17 pazdziernika 2019: uzupelnienie o politropach, stabilnosc dynamiczna kuli gazu i pulsacje radialne

Wykład 3 - Kule politropowe - uzupelnienie.

Stabilność kul gazowych ze względu na

zaburzenia radialne.

Radialne pulsacje adiabatyczne.

Kule politropowe

Własności kul politropowych określone są przez rozwiązanie równania Lane-Emdena 1 ξ2 d d ξ  ξ2d θ d ξ  = −θn z warunkami brzegowymi θ(ξ = 0) = 1 ponieważ ρ(ξ = 0) = ρc d θ d ξ|ξ=0= 0 ρ = ρcθn P = Pcθn+1= K ρ1+1/nc θn+1

Przykładowe wykresy funkcji θ i przebiegu gęstości.

Rysunek:Wykresy funkcji θ i przebiegu gęstości wewnątrz kul politropowych o indeksach politropy n= 1.5, 3.0, 4.5

Charakterystyczne wartości dla rozwiązań równania

Lane-Emdena

Parametry kul politropowych zależą od położenia pierwszego miejsca zerowego i pochodnej funkcji θ w tym punkcie.

n ξ1 (d θ_{d ξ})1 −ξ21(d θd ξ)1 ρc ¯ ρ 0.0 2.449 -0.8165 4.899 1.000 1.0 3.142 -0.3183 3.142 3.290 1.5 3.654 -0.2033 2.714 5.991 2.0 4.353 -0.1272 2.411 11.40 3.0 6.897 -.0424 2.018 54.18 4.0 14.97 -.0080 1.797 622.4

Własności modeli politropowych

Promień kuli politropowej

R = ξ1  n + 1 4πG K ρ 1/n−1 c 1/2 = ξ1anK1/2ρ 1−n 2n c (1) an= r n + 1 4πG

Masa kuli politropowej M = 4πρ 3−n 2n c K3/2  −ξ2d θ d ξ  1 a3_n (2)

Zależność “masa - promień” dla kul politropowych

Z równania na R (równanie 1) i M (równanie 2) eliminujemy ρc i

otrzymujemy zależność pomiędzy R i M

M = 4πR3−n1−n_ξ n−3 1−n 1 a 2n n−1 n K −n 1−n  −ξ2d θ d ξ  1 (3) R = M1−n3−n_K n 3−n_ξ 1  4π  −ξ2d θ d ξ  1 n−1_3−n a 2n 3−n n (4)

Dla ustalonego K promień politropy jest malejącą funkcją jej masy w przedziale n ∈ (1, 3). Dla n=3 M = 4πa3_nK3/2  −ξ2d θ d ξ  1

Własności kul politropowych c.d.

Stosunek gęstości centralnej do gęstości średniej ρc

¯ ρ

¯

ρ = 3M 4πR3

Za M i R podstawiamy prawe strony równań (2) i (1), dzięki czemu otrzymujemy ρc ¯ ρ = −ξ₁ 3d θ_{d ξ} 1 (5)

Wartość stałej politropowej Kmożemy otrzymać z zależności na promień R (równanie 1) lub masę M (równanie 2)

K = (4π) 1/n (n + 1)ξ −n−1 n 1  −d θ d ξ 1−n_n 1 GMn−1n R 3−n n (6)

Własności kul politropowych c.d.

Wartość ciśnienia centralnego Pc otrzymujemy z równania

politropy Pc= K ρ 1+1

n

c , równania na K (6), i zależności pomiędzy

gęstością centralną, a gęstością średnią (równanie 5)

Pc = 1 4π(n + 1)hd θ_{d ξ} 1 i2 GM2 R4 (7)

Energia wiązania grawitacyjnego kuli politropowej

W = −

Z

GMr

r dMr

Korzystając z warunków brzegowych w środku i na powierzchni kuli gazu możemy zapisać:

−W = 1 2G Z R 0 1 rd (M 2 r) = 1 2 GM2 R + 1 2 Z R 0 GM_r2 r2 dr −W = 1 2 GM2 R + 1 2 Z R 0 d Φ dr Mrdr

Całkując przez części i korzystając, że Φ(R) = −GM_R otrzymujemy

W = 1

2 Z R

0

Energia wiązania grawitacyjnego kuli politropowej c.d.

