przejściowe z załomami
krzywiznw punkcie końcowym były preferowane przez procedurę optymalizacyjną, a wspo-mniany załom istniał tylko w funkcji krzywizny, nie zaś we współrzędnej y. Wspowspo-mniany załom nie wpływał zatem negatywnie na dynamikę pojazdu.
Rys. 2. Krzywizna optymalnych i początkowej KP dla przypadku nr 1 z tabeli 1
Rys. 3. Przebiegi dynamiczne: a) przemieszczenia, b) przyspieszenia poprzeczne nadwozia – FC1
Rys. 5. Przebiegi dynamiczne: a) przemieszczenia, b) przyspieszenia kątowe nadwozia – FC1 Optymalną krzywą przejściową, znalezioną przez procedurę optymalizacyjną w procesie optymalizacji, jest, jak wspomniano, krzywa o krzywiźnie typu 2. Krzywa ta została znale-ziona w 138. kroku (ilim = 138). Stosunek wartości funkcji celu, całek ze zmiany przyspie-szenia poprzecznego środka masy nadwozia pojazdu, dla krzywej optymalnej do wartości funkcji celu dla krzywej wzorcowej 9. wynosił 0,79 = (0,060791 [m/s3]/0,076844 [m/s3]).
6. Wnioski
Autorzy niniejszej pracy pokazali, że optymalizacja kształtu krzywych przejściowych z wykorzystaniem kryterium FC1 dała oczekiwane rezultaty. Przyjęte kryterium oceny przy-datności krzywej dotyczące dynamiki poprzecznej pojazdu, poprawiało wartości funkcji celu z jednoczesną poprawą właściwości dynamicznych układu – przemieszczeń i przyspie-szeń (poprzecznych, pionowych i kątowych) nadwozia.
W pracy otrzymano krzywe o krzywiznach typu 1, 2 i 3 dające mniejsze wartości funkcji celu niż krzywe początkowe stopni 9. i 11. Wyniki, typy optymalnych krzywych przejścio-wych, otrzymane dla różnych warunków optymalizacji, w ogólnym przypadku były różne. Nie udało się odnaleźć jednej konkretnej krzywej przejściowej, która by minimalizowała wartości przyjętej funkcji celu FC w każdym przypadku.
Fakt wyboru przez procedurę optymalizacyjną krzywych przejściowych o liniowej krzy-wiźnie typu 3 można tłumaczyć tym, że dla KP o takiej krzykrzy-wiźnie pojazd szynowy łagod-niej wchodzi w środkową strefę krzywej niż dla krzywych gładkich. Krzywe gładkie mają bowiem w środkowej części punkt przegięcia. Istnienie załomów krzywizny w punktach początkowych i końcowym krzywej nie ma aż takiego wpływu na dynamikę pojazdu.
Bibliografia
1. Eliou N., Kaliabetsos G. (2014). A new, simple and accurate transition curve type, for use in road and railway alignment design, European Transport Research Review, 6(2), str. 171–179.
2. Koc W., Radomski R. (1985). Analiza krzywych przejściowych z nieliniowymi rampami przechyłkowymi, Drogi Kolejowe, nr 11/1985, 261–267.
Copyright © 2020 Woźnica P. and Zboiński K.
This is an open access article distributed under the Creative Commons Attribution License
3. Li, X., Li, M., Bu, J., Shang, Y., and Chen, M. (2010). A general method for designing railway transition curve algebraic equations, Proc. of ICCTP 2010, 3340–3348.
4. Li X., Li M., Bu J., Wang H. (2009). Comparative analysis on the linetype mechanical performances of two railway transition curves, China Railway Sciences, issue 6.
5. Long X.Y., Wei Q.C., Zheng F.Y. (2010). Dynamical analysis of railway transition curves, Proc. IMechE part F Journal of Rail and Rapid Transit, 224(1), 1–14.
6. Rozporządzenie MTiGM w sprawie warunków technicznych, jakim powinny odpowiadać budowle kole-jowe i ich usytuowanie - Dz.U. nr 151 poz. 987, 1998 r. z późn. zm. - Dz.U. poz. 867, 2014.
7. Woźnica P. (2012). Kształtowanie i ocena własności kolejowych krzywych przejściowych z wykorzysta-niem metod optymalizacji i symulacji, Rozprawa doktorska, Politechnika Warszawska, Wydział Trans-portu, Warszawa.
8. Zhang J.Q., Huang Y.H., Li F. (2010). Influence of transition curves on dynamics performance of railway vehicle, Journal of Traffic and Transportation Engineering, 10(4), 39–44.
9. Zboiński K. (2012). Nieliniowa dynamika pojazdów szynowych w łuku, WNITE, Warszawa-Radom. 10. Zboiński K., Woźnica P. (2018). Combined use of dynamical simulation and optimisation to form railway
transition curves, Vehicle System Dynamics, DOI: 10.1080/00423114.2017.1421315.
11. Zboiński K. (2000). Metodyka modelowania dynamiki pojazdów szynowych z uwzględnieniem zadanego ruchu unoszenia i jej zastosowania, Prace Naukowe Politechniki Warszawskiej - Transport, z. 43, Oficyna Wydawnicza PW.
Optymalizacja kolejowych krzywych przejściowych dla
dużych promieni łuku kołowego
Streszczenie. Artykuł dotyczy optymalizacji kształtu kolejowych krzywych przejściowych
(KP). Kształt krzywych przejściowych opisano wielomianem 9. i 11. stopnia. Zastosowano także dwie wartości promienia łuku kołowego: 3000 m i 4000 m. W optymalizacji kształtu krzywych wykorzystano model 2-osiowego pojazdu szynowego. Jako funkcję celu przyjęto znormalizowaną po długości drogi wartość całki z wartości bezwzględnej zmiany przyspie-szenia poprzecznego nadwozia. W artykule przedstawiono wyniki optymalizacji kształtu krzy-wych – typy krzywizn optymalnych krzykrzy-wych przejściokrzy-wych oraz przebiegi dynamiczne – przemieszczenia i przyspieszenia tak poprzeczne, jak i pionowe środka masy nadwozia.
