Lista 16. Caªki i twierdzenie o warto±ci ±redniej A. Twierdzenie o warto±ci ±redniej Twierdzenie

Lista 16. Caªki i twierdzenie o warto±ci ±redniej

A. Twierdzenie o warto±ci ±redniej

Twierdzenie (Tw. Lagrange'a o warto±ci ±redniej). Mamy dan¡ funkcj¦ ci¡gª¡ i ró»niczkowaln¡

na przedziale (m, M). Wtedy dla ka»dych a, b ∈ (m, M), a < b istnieje c ∈ (a, b) takie, »e

f⁰(c) = f (b) − f (a) b − a lub inaczej

f (b) − f (a) = f⁰(c)(b − a).

Pierwszy z tych wzorów mówi o tym, »e nachylenie prostej przechodz¡cej przez punkty (a, f(a)), (b, f (b))jest równe nachyleniu stycznej w pewnym punkcie (c, f(c)) pomi¦dzy tymi dwoma.

Drugi natomiast daje nam formuª¦ jak wylicza¢ przyrost funkcji na odcinku (a, b) za pomoc¡

dªugo±ci odcinka i pochodnej gdzie± pomi¦dzy.

1. Udowodnij twierdzenie Rolle'a: przy zaªo»eniach jak w twierdzeniu je±li a < b oraz f(a) = f (b), to istnieje c ∈ (a, b) takie »e

f⁰(c) = 0.

Wskazówka: Pomy±l o maksimum lub minimum.

2. Wywnioskuj z twierdzenia Rolle'a twierdzenie Lagrange'a.

Wskazówka: Rozwa» funkcj¦ g(x) = f(x) − (f(b) − f(a))/(b − a)(x − a) i zastosuj twierdzenie Rolle'a.

3. Wyka», »e je±li funkcja ma pochodn¡ dodatni¡ (ujemn¡, nieujemn¡, niedodatni¡), to jest w tym przedziale rosn¡ca (malej¡ca, niemalej¡ca, nierosn¡ca).

4. Wyka», »e je±li funkcja f jest ró»niczkowalna na przedziale (−M, M), f(0) = 0 oraz |f⁰(x)| ¬ Adla x ∈ (−M, M), to zachodzi

|f (x)| ¬ A|x|

lub inaczej: f le»y pomi¦dzy prostymi y = Ax i y = −Ax.

5. Wyja», »e funkcja ró»niczkowalna, która ma asymptot¦ pionow¡

(a) jest nieograniczona,

(b) ma nieograniczon¡ pochodn¡.

6. Uzasanij, »e je±li dwie funkcje f, g okre±lone na przedziale (a, b) maj¡ t¦ sam¡ pochodn¡, to istnieje C ∈ R takie, »e

f (x) = g(x) + C dla x ∈ (a, b).

1

B. Caªka nieoznaczona

Je±li funkcja F (x) ma pochodn¡ w kazdym punkcie dziedziny D, to dostajemy now¡ funkcj¦

f (x) = F⁰(x), okre±lon¡ na tej samej dziedzinie D, mo»na sobie naturalnie zada¢ pytanie: czy maj¡c dane f(x) mo»na dosta¢ F (x) zwi¡zane relacj¡ f(x) = F⁰(x)i jakie to ma znaczenie? Okazuje si¦,

»e ta operacja jest niesamowicie u»yteczna.

Powstaje pytanie o jednoznaczon±¢. Przecie» funkcje x², x²+ 1, x²+ C (C ∈ R) maj¡ t¡ sam¡

pochodn¡. Zanim podamy denicj¦ caªki nieoznaczonej zauwa»my, »e dzi¦ki zadaniu 6 jest to jedyna niejednoznaczno±¢

Mo»na ªatwo zauwa»y¢, »e to jedyna niejednoznaczno±¢, co pozwala nam napisa¢ nast¦puj¡c¡

denicj¦:

Denicja. Caªk¡ nieoznaczon¡ z funkcji f(x) nazywamy rodzin¦ tzw. funkcji pierwotnych F (x) + C (C ∈ R), je±li

F⁰(x) = f (x).

Zapisujemy to tak:

Z

f (x) dx = F (x) + C.

Uwaga: Funkcja F (x) dalej jest niejednoznaczna, ale dwie funkcje F (x) speªniaj¡ce powy»sz¡

denicj¦ ró»ni¡ si¦ o staª¡.

Uwaga: w tym zapisie po prawej stronie jest w istocie rodzina funkcji, a nie tylko jedna funkcja.

Mo»e wypadaªoby pisa¢ {F + C : C ∈ R}, ale nikt nie hce tak komplikowa¢ »ycia.

7. Przypominaj¡c sobie wzory na pochodne oblicz caªki:

(a) R (x²− 4x⁷) dx, (b) R √³

x dx, (c) R sin(x) dx, (d) R e^5xdx,

(e) R √5¹

x³dx, (f) R cos(2x − 3) dx, (g) R x²sin(x³) dx, (h) R cos(x)e^sinxdx,

(i) R ^3x√3²⁺²

x⁵ dx,

(j) R cos(sin²(x²)) · 2 sin(x²) · cos(x²) · 2x dx,

Marcin Preisner preisner@math.uni.wroc.pl

2