Równanie równowagi hydrostatycznej możemy zapisać w postaci: 1 ρ dP dr = − d Φ dr

i korzystając z równania politropy P = K ρ1+1/n 1 ρ dP dr = (n + 1) d dr  P ρ 

Z powyższych dwóch równań wynika, że wewnątrz kuli potencjał grawitacyjny ma wartość: −Φ = (n + 1)P ρ + GM R (9) Korzystając z równania (8) i (9) −W = −1 2 Z R 0 ΦdMr = 1 2(n + 1) Z R 0 P ρdMr + 1 2 GM R Z R 0 dMr (10)

Energia wiązania grawitacyjnego kuli politropowej c.d.

Średnia temperatura kuli politropowej o stałej średniej masie cząsteczkowej będzie wynosiła (U = _2µm3k

HM ¯T ) ¯ T = 1 (5 − n) µmH k GM R

Otoczki politropowe

Otoczką będziemy nazywać sferycznie symetryczną warstwę gazu o masie pomijalnej w porównaniu do masy zawartej poniżej jej dolnej granicy. Mr ≈ M w granicach otoczki.

Gdy całkujemy równanie równowagi hydrostatycznej przy ustalonym M

dP dr = −ρ

GM r2

i korzystamy z równania politropy (P = K ρ1+1/n) otrzymamy rozwiązanie na przebieg gęstości i ciśnienia w otoczce

ρ =  GM (n + 1)K  1 r − 1 R n P = K−n  GM (n + 1)  1 r − 1 R n+1

Otoczki politropowe c.d.

Jeżeli otoczka będzie się składać z gazu doskonałego o stałej średniej masie cząsteczkowej µ

P = k

µmH

ρT

to temperatura w otoczce wyraża się prostym wzorem

T = µmH (n + 1)k GM R  R r − 1 

Zszywane politropy

W niektórych zagadnieniach przybliżenie kuli politropowej dość dobrze odtwarza strukturę obiektu, np. nierelatywistyczne białe karły, gwiazdy całkowicie konwektywne (n=3/2), referencyjny model Eddingtona (n=3).

Można sobie wyobrazić lepsze przybliżenie struktury gwiazdy, gdy założymy, że nasz model będzie się składał z dwóch politrop (przybliżony model Słońca), lub izotropowego jądra i politropowej otoczki (olbrzymy).

Czas swobodnego spadku

Rozważymy teraz skrajny przypadek braku równowagi hydrostatycznej. W równaniu ruchu

dv dt + 1 ρ dP dr + GMr r2 = 0

pominiemy człon ciśnieniowy i będziemy śledzić ruch warstwy gazu o promieniu r otaczającego masę M

dv

dt = ¨r = − GM

r2

Mnożymy równanie przez ˙r i zapisujemy w postaci

d dt  1 2˙r 2 ₌ GM r 

Przyjmując, że w chwili t0 konfiguracja o promieniu r0 i masie M

znajdowała się w spoczynku (˙r(t0) = 0) otrzymujemy równanie

1 2˙r 2₌ GM r0 r₀ r − 1 

Czas swobodnego spadku c.d.

rozwiązujemy np. przez podstawienie h =pr0

r − 1 i otrzymujemy wtedy t(r ) = r r3 0 2GM  h 1 + h2 + arc tg (h) 

Na dalszą część wykładu możemy określimy skalę dynamiczną jako

τd = r R3 3GM = 1 √ 4πG ¯ρ ≈ 15  R R 3/2r M M min (14)

Czas swobodnego spadku będzie wtedy wiązał się z nią

t(r ) = r 3 2τd  h 1 + h2 + arc tg (h) 

Niestabilność dynamiczna kuli gazu

W symetrii sferycznej sprawdzimy jak kula gazu zachowa się przy małym zaburzeniu, jak ciśnienie zmieni się przy niewielkim ściśnięciu.

