26 pa¹dziernika 2005 1. Wyzna zy¢
f
′
x
(x, 1)
, je±lif
(x, y) = x + (y − 1) · arcsin
r x
y
.
2. Korzystaj¡ z de ni ji sprawdzi¢, zy istniej¡ po hodne z¡stkowe rzdu pierwszego
poda-ny h funk ji we wskazany h punkta h:
(a)
f
(x, y) = x · sin(xy)
,(x
0
, y
0
) = (π, 1)
; (b)f
(x, y) =
3
px
3
− y
3
,(x
0
, y
0
) = (0, 0)
; ( )f
(x, y, z) =
(
x
3
+y
x
2
+y
2
+z
2
dla(x, y, z) 6= (0, 0, 0)
0
dla(x, y, z) = (0, 0, 0)
,(x
0
, y
0
, z
0
) = (0, 0, 0)
.3. Obli zy¢po hodne z¡stkowe pierwszego rzdu podany h funk ji:
(a)
f
(x, y) = e
x
2
·sin y
; (b)f
(x, y) = arccos
y
x
; ( )f
(x, y, z) = x
y
− z
x
.4. Obli zy¢ po hodne z¡stkowe drugiego rzdu poni»szy h funk ji i sprawdzi¢, zy po hodne
z¡stkowe mieszane s¡ równe:
(a)
f
(x, y) = xy +
x
2
y
3
; (b)f
(x, y) = arctan(xy)
; ( )f
(x, y, z) = e
3x+4y
· cos(5z)
; (d)f
(x, y) = x
4
+ y
4
− 4x
2
y
2
; (e)f
(x, y) = xy +
x
y
; (f)f
(x, y) =
x
y
2
; (g)f
(x, y) =
x
√
x
2
+y
2
; (h)f
(x, y) = x · sin(x + y)
; (i)f
(x, y) =
cos(x
2
)
y
; (j)f
(x, y) = tan
x
2
y
; (k)f
(x, y) = ln(x + y
2
)
; (l)f
(x, y) = arctan
y
x
;(m)
f
(x, y) = arctan
x+y
1−xy
; (n)f
(x, y) = arcsin
x
√
x
2
+y
2
; (o)f
(x, y) = x
y
; (p)f
(x, y, z) = x
y
; (q)f
(x, y, z) =
1
√
x
2
+y
2
+z
2
; (r)f
(x, y, z) = (
x
y
)
z
; (s)f
(x, y, z) = x
y
z
; (t)f
(x, y, z) = x
y
z
.5. Zbada¢, zy równo±¢
∂
2
f
∂x∂y
(0, 0) =
∂
2
f
∂y∂x
(0, 0)
jestspeªnionadlafunk ji: (a)f
(x, y) = x
2
− 2xy − 3y
2
; (b)f
(x, y) = arccos √xy
; ( )f
(x, y) =
(
xy(x
2
−y
2
)
x
2
+y
2
dla(x, y) 6= (0, 0)
0
dla(x, y) = (0, 0)
.6. Obli zy¢wskazane po hodne z¡stkowe podany h funk ji:
(a)
∂
5
f
∂x∂y
4
,f
(x, y) = x · e
−y
; (b)∂
5
f
∂z
2
∂x∂y
2
,f
(x, y, z) = ln(x
2
+ 2y − z)
. 7. Nie hz
(x, y) = y · f(x
2
− y
2
)
, gdzie
f
(u)
jest dowoln¡ funk j¡ ró»ni zkowaln¡. Pokaza¢, »e zawsze speªniona jestzale»no±¢1
x
·
∂z
∂x
+
1
y
·
∂z
∂y
=
z
y
2
.
8. Nie hu
= x
y
,
x
= φ(t)
,y
= ψ(t)
i funk jeφ, ψ
s¡ ró»ni zkowalne. Wyzna zy¢ po hodn¡ funk jiu
w zale»no± i odt
.9. Nie h
u
= f (x, y, z)
mapo hodne z¡stkowe i¡gªe. Wyzna zy¢∂u
∂p
,∂u
∂q
i∂u
∂r
,je»elix
(p, q, r) =
p
− q
,y
(p, q, r) = q − r
,z
(p, q, r) = r − p
.10. Nie h
u
= f (x, y, z)
mapo hodne z¡stkowe i¡gªe. Wyzna zy¢∂u
∂x
,je»eliy
= y(x)
,z
= z(x)
. 11. Obli zy¢po hodne z¡stkowe pierwszego rzdu wzgldemx
iy
dlapodany hfunk ji:(a)
z
= f (u, v) = e
uv
,gdzie i.u
= ln
px
2
+ y
2
,v
= arctan
y
x
; ii.u
= x
2
y
2
,v
=
x
y
; (b)z
= f (u, v, w) = u
2
− v · (arctan u − w)
, gdzie i.u
= ln
px
2
+ y
2
,v
= arctan
y
x
,w
= x − 2y
; ii.u
= x
2
y
2
,v
=
x
y
,w
= 2x − y
. 12. Wykaza¢, »e funk jau
=
px
2
+ y
2
+ z
2
speªnia równanie∂u
∂x
2
+
∂u
∂y
2
+
∂u
∂z
2
= 1.
13. Wykaza¢, »e funk ja
u
= x
y
y
x
speªnia równaniex
·
∂u
∂x
+ y ·
∂u
∂y
= (x + y + ln u) · u.