Niezaburzona wartość ciśnienia P0(Mr) (ciśnienie na powierzchni

P(M) = 0) P0(Mr) = Z M Mr GM0 4πr4dM 0 Po ściśnięciu r0 = r − frr = r (1 − fr)

zmiany wszystkich wielkości będziemy rozpatrywać w przybliżeniu liniowym w fr,

Niestabilność dynamiczna kuli gazu c.d.

Zmiana ciśnienia gazu P_g0 Pg = K ρ 0 K ρ ≈ (1 + 3fr) γ _{≈ (1 + 3γf} r)

Zmiana ciśnienia pochodzącego od warstw powierzchniowych P_hyd0 = Z M Mr GM0 4πr04dM 0 ₌ Z M Mr GM0 4πr4_{(1 − f} r)4 dM0= Phyd (1 − fr)4 P_hyd0 ≈ Phyd 1 − 4fr ≈ P_hyd(1 + 4fr)

W stanie równowagi zachodziło Pg = Phyd, aby kontrakcja została

zatrzymana i kula mogła wrócić do stanu równowagi powinien zachodzić warunek: P_g0 > P_hyd0

Niestabilność dynamiczna kuli gazu c.d.

Warunek P_g0 > P_hyd0 zapiszemy jako

(1 + 3γfr)Pg > (1 + 4fr)Phyd

i z Pg = Phyd wynika, że aby kula była stabilna to

γ > 4 3

Warunek niestabilności dynamicznej możemy zapisać jako

γ < 4 3

Równanie na małe radialne zaburzenia równowagi gwiazdy

Problem omawiany wcześniej zapiszemy w postaci równań różniczkowych.

Będziemy tak jak poprzednio operowali zaburzeniami

lagranżowskimi.

Linearyzujemy równanie ciągłości, ruchu i korzystamy z

adiabatycznej relacji pomiędzy zaburzeniami gęstości i ciśnienia.

r = r0+ δr d (r0+ δr ) dMr = 1 4π(ρ0+ δρ)(r0+ δr )2 = 1 4πρ0r02(1 + δρ ρ0)(1 + δr r0)2 (15) Z dokładnością do wyrazów linowych w zaburzonych wielkościach:

d δr dMr = − dr0 dMr  2δr r0 +δρ ρ0  (16)

Równanie na małe radialne zaburzenia równowagi gwiazdy

c.d.

Gdy równanie na perturbacje gęstości otrzymaną z równania (16) podstawimy do równania na adiabatyczne zaburzenie ciśnienia

δP P0 = Γ1 δρ ρ0 (17) otrzymamy δP0 P = −Γ1  dδr dr0 + 2δr r0  (18)

Korzystamy z równania ruchu w postaci

dv dt + 4πr 2 dP dMr + GMr r2 = 0 (19)

i linearyzując je otrzymujemy (pamiętamy, że w stanie równowagi 4πr₀2_dMdP r = −g ) d2δr dt2 + 1 ρ d δP dr − 4g δr r0 = 0 (20)

Równanie na małe radialne zaburzenia równowagi gwiazdy

c.d.

Zakładamy, że zaburzenia będą zależeć od czasu jak ei ωt, i od tej pory r będzie oznaczało r0, w szczególności

δr = ry (r )ei ωt (21)

Równania (18) i (20) sprowadzamy do jednego równania na amplitudę i częstotliwość PΓ1r d2y dr2+  rd (PΓ1) dr + 4PΓ1  dy dr+  3d (PΓ1) dr + 4g ρ + ω 2_{r ρ}  y = 0 (22) które może być zapisane w postaci:

d dr  PΓ1r4 dy dr  +  ω2−g r(3Γ1− 4) + 3P r ρ d Γ1 dr  ρr4y = 0 (23)

Warunki brzegowe

Warunki brzegowe dla y(r) wynikają z żądania aby δr i δP_P pozostawały skończone dla r → 0 i r → R

W okolicy r=0 mamy

dP

dr = −g ρ ∼ r (24)

Pamiętając o zachowaniu dP_dr i g ρ wokół r = 0 można podzielić równanie (22) przez PΓ1r i otrzymamy

d2y dr2+  d(ln(PΓ1)) dr + 4 r  dy dr+ 1 PΓ1r  3d (PΓ1) dr + 4g ρ + ω 2_{r ρ}  y = 0

Mamy więc warunek dla r → 0

dy

Warunki brzegowe c.d.

Warunek zewnętrzny na dla r → R wymaga aby δP_P było skończone. Przy P → 0 i ustalonym Γ1 z równania (22)

otrzymujemy rdy dr = y Γ1  ω2_r g + 4 − 3Γ1  (26)

Pulsacje radialne jako problem Sturma-Liouville’a

Problem pulsacji radialnych jest problemem Sturma-Liouville’a co szczególnie widać w postaci wzoru (23). Klasyczna postać równań Sturma-Liouville’a to d dx  p(x )dy dx  + q(x )y = λw (x )y (27)

Problem Sturma-Liouville’a jest regularny jeżeli:

I p(x ), w (x ) > 0

I p(x ), w (x ), q(x ) są ciągłe na przedziale [a, b]

I posiada rozdzielone warunki brzegowe postaci

α1y (a) + α2y0(a) = 0 (α21+ α22 > 0) (28)

Własności rozwiązań problemu Sturma Liouville’a

I istnieje nieskończenie wiele rozwiązań yn(r ), ωn2, gdzie n

oznacza kolejne liczby naturalne

I Wartości własne ω2_n są rzeczywiste i mają rosnące wartości ω2₁ < ω₁2 < ω₃2< ... < ω_n2 < ...

I funkcje własne yn(r ) są wyznaczone z dokładnością do stałego

czynnika i mają dokładnie n − 1 miejsc zerowych w przedziale [a, b] (u nas [0, R])

I funkcje własne odpowiadające różnym n są ortogonalne z wagą w(x) (u nas ρr4)

Pulsacje kuli o stałej gęstości

Przy ustalonym Γ1 i wprowadzając

V = −d ln (P)

d ln (r ) (30)

równanie (22) można zapisać w postaci

r2d 2_y dr2 + (4 − V )r dy dr + V Γ1  4 +ω 2_r g − 3Γ1  = 0 (31)

Zakładamy model o stałej gęstości

ρ = ¯ρ = 3M 4πR3

Jeżeli przyjmiemy x = _Rr , to rozwiązanie modelu w równowadze hydrostatycznej daje P = GMρ 2R (1 − x 2₎ i V = 2x 2 1 − x2

Pulsacje kuli o stałej gęstości c.d.

Podstawiając otrzymane wielkości do równania (31) otrzymujemy

(1 − x2)x2d 2_y dx2 + (4 − 6x 2_)xdy dx + bx 2_{y = 0,} gdzie b = 6 Γ1  ω2 4πG ¯ρ + 4 3 − Γ1 

Szukamy rozwiązania w postaci szeregu

y =X

k=0

akrk

i po podstawieniu do równania i przyrównaniu do zera

współczynników przy xk dostajemy wzór rekurencyjny na kolejne współczynniki

ak+2 = ak

k(k + 5) − b

Pulsacje kuli o stałej gęstości c.d.

ak+2 = ak

k(k + 5) − b

(k + 2)(k + 5)

Tylko dla b = k(k + 5) ten szereg jest skończony. W pozostałych przypadkach szereg jest rozbieżny w x =1, bo dla k → ∞

ak+2/ak → 1. Tylko dla b = k(k + 5) można spełnić zewnętrzny

warunek brzegowy. Dla k=2n-2 (gdzie n jest radialnym rzędem modu) ωn= s 4πG ¯ρ  Γ1− 4 3+ Γ1 3 (n − 1)(2n + 3)  (32)

Kolejne częstości i funkcje własne mają postać

n ωn2

4πG ¯ρ yn

1 Γ1−4₃ 1

2 10₃ Γ1−4₃ 1 −7₅x2

Pulsacje cefeidy o niewielkiej masie

Energia modu E określona jest wzorem

E = y (x )

2_ρx4

R1