14. Korzystaj¡ zde ni jiobli zy¢po hodnekierunkowepodany hfunk jiwewskazany h
punk-ta hi kierunka h: (a)
f
(x, y) =
px
2
+ y
2
,(x
0
, y
0
) = (0, 0)
,~v
= (
1
2
,
−
√
3
2
)
; (b)f
(x, y) =
3
pxy
2
,(x
0
, y
0
) = (0, 0)
,~v
= (
√
2
2
,
√
2
2
)
; ( )f
(x, y) = |x − y|
,(x
0
, y
0
) = (1, 1)
,~v
= (
3
5
,
4
5
)
. 15. Sprawdzi¢, »e je»elif
jest funk j¡ zR
n
wR
if
′
~
v
(p)
istnieje, tof
′
α·~v
(p) = α · f
~
v
′
(p)
dla dowolnegoα
∈ R \ {0}
.16. Obli zy¢po hodne kierunkowe podany h funk ji wewskazany h punkta h i kierunka h:
(a)
f
(x, y) = sin x · cos y
,(x
0
, y
0
) = (0, π)
,~v
= (−
1
2
,
√
3
2
)
; (b)f
(x, y, z) =
z−x
z+y
,(x
0
, y
0
, z
0
) = (1, 0, −3)
,~v
= (−
6
7
,
3
7
,
−
2
7
)
. 17. Nie hp
= (3, 4)
if
(x, y) = x
2
+ y
2
. Dla dowolnego k¡ta
α
nie h~v
α
= [cos α, sin α]
T
.
Wyzna zy¢
α
∈ [0, 2π)
dlaktóry h (a)f
′
~
v
α
(p)
przyjmuje warto±¢0
, (b)f
′
~
v
α
(p)
przyjmuje warto±¢ najwiksz¡,
( )
f
′
~
v
α
(p)
przyjmuje warto±¢ najmniejsz¡.
18. Obli zy¢po hodn¡ funk ji
u
= x
2
+ y
2
− z
2
w punk ie
p
= (1, 1, 1)
wkierunku odpunktup
dopunktuq
= (1, 2, 3)
.19. Sprawdzi¢, »e funk ja
f
: R
2
→ R
ma w punk ie
(0, 0)
po hodn¡ kierunkow¡ w dowolnym kierunku, aleniejest i¡gªaw tym punk ie. Funk jaf
jestokre±lona wzorem:(a)
f
(x, y) =
(
xy
3
x
2
+y
6
dla(x, y) 6= (0, 0);
0
dla(x, y) = (0, 0),
(b)f
(x, y) =
(
xy
2
x
2
+y
4
dla(x, y) 6= (0, 0);
0
dla(x, y) = (0, 0),
20. Nie hp
= (0, 0)
,~a
= [1, 0]
T
,~b = [0, 1]
T
.(a) Sprawdzi¢, »e funk ja
f
(x, y) ==
xy
x
2
+y
2
dla(x, y) 6= (0, 0);
0
dla(x, y) = (0, 0),
mapo hodnewpunk ie
p
wkierunkuwektorów~a
i~b
,aleniemapo hodnejwkierunku wektora~a
+ ~b
.f
(x, y) ==
xy(x+y)
x
2
+y
2
dla(x, y) 6= (0, 0);
0
dla(x, y) = (0, 0),
mapo hodn¡ kierunkow¡ wka»dym punk ie w kierunku dowolnegowektora, ale
f
′
~
a+~b
(p) 6= f
′
~
a
(p) + f
~b
′
(p).
21. Sprawdzi¢, »e je»eli funk ja
f
: R
2
→ R
ma w punk ie
(x
0
, y
0
)
ekstremum lokalne, to dla dowolnego wektora~v
po hodna kierunkowaf
′
~
v
(x
0
, y
0
)
jest równa0
(oile istnieje). 22. Nie hf
: R
2
→ R
bdzie dana wzorem
f(x, y) =
(
x
2
+ y
2
− 2x
2
y
−
4x
6
y
2
(x
4
+y
2
)
2
dla(x, y) 6= (0, 0);
0
dla(x, y) = (0, 0).
(a) Sprawdzi¢, »e funk ja
f
jest i¡gªa.(b) Sprawdzi¢, »e dladowolnego
θ
∈ [0, 2π)
funk jag
θ
: R → R
okre±lonawzoremg
θ
(t) = f (t · cos θ, t · sin θ)
maminimum lokalne w punk ie
0
.( ) Sprawdzi¢, »e punkt
(0, 0)
nie jestminimum lokalnymfunk jif
. 23. Zaªó»my,»efunk jaf
: R
2
→ R
ma i¡gªepo hodne z¡stkowe. Wyzna zy¢kierunek, w
któ-rymfunk ja
f
ro±nienajszyb iej(tj.ze zbioruwszystki hwektorówodªugo± i1
wybra¢ten, dlaktórego po hodna kierunkowa funk jif
wpunk ie(x
0
, y
0
)
jest najwiksza).24. (*) Nie h funk ja
f
(x, y)
okre±lona i i¡gªaw obszarze domknitymD
ma po hodne z¡st-kowef
′
x
, f
y
′
i¡gªe wewn¡trz obszaruD
. Nie ha
= (x
0
, y
0
)
ib
= (x
0
+ ∆x, y
0
+ ∆y)
bd¡ dwoma punktami wD
takimi, »e od inek prostoliniowy ª¡ z¡ ya
zb
zawiera si wD
. Pokaza¢, »e za hodzi wzór:f(x
0
+ ∆x, y
0
+ ∆y) − f(x
0
, y
0
) = f
x
′
(x
0
+ θ∆x, y
0
+ θ∆y) · ∆x + f
y
′
(x
0
+ θ∆x, y
0
+ θ∆y) · ∆y,
dlapewnego
θ
∈ (0, 1)
.Wskazówka: powy»szywzórjestanalogi znydowzoruztw. Lagrange'a(owarto± i±redniej)
